第三节　第1课时 平面向量的数量积 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量的数量积及其应用”专题，依据高考评价体系梳理了数量积概念、性质运算、投影向量及模、夹角、垂直关系三大应用维度，通过近五年高考真题分析明确“数量积计算”“向量夹角”“垂直判定”等高频考点占比，归纳坐标法、极化恒等式等常考题型解法。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+素养提升”，如以2023全国甲卷向量夹角题为例，示范“定义法+坐标法”双解法，培养数学思维与运算能力，通过“易错警示”强调数量积运算律误区，助力学生掌握得分技巧，教师可依托体系化考点梳理与分层训练设计，实现高效复习指导。

第三节 第五章　平面向量与复数 平面向量的数量积及其应用 【目标要求】　1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.5.能用坐标表示平面向量垂直. 6.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用. 1.平面向量数量积的有关概念 (1)向量的夹角:已知两个非零向量a和b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. (2)数量积的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量________________叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b= _______________.规定:零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0. |a||b|cos θ |a||b|cos θ (3)投影向量 如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则_____________就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则与e,a,θ之间的关系为=|a|cos θe. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角. (1)数量积:a·b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2. (2)模:|a|==. (3)夹角:cos θ==. (4)两非零向量a⊥b的充要条件:a·b=0⇔x1x2+y1y2=0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2+y1y2|≤ . 3.平面向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a(交换律). (2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 4.平面几何中的向量方法 三步曲:(1)用向量表示问题中的几何元素,将几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 1.数量积运算律要准确理解、应用,例如,a·b=a·c(a≠0)不能得出b=c,两边不能约去一个向量. 2.数量积不满足乘法结合律,即一般情况下,(a·b)c≠a(b·c). 3.当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|,特别地,a·a=a2=|a|2或|a|=. 4.有关向量夹角的两个结论 (1)两个向量a与b的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立(因为a与b的夹角为0时也有a·b>0). (2)两个向量a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(因为a与b的夹角为π时也有a·b<0). 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)两个向量的夹角的范围是.(　　) (2)向量a与b的夹角为θ,a在b上的投影向量为(|a|cos θ).(　　) (3)若a2+b2=0,则a=b=0.(　　) (4)若a·b=a·c(a≠0),则b=c.(　　) 2.(人A必二P60T8改编)已知向量m=(2x,1)与向量n=垂直,则x= (　　) A. B.- C. D.- 因为m=(2x,1)与n=垂直,所以m·n=(2x,1)·=x-=0,即x=. 解析 3.(人A必二P24T18改编)已知|a|=5,|b|=,a·b=5,则a与b的夹角θ为 (　　) A.45° B.135° C.-45° D.30° 由题意得cos θ==,又因为0°≤θ≤180°,所以θ=45°.故选A. 解析 4.(人A必二P24习题21题改编)如图,在边长为2的正方形ABCD中,M是CD的中点.则在上的投影向量为(　　) A. B. C. D. 由题意知||=2,||=.由于=,所以∠MBC即为的夹角.易求得cos∠MBC=.所以上的投影向量为||cos∠MBC·=2××=.故选D. 解析 5.(人A必二P23T11改编)已知平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1, 则|a+2b|=_____________. 由题知,|a|=2,则|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a·b=4+4×1+4×2×1×cos 60° =12,所以|a+2b|=2. 