平面向量的数量积 课件-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量的数量积”专题，依据课标要求和高考评价体系，梳理了定义运算、模长夹角、垂直应用、投影问题、知识融合五大核心考点，通过分析近五年真题明确高频题型分布，构建了系统的备考框架。 课件亮点在于“真题精讲+方法建模+素养提升”策略，如结合2023全国乙卷真题，用数学思维中的运算能力和推理意识，通过“平方转化法”“坐标法”突破模长计算，培养学生用数学语言表达问题的能力。特设易错点警示和命题趋势分析，助力学生高效得分，为教师提供精准复习指导。

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 第3节　平面向量的数量积 返回目录 目录 1 2 3 基础满分练 课前 自检自测·夯基固本 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第3节　平面向量的数量积 基础 满分练 课前 自检自测·夯基固本 五个高考关键点 关键点1 平面向量数量积的定义与直接运算 1.等边三角形ABC中,的夹角为(　　)[命题点❶] A.60° B.-60° C.120° D.150° C 解析:延长AB到D,则∠CBD为的夹角,所以的夹角为120°. 故选C. 返回目录 2.已知向量a与b的夹角为60°,其中|a|=3,|b|=2,则a·b=(　　)[命题点❷] A.6 B.5 C.3 D.2 C 解析:a·b=|a||b|cos 60°=3×2=3.故选C. 返回目录 3.已知向量m=(3,1),n=(1,1),则m·(m-n)=(　　)[命题点❹❺] A.3 B.4 C.5 D.6 D 解析:由m=(3,1),n=(1,1),可得m-n=(2,0), 则m·(m-n)=3×2+1×0=6. 故选D. 返回目录 关键点2 平面向量的模长与夹角问题 4.已知向量a=(2,1),b=(1,2),则|a-b|=(　　)[命题点❺] A. B. C.2 D. A 解析:|a-b|=|(2,1)-(1,2)|=|(1,-1)|=故选A. 返回目录 5.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且|2b-a|=,则cos<a,b>=(　　) [命题点❺] A. B. C. D. C 解析:因为平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且|2b-a|=,所以|2b-a|2 =4|b|2+|a|2-2×2b·a=4×22+1-4|b||a|cos<a,b>=17-8cos<a,b>=15,所以cos<a,b>=故选C. 返回目录 关键点3 平面向量垂直的应用 6.已知向量a=(3,-4),b=(x,1),若a⊥b,则实数x=(　　)[命题点❺] A. B. C.- D.- B 解析:由a⊥b,则a·b=3x-4=0,解得x=故选B. 返回目录 7.已知△ABC的三个顶点为A(-1,-4),B(5,2),C(3,4),则△ABC是(　　) [命题点❺] A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 B 解析:由已知,=(6,6),=(-2,2),所以=6×(-2)+6×2=0,即AB⊥BC,所以△ABC是直角三角形.故选B. 返回目录 关键点4 数量积的几何意义与投影问题 8.已知|a|=6,|b|=8,a与b的夹角为60°,则向量b在a方向上的投影数量为(　　)[命题点❸] A.4 B.-4 C.2 D.-2 A 解析:因为向量|a|=6,|b|=8,a与b的夹角为60°,所以向量b在a方向上的投影数量为=|b|cos 60°=8=4.故选A. 返回目录 9.已知|a|=2,b在a上的投影为,则a·b=(　　)[命题点❸] A. B.- C. D.- C 解析:因为|a|=2,b在a上的投影为,可得, 所以a·b=|a|=2= 故选C. 返回目录 关键点4 数量积与其他知识的融合 10. (人教A版必修第二册教材习题改编)如图,在☉C中,弦AB的长度为4,则=　　　　.[命题点❷❺] 8 解析:取AB的中点M,连接CM(图略),则CM⊥AB,, 所以=||||cos∠BAC=||||=|2=8. 返回目录 回归教材•考教衔接 1.向量的夹角[❶] 已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. 求向量夹角时,一定要将两向量移到同一起点,注意夹角的范围 2.平面向量的数量积[❷] 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积,记作a·b. 返回目录 3.平面向量数量积的几何意义[❸] 设a,b是两个非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,=a,=b,过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,我们称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cos θe. 注意区分投影、投影向量、投影向量的数量 返回目录 4.