13.2.4平面与平面的位置关系（第2课时）（教学课件，含交互动画）高一数学苏教版必修第二册

13.2.4 平面与平面的位置关系 第十三章 立体几何初步 （第2课时）两平面垂直 学 习 目 标 1 2 3 理解二面角的定义，掌握二面角的表示方法，能准确识别二面角的棱与面； 理解平面与平面垂直的定义，掌握平面与平面垂直的判定定理，能运用定理证明简单的面面垂直问题； 掌握平面与平面垂直的性质定理，能运用定理解决简单的面面垂直问题； 新课导入 上节课我们学习了平面与平面平行的判定与性质，它们的转化思想是什么？ ①打开笔记本电脑，显示屏与键盘所在平面形成的角，随着屏幕开合，角的大小在变化； ②卫星轨道平面与赤道平面也形成了夹角. 这些生活中的和我们之前学过的平面角有什么不同？ 本节课我们就来学习刻画两个相交平面所成角的概念——二面角，并研究两个平面垂直的判定与性质. 转化思想：线面平行——面面平行 探究一：二面角及其平面角 什么是二面角？ 新知探究 半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分都叫作半平面； 表示方法：棱为，面为的二面角，记作二面角，也可记作（分别在两个半平面内）. 二面角定义：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角 这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面。 新知探究 如何度量二面角的大小？ 在棱上取一点 在两个面内分别作垂直于棱的射线 则的大小就是二面角的大小 平面角定义： 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角. 观察动态演示可知：二面角大小与点的位置无关（由等角定理可证） 新知探究 二面角的大小与点的位置有关吗？ 由此可知，二面角的大小可以用它的平面角来度量. 我们约定，二面角的取值范围是 平面角是直角的二面角叫作直二面角. 典例分析 例1 如图,在正方体中: (1) 求二面角的大小; (2) 求二面角的大小. 【分析】根据二面角的平面角定义，利用正方体中棱的垂直关系，找到棱AB所垂直的平面内的两条射线AD′、AD（A′A、AD），确定二面角的平面角，再结合直角三角形求解角度. 解 ：(1) 在正方体中,平面,所以,. 因此,为二面角的平面角. 在Rt中,,所以二面角的大小为. (2) 同理,为二面角的平面角. 因为,所以二面角的大小为. 即使训练 1.将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥 中， 两两互相垂直，则二面角 的余弦值为多少？ 【分析】取 中点 ，连接 ，说明 为二面角的平面角，通过几何关系计算求解. 【详解】取 中点 ，连接 ，交平面 于点 ， 由正棱锥性质及对称性易知 为 的中心，且 ， 故 为二面角的平面角， 即使训练 则 ， 在 中由余弦定理得 设正三棱锥侧棱长为 ，易得 ， 知识小结 二面角及其平面角 二面角的定义：直线 + 两个半平面 表示：二面角 平面角：棱上一点，两面内作垂直于棱的射线（范围：） 直二面角：平面角为 10 探究二：平面与平面垂直的判定定理 新知探究 如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直，那么该如何判定两个平面是否垂直？ 转动教室的门，门轴始终与地面有什么特殊的位置关系？ 门轴始终与地面垂直，无论门转到什么位置，门所在的平面都与地面垂直. 新知探究 仔细观察门轴始终与地面位置关系，由此你能否总结出二面垂直的判定方法吗？ 符号表示： 判定思想：线面垂直面面垂直，将面面垂直问题转化为线面垂直问题. 平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 典例分析 例2 如图，在正方体 中，求证：平面 平面 。 【分析】利用面面垂直的判定定理，先证明直线垂直于平面，再由平面，证得两个平面垂直。 证明： 知识小结 平面与平面垂直的判定定理 定义：所成二面角是直二面角，记作 判定定理：一个平面过另一个平面的垂线面面垂直 符号： 核心思想：线面垂直面面垂直 14 新知探究 探究三：平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直,那么一个平面内的直线是否一定垂直于另一个平面? 如图，答案是否定的. 事实上,我们有 两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直. 平面与平面垂直的性质定理： 新知探究 下面，我们将对平面与平面垂直的性质定理进行证明. 已知：，，，， 为垂足． 求证：． 【分析】因为 ，所以要证 ，只需在 内找一条与 相交的直线垂直于 ． 证明:在平面 内作 ，则 是二面角 的平面角． 由 ，可知 ． 又因为 ，且 ，所以 ． 典例分析 例3 证明：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内． 