6.6.2柱、锥、台的体积课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦柱、锥、台的体积计算，核心知识点包括柱体V=S底·h、锥体V=1/3S底·h、台体V=1/3(S上+√(S上S下)+S下)h及求积四法。课堂导入先回顾侧面积与表面积，再关联初中长方体等体积公式统一形式，以此为支架引出柱体公式，进而扩展到锥体、台体，明确柱锥是台体特例，构建连贯知识脉络。 其亮点在于通过胡夫金字塔、矩形卷圆柱等典例，结合数学眼光观察现实问题，数学思维推导公式逻辑联系（台体公式含柱锥特例），数学语言规范解题过程。采用“新知引入-学习新知-典例引路-同步练习”结构，帮助学生掌握公式应用与转化思想，教师可直接用于课堂教学提升效率。

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第六章 立体几何初步 第6节 简单几何体的再认识 6.2 柱、锥、台的体积 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、掌握柱、锥、台的体积计算公式． 2、会利用柱、锥、台的体积公式求有关几何体的体积． 1、会利用柱、锥、台的体积公式求有关几何体的体积． 1、掌握柱、锥、台的体积计算公式． 2 S直棱柱侧 = ____________ S正棱锥侧 = ____________ S正棱台侧 = ____________ 新 知 引 入 S圆柱侧 = ____________ S圆锥侧 = ____________ S圆台侧 = ____________ 表面积=_________+__________ 2πrl πrl π(r1+r2)l ch ch＇ (c+c＇)h＇ 1、侧面积与表面积 侧面积 底面积 新 知 引 入 a b c 2、在初中，我们学习了长方体、正方体、圆柱的体积公式： a a a V= ________ V= ________ V= ________ abc a3 πr2h V=ab·c V=a2·a V=πr2·h V=S底·h r h 学 习 新 知 柱体体积公式 r h h V柱体 = S底·h 注意：1、 2、 h 表示柱体的高. 直棱柱中高与侧棱长相等；圆柱中高与母线长相等. 学 习 新 知 h 锥体体积公式 h V锥体= S底·h 注意：1、 h 表示锥体的高. 学 习 新 知 h 台体体积公式 h V台体= （S上++S下）·h 注意：1、 2、 h 表示台体的高. S上，S下表示上底面面积、下底面面积. 学 习 新 知 V台体=（S上++S下）·h V柱体 = S底·h V锥体= S底·h S上=S下 S上=0 _______ _______ 柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例. 学 习 新 知 求几何体体积的四种常用方法 （1）公式法：规则几何体直接代入公式求解． （2）等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选 用底面积和高都易求的形式即可． （3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、 三棱柱补成四棱柱等． （4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 求几何体的体积的难点是求出几何体的高，要善于利用线、面的 位置关系求解． 对于棱锥体积的求解，当高不易求出时，要注意用换顶点法求解． 注意：1、 2、 典 例 引 路 例1、如图是一个水平放置的正三棱柱ABC－A1B1C1，D是棱BC的中点． 其中AD＝，AA1＝3，求正三棱柱ABC－A1B1C1的体积． 解：在正三棱柱中，AD＝，AA1＝3， 从而在等边三角形ABC中， AB ＝ ＝ ＝2， 所以正三棱柱的体积 V＝Sh ＝×BC×AD×AA1 ＝3. 同 步 练 习 练1、正三棱柱侧面的一条对角线长为2,且与该侧面的底边所成的角为45°, 则此三棱柱的体积为(　　) A. B. C. D. 解：如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1中， 面对角线 AB1=2 , ∠B1AB=45º, ∴ B1B = 2sin45º = ,AB = 2cos45º = ∴ V=S△ABC·B1B = ××sin60º× = A A B C A1 B1 C1 典 例 引 路 例2、把一张长为6、宽为4的矩形纸片卷成一个圆柱形,使其对边恰好重 合,所围圆柱的底面半径是多少?所得圆柱体积是多少? 解：(1)当以长为6的边长作为圆柱的高时， 所得底面半径为r1= ,此时体积为 V1 = Sh = πr12·h = π××6 = (2)当以宽为4的边长作为圆柱的高时， 所得底面半径为r2= ,此时体积 V2 = Sh = πr22h = π××4 = 同 步 练 习 练2、如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(　　 ) A．π B．2π C．4π D．