三角恒等变换课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三角恒等变换”核心考点，依据高考评价体系梳理了两角和差、二倍角、辅助角等公式及化简、求值、求角三大考查方向，通过近三年模拟真题分析明确“给值求值”占45%、“三角函数式化简”占30%的高频考点分布，构建完整题型体系。 课件亮点在于“真题解析+变式训练+技巧建模”策略，如以湖北襄阳四中给角求值题为例，示范“切化弦+辅助角公式”突破方法，培养学生推理能力与运算能力。特设易错点警示（如角的范围讨论）和“变角技巧”模板，助力学生掌握得分关键，教师可据此精准教学，提升复习效率。

4.2 三角恒等变换 返回目录 知识清单 知识点　三角恒等变换 1.两角和与差的三角函数公式 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;(Sα+β) sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β;(Sα-β) cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;(Cα+β) cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β;(Cα-β) tan(α+β)= ;(Tα+β) tan(α-β)= .(Tα-β) 返回目录 2.二倍角公式 sin 2α=2sin αcos α;(S2α) cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;(C2α) tan 2α= .(T2α) 3.半角公式 sin =± ; cos =± ; tan =± . 返回目录 4.辅助角公式 asin α+bcos α= sin(α+φ),其中cos φ= ,sin φ= . 5.降幂公式 sin2α= ;cos2α= . 6.升幂公式 1+cos α=2cos2 ;1-cos α=2sin2 . 7.公式的常用变形 tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β); tan αtan β=1- = -1; 返回目录 sin αcos α= sin 2α. 8.万能公式 sin α= ;cos α= ; tan α= . 9.其他常用变形 tan = = . 返回目录 即练即清 1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”) (1)存在α,β的值,使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β. ( ) (2)对于任意的α∈R,sin = sin α都不成立.( )     ✕         √     返回目录 2. =_______. 　-2     返回目录 3.已知A+B=45°,则(1+tan A)(1+tan B)=_________.     2     返回目录 4.已知α为第一象限角,cos α= ,则tan =_________. 返回目录 5.将 cos x-sin x化成Acos(ωx+φ) 的形式为_____________.     2cos      返回目录 考点清单 考点　三角恒等变换 角度1　三角函数式的化简 典例1    (2025届浙江宁波鄞州中学适应性考试,3)已知α为锐角,且sin βcos(α-β)-cos βsin(β-α)= ,则tan = ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     返回目录 解析　解法一    sin βcos(α-β)-cos βsin(β-α)=sin βcos(α-β)+cos βsin(α-β)=sin α= , 由α是锐角,得cos α= = , 所以tan = = = .【tan = = = 】故选B. 解法二　由解法一知sin α= ,cos α= ,所以tan α= = , 即tan α= = 【二倍角公式】,因为α为锐角,所以tan = . 返回目录 解题技巧    1.三角函数式的化简原则   2.化简方法 (1)异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化. (2)“1”的代换,三角公式的正用、逆用. 返回目录 变式训练 1.(设问条件变式)(2025届广东茂名高州二模,5)若tan + =3,则sin 4α= ( ) A. 　　    B.- 　　    C.- 　　    D.-      C     返回目录 解析　因为tan + =3,所以 + =3, 【切化弦】 所以 =3, 所以sin cos = , 所以sin = ,【二倍角的正弦公式的逆用】 所以sin 4α=-cos =-1+2sin2 =-1+ =- . 故选C. 返回目录 角度2　三角函数的求值 典例2　(给角求值)(2026届湖北襄阳四中综合测试,4)sin 40°(tan 10°- )= ( ) A.2　　    B.-2　　    C.1　　    D.-1     D     解析    sin 40°(tan 10°- ) =sin 40°  =sin 40°·  =  =  返回目录 =  =-  =- =-1. 方法总结　给角求值的常用方法 1.利用诱导公式或三角恒等变换化为特殊角的三角函数值求解. 2.化为正负相消的项,消去求值. 3.化分子、分母,使其出现公约数,然后约分求值. 返回目录 变式训练 2.(关键元素变式)(2026届江苏南京二十九中开学考,13)若 - =4,则λ=_____ ____. 解析　由 - =4,可得 = -4, 所以λ=  =  =  =  返回目录 =  = = . 【结合特殊角和分子、分母中出现公约数,约分求值】 返回目录 典例3　(给值求值)(2026届山西大学附中模块检测,7)已知sin = +cos α, 则cos =( ) A.- 　　    B. 　　    C.- 　　    D.      B     解析　因为sin = +cos α,则 sin α+ cos α= +cos α,即 sin α- cos α= ,【辅 助角公式的应用】所以sin = , 则cos =cos =1-2sin2 =1-2× = .故选B. 返回目录 解题技巧　解给值求值问题的关键在于“变角”,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,把待 求三角函数值的角用含已知角的式子表示出来,求解时要注意角的范围的讨论. 返回目录 变式训练 3.(关键元素变式)(2026届福建百校联考,8)已知α,β均为锐角,tan β= ,sin(α-β)= ,则 cos(α+β)=( ) A. 　　    B. 　　    C.- 　　    D.-      B     解析　由题易得tan 2β= = = ,因为β为锐角,所以sin 2β= ,cos 2β= ,又α 为锐角且sin(α-β)= ,所以(α-β)为锐角,所以cos(α-β)= = ,所以cos(α+β)=cos(α- β+2β)=cos(α-β)·cos 2β-sin(α-β)sin 2β= × - × = ,故选B. 返回目录 典例4　(给值求角)(2026届安徽江淮十校联考(一),13)若α∈ ,β∈ 且cos(α +β)=- ,tan α=3-2 ,则2α+β的值为_________. 解析　因为α∈ ,又tan α=3-2 < ,所以α∈ ,又β∈ ,所以α+β∈  , 又cos(α+β)=- >- , 故α+β∈ , 返回目录 所以sin(α+β)= = = ,得到tan(α+β)= =- ,又tan α=3-2 , 所以tan(2α+β)= = =-1, 又2α+β∈ ,所以2α+β= . 解题技巧　“给值求角”问题实质上可转化为“给值求值”问题,先计算所求角的某 一三角函数值,再利用该三角函数值结合所求角的范围求得角. 返回目录 变式训练 4.(关键元素变式)(2025届重庆十一中第7次检测,5)设tan α,tan β是方程x2+6 x+7=0 的两根,且α,β∈ ,则α+β= ( ) A. 　　    B.- 　　    C. 或- 　　    D.      B     返回目录 解析　因为tan α,tan β是方程x2+6 x+7=0的两根, 所以tan α+tan β=-6 ,tan αtan β=7, 所以tan α<0,tan β<0, 因为α,β∈ ,所以α,β∈ ,所以α+β∈(-π,0). 因为tan(α+β)= = = ,所以α+β=- . 故选B. 易错点睛　由α,β∈ ,得α+β∈(-π,π),则由tan(α+β)= 可得α+β= 或- ,所以 选C,原因分析,忽视了tan α<0,tan β<0的限制条件,导致α,β角的范围扩大. 返回目录 $