第27讲三角函数的定义域、最值(值域)、单调性课件 -2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦三角函数的图象、定义域、值域（最值）、单调性四大核心考点，依据高考评价体系明确各考点考查要求，通过例题解析与跟踪训练归纳“图象识别”“定义域求解”“值域转化”“单调性判断”等常考题型，突出高频考点的针对性复习。 课件亮点在于“方法总结+题型突破+素养培养”，如例3将三角函数值域问题转化为二次函数求解，培养数学思维；例4结合图象分析单调区间，发展数学眼光。特设“易错陷阱警示”和“解题模板”，帮助学生掌握换元法、图象法等技巧，教师可据此系统指导，提升高考冲刺效率。

第27讲三角函数的定义域、最值(值域)、单调性 考点一　三角函数的图象 [例1]　(1)函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图象是(　　) [解析]　当x=0时,y=1;当x=时,y=0;当x=2π时,y=1,结合正弦函数的图象可知B正确. B (2)函数y=-cos x(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为(　　) A.(,1)　　　　　　　 B.(π,1) C.(0,1) D.(2π,1) [解析]　用五点作图法作出函数y=-cos x(x>0)的一个周期的图象如图所示,由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π,1). B 方法总结 正、余弦函数与正切函数图象问题的解题策略 1.解决正、余弦函数与正切函数的图象问题,关键是要正确地画出正、余弦曲线及正切曲线. 2.正、余弦曲线的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到. 跟踪训练 1.函数y=cos x·|tan x|(-<x<)的大致图象是 (　　) C 解析:由题意得 y=cos x·|tan x|= 所以其图象的大致形状如选项C所示. 2.已知函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π],若直线y=k与其仅有两个不同的交点,则k的取值范围为　　　　　.  解析:由题意知f(x)=sin x+2|sin x| = 图象如图所示: 若函数f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则由图可知k的取值范围是(1,3). (1,3) 考点二　三角函数的定义域 [例2]　函数y=lg(sin x)+的定义域为　　　　　　 　　　.  [解析]　要使函数有意义,则有 解得k∈Z,所以2kπ<x≤+2kπ,k∈Z,所以函数的定义域为{x|2kπ<x≤+2kπ,k∈Z}. {x|2kπ<x≤+2kπ,k∈Z} 方法总结 三角函数定义域问题的解题策略 1.求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角函数不等式(组),常借助单位圆或三角函数的图象来求解. 2.三角函数与基本初等函数的组合或复合,其定义域是使各部分式子有意义的实数的集合的交集. 跟踪训练 3.函数y=的定义域为　　　　　　　 　　　　　.  {x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z} 解析:法一:要使函数有意义,则sin x-cos x≥0.在同一平面直角坐标系中画出[0,2π]上y=sin x和y=cos x的图象,如图所示. 在[0,2π]内,sin x=cos x的根为x=,或x=,再结合 正弦、余弦函数的最小正周期是2π,所以原函数的定义域为[2kπ+,2kπ+](k∈Z). 法二:要使函数y=有意义, 则sin x-cos x≥0,即sin(x-)≥0, 即2kπ≤x-≤2kπ+π(k∈Z), 解得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z), 即原函数的定义域为{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}. 考点三　三角函数的值域(最值) [例3]　(1)函数f(x)=3sin(2x-)在区间[0,]上的值域为(　　) A.[-,] B.[-,3] C.[-,] D.[-,3] [解析]　当x∈[0,]时,2x-∈[-,], 所以sin(2x-)∈[-,1], 故3sin(2x-)∈[-,3],即此时函数f(x)的值域为[-,3]. B (2)函数y=cos2x+sin x-1的值域为(　　) A.(-∞,]　　　　　 B.[0,] C.[-2,0] D.[-2,] D [解析]　因为y=cos2x+sin x-1=1-sin2x+sin x-1=-sin2x+sin x, 令t=sin x,-1≤t≤1,则y=-t2+t=-(t-)2+, 所以y=-t2+t在[-1,)上单调递增,在(,1]上单调递减, 当t=-1时,y=-2,当t=时,y=,当t=1时,y=0,所以-2≤y≤, 即y=cos2x+sin x-1的值域为[-2,]. 