解三角形课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“解三角形”专题，依据高考评价体系梳理了正弦定理、余弦定理、面积公式及实际应用等核心考点，通过真题分析明确基本量求解、形状判断等高频题型，构建系统的知识清单与解题框架。 课件亮点在于“真题典例+变式训练+技巧归纳”，如2020课标Ⅲ理7题展示余弦定理求角方法，培养学生数学思维与推理能力，通过边化角、角化边等技巧突破形状判断等难点，助力学生掌握解题规律，为教师提供精准复习指导。

4.4 解三角形 返回目录 知识清单 知识点1　正弦定理、余弦定理 正弦定理 余弦定理 内容  = = =2R a2=b2+c2-2bccos A; b2=a2+c2-2accos B; c2=a2+b2-2abcos C 变形 公式 a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; sin A= ,sin B= ,sin C= ;  =2R cos A= ; cos B= ; cos C=  返回目录 知识点2　解三角形及其综合应用 1.在△ABC中,已知a,b和A,解的情况如下: A为锐角 A为钝角或直角 图形             关系式 a<bsin A a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b 解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 返回目录 2.三角形中常用的结论 (1)在△ABC中,大角对大边,大边对大角,如:a>b⇔A>B⇔sin A>sin B. (2)有关三角形内角的常用三角恒等式:sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;tan(A+B)=-tan C  ;sin =cos ;cos =sin . (3)在斜△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A·tan Btan C. (4)三角形中的射影定理:a=bcos C+ccos B,b=acos C+ccos A,c=acos B+bcos A. 3.三角形的面积公式 设△ABC的三边为a,b,c,所对的三个内角分别为A,B,C,其面积为S,△ABC的外接圆半径 为R,内切圆半径为r. 返回目录 (1)S= ah(h为BC边上的高); (2)S= absin C= acsin B= bcsin A; (3)S= (a+b+c)r(r为△ABC内切圆的半径); (4)S=  . 4.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标视线在 水平线上方的角叫仰角,目标视线在水平线下方的角叫俯角(如图a). 返回目录   (2)方位角:方位角是指从某点的正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方 位角为α(如图b). (3)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角. 返回目录 即练即清 1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”) (1)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B. ( ) (2)若acos A=bcos B,则△ABC是等腰三角形.( ) (3)若A= ,a= ,则△ABC的外接圆的面积等于π. ( ) (4)若a=2 ,b=4,A= ,则△ABC唯一.( ) (5)在△ABC中,若b2+c2>a2,则此三角形是锐角三角形. ( )     ✕         ✕         √         ✕         √     返回目录 2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=60°,a+c=6,b=2 ,则△ABC的面积为 _____.     2 返回目录 3.在△ABC中, A= ,BC=2 ,△ABC的面积为6 ,则△ABC的周长为_____________.     10+2      返回目录 4.如图所示,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10 m,从D,C两地测得A点的仰角分别为30° 和45°,则A点到地面的距离AB=______________m.       5( +1)     返回目录 考点清单 考点1　利用正弦、余弦定理解三角形 角度1　利用正弦、余弦定理求基本量 典例1    (2020课标Ⅲ理,7,5分)在△ABC中,cos C= ,AC=4,BC=3,则cos B= ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      A     解析　由cos C= 得 = ,∴AB=3,∴cos B= =  = ,故选A. 