向量数量积的运算律[❹] (1)a·b=b·a. (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R). (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 返回目录 5.平面向量数量积的性质及其坐标表示[❺] 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角. (1)数量积:a·b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2. (2)模:|a|=. (3)夹角:cos θ=. (4)两非零向量a⊥b的充要条件:a·b=0⇔x1x2+y1y2=0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2+y1y2|≤. 返回目录 6.有关向量夹角的两个结论 (1)两个向量a与b的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立(因为夹角为0时不成立); (2)两个向量a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(因为夹角为π时不成立). 返回目录 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　平面向量的数量积运算 命题视角:基于定义结合模角运算、依托坐标进行代数转化、融合几何图形反映其性质. 例1 (1)(2025·广东广州期中)若|m|=4,|n|=6,m与n的夹角为,则m·n=(　　) A.12 B.12 C.-12 D.-12 D 解析:因为|m|=4,|n|=6,m与n的夹角为, 则m·n=4×6×(-)=-12.故选D. 返回目录 考点1 考点2 (2)(一题多解)(2023·全国乙,文6)已知正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,则=(　　) A. B.3 C.2 D.5 B 解析: (方法1)由题可知||=||=2,=0, 则=()·()=()·(-) =-=-1+4=3. 返回目录 考点1 考点2 (方法2)因为E是AB的中点,所以ED=EC= 在△DCE中,由余弦定理,得cos∠DEC=, 所以=||||cos∠DEC==3. (方法3)以点A为原点建立如图所示平面直角坐标系,则D(0,2),C(2,2),E(1,0), 则=(1,2),=(-1,2), 所以=1×(-1)+2×2=3. 故选B. 返回目录 考点1 考点2 对点训练1 (1)(2025·八省适应性测试,4)已知向量a=(0,1),b=(1,0),则 a·(a-b)=(　　) A.2 B.1 C.0 D.-1 B 解析:因为a=(0,1),b=(1,0),所以a-b=(-1,1),所以a·(a-b)=0×(-1)+1×1=1.故选B. 返回目录 考点1 考点2 (2)(一题多解)如图,在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB,AD向外分别作正方形ABEF,ADMN,其中AB=2,AD=1,∠BAD=,则=　　　.  0 返回目录 考点1 考点2 解析: (方法1)=()·()==0+||||cos +||||cos +0=-=0. (方法2)建立平面直角坐标系,如图,则A(0,2),C(2+,2+),N(-,2+), F(0,0),则=(2+),=(-,2+),则=-=0. 返回目录 考点1 考点2 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 方法导引 定义(模角余弦积)与坐标(坐标积之和)双轨并行,关注夹角范围,联动模长与几何性质. 能力要语 具备双轨运算转换、几何代数融合能力,把控夹角范围与特殊条件,确保运算精准. 返回目录 考点1 考点2 考点2　平面向量的数量积应用 角度 1 向量的模 命题视角:直接运算、复合向量模的转化及与几何量的关联考查. 例2 (1)(2026·广东深圳开学考试)已知向量a与b的夹角为60°, |a|=1,|a+b|=,则|b|的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 A 解析:由题意,因为|a+b|=,所以|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=1+|b|2+2|b| =|b|2+|b|+1=3,所以|b|2+|b|-2=(|b|+2)(|b|-1)=0.又|b|>0,所以|b|=1.故选A. 返回目录 考点1 考点2 (2)(2025·青海海东三模)已知向量a=(m,1),b=(2,1),若a+b与b垂直,则|a|=(　　) A. B.2 C.3 D.2 A 解析:向量a=(m,1),b=(2,1),则a+b=(m+2,2),又a+b与b垂直,则(a+b)·b=2(m+2)+2=0,解得m=-3,则a=(-3,1),所以|a|=故选A. 返回目录 考点1 考点2 对点训练2 (1)(一题多解)(2025·广东惠州模拟)已知向量a,b满足|a|=4,|b|=2,a与b的夹角为,则|a-b|=(　　) A.2 B.4 C.2 D.2 C 解析: (方法1)|a-b|2=a2+b2-2a·b=16+4-2×4×2=12,即|a-b|=2 (方法2)由向量减法的几何意义和已知条件易知,如图, 若a=,AC=4,b=,AB=2,∠A=60°,则∠B=90°, a-b=,故|a-b|==2故选C. 