13.2.3直线与平面的位置关系（第2课时 直线与平面垂直）课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

该高中数学课件聚焦直线与平面垂直的定义、判定及性质定理，线面角、点面距与线面距的概念及计算。课堂从线面位置关系引入，借助长方体模型直观感知，通过定义、定理构建从直观到抽象的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于融合图形与符号语言，以“数学眼光”观察空间形式，“数学思维”推理线线与线面垂直转化，如例2通过矩形、线面垂直性质证线线垂直。题型覆盖判定、距离、线面角等，方法总结清晰，助力学生提升空间观念与推理能力，方便教师系统教学。

第13章　立体几何初步 13.2.3　直线与平面的位置关系 第2课时　直线与平面垂直 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.理解直线与平面垂直的概念及性质. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理. 3.借助长方体,通过直观感知,归纳出点面、线面距离,斜线在平面内的射影及线面角的概念. 4.理解点到平面的距离的概念,会求简单的点面距离. 5.理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念,会求简单的线面角. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　直线和平面垂直的定义 如图,如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直,那么称直线a与平面α垂直,记作a⊥α.直线a叫作平面α的垂线,平面α叫作直线a的垂面,垂线和平面的交点称为垂足. 知识点二　直线和平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直 若a⊥m,a⊥n,m∩n=A, m⊂α,n⊂α,则a⊥α 线线垂直⇒线面垂直 名师点睛 1.该定理实现了“线面垂直”问题向“线线垂直”问题的转化. 2.相关的重要结论 (1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直;过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (2)如果两条平行线中的一条与一个平面垂直,那么另一条也与这个平面垂直. (3)如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直,那么另一个也与这条直线垂直. 知识点三　直线与平面垂直的性质定理 1.基本性质 文字语言 图形语言 符号语言 一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线 l⊥α,m⊂α⇒l⊥m 2.性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 a⊥α,b⊥α⇒a∥b 知识点四　直线与平面所成的角 1.相关概念 一条直线与一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫作这个平面的斜线,斜线与平面的交点叫作斜足,斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段. 如图所示,过平面外一点P向平面α引斜线和垂线,那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的射影,线段P1Q就是斜线段PQ在平面α内的射影. 2.直线与平面所成的角 平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角,叫作这条直线与这个平面所成的角.∠PQP1就是直线PQ与平面α所成的角. 3.如果一条直线垂直于平面,那么称它们所成的角是直角;如果一条直线与平面平行,或在平面内,那么称它们所成的角是0°角.直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°. 名师点睛 1.点P是斜线上不同于斜足Q的任意一点,点P具有随意性. 2.斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线,而不是线段. 3.求一条直线与平面所成的角,可先作出直线在平面内的射影,从而得到直线与平面所成的角,再进一步求解. 知识点五　距离 1.点到平面的距离:从平面外一点引平面的垂线,这个点和垂足间的距离,叫作这个点到这个平面的距离. 2.直线与平面的距离:一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫作这条直线和这个平面的距离. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若直线垂直于平面内的两条直线,则这条直线与平面垂直.(　　) (2)若直线与平面内的任意一条直线都垂直,则这条直线与平面垂直.(　　) (3)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线,则这条直线垂直于两底边所在的直线.(　　) (4)若直线垂直于梯形的两底边所在的直线,则这条直线垂直于两腰所在的直线.