三角函数的图象与性质课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三角函数的图象与性质”专题，依据高考评价体系梳理了图象变换、单调性、奇偶性等核心考点，通过真题分析明确由图象求解析式、单调性判断等高频考点权重，归纳多选、填空等常考题型，构建系统复习框架。 课件亮点在于“真题典例+方法总结+变式训练”，如2020新高考Ⅰ卷三角函数图象题，运用“三步法”（定A、B→ω→φ）解析，培养几何直观与推理能力，帮助学生掌握得分技巧，教师可依托此课件精准突破考点，提升复习效率。

4.3 三角函数的图象与性质 返回目录 知识清单 知识点1　三角函数的图象及其变换 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中的五个关键点:(0,0), ,(π,0), ,(2π,0). (2)余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象中的五个关键点:(0,1), ,(π,-1), ,(2π,1). 2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如表所 示: 返回目录 ωx+φ 0   π   2π x -  - +     -    y=Asin(ωx +φ) 0 A 0 -A 0 返回目录 3.y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时,振幅为A,周期T= ,频率f= =  ,相位为ωx+φ,初相为φ. 4.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径   返回目录 知识点2　三角函数的性质 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 定义域 R R  x x≠kπ+  ,k∈Z  部分 图象       值域 [-1,1] [-1,1] R 对称轴 x=kπ+ (k∈Z) x=kπ(k∈Z) 返回目录 对称 中心 (kπ,0)(k∈Z)   (k∈Z)  (k∈Z) 周期 2π 2π π 单调递 增区间  2kπ- ,2kπ+  (k∈Z) [2kπ-π,2kπ](k∈Z)  kπ- ,kπ+  (k∈Z) 单调递 减区间  2kπ+ ,2kπ+  (k∈Z) [2kπ,2kπ+π](k∈Z) 奇偶性 奇 偶 奇 返回目录 温馨提示    1.正弦曲线(余弦曲线)相邻的两条对称轴之间距离的2倍是一个周期. 2.正弦曲线(余弦曲线)相邻的一条对称轴和一个对称中心之间距离的4倍是一个周期. 3.正切曲线相邻的两个对称中心之间距离的2倍是一个周期. 4.不能认为y=tan x在定义域上为增函数,应在区间 (k∈Z)内为增函数. 2.求三角函数最值常见的函数形式 (1)y=asin x+bcos x= sin(x+φ),其中cos φ= ,sin φ= . (2)y=asin2x+bcos2x+csin xcos x y=Asin 2x+Bcos 2x+C= sin(2x+φ)+C,其 返回目录 中tan φ= ,再利用有界性处理. (3)y=asin2x+bcos x+c可转化为关于cos x的二次函数. (4)y=a(sin x+cos x)+bsin xcos x+c型求最值常用换元法,令t=sin x+cos x,|t|≤ ,则sin xcos x = ,把三角函数问题转化为代数问题求解. (5)y=asin x+ (a,b,c>0),令sin x=t(-1≤t≤1,且t≠0),转化为求y=at+ (-1≤t≤1,且t≠ 0)的最值,一般可结合图象求解. 返回目录 即练即清 1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”) (1)函数f(x)=2sin x在区间 上的最大值为 . ( ) (2)函数y=|cos x|的单调递增区间是 (k∈Z). ( ) (3)将函数f(x)=sin 的图象向左平移 个单位长度,得到g(x)=cos 的图象.  ( )     ✕         √         ✕     返回目录 2.函数y=cos2x+sin x的最大值为_________. 返回目录 3.函数y= 的定义域为________________________.      ,k∈Z     返回目录 4.若函数y=2sin 的最小正周期在 内,则正整数m的值是________________.     26,27,28     返回目录 考点清单 考点1　三角函数的图象及其变换 角度1　根据三角函数图象求解析式或值 典例1    (多选)(2020新高考Ⅰ,10,5分)函数y=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则sin(ωx+ φ)=( ) A.sin 　　     B.sin 　　     C.cos 　　    D.cos      BC     返回目录 解析　由题图可知, = - = ,∴T=π,由T= 可知, =π,∴|ω|=2,不妨取ω=2, 则y=sin(2x+φ),又∵图象过 ,∴sin =0, 又∵ 是函数下降区间的零点,∴ +φ=π+2kπ,k∈Z,∴φ= +2kπ,k∈Z,不妨取φ=  【注意不要写成 +φ=kπ,k∈Z】, 则y=sin 2x+  =sin  +  =cos 或y=sin =sin = sin . 