返回目录 解题技巧    1.利用余弦定理可以解决以下两类解三角形问题:一是已知两边和它们的 夹角,求其他角与边;二是已知三边求各角.因为这两种情况下的三角形是唯一的,所以 其解也是唯一的. 2.利用正弦定理可以解决以下两类解三角形问题:一是已知两角和任一边,求其他边与 角;二是已知两边和一边的对角,求其他的边与角(该三角形不一定具有唯一性,常根据 三角函数值的有界性和大边对大角进行判断). 返回目录 变式训练 1.(情境模型变式)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a= ,sin B= ,C= ,则 c= ( ) A.2　　    B. 　　    C. 　　    D.1     D     解析　因为sin B= 且B∈ ,所以B= ,则A=π-B-C= .又a= ,所以由 = , 得 = ,解得c=1.故选D. 返回目录 2.(设问条件变式)(2026届浙江强基联盟联考,12)在△ABC中,设角A,B,C所对的边分 别为a,b,c,已知a=2,A= ,c= ,则角C=_________. 解析　因为a=2,A= ,c= , = ,所以sin C= = ,由c<a得C= . 返回目录 角度2　判断三角形形状 典例2　在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos Acos B+bcos2A=acos A,则 △ABC的形状是( ) A.直角三角形　　     B.等腰三角形 C.等腰直角三角形　　    D.等腰或直角三角形     D     返回目录 解析　解法一　边化角　根据正弦定理及题意得sin Acos Acos B+sin Bcos2A=sin Acos A, 所以(sin Acos B+sin Bcos A-sin A)·cos A=0, 所以[sin(A+B)-sin A]cos A=0, 所以[sin(π-C)-sin A]cos A=0, 即(sin C-sin A)cos A=0, 所以sin C=sin A或cos A=0,【注意有两种情况】 所以c=a或A= ,即△ABC是等腰或直角三角形.故选D. 返回目录 解法二　角化边　因为acos Acos B+bcos2A=acos A, 所以cos A(acos B+bcos A-a)=0, 则当cos A=0时,A= ; 当acos B+bcos A-a=0时,由余弦定理的推论得a· +b· =a, 所以有2c2=2ac,即a=c. 综上,c=a或A= ,所以△ABC是等腰或直角三角形.故选D. 返回目录 归纳总结　三角形形状的判断方法   返回目录 易错警示    1.判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化,使之变为只含边或只 含角的式子进行判断,注意不要轻易两边同除以一个式子. 2.在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一,并注意挖掘隐含条件.另外,在变形过程 中要注意角A,B,C的范围对三角函数值的影响. 返回目录 变式训练 3.(关键元素变式)(2025届湖南邵阳海谊中学期中,8)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C 的对边,且acos B+(2c-b)cos A=c,则△ABC的形状为 ( ) A.等腰三角形　　     B.直角三角形 C.等腰直角三角形　　    D.等腰或直角三角形     D     返回目录 解析　解法一　边化角　由acos B+(2c-b)cos A=c及正弦定理,得 sin Acos B+(2sin C-sin B)cos A=sin C, 所以sin Acos B+2sin Ccos A-sin Bcos A=sin[π-(A+B)]=sin(A+B), 所以sin Acos B+2sin Ccos A-sin Bcos A=sin Acos B+cos Asin B, 即sin Ccos A-sin Bcos A=0, 即(sin C-sin B)cos A=0, 则sin C=sin B或cos A=0, 当sin C=sin B时,因为0<B<π,0<C<π,所以C=B或C+B=π(舍去),所以△ABC为等腰三角形; 返回目录 当cos A=0时,因为0<A<π,所以A= ,所以△ABC为直角三角形. 综上所述,△ABC为等腰或直角三角形. 故选D. 解法二　角化边　因为acos B+(2c-b)·cos A=c,所以(2c-b)cos A=c-acos B=c-a·  = ,两边同乘 得 【凑成余弦定理的形式】  cos A= =cos A,则cos A=0或 =1, 当cos A=0时,因为0<A<π,所以A= ,所以△ABC为直角三角形; 返回目录 当 =1时,b=c,所以△ABC为等腰三角形. 