13.2.3 第2课时 直线与平面垂直课件-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

数学 第13章　立体几何初步 13．2　基本图形位置关系 13.2.3　直线与平面的位置关系 第2课时　直线与平面垂直 01 自主学习 02 讲练互动 03 当堂达标 04 巩固提升 学习指导 1.理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性． 2．掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题． 3．了解直线和平面所成的角的含义，并会求直线与平面所成的角． 4．理解点到平面的距离、直线到平面的距离的概念． 5．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用线面垂直的性质定理解决有关的垂直问题． 核心素养 1．直观想象、逻辑推理：直线与平面垂直的判定定理、性质定理． 2．直观想象、逻辑推理、数学运算：求直线与平面所成的角． 1．直线与平面垂直 定义 如果直线a与平面α内的__________直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直 记法 a⊥α 有关 概念 直线a叫作平面α的______，平面α叫作直线a的______，垂线和平面的交点称为______ 任意一条 垂线 垂面 垂足 自主学习 4 图示及 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 (1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形． (2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”． 2．直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的__________直线垂直，那么该直线与此平面垂直 图形语言 符号语言 a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，m∩n＝A⇒a⊥α 两条相交 能将定理中的“两条相交直线”中的“相交”去掉吗？ 提示：不能，判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直． 3．直线与平面垂直的性质定理 平行 a∥b (1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法． (2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据． 4．从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离．一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离． 5．直线与平面所成的角 (1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的______，斜线与平面的交点叫作______，斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段． 如图所示，过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么 过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的______．平 面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的______，叫 作这条直线与这个平面所成的角． 斜线 斜足 射影 锐角 (2)规定：如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角；如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是0°角． (3)范围：直线与平面所成角θ的范围是0°≤θ≤90°. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(　　) (2)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(　　) (3)如果直线l与平面α所成的角为60°，且m⊂α，则直线l与m所成的角也是60°.(　　) (4)若直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则直线b⊥直线a.(　　) (5)若直线a⊥平面α，直线a⊥直线b，则直线b∥平面α.(　　) × × × √ √ 2．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是 (　　) A．平行　　　　　　　　 B．垂直 C．在平面α内 D．无法确定 √ 3．已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则(　　) A．a∥α B．a⊂α C．a⊥α D．a是α的斜线 √ 4.在正方体ABCD­A1B1C1D1中． (1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________； (2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________； (3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________． 解析：(1)由线面角的定义知∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°. (3)因为A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1， 又因为AB1∩B1C1＝B1，且AB1⊂平面AB1C1D，B1C1⊂平面AB1C1D， 所以A1B⊥平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角为90°. 答案：(1)45°　(2)30°　(3)90° 5．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：   (1)与PC垂直的直线有______________________________________； (2)与AP垂直的直线有________________________________________． 解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC.所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC. (2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC， AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，因为AP⊂平面PAC，所以BC⊥AP. 答案：(1)AB，AC，BC　(2)BC 探究点1　直线与平面垂直的定义 (1)直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　) A．平行　　　　　　　　 B．相交 C．异面 D．垂直 √ 讲练互动 (2)如果一条直线垂直于一个平面内________，则能保证该直线与平面垂直，选择合适的序号填空(　　) ①三角形的两边 ②梯形的两边 ③圆的两条直径 ④正六边形的两条边 A．①③ B．② C．②④ D．①②④ √ 【解析】　(1)因为直线l⊥平面α，所以l与α相交． 又因为m⊂α，所以l与m相交或异面． 由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m. 故l与m不可能平行． (2)由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③所在的平面；对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直． 对线面垂直定义的理解 (1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直． (2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.　 1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　) A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m √ 解析：对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直； 对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确； 对于C，也有可能是l，m异面； 对于D，l，m还可能相交或异面． 2．下列命题中，正确的序号是________． ①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线； ③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直； ④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直． 解析：当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确； 当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确； 根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l与α内的所有直线都垂直，所以④正 确． 答案：③④ 探究点2　直线与平面垂直的判定 　 如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC­A1B1C1中,∠BAC＝90°，AB＝a，A1A＝2a，D为棱B1B的中点． 求证：A1D⊥平面ADC. (1)线线垂直和线面垂直的相互转化 (2)证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义． ②线面垂直的判定定理． ③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． ④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面． [提醒]　要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．　 如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足． (1)求证：AN⊥平面PBM； (2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 证明：(1)因为AB为⊙O的直径， 所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM. 又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN. 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M， 所以AN⊥平面PBM. (2)由(1)知AN⊥平面PBM， PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB. 又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A， 所以PB⊥平面ANQ. 又NQ⊂平面ANQ，所以NQ⊥PB. 探究点3　线面垂直的性质定理的应用 如图，已知正方体A1C.   (1)求证：A1C⊥B1D1； (2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D， 求证：MN∥A1C. 【证明】　(1)如图，连接A1C1. 因为CC1⊥平面A1B1C1D1， B1D1⊂平面A1B1C1D1， 所以CC1⊥B1D1. 因为四边形A1B1C1D1是正方形， 所以A1C1⊥B1D1. 又因为CC1∩A1C1＝C1， 所以B1D1⊥平面A1C1C. 又因为A1C⊂平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C. 由(1)知A1C⊥B1D1. 同理可得A1C⊥AB1. 又因为AB1∩B1D1＝B1， 所以A1C⊥平面AB1D1.所以A1C∥MN. (1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质． (2)直线与平面垂直的其他性质 ①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直； ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面； ③若l⊥α于A，AP⊥l，则AP⊂α； ④垂直于同一条直线的两个平面平行； ⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．　 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，底面对角线AC与BD相交于点O.   (1)求证：BD1∥平面ACE； (2)求证：BD1⊥AC. 证明：(1)连接OE，在正方体ABCD­A1B1C1D1中， 因为OB＝OD，E为棱DD1的中点，所以BD1∥OE， 又因为OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE， 所以BD1∥平面ACE. (2)在正方体ABCD­A1B1C1D1中， 由AC⊥BD，DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DD1⊥AC， 又因为BD⊂平面BDD1，DD1⊂平面BDD1，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1， 又由BD1⊂平面BDD1，所以BD1⊥AC. 　 如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB的长为4，∠MBC＝60°，求直线MC与平面CAB所成的角的正弦值． 1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是(　　) A．a⊥b，且a与b相交　　 B．a⊥b，且a与b不相交 C．a⊥b D．a与b不一定垂直 解析：过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c.因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c.因为b∥c，所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直． √ 当堂达标 2.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(　　) A．平面DD1C1C　　　　　　　　 B．平面A1DB1 C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB 解析：因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1. √ 3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线(　　) A．相交且垂直 B．不相交也不垂直 C．相交不垂直 D．不相交但垂直 解析：如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交， 则它们共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与 ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取 BD的中点O，连接OA与OC，因为AB＝AD＝DC＝BC， 所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，故AC⊥BD. √ 4．若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为(　　) A．60° B．45° C．30° D．90° √ 5.如图所示，四边形ABCD是矩形，AP⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，PA＝AD，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN⊥平面PCD. 所以四边形AENM为平行四边形， 所以AE∥MN. 又因为△PAD为等腰三角形， 所以AE⊥PD，所以MN⊥PD. 连接PM，MC，设AD＝a，AB＝2b， 所以PM2＝a2＋b2，CM2＝a2＋b2， 所以CM＝PM. 又因为N为PC的中点，所以MN⊥PC. 因为PC∩PD＝P，所以MN⊥平面PCD. 本部分内容讲解结束 $$