返回目录 考点1 考点2 (2)(2025·广东深圳期中)已知a=(3,4),b=(t,1),(a-b)⊥a,则|b|=(　　) A.50 B.5 C.2 D.3 B 解析:由a=(3,4),b=(t,1),可得|a|=5且a·b=3t+4,因为(a-b)⊥a,可得(a-b)·a=a2-a·b=25-(3t+4)=0,解得t=7,所以b=(7,1),则|b|==5故选B. 返回目录 考点1 考点2 角度 2 向量的夹角 命题视角:直接计算、条件限制、几何背景关联、动态变化分析及综合应用. 例3 (1)(2023·全国甲,理4)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos<a-c,b-c>=(　　) A.- B.- C. D. D 返回目录 考点1 考点2 解析:由a+b+c=0,得a+b=-c,所以(a+b)2=a2+b2+2a·b=c2,即|a|2+|b|2+2|a||b|cos<a,b>=|c|2. 又|a|=|b|=1,|c|=,所以2+2cos<a,b>=2,解得cos<a,b>=0,则<a,b>= 不妨设a=(1,0),b=(0,1). 因为a+b+c=0,所以c=(-1,-1),所以a-c=(2,1),b-c=(1,2), 所以cos<a-c,b-c>=故选D. 返回目录 考点1 考点2 (2)(2025·重庆万州期中)已知向量a=(-1,m),b=(-4,2),若向量a,b的夹角是锐角,则m的取值范围是(　　) A.(-2,+∞) B. (-,+∞) C. (-2,)∪(,+∞) D. (-2,-)∪(-,+∞) C 返回目录 考点1 考点2 解析:因为a=(-1,m),b=(-4,2),所以a·b=4+2m. 因为向量a,b的夹角是锐角,所以解得m>-2且m,所以m的取值范围是(-2,)∪(,+∞).故选C. 返回目录 考点1 考点2 对点训练3 (1)已知a,b,c均为单位向量,且满足3a+4b+5c=0,则cos<a-b,c> =(　　) A. B. C. D. B 解析:由3a+4b+5c=0,得3a+4b=-5c,则9a2+24a·b+16b2=25c2,所以a·b=0. 由3a+4b+5c=0,得c=-a-b,所以|a-b|=, (a-b)·c=(a-b)·(-a-b)=-a2+b2-a·b=,所以cos<a-b,c>=故选B. 返回目录 考点1 考点2 (2)已知a=(1,2),b=(1,1),且a与a+λb的夹角为锐角,则实数λ的取值范围为　　　　　　　　.  (-,0)∪(0,+∞) 解析:由题知,a+λb=(1+λ,2+λ),因为a与a+λb的夹角为锐角,所以a·(a+λb)>0,且a与a+λb不共线,所以1+λ+2(2+λ)>0,且2(1+λ)≠2+λ,解得λ>-且λ≠0,所以实数λ的取值范围为(-,0)∪(0,+∞). 返回目录 考点1 考点2 角度 3 向量的垂直 命题视角:直接计算求值,用数量积为0算参数、证关系. 例4 (1)(2025·湖南模拟)若向量a=(x,1),b=(1,0),且a⊥(a-2b),则x=(　　) A.1 B.0 C.-2 D. A 解析:由a=(x,1),b=(1,0),得a-2b=(x-2,1). ∵a⊥(a-2b),∴a·(a-2b)=0, 即x2-2x+1=0,解得x=1.故选A. 返回目录 考点1 考点2 (2)(多选)(2025·福建厦门期中)已知向量a=(-2,1),b=(-1,t),其中t∈R,则下列说法正确的是(　　) A.若a⊥b,则t的值为-2 B.若a∥b,则t的值为 C.若t>-2,则a与b的夹角为锐角 D.若(a+b)⊥(a-b),则|a+b|=|a-b| AB 返回目录 考点1 考点2 解析:由题意,a=(-2,1),b=(-1,t). 对于A,因为a⊥b,所以a·b=2+t=0,解得t=-2,故A正确; 对于B,因为a∥b,所以∃λ∈R,使得a=λb,即解得t=,故B正确; 对于C,若a与b的夹角为锐角,则cos<a,b>>0且a与b不共线,则解得t>-2且t,故C错误; 对于D,因为(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,即|a|=|b|,解得t=±2,当t=2时,a+b=(-2,1)+(-1,2)=(-3,3),a-b=(-2,1)-(-1,2)=(-1,-1),则|a+b|=3,|a-b|=,|a+b|≠|a-b|; 当t=-2时,a+b=(-2,1)+(-1,-2)=(-3,-1),a-b=(-2,1)-(-1,-2)=(-1,3), 则|a+b|=|a-b|=2,故D错误.故选AB. 返回目录 考点1 考点2 对点训练4 (1)(2025·河南周口期末)已知向量a=(,1),b=(,3),若 a⊥(a-λb),则λ=(　　) A.- B.- C. D. D 解析:由a-λb=(,1-3λ),又a⊥(a-λb),所以a·(a-λb)=3-3λ+1-3λ=0,可得λ=故选D. 返回目录 考点1 考点2 (2)(多选)(2025·浙江模拟)已知向量a=(2,1),b=(x,2),则下列说法正确的是 (　 　) A.若a∥b,则x=4 B.若a⊥b,则x=-1 C.若|b|=,则x=1 D.