综上所述,△ABC为等腰或直角三角形. 故选D. 解法三　射影定理 因为acos B+(2c-b)cos A=c,c=bcos A+acos B, 所以有bcos A+acos B=acos B+(2c-b)·cos A,即(b-c)cos A=0, 则b-c=0或cos A=0, 当b-c=0时,b=c,所以△ABC为等腰三角形; 当cos A=0时,因为0<A<π,所以A= ,所以△ABC为直角三角形. 所以△ABC为等腰或直角三角形.故选D. 返回目录 角度3　确定三角形解的个数 典例3　在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,根据下列条件解三角形,其中有两解 的是 ( ) A.b=4,A=20°,C=40°　　     B.a=4,b=6,B=35° C.a=4,b=6,A=35°　　     D.a=4,b=6,C=35°     C     返回目录 解析　对于A,由A=20°,C=40°,可得B=180°-A-C=120°,且b为定值,所以三角形只有一解; 对于B,由a=4,b=6,可得a<b,所以A<B,此时三角形有唯一的解; 对于C,由 = ,可得sin B= = ×sin 35°>sin 35°,可得B有两解,所以三角形有 两解; 对于D,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=52-48cos 35°>0,可得c有唯一的解,所以三角形 只有一解.故选C. 返回目录 解题技巧　判断三角形解的个数问题的策略 已知三角形的两边和其中一边的对角,不能唯一确定三角形的形状,解这类三角形问题 将出现无解、一解和两解三种情况,应分情况予以讨论. 在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下: 1.从代数角度分析 (1)若sin B= >1,则满足条件的三角形不存在; (2)若sin B= =1,则满足条件的三角形的个数为1; (3)若sin B= <1,则满足条件的三角形的个数为1或2. 返回目录 显然,由0<sin B= <1可得B有两个解,一个为钝角,一个为锐角,考虑到“大边对大 角”“三角形内角和等于180°”等,此时需进行讨论. 2.从几何角度分析 详见【知识清单】知识点2的1. 返回目录 变式训练 4.(结论拓展变式)(2025届河北秦皇岛昌黎一中一模,4)已知△ABC的内角A,B,C的对 边分别为a,b,c,且满足a=2 ,B= 的三角形有两个,则b的取值范围为 ( ) A.(0,2 )　　    B.(2 ,4) C.(2,4)　　     D.(2,2 )     D     返回目录 解析　解法一　在△ABC中,a=2 ,B= ,由△ABC有两解, 得 即  解得2<b<2 ,所以b的取值范围为(2,2 ).故选D. 解法二　在△ABC中,由余弦定理的推论可得cos B= = ,把a=2 代入整理 得c2-4c+8-b2=0,所以关于c的一元二次方程有两个不相等的正实数根,不妨设为x1,x2,则x1 x2>0,所以Δ>0且x1x2=8-b2>0, 返回目录 即  解得 所以2<b<2 . 所以b的取值范围为(2,2 ).故选D. 返回目录 考点2　解三角形及其综合应用 角度1　三角形中的最值和范围问题 典例4    (2026届广东深圳中学摸底,15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 2sin = . (1)求角A; (2)若b=1,△ABC为锐角三角形,求c的取值范围. 返回目录 解析    (1)由题意得a( sin C+cos C)=b+c,由正弦定理,得  sin Asin C+sin Acos C=sin C+sin B, 在△ABC中,A+C=π-B,因此sin B=sin(A+C)=sin Acos C+sin Ccos A, 因此 sin Asin C=sin C+sin Ccos A, 又sin C>0, 故 sin A-cos A=1⇒2sin =1,即sin = .由A∈(0,π)可得A- ∈ ,因 此A= . 返回目录 (2)因为 = ,b=1,所以c= = = · + , 由△ABC为锐角三角形,有  因此 <B< , 易知f(B)= 在B∈ 上单调递减,因此 ∈(0, ), 故c的取值范围为 . 返回目录 解题技巧    1.三角形中的最值、范围问题的解题策略   2.求解三角形中的最值、范围问题的注意点 (1)涉及求范围的问题,一定要搞清变量的范围;若已知边的范围,求角的范围可利用余 弦定理进行转化. (2)注意题目中的隐含条件,如A+B+C=π,0<A<π,|b-c|<a<b+c,三角形中大边对大角等. 返回目录 变式训练 5.