6.6.2 柱、锥、台的体积 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦柱、锥、台的体积公式，通过祖暅原理历史情境引入，结合实验探究（等底等高圆柱圆锥装沙）和公式关系推导（台体变柱体、锥体），构建从原理到公式的学习支架，帮助学生理解知识脉络。 其亮点在于融合数学眼光（历史情境与实验观察）、数学思维（公式转化与逻辑推导）和数学语言（典例与方法小结），如等体积法求三棱锥体积、割补法解决不规则几何体。学生能深化公式联系，培养探究能力，教师可依托系统资源提升教学效率。

6.6.2 柱、锥、台的体积 学 习 目 标 1 2 掌握柱体（棱柱、圆柱）的体积公式：V=Sh（S为底面积，h为高），并能灵活运用 掌握锥体（棱锥、圆锥）的体积公式：V= Sh，理解其与柱体体积的关系 掌握台体（棱台、圆台）的体积公式：，并能进行相关计算 理解柱、锥、台体积公式之间的内在联系，体会”特殊与一般”的数学思想 新课引入 🏭情境二：历史情境引入 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”——南北朝数学家祖暅 意思是：两个几何体如果被平行于底面的任意平面所截得的截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 祖暅利用这一原理推导球的体积公式，同时也适用于柱体体积的推导。 互动探究 互动一：实验探究——锥体体积为什么是柱体的 ？ 分组实验： 每组准备：等底等高的圆柱容器和圆锥容器各一个、细沙（或水） 操作步骤： 1. 用圆锥容器装满细沙 2. 倒入圆柱容器中 3. 记录需要倒几次才能装满圆柱 实验次数 圆锥体积 圆柱体积 比值 1 2 3 结论： 结论：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的 。 这个实验结果对棱锥和棱柱是否也成立？ 互动探究 互动二：公式关系探究——柱、锥、台的”一家人” 思考： 当台体的上底面 S'=S 时，台体变成什么？体积公式变成什么？ 当台体的上底面 S'=0 时，台体变成什么？体积公式变成什么？ 推导： 台体体积公式： 当 时（上底=下底）： ✓ 台体 → 柱体 当 时（上底缩为点）： ✓ 台体 → 锥体 构建体系 柱锥台的体积 知识点一：柱体体积 公式：=Sh 分类 内容详情 推导思路 依据祖暅原理：等高的两个几何体，若所有等高处截面面积恒相等，则体积相等 2. 任取柱体，构造同底面积S、同高h的长方体3. 柱体与长方体任意等高处截面面积均等于底面积S，截面面积处处相等 4. 二者体积相等，即：==Sh 适用范围 棱柱、圆柱等一切直/斜柱体通用 构建体系 柱锥台的体积 知识点二：锥体体积 公式： 序号 推导方法 详细推导步骤 核心结论 1 实验法 已在互动中完成 可通过实验验证三棱锥体积与对应棱柱的体积关系 2 分割法 一个三棱柱可以分割成三个等体积的三棱锥； 2. 三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 可分割为： ① 三棱锥 A₁-ABC ② 三棱锥 A₁-BCC₁ ③ 三棱锥 A₁-AB₁C₁ 3. 可证明三个三棱锥等底等高，体积相等 = = Sh 构建体系 柱锥台的体积 知识点三：台体体积 公式：= 序号 推导方法 详细推导步骤 核心结论 1 补形法 1. 将圆台补成完整的圆锥；2. 设圆台上底面半径为 r，下底面半径为 R，高为 h；3. 设补上的小圆锥高为 h₁，则大圆锥高为 h₁+h；4. 由圆锥相似性： =，解得 h₁ = ；5. 圆台体积 = 大圆锥体积 - 小圆锥体积，即： = - = πR²(h₁+h) - πr²h₁；6. 代入h₁化简后得到最终公式。 V = 2 直接公式法 1. 对于一般台体，存在通用体积计算公式；2. 设台体上底面面积为 S’，下底面面积为 S，高为 h；3. 直接代入通用台体体积公式计算。 V = 典例分析 类型一　柱锥台的体积 例1 .埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年，其形状为正四棱锥。塔高约146.6m，底面边长约230.4m。求这座金字塔的侧面积（精确到0.1 ）和体积（精确到0.1 ）。 解：如图，AC为高，BC为底面的边心距，则AC=146.6 ，BC=115.2 ，底面周长c=4×230.4 。 = c⋅AB =,v= 因此，金字塔的侧面积约为85914.9 ，体积约为2594046.0 。 典例分析 类型一　柱锥台的体积 例2 .已知一正四棱台的上底边长为4cm，下底边长为8cm，高为3cm.求其体积. 解： 因此正四棱台的体积为. 典例分析 类型一　柱锥台的体积 例3 .已知高为3的直棱柱ABC-的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥-ABC的体积为（ ） A.　　 B.　　 C.　 D. 解： 1. 先求底面正三角形 △ABC 的面积： == 2. 三棱锥 的高等于直棱柱的高 h=3，代入三棱锥体积公式：= 答案：，对应选项 D 典例分析 类型一　柱锥台的体积 例4 . (1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是 A. B. C.288π D. 解析： 当圆柱的高为8 cm时，V=×8= ； 当圆柱的高为12 cm时，V=π。 