6.6.3球的表面积和体积课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦球的表面积与体积计算，涵盖球的概念、截面性质及切接问题。通过复习柱锥台侧面积与体积公式搭建旧知支架，自然引入球的相关知识，形成完整知识脉络。 其亮点是以问题链驱动教学，通过冰激凌体积比较、长方体外接球等典例将空间问题平面化，培养几何直观与空间观念（数学眼光），强化逻辑推理与运算能力（数学思维），规范公式应用表达（数学语言）。助力学生提升转化能力，为教师提供结构化资源，有效落实重难点。

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第六章 立体几何初步 第6节 简单几何体的再认识 6.3 球的表面积和体积 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、了解球的有关概念. 2、会求球的表面积和体积. 3、会空间问题平面化解决复杂的球类问题. 1、会求球的表面积和体积. 1、与球相关的简单组合体的表面积和体积的计算. 2 新 知 引 入 S直棱柱侧 = ____________ S正棱锥侧 = ____________ S正棱台侧 = ____________ S圆柱侧 = ____________ S圆锥侧 = ____________ S圆台侧 = ____________ 表面积=_________+__________ 2πrl πrl π(r1+r2)l ch ch＇ (c+c＇)h＇ 1、侧面积与表面积 侧面积 底面积 新 知 引 入 V柱体 = _____________ V锥体= _____________ V台体= _____________________________ 2、柱体、锥体、台体的体积 S底·h S底·h （S上++S下）·h 新 知 引 入 （1）以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲 面称为__________． （2）球面所围成的几何体称为_________，简称______. （3）半圆的圆心称为_______， （4）连接球心和球面上任意一点的线段称为球的_________； （5）连接球面上两点并且过球心的线段称为球的_________. （6）球面上所有的点到球心的距离都等于球的________； 3、球的相关概念及性质： 球心 半径 直径 半径 球面 球体 球 学 习 新 知 用一个平面α去截半径为R的球O. （1）当平面α经过球心O时，则平面与球面的公共点显然都是共面的且到球心O的距离都为______, 这说明过球心的平面截球面所得截线是以_________为圆心的________，这个圆称为__________。 （2）当平面α不经过球心O时，不妨设OO＇⊥α于点O＇.记OO＇=d,对于平面与球面的任意一个公共点P，都满足OO＇______O＇P,所以O＇P=_________,此时截线是以点______为圆心，以r=__________为半径的______,这个圆称为____________. R 球心O 圆 大圆 ⊥ O＇ 圆 小圆 O O＇ P O 学 习 新 知 P O A 当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这个交点称为直线与球的切点。 设过点P的直线与球相切于A， 由直线与圆相切的性质可得OA_____AP,所以AP=_______________ . 这说明，_________________________________________，这些切点的集合是以点______为圆心，________为半径的圆，圆面O＇及所有切线围成了一个__________。 则平面POA与球面的交线是球的____________。 大圆 R ⊥ 设点A在OP上的垂足为O＇,则AO＇长度________________， O＇ 恒定不变 过球外一点的所有切线的切线长都相等 O＇ O＇A 圆锥 P A O R 学 习 新 知 （1）球的任意一个截面都是_______. （2）球心与截面圆心的连线_________于截面. （3）球半径为R，截面圆半径为r，则球心到截面的距离为d=_____________. （4）球的两个平行截面的圆心的连线_________于这两个截面,且经过_________. （5）球的切线__________于过切点的半径. （6）过球外一点的所有切线的切线长都__________． 重要性质： 圆 垂直 垂直 球心 垂直 相等 典 例 引 路 例1、已知A,B,C是球O上的三点,AB=10,AC=6,BC=8,球O的半径等于 13,则球心O到△ABC所在小圆的距离为　　　　　.  解：∵AB=10,AC=6,BC=8, ∴△ABC为直角三角形且AB为点A,B,C所在小圆的直径. ∴ r = 5. 轴截面图如图, ∴d2 = R2-r2 = 132-52 = 122. ∴球心O到△ABC所在小圆的距离为12. 同 步 练 习 练1、在球O中，一条直径AB垂直于小圆O1所在的平面，垂足为O1.若 AO1=2,BO1=8，则小圆O1的半径为____________. 解:经过球心O，截面圆心O1作球的截面，如图： 球的直径为 AO1+BO1=10， ∴ 球的半径为R=5. 在Rt△OO1D中，OD=R=5，OO1=5-2=3， ∴ O1D==4 ∴ 小圆O1的半径为4. 典 例 引 路 例2、过半径为1的球O外一点P作球O的切线，若OP=2，则切点所在平面 与所有切线所围成的几何体的侧面积为（     ） A. π B. π C. π D. π 解:球O的半径为1，又OP=2 则切点所在平面与所有切线所围成的几何体为圆锥， 该圆锥底面半径为 ,母线长为 , 所以其侧面积 S =π×× = π C 同 步 练 习 练2、如图，过球O外一点P作球O的两条切线，切点分别为A，B，且A，B，O，P四 点共面.已知球O的半径为3，点P与球面上的点的距离的最大值为8，记∠BAO=α， 则sin2α=（        ） A. B. C. D. 解:设PO与AB交于点Q，球的半径为R. 