故选BC. 返回目录 方法总结　求函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π)解析式的方法与步骤   返回目录 变式训练 1.(关键元素变式)(2025届安徽合肥八中三模,6)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,-π<φ< 0)的部分图象如图所示,其中M(x1,0),P(x2,2),N(x3,0),∠MPN=90°, =4 ,则f  =  ( ) A. 　　    B.1　　    C. 　　    D.      B     返回目录 解析　依题意,知△MNP为等腰直角三角形,则MN=4,【由P(x2,2)知等腰直角△PMN的 高为2,所以斜边MN=4】,且MN= ,故T=8,故ω= = , 则f(x)=2cos .由 =4 ,得MO=1,则x2=1,则f(1)=2cos =2,解得φ=- +2kπ (k∈Z),又-π<φ<0,∴φ=- ,故f(x)=2cos ,则f =2cos =1.故选B. 返回目录 角度2　三角函数图象变换 典例2    (2025届山东聊城莘县实验高级中学联考,6)要得到y=cos 2x-sin 2x的图象,只需 将y= sin 2x的图象 ( ) A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度     C     返回目录 解析　由辅助角公式得y=cos 2x-sin 2x=- sin ,【化为同名函数】 由诱导公式得y=- sin = sin = sin , 【确保y=Asin(ωx+φ)中系数A>0,ω>0】 所以只需要将y= sin 2x的图象向左平移 个单位长度可得y= sin =  sin 的图象.故选C. 返回目录 方法总结　三角函数图象变换的解题步骤 1.变换前后的两个函数名不同时,一般要先化为同名函数再求解. 2.变化时确保y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)中系数A>0,ω>0. 3.确定变换途径,需要注意的是无论是先平移变换还是伸缩变换,两种变换方法都是针 对x而言的,而不是针对ωx的. 返回目录 变式训练 2.(逆反条件变式)(2025届江苏南京二模,4)把函数y=cos x图象上所有点的横坐标变 为原来的 (纵坐标不变),再将图象上所有的点向右平移 个单位长度,得到函数y=f(x) 的图象,则f(x)= ( ) A.cos 　　    B.cos  C.cos 　　    D.cos      B     返回目录 解析　把函数y=cos x图象上所有点的横坐标变为原来的 【纵坐标不变】后得到函数 y=cos 2x的图象,【易错:不是y=cos x】再将图象上所有的点向右平移 个单位长度得 到函数y=f(x)=cos =cos 的图象.【平移只是针对x而言的】 故选B. 返回目录 考点2　三角函数的性质 角度1　单调性及其应用 典例3    (2025届浙江绍兴湄池中学二模,4)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 f(x)的单调递减区间为 ( ) A. ,k∈Z B. ,k∈Z     D     C. ,k∈Z D. ,k∈Z 返回目录 解析　由“五点作图法”知, 解得ω=π,φ= ,所以f(x)=cos , 令2kπ<πx+ <2kπ+π,k∈Z,解得2k- <x<2k+ ,k∈Z,故单调递减区间为 ,k ∈Z,故选D. 小题速解　由题图知T=2× =2,根据对称性知f(x)的单调递减区间为  ,k∈Z. 返回目录 方法总结    1.求三角函数单调区间的方法 (1)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(ω>0)函数的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个 整体,通过解不等式求解.如果ω<0,可借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错. (2)求形如y=A|sin(ωx+φ)|函数的单调区间时,常采用数形结合的方法. 2.根据单调性求参数的方法 已知三角函数的单调区间求参数,可先求出函数单调区间,然后利用集合间的关系求解. 返回目录 变式训练 3.(结论拓展变式)(2026届浙江Z20名校联盟第一次联考,5)已知函数y=sin 的 定义域为 ,值域为 ,则a的取值范围是 ( ) A. 　　    B.  C. 　　    D.      A     返回目录 解析　令t=2x- ,则t∈ , 作出y=sin t的简图,如图,由于函数的值域为 ,sin = ,sin =-1,sin =sin  = ,   则有 ≤2a- ≤ ,解得 ≤a≤ ,即a的取值范围是 . 