6.6.3 球的表面积和体积 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦球的表面积（S=4πR²）和体积（V=4/3πR³）公式，通过生活中球体实例（如细胞、储气罐刷漆）导入，从圆的截面类比猜想球的截面，借助祖暅原理和极限思想推导公式，搭建平面到空间的学习支架。 其亮点在于融合数学文化（祖暅原理、阿基米德成就）与思想方法，通过模型观察、分割探究培养数学眼光（抽象模型）和数学思维（推理推导），典例分析联系实际问题（如冰激凌体积比较），帮助学生提升空间想象与运算能力，为教师提供互动性强、层次分明的教学资源。

6.6.3 球的表面积和体积 学 习 目 标 1 2 3 掌握球的表面积公式 S=4π 和体积公式 V= 2. 能运用公式解决简单的计算问 3. 了解公式的推导思路（祖暅原理/积分思想） 1. 经历从实际问题抽象出数学模型的过程2. 体会”以直代曲”的极限思想3. 培养空间想象能力和运算求解能力 1. 感受数学与生活的密切联系2. 体会中国古代数学成就（祖暅原理），增强文化自信 新课引入 🌍 情境一 从微观的细胞、晶莹的露珠 ，到宏观的足球 、篮球 ，再到我们赖以生存的地球，球体是自然界和人类生活中最常见、最完美的几何形状之一。 新课引入 🌍 情境二 想象一下，如果我们要给一个巨大的球形储气罐刷上防锈漆，需要计算多大的面积？ 或者，想知道一个西瓜大概有多重，如何通过测量它的尺寸来估算它的体积？这些问题都指向了本节课的核心——如何计算球的表面积和体积。让我们一起揭开球体度量的奥秘。 互动探究 活动一：类比猜想 球的表面积和体积 我们学过，用一个平面去截一个圆，会得到一条弦。 那么，如果用一个平面去截一个球，截面会是什么图形呢？ 可以借助手中的篮球或地球仪进行模拟，然后分享猜想。 互动探究 圆柱与球的”巧合” 球的表面积和体积 材料：每组准备一个半球模型、一个底面半径和高都等于球半径的圆柱模型（无底） 任务： 1. 观察：半球的截面与圆柱挖去圆锥后的截面有什么关系？ 2. 猜想：半球体积与圆柱（挖去圆锥）体积有什么关系？ 根据祖暅原理，等高处截面积相等，则体积相等。 互动探究 体会极限思想 球的表面积和体积 类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积。如图，把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”。 当越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球半径。设是其中一个“小锥体”，它的体积。由于球的体积就是这个“小锥体”的体积之和，而这个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积。因此，球的体积。  构建体系 1. 球的截面与切线 球的表面积和体积 球的截面 定义： 用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面。 大圆： 截面经过球心时得到的圆。 小圆： 截面不经过球心时得到的圆。 核心性质： 球心与截面圆圆心的连线垂直于该截面。 球的半径 R、截面圆的半径 r 和球心到截面的距离 d 构成一个直角三角形，满足关系式：R² = r² + d²。 构建体系 1. 球的截面与切线 球的表面积和体积 球的切线 定义： 当一条直线与球有且仅有一个公共点时，称这条直线与球相切，该公共点称为切点。 核心性质： 过球外一点的所有切线长都相等。 设过点的直线与球相切于点，则平面与球面的交线是球的大圆(如图)，由直线与圆相切的性质可得，所以 。 设点在上的垂足为，则长度恒定不变 构建体系 2. 球的表面积与体积公式 球的表面积和体积 公式 表面积公式： = 4πR² 体积公式： = πR³ 体验： 已知一个球的体积为 36π，求该球的表面积。 解： 由 V = πR³ = 36π，解得 R = 3。 所以，该球的表面积 S = 4πR² = 4π × 3² = 36π。 典例分析 题型1 球的表面积和体积 例1 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出杯子吗？(假设冰激凌融化前后体积不变) 解：， ， ， 冰激凌融化了，不会溢出杯子。 典例分析 题型1 球的表面积和体积 例2: 一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里所装的水深为8cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm.求钢球的半径. 解如图，设钢球半径为 cm， 根据题意，得 ， 解得， 所以钢球的半径为1.5cm. 典例分析 题型2 球的截面 例3.已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=18，BC=24，AC=30，求球的半径。 解： ， 是直角三角形，。 球心在截面的投影为截面圆的圆心，即是的外接圆的圆心， 斜边为截面圆的直径。设，，则球的半径为，截面圆半径为，在中：由题设知 ， ，， 即 ①又 ，，代入①得 。 