8π 解：设圆柱的底面半径为r,则圆柱的母线长为2r, 依题意得 S圆柱侧 = 2πr×2r = 4πr2 = 4π ∴r=1 ∴V圆柱 = πr2×2r = 2πr3 = 2π B 典 例 引 路 例3、埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年，其形状为正四棱锥，塔高 约146.6m,底面边长约230.4m.求这座金字塔的侧面积（精确到0.1m2) 和体积（精确到0.1m3). A B C 解：如图，AC为高，BC为底面的边心距，则 AC=146.6,BC=115.2,底面周长c=4×230.4 S侧面积= ×c·AB = ×4×230.4× ≈85914.9(m2) V = S底·AC = ×230.42×146.6 ≈2594046.0（m3) 同 步 练 习 练3、如图，平行四边形ABCD中，AB=2AD=2，∠BAD= ,E是边AB的中点， 将△ADE沿直线DE折起，构成如图所示的四棱锥A＇-BCDE，则四棱锥 A＇-BCDE体积的最大值为__________. 解:由题意，当平面A＇DE⊥平面BCDE时，四棱锥A＇-BCDE的体积最大， ∵ ∠BAD= , AE=AD=1 ∴△ADE为等边三角形， ∴ 等边三角形△ADE的高为 , ∴ 四棱锥A＇-BCDE的高最长为 , ∴ 体积的最大值 V = ×× = 典 例 引 路 例4、如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点， F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积． 解：由题可知V-EF = VF-E ∵S△E = EA1·A1D1 = a2 又三棱锥F-A1D1E的高为CD=a ∴VF-E = ×a×a2 = a3 ∴V-EF = a3 同 步 练 习 练4、四棱锥 中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形， ，点E为棱CD上一点， 则三棱锥 的体积为___________。 解： 典 例 引 路 例5、若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为　　.  解：设该圆锥的底面半径为r，母线长为 m，高为 h. ∵ 半圆面的面积为 πm2=2π ∴ m=2,即圆锥的母线长 m =2 ∴ 底面圆的周长2πr=πm=2π, ∴ 圆锥的底面半径 r = 1, ∴ 圆锥的高 h== ∴ 该圆锥的体积V = πr2h = π×12× = π 同 步 练 习 练5、如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出 发，绕圆锥面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路 程为2,则这个圆锥的体 积为（     ） A. B. C. D. 解：把圆锥沿过P点的母线剪开摊平为扇形SPQ，如图， 由已知 SP=SQ=2，PQ=2, ∴cos∠PSQ = = - ,∠PSQ = 设圆锥底面半径为r，则 = = ,r= ∴ 圆锥的高为 h== = ∴ 圆锥体积为 V = πr2h = π×()2× = A 典 例 引 路 例6、已知一正四棱台的上底边长为4cm,下底边长为8cm,高为3cm.求其体积。 解：V = (S上+S下+）h = ×(42+82+)×3 = 112(cm2) 同 步 练 习 练6、已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为　　.  解：S上=6，S下=24 V = (S上+S下+）h = ×(6+24+12)×2 = 28 典 例 引 路 例7、一圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，若母线与底面的夹角为 60º，则该圆台的体积为（      ） A. π B.π C.π D.π 解:已知圆台的上底面半径为1，即r=1，下底面半径为2，即R=2， 母线与底面的夹角为60º， 由于圆台的轴截面为等腰梯形，如图所示，由题意得， AB=2 , CD=4 , ∠ADC=60º， 因此圆台的高 h =·tan60º = × = 由圆台的体积公式得 V = πh·(R2+Rr+r2) = ×π××(22+2×1+12) = π D 同 步 练 习 练7、圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆 心角为180°,那么该圆台的表面积和体积分别是多少?(结果中保留π) 解：如图所示,设圆台的上底面周长为c, ∵扇环的圆心角是180°,∴c=π·SA=2π×10,∴SA=20, 同理可得SB=40, ∴AB=SB-SA=20, ∴S表面积=S侧+S上+S下=π(10+20)×20+π×102+π×202=1 100π(cm2). 故圆台的表面积为1100π cm2. 设圆台的高为h,上底面半径r1=10 cm,下底面半径r2=20 cm, ∴h===10 ∴V=πh(r12+r1r2+r22)=π×10×(102+10×20+202)= (cm3) 即圆台的体积是。 同 步 练 习 全 课 总 结 V柱体 = S底·h V锥体= S底·h V台体= （S上++S下）·h THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 25 $