典例分析 类型一　柱锥台的体积 例4 . (2)已知圆台的上、下底面半径和高的比为1:4:4，母线长为10，则圆台的体积为224π。 解析： 设上底面半径为r，下底面半径为R=4r，高为h=4r。 ∵母线长为10， ∴， 解得r=2。 ∴下底面半径R=8，高h=8， ∴=224π。 典例分析 类型一　柱锥台的体积 例5 .已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为 π B.3 π C.6 π D.9 π 解析：设圆柱的底面半径为r， 则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等， 所以2πr×=πr×， 即2=，故r=3， 故圆锥的体积为 π×9×=3 π。 典例分析 类型二　利用体积关系求体积 例6 .如图，已知ABCD-是棱长为a的正方体，E为A的中点，F为C上一点，求三棱锥- EF的体积。 解析： 由题意可知=， ∵=， 又三棱锥F-的高为CD=a， ∴==， ∴=。 典例分析 类型二　利用体积关系求体积 例7 .本例中条件改为点F为C的中点，其他条件不变，如图，求四棱锥-EBF的体积。 解析：解： 因为EB=BF=F= E==， F∥EB， 所以四边形EBF是菱形。 则△EFB△FE。 因为三棱锥-EFB与三棱锥-FE的高相等， 所以=2=2。 又因为= E⋅AB= ， 所以= ， 所以=2= 。 方法小结 等体积法是针对当所给几何体的体积不能直接套用公式或涉及的某一量（底面积或高）不易求解时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算，该方法尤其适用于三棱锥的体积。 典例分析 类型三　割补法求体积 例8 .如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF=2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积。 解： 如图，连接，，。 。 ，， 。 。 多面体的体积。 典例分析 类型三　割补法求体积 例9 .如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，DB⟂平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5。则此几何体的体积为▁ 。 解用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使，所以。 19 方法小结 对于给出的一个不规则的几何体求其体积时，不能直接套用公式，常常需要通过“割”或“补”化复杂图形为已熟知的简单几何体，并作体积的加、减法，从而较快地找到解决问题的突破口。 举一反三 设三棱锥的高为， 则。 1.已知高为3的三棱柱ABC-的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥-ABC的体积为 A. B. C. D. 21 举一反三 绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，体积相等的圆锥，如图所示。每一个圆锥的底面半径和高都为√2， 故所求几何体的体积V= 2.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积为 A. B. C. π D. π 22 举一反三 设上底面半径为，则由题意求得下底面半径为，设圆台高为， 则， 。 令原圆锥的高为， 由相似知识得，， 。 3.已知体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是 A.54 B.54π C.58 D.58π 23 举一反三 [解析] （1）设BD的中点为O，连接OA,OC，∵A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，∴OA⟂平面BCD.∵BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC,ACD∴ 在△AOC中，OC=1，∠ACO=，AC=2，AO=， ∴=πrl==2π . 4.已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示. （1）求原来圆锥的侧面积； （2）求该几何体的体积. 24 举一反三 （2）易知该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体. ，，，， 该几何体的体积 . 4.已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示. （1）求原来圆锥的侧面积； （2）求该几何体的体积. 25 举一反三 [解析] ，为的中点，。 又，， 平面， 平面。，。为的中点，，。  5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PBC为正三角形，M，N分别为PD，BC的中点，PN⟂AB。求三棱锥P-AMN的体积。 26 学海拾贝 📌 知识网络 几何体 体积公式 关键点 柱体 底面积×高 锥体 因子 台体 统一形式 学海拾贝 📌 核心思想 数学思想： - 类比与转化（柱→锥→台） - 补形法（台体补成锥体） - 祖暅原理（体积推导的基础） 口诀助记： 柱体体积底乘高， 锥体三分再乘高， 台体上下加根号， 三分之一高乘好。 感谢聆听! 北师大（2019）高一必修二 $