若a·(a-b)=0,则x= ABD 解析:A选项,若a∥b,则有x=2×2=4,A正确;B选项,若a⊥b,则有2x+2=0,解得x=-1,B正确;C选项,若|b|=,则,即x2+4=5,解得x=±1,C错误;D选项,a-b=(2-x,-1),若a·(a-b)=0,则2(2-x)-1=0,即3-2x=0,解得x=,D正确.故选ABD. 返回目录 考点1 考点2 角度 4 投影向量 命题视角:直接计算、几何关联、与数量积联动及结合实际应用场景考查. 例5 (1)(2025·江苏南京模拟)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a,b的夹角为,则b在a上的投影向量为(　　) A.- B.a C.-a D.-a C 解析:b在a上的投影向量为a=a=a=-a.故选C. 返回目录 考点1 考点2 (2)(2025·江苏苏锡常镇一模)已知平面向量a,b是两个单位向量,a在b上的投影向量为b,则a·(a+b)=(　　) A.1 B. C. D. B 解析:由a在b上的投影向量为b,得b=b,则,而b是单位向量,因此a·b=,又a是单位向量,所以a·(a+b)=a2+a·b=1+故选B. 返回目录 考点1 考点2 对点训练5 (1)平面向量a,b满足|a|=2,|b|=3,|a+b|=4,则b在a上的投影向量为(　　) A.a B.a C.a D.a C 解析:由|a+b|==4,可得a·b=,故b在a上的投影向量为a=a=a=a. 返回目录 考点1 考点2 (2)(2025·江苏镇江开学考试)已知向量a在向量b上的投影向量为b,且|a|=|b|=1,则|a-2b|的值为(　　) A.1 B. C. D. D 解析:设向量a与向量b的夹角为θ,因为|a|=|b|=1,且向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ=cos θ·b=b,则cos θ=,所以|a-2b|== == 故选D. 返回目录 考点1 考点2 方法导引 紧扣|a|=核心,坐标下转平方和开方,几何中关联数量积与夹角,常借平方转化简化运算. 返回目录 考点1 考点2 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 方法导引 坐标先行求点积,模长作除得余弦,正负定角(锐、钝、直),方向零向防漏判. 平面向量垂直问题的2个类型 (1)若证明两个向量垂直,先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标;然后根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可. (2)已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值,根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数. 返回目录 考点1 考点2 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 方法导引 投影向量运算紧扣定义式,依托数量积与向量方向,关联坐标、模、角及几何意义,关注方向与特殊情形. 返回目录 考点1 考点2 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势1:近年高考中关于平面向量数量积的命题,以基础运算为底,聚焦坐标、模长与夹角关联,逐步加强与几何图形(如三角形、四边形)等知识的综合考查,常涉及数量积的直接计算、取值范围及几何意义应用. 1.(2025·新高考Ⅱ,12)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=　　　　　.  解析:由题意a-b=(1,1-2x),又a⊥(a-b),所以x·1+1×(1-2x)=0,解得x=1,即a=(1,1),所以|a|= 返回目录 2.(2025·北京,10)已知在平面直角坐标系xOy中,||=||=,||=2,设C(3,4),则|2|的取值范围是(　　) A.[6,14] B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12] D 返回目录 解析: ∵||=||=,||=2, ∴ ,A,B两点在以O为圆心,为半径的圆上. 取AB的中点H,可知|OH|=1, ∴点H在以O为圆心,1为半径的圆上, 则|2|2=4+4 =4)+4=4+4 =4()()+4=4()+4=4(-1)+4=4, ∴|2|=2||. ∵||-1≤||≤||+1,||=5,∴4≤||≤6,即8≤2||≤12.故选D. 返回目录 命题趋势2:强化数量积与向量垂直、平行关系融合,结合几何图形性质(如菱形对角线、三角形高),以实际情境(如力的做功、位移与力的作用)为背景,考查数量积在判定、计算中的灵活应用,涉及参数讨论与最值分析. 3.(2025·云南曲靖期末)向量a=(k,1),b=(2,-3),若a·(a-b)=3,则k=(　　) A.-2 B.1 C.3 D.4 B 解析:因为a=(k,1),b=(2,-3),所以a-b=(k-2,4),所以a·(a-b)=k(k-2)+4=3,则k2-2k+1=0,解得k=1.故选B. 返回目录 4. (原创)如图,已知矩形ABCD的边长满足AB=2AD=4,以A为圆心的圆与BD相切于P,则=(　　) A. B. C.8 D.4 A 解析:由已知条件可知,AP⊥BD,因此|AP|= 故()==2故选A. 返回目录 $