返回目录 角度2　奇偶性及其应用 典例4    (2024届湖北武汉市汉铁高级中学模拟,6)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)  的部分图象如图所示.将函数f(x)的图象向右平移t(t>0)个单位长度,得到 函数g(x)的图象.若函数g(x)为奇函数,则t的最小值是_________.   返回目录 解析　由题图知, f(x)的周期T=2× = ,则ω= = , 由f(0)=2sin φ=1,解得sin φ= ,由|φ|< ,得φ= , 于是f(x)=2sin ,g(x)=f(x-t)=2sin , 由函数g(x)为奇函数,得 - t=kπ,k∈Z,则t= - kπ,k∈Z,又t>0,所以当k=0时,tmin= . 解题技巧　对于y=Asin(ωx+φ),若为奇函数,则φ=kπ(k∈Z);若为偶函数,则φ= +kπ(k ∈Z).对于y=Acos(ωx+φ),若为奇函数,则φ= +kπ(k∈Z);若为偶函数,则φ=kπ(k∈Z).其中 A,ω,φ为常数,A≠0,ω≠0. 返回目录 变式训练 4.(情境模型变式)(2025届浙江桐乡二模,7)已知函数f(x)=sin +b(ω>0)的最小 正周期为T,且 <T< ,函数y=f +1为奇函数,则f = ( ) A. 　　    B. -1　　    C. +1　　    D.      B     返回目录 解析　依题意,知y=f +1=sin +b+1,由y=f +1为奇函数,得b+1 =0,且 (ω-1)=kπ,k∈Z,【令g(x)=f +1,则g(x)为奇函数,一定有g(0)=0,即sin  +b+1=0对任意ω,b都成立,所以有 】 又ω>0,所以b=-1,ω=6k+1(k∈N), 由 <T< ,得 < < ,解得 <ω< ,因此ω=1,则f(x)=sin -1, 所以f =sin -1= -1.故选B. 返回目录 角度3　周期性及其应用 典例5    (2026届湖南师大附中月考,14)已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0),如图,O为坐标原 点M,N,P是曲线y=f(x)与直线y=m(m>0)相邻的三个交点,若NP=2NM, · =6,则f(x)的 最小正周期为__________.       12     返回目录 解析　设M(x1,m),N(x2,m),P(x3,m),由已知得MP=x3-x1= ,因为NP=2NM,所以MN= MP=  ,即x2-x1= .又x1+x2= ,联立解得x1= ,x2= ,所以m=2sin ωx1=1,则 · =x1x2+m2= x1x2+1= +1=6,又ω>0,故ω= ,故f(x)的最小正周期T= =12. 解题技巧　求三角函数的周期 1.把解析式化为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B或y=Atan(ωx+φ)+B(A,ω,φ为常数,A ≠0,ω≠0)的形式. 2.用公式T= (正弦、余弦型)或T= (正切型)求周期. 返回目录 变式训练 5.(设问条件变式)(2026届福建福州质量监测,4)若函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0)的图象与 直线y=a的相邻两个交点的距离为 ,则ω= ( ) A.1　　    B.2　　     C.4　　    D.8     C     解析　由题意得函数f(x)=tan(ωx+φ)的最小正周期为 ,所以 = ,由ω>0得ω=4. 返回目录 角度4　对称性及其应用 典例6　已知直线x= 与点 分别是函数f(x)=cos(ωx+φ) 的图象在 同一周期内的对称轴和对称中心,则 =_________. 返回目录 解析　由题意可知, (k∈Z)或 (k∈Z)或  (k∈Z)或 (k∈Z),解得 (k∈Z)或  (k∈Z)或 (k∈Z)或 (k∈Z),又0<φ< .故ω=2,φ= . 所以 = . 返回目录 解题技巧　函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A≠0,ω≠0)图象的对称轴一定经过图象 的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0(或点(x0, 0))是不是函数图象的对称轴(或对称中心)时,可通过检验f(x0)的值进行. 返回目录 变式训练 6.(情境模型变式)(2025届安徽芜湖二模,14)已知函数y= sin(ωx+φ)+1(ω>0)的部分 图象如图所示,若A,B,C,D四点在同一个圆上,则ω=_________.   返回目录 解析　由题意可设A ,k∈Z,则D ,k∈Z, 【A,D是函数图象的对称中心】 B ,k∈Z,C ,k∈Z, 则AD的中点与BC的中点的坐标均为 ,k∈Z, 由A,B,C,D四点在同一个圆上,得 ,k∈Z为圆心, 设圆心为M,过点B作BN⊥AD于N,连接BM,则MA=MB,且MA= - = , 返回目录 MB= = , 则 = , 即有 =3+ ,则ω2= ,又ω>0,则ω= .   返回目录 $