(　　) × √ √ × 题型分析·能力素养提升 【题型一】直线与平面垂直的判定 例1 (1)已知m,n是异面直线,m∥α,n∥α,直线l⊥m,l⊥n,则(　　) A.l⊂α B.l∥α C.l与α斜交 D.l⊥α D 解析 由于m∥α,n∥α, 则平面α内必有两条相交直线m',n'分别与m,n平行, 因为m,n是异面直线,所以m'与n'在平面α内相交. 又因为直线l⊥m,l⊥n,可得l⊥m',l⊥n', 所以l⊥α,故选D. (2)若平行四边形ABCD的对角线交点为O,点P为平行四边形ABCD所在平面外的一点,且PA=PC,PD=PB,则PO与平面ABCD的位置关系是　　　　.  垂直 解析 ∵O为平行四边形ABCD对角线的交点,∴O为AC的中点,又PA=PC,∴PO⊥AC.同理PO⊥BD,又AC∩BD=O,AC,BD⊂平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD. 题后反思　证明线面垂直的方法 (1)由线线垂直证明线面垂直: ①定义法(不常用);②判定定理(最常用),要着力寻找平面内两条相交的直线(有时需要作辅助线),使它们与所给直线垂直. (2)平行转化法:a∥b,a⊥α⇒b⊥α. 跟踪训练1 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M为CC1的中点,AC与BD交于点O,求证:A1O⊥平面MBD. 证明 ∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD, ∵AA1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD, ∴AA1⊥BD, 又∵A1A⊂平面A1AO,AC⊂平面A1AO,且A1A∩AC=A, ∴BD⊥平面A1AO,又∵A1O⊂平面A1AO, ∴BD⊥A1O. 令正方体的棱长为2,连接OM,A1M,如图所示,则A1O=,OM=,A1M=3,∴A1O2+OM2=A1M2, ∴A1O⊥OM. 又OM∩BD=O,且OM⊂平面BDM,BD⊂平面BDM, ∴A1O⊥平面MBD. 【题型二】直线与平面垂直的判定与性质定理的综合运用 角度1证明线线垂直 例2 [链接教材例6]如图所示,已知矩形ABCD,过点A作SA⊥平面AC,再过点A作AE⊥SB交SB于点E,过点E作EF⊥SC交SC于点F,连接AF.求证: AF⊥SC. 证明 ∵SA⊥平面AC,BC⊂平面AC, ∴SA⊥BC. 在矩形ABCD中,AB⊥BC,且SA∩AB=A, ∴BC⊥平面SAB. 又AE⊂平面SAB,∴BC⊥AE. 又SB⊥AE,且SB∩BC=B, ∴AE⊥平面SBC. ∵SC⊂平面SBC,∴AE⊥SC. 又EF⊥SC,且AE∩EF=E, ∴SC⊥平面AEF. 又AF⊂平面AEF,∴AF⊥SC. 题后反思　线线垂直和线面垂直的相互转化 跟踪训练2 如图,AB为☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,点M为圆周上任意一点, AN⊥PM,点N为垂足. (1)求证:AN⊥平面PBM. (2)若AQ⊥PB,垂足为点Q,求证:NQ⊥PB. 证明 (1)∵AB为☉O的直径, ∴AM⊥BM,∵PA⊥平面ABM,BM⊂平面ABM,∴PA⊥BM. 又PA∩AM=A,PA⊂平面PAM,AM⊂平面PAM, ∴BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM,∴BM⊥AN. 又AN⊥PM,且BM∩PM=M,PM⊂平面PBM,BM⊂平面PBM, ∴AN⊥平面PBM. (2)由(1)知AN⊥平面PBM, ∵PB⊂平面PBM,∴AN⊥PB. 又AQ⊥PB,AN∩AQ=A,AN⊂平面ANQ,AQ⊂平面ANQ,∴PB⊥平面ANQ. 又NQ⊂平面ANQ,∴NQ⊥PB. 角度2证明线面垂直 例3 如图,将等腰直角三角形ABC,沿斜边上的高AD翻折,翻折后BC的中点为M.证明:BC⊥平面ADM. 证明 ∵折叠前AB=AC,AD是斜边上的高, ∴D是BC的中点,即BD=CD, 又∵折叠后M是BC的中点, ∴DM⊥BC, ∵折叠后AB=AC,∴AM⊥BC, 又AM∩DM=M,且AM,DM⊂平面ADM, ∴BC⊥平面ADM. 规律方法　证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义. (2)线面垂直的判定定理. (3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面. (4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面. 跟踪训练3 如图所示,四边形ABCD是矩形,AP⊥平面ABCD,△PAD是等腰三角形, PA=AD,点M,N分别是AB,PC的中点,求证:MN⊥平面PCD. 证明 如图,取PD的中点E,连接AE,NE. ∵点N,E分别为PC,PD的中点, ∴NECD,又∵点M为AB的中点,四边形ABCD为矩形, ∴AM CD,∴AM NE. ∴四边形AENM为平行四边形,∴AE∥MN. ∵PA=AD,点E为PD中点,∴AE⊥PD. ∵AP⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,∴AP⊥DC. ∵在矩形ABCD中,AD⊥DC. 又∵AD∩AP=A,∴CD⊥平面PAD. ∵AE⊂平面PAD,∴CD⊥AE. 又∵CD∩PD=D,∴AE⊥平面PCD,∴MN⊥平面PCD. 【题型三】距离 角度1点面距 例 4 如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,SA=4,AB=3,点D为AB的中点,∠ABC=90°,则点D到平面SBC的距离等于(　　) A. B. C. D. C 解析 如图,过点A作AE⊥SB交SB于点E,取BE的中点F,连接DF.