(多解法变式)(2025届山东枣庄辅仁高级中学月考,13)在△ABC中,内角A,B,C的对 边分别为a,b,c,且满足sin B(acos C+ccos A)= bcos B.若b= ,则2a+c的最大值为______.     2  返回目录 解析　由正弦定理可得sin B(sin Acos C+sin Ccos A)= sin Bcos B, 即sin Bsin(A+C)= sin Bcos B. 在△ABC中,由A+B+C=π,得sin(A+C)=sin(π-B)=sin B, 所以sin2B= sin Bcos B,又B∈(0,π),所以sin B≠0,所以tan B= ,所以B= . 解法一　边化角　由b= 及正弦定理知 = = = =2, 所以a=2sin A,c=2sin C, 所以2a+c=4sin A+2sin C=4sin A+2sin =4sin A+2  sin A+ cos A  返回目录 【解题关键:将2a+c化成关于A的三角函数,根据函数性质可求解】 =5sin A+ cos A=2 sin(A+φ)≤2 , 其中tan φ= ,当A+φ= 时取等号,所以2a+c的最大值为2 . 解法二　角化边　设a=x(x>0),2a+c=t(t> ),则c=t-2x, 根据余弦定理得b2=3=a2+c2-2accos B=x2+(t-2x)2-x(t-2x),即7x2-5tx+t2-3=0, 因为关于x的方程有正实数解,所以Δ=25t2-28(t2-3)≥0,所以 <t≤2 , 所以2a+c的最大值为2 . 返回目录 角度2　解三角形的实际应用 典例5    (2026届四川成都七中入学考,5)三角高程测量法是一种常用的测量方法.如图,A,B,C三点在水平地面上的投影A',B',C'满足∠A'B'C'=75°,∠A'C'B'=45°,B到地面的距离 为300 m,C到地面的距离为100 m,在C处测得B的仰角为30°,在B处测得A的仰角为45°, 则A到地面的距离约为 ( ) (参考数据: ≈1.414)   A.283 m　　    B.441 m　　         C     C.583 m　　    D.741 m 返回目录 解析　由题意得BB'=300 m,CC'=100 m,如图,过C作CE⊥BB'于E,过B作BF⊥AA'于F, 则∠BCE=30°,∠ABF=45°,CC'=B'E=100 m,A'F=BB'=300 m, BE=BB'-B'E=300-100=200 m, 在Rt△BCE中,∠BCE=30°, ∴CE= BE=200  m, 则B'C'=200  m,在△A'B'C'中,∠B'A'C'=180°-75°-45°=60°,由正弦定理得 = , 返回目录   所以A'B'= =200  m, 则BF=200  m,因为∠ABF=45°,∠BFA=90°,所以AF=BF=200  m, 所以AA'=AF+A'F=200 +300≈200×1.414+300≈583 m.故选C. 返回目录 方法总结　实际问题中解三角形的类型及方法   返回目录 变式训练 6.(关键元素变式)(2026届福建福古宁五校教学联合体期中,5)某校兴趣小组想要测 量宁德市海会塔的高度AB.在塔附近选取了相距60米的C,D(C,D与该塔的塔底B在同一 水平面上)两个测量点,从C点观测该塔塔顶A的仰角为 ,从D点观测该塔塔顶A的仰角 为 ,且∠CDB= ,则这座塔的高度AB为( )   A.15米　　    B.15 米　　    C.30米　　    D.30 米     C     返回目录 解析　设AB=x米,在Rt△ABC中,∠ACB= ,则BC= x米. 在Rt△ABD中,∠ADB= ,则AB=BD= x米, 在△BCD中,由余弦定理得BC 2=BD2+DC 2-2BD·DC·cos∠CDB, 即( x)2=x2+602-2·x·60× ,解得x1=-60(舍去), x2=30. 所以这座塔的高度AB为30米.故选C. 返回目录 7.(情境模型变式)(2025届安徽黄山二模,7)如图1,为了测量两山顶M,N间的距离,飞 机沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,M,N在同一个铅垂平面内,其平面图形如图2所 示.已知∠ABM=30°,∠BAN=45°,∠MAN=60°,∠MBN=90°,AB=2 ,则 MN= ( )  　      A.5( -1)　　    B.5 　　     C.5( +1)　　    D.10    C     返回目录 解析　由题设知∠BAM=105°,∠ABM=30°,则∠AMB=45°,因为AB=2 ,  = , 所以AM= = = , 由∠ABN=120°,∠BAN=45°,得∠ANB=15°,因为AB=2 , sin 15°= = = , = ,则AN= = 返回目录  =3 + , 在△AMN中,由余弦定理得MN=  =  = =5( +1). 故选C. 返回目录 $