解析 2 第1课时　平面向量的数量积 第三节 考向❶ 数量积的计算 【例1】　(1)(2025·八省联考)已知向量a=(0,1),b=(1,0),则a·(a-b)= (　　) A.2 B.1 C.0 D.-1 考点一 平面向量数量积的运算 由已知得,a·(a-b)=(0,1)·(-1,1)=1. 解析 (2)(2025·天津高考)△ABC中,D为AB中点,=,=a,=b,则=_____________(用a,b表示);若||=5,AE⊥CB,则=_____________. =+=+=+(-)=+=a+b.因为||=5,所以25=,即900=a2+16b2+8a·b　①,又=b-a, 解析 a+b -15 因为⊥,所以=0,即·(b-a)=0,得4b2-a2-3a·b=0　②,由①②得2 700=80b2-5a2,所以16b2-a2=540,所以==(a2-8b2+2a·b)=[a2-8b2+(4b2-a2)]=(a2-16b2)=×(-540)=-15. 解析 计算平面向量数量积的主要方法 1.定义法:若向量的模与夹角已知或能求,可直接根据数量积的定义求得. 2.分解法:若两个向量的模、夹角未知或不易直接求得,可选择一个基底(模和夹角已知或能求),将两个向量用这个基底分解表示,然后结合数量积的运算律展开求解. 3.坐标法:若问题所涉及的平面图形适合建立平面直角坐标系,则可建立坐标系,写出有关点的坐标,得到向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算法则进行求解. 考向❷ 投影向量 【例2】　(1)已知向量|a|=3,|b|=5,设a与b的夹角为60°,则b在a上的投影向量为(　　) A.-a B.a C.a D.-a 由题意知,b在a上的投影向量为·a=a=a=a. 解析 (2)(2026·杭州模拟)已知向量a=(-1,1),b=(2,0),向量a在向量b上的投影向量c等于(　　) A.(-2,0) B.(2,0) C.(-1,0) D.(1,0) 因为向量a=(-1,1),b=(2,0),所以向量a在向量b上的投影向量c=·b=(-1,0). 解析 求投影向量的方法 1.利用公式:向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos<a,b>·. 2.利用公式的两种变形:=b. 【题组对点练】 题号 1 2 考向 ❶ ❷ (1)(2026·湖北十一校联考)已知向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,则a·(a+b)= (　　) A.a2 B.b2 C.(a+b)2 D.(a-b)2 由题知|a|2=|b|2=|a-b|2,所以|b|2=|a|2+|b|2-2a·b,即a·b=|a|2,所以a·(a+b)=a2+a·b=|a|2,而(a+b)2=a2+b2+a·b=a2=|a|2,故选C. 解析 (2)已知平面向量a=(-4,2),b=(m,-2),若b在a上的投影向量为-a,则m=_____________. 因为a·b=-4×m+2×(-2)=-4m-4,|a|==2,b在a上的投影向量为==-a=-a,所以-=-,解得m=. 解析 考向❶ 向量的模 【例3】　(2025·全国二卷)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=__________. 考点二 平面向量数量积的性质应用 a-b=(1,1-2x),因为a⊥(a-b),则a·(a-b)=0,则x+1-2x=0,解得x=1.则a=(1,1),则|a|=. 解析 利用数量积求解长度(模)问题的处理方法 1.a2=a·a=|a|2或|a|=. 2.|a±b|==. 3.若a=(x,y),则|a|=. 考向❷ 夹角问题 【例4】　(1)(2023·全国甲卷)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos<a-c,b-c>=(　　) A.- B.- C. D. 因为向量|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,所以c=-a-b,等式两边同时平方得c2=a2+b2+2a·b,即2=1+1+2a·b,解得a·b=0. 解析 解法一:a-c=a-(-a-b)=2a+b,b-c=b-(-a-b)=a+2b,所以(a-c)·(b-c)=(2a+ b)·(a+2b)=2a2+5a·b+2b2=4,且|a-c|=|2a+b|=== ,|b-c|=|a+2b|===,所以cos<a-c,b-c>==. 解析 解法二:如图,令向量a,b的起点均为O,终点分别为A,B,以,分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则a=(1,0),b=(0,1),c=-a-b=(-1,-1),所以a-c= (2,1),b-c=(1,2),则cos<a-c,b-c>=== . 解析 (2)已知向量a=(5,5),b=(λ,1),若a+b与a-b的夹角是锐角,则实数λ的取值范围为_______________. 由题意得(a+b)·(a-b)>0,即a2-b2>0,52+52>λ2+12,所以-7<λ<7,若a+b=k(a-b)(k>0),则所以λ的取值范围是(-7,1)∪(1,7). 解析 (-7,1)∪(1,7) 求平面向量的夹角的方法 1.定义法:利用向量数量积的定义得,cos<a,b>=,其中两向量的夹角<a,b>的取值范围为[0,π]. 2.坐标法:若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos<a,b>=. 