点P与球面上的点的距离的最大值为OP+R=8，则OP=5， ∵PA，PB均与球O相切， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， 则在Rt△APO中，PA==4 易得△OAQ∽△OPA，则∠BAO=∠APO=α， 则sin2α=2sin∠APOcos∠APO=2×× = 2×× = D 学 习 新 知 球的表面积 S球 = 4πR2 球的体积 V球= πR3 球不存在底面,球的表面不能展开成平面. 球的表面积等于它的大圆面积的4倍． 注意：1、 2、 典 例 引 路 例3、如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌 融化了，会溢出杯子吗？（假设冰激凌融化前后体积不变）。 解：因为 V半球 = × π×43= π V圆锥 = Sh = πR2h = π×42×12 = 64π 所以 V半球 ＜ V圆锥 所以冰激凌融化了，不会溢出杯子。 4cm 12cm 同 步 练 习 练3、一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里所装的水深为8cm，将一个 钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm，求钢球的半径。 解：设钢球的半径为Rcm，根据题意，得 π×32×8 + πR3 =π×32×8.52 解得 R=1.5 所以钢球的半径为1.5cm. 8 8.5 典 例 引 路 例4、两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,则这两个 球的半径之差为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解：设两球半径分别为R1,R2,且R1>R2, 则4π（R12-R22)=48π , 2π(R1+R2)=12π 所以R1-R2=2. B 同 步 练 习 练4、一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2， 求球的表面积. 解：分两种情况： （1）当截面在球心的同侧时，如图所示，由截面性质知， AO1∥BO2，O1，O2为两截面圆的圆心，且OO1⊥AO1，OO2⊥BO2. ∵ π·O2B2＝49π， ∴ O2B＝7 cm. ∵ π·O1A2＝400π，∴ O1A＝20 cm. 设球的半径为R cm，OO1＝x cm，则OO2＝（x+9） cm. 在Rt△OO1A中，R2＝x2+202.① 在Rt△OO2B中，R2＝72+（x+9）2.② 联立①②，解得x＝15，R＝25. ∴ S球＝4πR2＝2500π（cm2）， 故球的表面积为2500π cm2. 同 步 练 习 练4、一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2， 求球的表面积. 解：（2）当截面在球心的两侧时，如图所示，由截面性质知， O1A∥ O2B，O1，O2分别为两截面圆的圆心，且OO1⊥AO1，OO2⊥BO2. ∵ π·O2B2＝49π， ∴ O2B＝7 cm. ∵ π·O1A2＝400π，∴ O1A＝20 cm. 设球的半径为R cm，OO1＝x cm，则OO2＝（9-x） cm. 在Rt△OO1A中，R2＝x2+400.③ 在Rt△OO2B中，R2＝（9-x）2+49.④ 联立③④，解得x＝-15，不合题意，舍去. 综上所述，球的表面积为2500π cm2. 学 习 新 知 球的直径等于球的内接长方体的体对角线长. 对于有关球的切接问题,先要认真分析条件,明确切点或接点的位置;然后正确抽象出其截面图,再分析相关元素间的数量关系进行求解. 一个几何体的所有顶点都在一个球面上，这个球称为该几何体的外接球。 球心到某几何体各面的距离相等且等于半径的球是该几何体的内切球。 外接球、内切球 注意：1、 2、 典 例 引 路 例5、设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,若其顶点都在一个球面上，则该 球的表面积为（ ） A. 3πa2 B. 6πa2 C. 12πa2 D. 24πa2 解：∵ 长方体的长、宽、高分别是2a,a,a ∴ 长方体的体对角线长为=a 又长方体的外接球的直径2R等于长方体的体对角线 ∴ 2R=a ∴ S球 = 4πR2 = 4π(a)2 = 6πa2 B 同 步 练 习 练5、若一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于(　　) A. 4 B. 8 C. 8 D. 8 解：设正方体棱长为x，球半径为R, 则 S球 = 4πR2 = 4π ∴ R=1 ∵ 正方体内接于球 ∴ x=2R=2 ∴ x = ∴ S正方体 = 6x2 = 6×()2 = 8 B 典 例 引 路 例6、已知圆锥SO的底面半径为2，其体积为 π，则该圆锥内切球（球与圆锥 的底面与侧面均相切）的表面积为（    ） A. π B. 4π C. 8π D. π 解：已知圆锥底面半径r=2，体积为V= π,设圆锥的高为h， 则 V = πr2h = π·22h = π ,解得 h = 设圆锥母线长为l，则 l== = 设圆锥内切球半径为R，轴截面图如下： 则 PA=PB=l= , PO=h= , AB=2r=4 ∴S△PAB=S△PA+S△PB+S△AB ,即 PO·AB=(PA+PB+AB)·R ∴R = = = 1 ∴该内切球的表面积为 S = 4πR2 = 4π． B P O A B O1 同 步 练 习 练6、一个圆柱的内切球的体积为36π，则圆柱的表面积为_________． 解:设内切球半径为R，由球的体积公式得 πR3 = 36π 解得R=3 ∵圆柱的内切球与圆柱的上下底面、侧面都相切， ∴圆柱底面半径 r = R = 3，圆柱的高 h = 2R = 6， ∴圆柱表面积为 S = 2πr2+2πrh = 2π×32+2π×3×6 = 18π+36π = 54π 同 步 练 习 全 课 总 结 S球 = 4πR2 V球= πR3 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 25 Lavf58.46.101 $