球的半径为。 由题设知， ，，即， ①又，，代入①得。 球的半径为。 典例分析 题型2 球的截面 例4.球心到过球面上A，B，C三点的截面的距离是球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球的体积为 A. B. C. D. 解：因为， 所以外接圆的半径. 设球的半径为， 则，所以， 所以球的体积. (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题. (2)解题时要注意借助球的半径R，截面圆的半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即. 典例分析 题型3 与球有关切接问题 球的切线：与圆和直线相切类似，当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点，过球外一点可以作无数多条球的切线。 几何体的外接球：球面经过多面体的所有顶点的球，叫做多面体的外接球；球面经过旋转体的底面圆周和顶点(如果有顶点的话)的球，叫做旋转体的外接球。 几何体的内切球：与多面体(旋转体)的各个面都相切的球，叫做多面体(旋转体)的内切球。 典例分析 题型3 与球有关切接问题 例5 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为 A. B. C. D. 解析： 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长相等，故可得球的直径为2，故球的半径为1，其体积是4/3×π×=。 长方体的共顶点的三个侧面面积分别为，则它的外接球表面积为9π。 典例分析 题型3 与球有关切接问题 例5 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为 A. B. C. D. 解析： 设长方体共顶点的三条棱长分别为，，， 则 解得 外接球半径为 ， 外接球表面积为 。 典例分析 题型3 与球有关切接问题 例6.在三棱锥A-BCD中，ABAC，ABAD，且AB=，AC=1，AD=，CD=2，求它的外接球的体积。 解析解析： 由，得。 又，， 可以以，，为棱补形为长方体，长方体的外接球即为三棱锥的外接球， 其半径为， 外接球的体积为。 常用结论 正方体的内切球：球的半径为（a为正方体的棱长）。 与正方体的各条棱相切的球：球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有（a为正方体的棱长）。 长方体的外接球：长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为 举一反三 1.一个长，宽，高分别为 3cm，4cm，5cm 的水槽中装有 40cm³ 的水，现放入一个半径为 的木球，若木球的三分之二在水中，三分之一在水面上时，水恰好不会从水槽中溢出（忽略木球吸水的影响），则木球的半径 等于（A） A. B. C. D. 解析： 由题意可知：长方体的体积为 ，球的体积为 ， 则 ，整理可得 ，所以 。 举一反三 2.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 √5，则圆锥的体积为（B） Aπ B. π C. π D. π 解析： 设圆柱和圆锥的底面半径为 ，高 ，因为圆柱和圆锥的侧面积相等， 所以 ，即 ，故 ，所以圆锥的体积为 。故选：B。 举一反三 3.将一个半径为 2 的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为 1 和 2，则它的高为（C） A. B. C. D. 解析： 球的体积为 ，设铁锭的高为 ，则正四棱台的体积为 ，由 ，可得 ，解得 。 举一反三 4.如图，在三棱锥 中， 平面 ，，，，则三棱锥 外接球的表面积为（D） A. B. C. D. 解析： 在 中，由 ， 及正弦定理，得 外接圆半径 ，在三棱锥 中，由 平面 ，得三棱锥 外接球球心在线段 的中垂面上，因此三棱锥 外接球球心到平面 的距离 ，所以三棱锥 外接球半径 该球的表面积 。 举一反三 5.一平面截一球得到直径为 6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是 4 cm，则该球的体积是 A. B. C. D. 解析： 如图，根据题意知，，， ， 故球的体积 。 学海拾贝 知识小结 本节课我们共同学习了球体的基本性质和度量方法。 核心公式： 我们掌握了计算球体表面积的 S = 4πR² 和体积的 V =πR³ 两个关键公式。 学海拾贝 关键思想和数学文化 将空间问题转化为平面直角三角形问题来求解。 我们了解了祖暅原理，感受到了中国古代数学家的卓越智慧。 学海拾贝 后续展望 📌 数学文化：阿基米德在《论球和圆柱》中证明了”球的体积是外切圆柱体积的 “，他对此极为自豪，要求将这一成果刻在他的墓碑上。 思考：如何用微积分严格推导球的表面积公式？ 阅读：查阅资料：了解阿基米德与球体积的故事 感谢聆听! 北师大（2019）高一必修二 $