考向❸ 垂直问题 【例5】　(2026·重庆模拟)已知向量a=(m,1),b=(0,3),且a⊥(a-b),则m=(　　) A. B.2 C.± D.±2 因为a=(m,1),b=(0,3),所以|a|=,a·b=m×0+1×3=3.因为a⊥(a-b),所以a·(a-b)=0,即a2-a·b=m2+1-3=0,解得m=±. 解析 1.当向量a与b是坐标形式,即a=(x1,y1),b=(x2,y2)时,若要证明a⊥b,则只需证明a·b=0,即证明x1x2+y1y2=0. 2.当向量a,b是非坐标形式时,要把a,b用已知的不共线向量作为基底来表示,且要知道不共线的向量的模与夹角,进行运算证明a·b=0. 【题组对点练】 题号 1 2 3 考向 ❶ ❷ ❸ (1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=(　　) A. B. C. D.1 由(b-2a)⊥b,得(b-2a)·b=b2-2a·b=0,所以b2=2a·b.将|a+2b|=2的两边同时平方,得a2+4a·b+4b2=4,即1+2b2+4b2=1+6|b|2=4,解得|b|2=,所以|b|=,故选B. 解析 (2)已知a,b为单位向量,且|3a-5b|=7,则a与a-b的夹角为(　　) A. B. C. D. 因为a,b为单位向量,且|3a-5b|=7,所以(3a-5b)2=49⇔9a2-30a·b+25b2 =49,即9-30a·b+25=49⇒a·b=-,设a与a-b的夹角为θ,则cos θ= ===,又θ∈[0,π],所以θ=.故选C. 解析 (3)在四边形ABCD中,=(3,-1),=(2,m),⊥,则该四边形的面积是_____________. 由=(3,-1),=(2,m),⊥,可得=3×2+(-1)×m=0,解得m=6,所以四边形的面积为||·||=×× =10. 解析 10 极化恒等式 [证明过程]:如图,设=a,=b,则=a+b,= a-b. ||2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2,||2=(a-b)2=|a|2-2a·b+|b|2, 两式相减得a·b=[(a+b)2-(a-b)2],此即极化恒等式. [几何意义]:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的. [微提醒]:当问题中出现共起点的两个向量,之和或数量积时,取BC的中点D,然后使用极化恒等式+=2,=|AD|2-|DB|2解决问题. 【典例】　(1)在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则=_____________. -16 如图,因为M是BC的中点,由极化恒等式得=|AM|2-||2=9-×100=-16. 解析 (2)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是(　　) A.-2　　 B.-　　 C.-　　 D.-1 如图所示,设BC的中点为D,AD的中点为M,连接DP,PM,所以·(+)=2=2||2-||2=2||2-≥-.当且仅当M与P重合时取等号. 解析 【微练】　(1)如图,在三角形ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,=4,=-1,则值为________. 设=a,=b,=||2-||2=9b2-a2=4,=||2-||2=b2-a2=-1,解得b2=,a2=,所以=||2-||2=4b2-a2=. 解析 (2)已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O,点P是圆O上的一个动点,则的取值范围是_____________. [-2,6] 取AB的中点D,连接CD,PD,因为△ABC为正三角形,所以O为△ABC的重心,O在CD上,且OC=2OD=2,所以CD=3,AB=2.又由极化恒等式得=||2-||2=||2-3,因为P在圆O上,所以当P在点C处时, ||max=3,当P在CO的延长线与圆O的交点处时, ||min=1,所以∈[-2,6]. 解析 1.(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则(　　) A.x=-3是a⊥b的必要条件 B.x=1+是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.x=-1+是a∥b的充分条件 a⊥b⇔x2+x+2x=0⇔x=0或x=-3,所以x=-3是a⊥b的充分条件,x=0是a⊥b的充分条件,故A错误,C正确.a∥b⇔2x+2=x2⇔x2-2x-2=0⇔x=1 ±,故B,D错误.故选C. 解析 2.(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|=_________. 由|a+b|=|2a-b|,得a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,即a2=2a·b,则由|a-b|=,得a2-2a·b+b2=b2=3,所以|b|=. 解析 3.(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则=(　　) A. B. 3 C.2 D. 5 解法一:以{,}为基底,可知||=||=2,=0,则=+=+,=+=-+,所以==-+=-1+4=3.故选B. 解析 解法二:如图,以A为坐标原点建立平面直角坐标系, 则E(1,0),C(2,2),D(0,2),可得=(1,2),=(-1,2),所 以=-1+4=3.故选B. 解法三:由题意可得ED=EC=,CD=2,在△CDE中, 由余弦定理可得cos∠DEC===,所以= ||||cos∠DEC=××=3.故选B. 解析 $