方法总结 三角函数的值域(最值)问题的三种类型及解题思路 1.形如y=asin ωx+bcos ωx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值). 2.形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可以先设sin x=t,化为关于t的二次函数,再求值域(最值). 3.形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可以先设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数,再求值域(最值). 跟踪训练 4.若x是三角形的最小内角,则函数y=sin x+cos x+sin xcos x的值域是(　　) A.[-1,+∞) B.[-1,] C.(0,] D.(1,+] D 解析:设t=sin x+cos x=sin(x+). ∵x∈(0,],∴x+∈(,],∴t∈(1,], ∴y=t+=t2+t-∈(1,+], ∴所求函数的值域为(1,+]. 考点四　三角函数的单调性 角度1　求单调区间 [例4]　(多选)下列各函数的单调区间正确的是(　　) A.y=sin x和y=cos x共同的单调递减区间为[2kπ+,2kπ+](k∈Z) B.函数f(x)=sin(-2x)的单调递减区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z) C.函数y=|tan x|的单调递减区间为(kπ-,kπ](k∈Z) D.设函数f(x)=cos(-2x),则f(x)在[0,]上的单调递减区间为[,] CD [解析]　在同一平面直角坐标系中画出[0,2π]上y=sin x和y=cos x的图象,如图所示, 则y=sin x和y=cos x共同的单调递减区间为 [+2kπ,π+2kπ],k∈Z,故A错误; f(x)=sin(-2x)的单调递减区间是g(x)=sin(2x-)的单调递增区间, 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 故函数f(x)的单调递减区间为[kπ-,kπ+],k∈Z,故B错误; 作出函数y=|tan x|的图象,如图, 观察图象可知,函数y=|tan x|的单调递增区间为[kπ,kπ+),k∈Z,单调递减区间为(kπ-,kπ],k∈Z,故C正确; 由已知f(x)=cos(2x-), 得2kπ≤2x-≤2kπ+π,k∈Z, 则kπ+≤x≤kπ+,k∈Z, 又x∈[0,], ∴f(x)在[0,]上的单调递减区间为[,],故D正确. 角度2　利用单调性比较大小 [例5]　设a=(sin 54°-cos 54°),b=cos 50°cos 129°+cos 40°cos 39°,c=sin 10°,则a,b,c的大小关系是(　　) A.c>a>b B.b>a>c C.b>c>a D.a>c>b C [解析]　a=(sin 54°-cos 54°)=sin(54°-45°)=sin 9°. b=-cos 50°sin 39°+sin 50°cos 39°=sin(50°-39°)=sin 11°, ∵y=sin x在(0°,90°)上单调递增,∴sin 11°>sin 10°>sin 9°,即b>c>a. 方法总结 1.已知三角函数解析式求单调区间 求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,可以先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错. 2.比较三角函数值的大小,一般化为同名函数,把角化到同一单调区间内,即可比较. 跟踪训练 5.(2026·陕西汉中模拟)函数f(x)=-sin(2x+)的单调递增区间为(　　) A.[+kπ,+kπ](k∈Z) B.[-+kπ,+kπ](k∈Z) C.[+kπ,+kπ](k∈Z) D.[-+kπ,+kπ](k∈Z) A 解析:依题意,函数f(x)的单调递增区间,即为函数y=sin(2x+)的单调递减区间, 由+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为[+kπ,+kπ](k∈Z). 6.下列区间中,使关于x的不等式sin x>cos x成立的是(　　) A.(,)　 B.(0,) 　C.(,)　 D.(π,2π) 解析:sin x-cos x=sin(x-), 当x∈(,)时,x-∈(0,π),此时sin(x-)>0,sin x>cos x,故A正确; 当 x∈(0,)时,x-∈(-,0),此时sin(x-)<0,sin x<cos x,故B错误; 当x∈(,)时,x-∈(,),此时sin(x-)的值有正数,负数和零,故C错误; 当x∈(π,2π)时,x-∈(,),此时sin(x-)的值有正数,负数和零,故D错误. A $