已知：，，，，求证：． 【分析】利用面面垂直的性质定理，在平面α内作交线c的垂线b，由 “过一点有且只有一条直线垂直于平面”，证得直线重合，从而得。 证明：设 ．过点 在平面 内作直线 ． 根据平面与平面垂直的性质定理，有 ． 因为经过一点有且只有一条直线与平面 垂直， 所以直线 与直线 重合，即 ． 知识小结 平面与平面垂直的性质定理 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面. 符号语言： 18 题型1 二面角的求法 巩固提升 1.三棱锥中，平面，，，，，则二面角的大小为多少？ 【分析】根据题意，结合二面角的定义，可知为二面角的平面角，解直角三角形即可得解。 【详解】由题可得，即， 平面，平面，， 又，，，平面，平面， 而平面，， 即为二面角的平面角， 在直角三角形中，， 可得 题型2 平面与平面垂直的判定 巩固提升 2.设m、n为空间中两条不同直线，、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为（    ） A．若m上有两个点到平面的距离相等，则 B．若，，则“”是“”的既不充分也不必要条件 C．若，，，则 D．若m、n是异面直线，，，，，则 【分析】对于A，m与可以相交，直线m上关于交点对称的两点到平面的距离相等；对于B，C，根据面面垂直的判定及性质进行判断；对于D，根据面面平行的判定定理进行判断. 巩固提升 【详解】对于A，当直线m与相交时，直线m上关于交点对称的两点到平面的距离相等，故A错误； 对于B，若，，，则，又，所以；当时，，当时，，可以相交，所以“”是“”的充分不必要条件，故B错误； 对于C，若，，，m与n位置关系不固定，可以是各自平面内的任意直线，故C错误； 对于D，若m、n是异面直线，，，，，则在直线任取一点，过直线与点确定平面，，又，则，，，所以，又，，所以，故D正确. 故选：D. 题型3 平面与平面垂直的性质定理 巩固提升 3.如图，在四面体 中，平面 平面 是边长为 3 的等边三角形， ，则四面体 的体积为多少？ 【分析】由面面垂直性质可知 平面 ，根据 ，结合棱锥体积公式可求得结果. 【详解】 平面 平面 ，平面 平面 平面 ， 平面 是边长为 3 的等边三角形， 又 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击图标，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 课堂小结 平面与平面垂直 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 知识点回顾 1. 二面角 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 二面角的平面角：在二面角 α-l-β 的棱 l 上任取一点 O，以点 O 为垂足，在半平面 α 和 β 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 构成的角 ∠AOB 叫做二面角的平面角。 范围：二面角平面角的取值范围是 [0, π]（或 0° 到 180°）。 2. 平面与平面垂直的判定 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。 符号表示：若直线 l ⊥ α，且 l ⊂ β，则 β ⊥ α。 3. 平面与平面垂直的性质 性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线垂直于另一个平面。 符号表示：若 α ⊥ β，α ∩ β = l，a ⊂ α，且 a ⊥ l，则 a ⊥ β。 易错点警示 1. 二面角平面角的构造误区 学生常错误地认为在两个平面内任意作两条射线所成的角就是二面角的平面角。必须强调：这两条射线必须同时垂直于二面角的棱，且垂足必须重合。 2. 面面垂直性质定理的条件缺失 在使用性质定理证明线面垂直时，容易忽略“直线在其中一个平面内”以及“直线垂直于交线”这两个关键前提。仅仅有面面垂直，不能得出其中一个平面的任意直线都垂直于另一个平面。 3. 垂直关系的逻辑混淆 注意判定定理（线面垂直 → 面面垂直）与性质定理（面面垂直 → 线面垂直）的逻辑方向。不要在证明面面垂直时，因果倒置。 解题技巧 1. 寻找二面角平面角的“三步走” 找棱：确定两个平面的交线。 作角：利用等腰三角形的中线、垂线或勾股定理逆定理，在两个面内构造垂直于棱的射线。 求值：将平面角放入三角形中，通过解三角形（正弦、余弦定理）求出大小。 2. 垂直关系的转化模型 立体几何的核心在于“降维”转化： 线线垂直 ⟷ 线面垂直 ⟷ 面面垂直 证明面面垂直，通常转化为证明“线面垂直”；而利用面面垂直，通常是为了得到“线面垂直”或“线线垂直”。 3. 辅助线的作法技巧 若已知 α ⊥ β，常在平面 α 内作垂直于交线 l 的垂线，从而利用性质定理得到垂直于平面 β 的直线。这是处理面面垂直问题的“常规武器”。 $