因为SA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以SA⊥BC.因为∠ABC=90°,所以AB⊥BC.因为SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB. 因为AE⊂平面SAB,所以BC⊥AE.又AE⊥SB,BC∩SB=B,所以AE⊥平面SBC.在Rt△SAB中,由勾股定理易得SB=5,由等面积法可得AE·SB=AB·AS,所以AE=因为点D,F分别为AB,BE的中点,所以DFAE,可得DF⊥平面SBC,即点D到平面SBC的距离为DF=故选C. 规律方法　求点到平面距离的步骤 (1)作(或找)出点到平面的垂线段的垂足,并证明线面垂直. (2)求出该点到垂足间的线段长,即为所求点到平面的距离. (3)在平面图形中(一般为三角形)计算所求线段的长. (4)下结论:给出所求距离. 简记为“一作,二证,三求,四答”. 跟踪训练4 如图,正方形ABCD的边长为4,点E,F分别是AD,AB边的中点,GC⊥平面AC,GC=2,求点B到平面EFG的距离. 解 如图,连接AC,BD交于点O,EF交AC于点M,连接GM,在△GCM中作OH⊥MG于点H. ∵点E,F分别为AD,AB的中点, ∴EF∥BD, 又EF⊂平面GEF,BD⊄平面GEF,∴BD∥平面EFG. 在正方形ABCD中,EF⊥AC,∵GC⊥平面AC, ∴GC⊥EF,又∵AC∩GC=C,∴EF⊥平面MGC, 又OH⊂平面MGC,∴EF⊥OH, 又OH⊥GM,GM∩EF=M,∴OH⊥平面EFG, ∴OH的长即为点O到平面EFG的距离,即为直线BD到平面EFG的距离,即为点B到平面EFG的距离. ∵四边形ABCD为正方形,AB=4, ∴AC=4,∴CM=3 又GC=2,∴MG=,MO= 由△MHO∽△MCG,得, ∴OH=, 即点B到平面EFG的距离为 角度2线面距 例5 [链接教材例5]四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形,且侧棱AA1⊥底面ABCD,若底面边长为1,且侧面ABB1A1上的∠B1AB=60°,则A1C1到底面ABCD的距离为(　　) A.1 B. C. D.2 C 解析 如图,依题意可知∠B1AB=60°,A1C1∥平面ABCD,∴A1A的长即为A1C1到底面ABCD的距离.由题意知,A1A=B1B=ABtan 60°=故选C. 规律方法　求直线到平面距离的方法 当直线与平面平行时,直线上每一点到平面的距离都相等,因此线面距离转化为点面距离. 跟踪训练5 如图,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是2,求棱AA1到平面BB1D1D的距离. 解如图,连接AC,∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥平面BB1D1D, ∴AA1到平面BB1D1D的距离即点A到平面BB1D1D的距离. ∵四边形ABCD为正方形, ∴AC⊥BD, ∵B1B⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴B1B⊥AC. ∵BD∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1D1D, ∴点A到平面BB1D1D的距离为AC=2 ∴棱AA1到平面BB1D1D的距离为 【题型四】线面角 例6 [链接教材例7]如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2. (1)求直线A1B和平面ABCD所成角的大小; (2)求直线BD1和平面ABCD所成角的正切值. 解 (1)∵A1A⊥平面ABCD, ∴直线A1B在平面ABCD上的射影为直线AB, ∴∠A1BA就是直线A1B和平面ABCD所成的角. ∵在Rt△A1BA中,AA1=AB,则∠A1BA=, ∴直线A1B和平面ABCD所成角的大小为 (2)∵D1D⊥平面ABCD, ∴直线D1B在平面ABCD上的射影为直线DB, ∴∠D1BD就是直线D1B和平面ABCD所成的角. ∵在Rt△D1BD中,DD1=2,BD=2, 则tan∠D1BD=, ∴直线BD1和平面ABCD所成角的正切值为 题后反思　求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤 (1)确定斜线与平面的交点(斜足); (2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线,过垂足和斜足的直线即为斜线在平面上的射影,则斜线和射影所成的锐角即为所求的角; (3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形. 跟踪训练6 如图所示,在Rt△BMC中,斜边BM=5,它在平面ABC上的射影AB的长为4, ∠MBC=60°,求直线MC与平面CAB所成的角的正弦值. 解 由题意知,点A是点M在平面ABC内的射影,∴MA⊥平面ABC, ∴MC在平面CAB内的射影为AC, ∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角. 在Rt△MBC中,BM=5,∠MBC=60°, ∴MC=BMsin∠MBC=5sin 60°=5 在Rt△MAB中,MA==3. 在Rt△MAC中,sin∠MCA=, ∴直线MC与平面CAB所成的角的正弦值为 $