3.2导数与函数的单调性、极值和最值课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数与函数的单调性、极值和最值”核心考点，依据高考评价体系明确单调性判断、极值点分析、最值求解三大考查方向，通过近五年真题统计，梳理出含参函数单调性讨论（占比35%）、已知单调性求参数（占比25%）等高频题型，构建了“知识点梳理-典例精析-变式训练”的完整备考体系。 课件亮点在于“高考真题溯源+分层突破策略”，如以2021全国乙文“含参三次函数单调性讨论”为原型，提炼“判别式分类-零点位置分析-单调区间划分”三步法，培养学生的数学思维和逻辑推理能力。特设“易错警示”（如导数为零未必是极值点）和“方法模板”（如最值求法步骤），助力学生掌握解题技巧，教师可依托此课件实现精准复习，提升备考效率。

3.2 导数与函数的单调性、极值和最值 返回目录 知识清单 知识点1　导数与函数的单调性 　　设函数f(x)在区间(a,b)内可导, f '(x)是f(x)的导数,则 f '(x)>0 f(x)在(a,b)上单调递增 f '(x)<0 f(x)在(a,b)上单调递减 f '(x)=0 f(x)在(a,b)上为常数函数 返回目录 知识点2　导数的极值 极值 满足条件 极小值点与极小值 函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其 他点处的函数值都小, f'(a)=0;在点x=a附近的左侧f'(x)< 0,右侧f '(x)>0,就把a叫做函数y=f(x)的极小值点, f(a)叫做 函数y=f(x)的极小值 极大值点与极大值 函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其 他点处的函数值都大, f '(b)=0;在点x=b附近的左侧f '(x)> 0,右侧f '(x)<0,就把b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x)的极大值 极值与极值点 极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称 为极值点 返回目录 注意    1.在函数的整个定义域内,函数的极值不一定唯一,在整个定义域内可能有多个 极大值和极小值; 2.极大值与极小值没有必然关系,极大值可能比极小值还小; 3.导数等于零的点不一定是极值点(例如: f(x)=x3, f '(x)=3x2,当x=0时, f '(0)=0,但x=0不是函 数的极值点); 4.对于处处可导的函数,极值点处的导数必为零. 返回目录 知识点3　导数的最值 1.一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大 值和最小值,函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 注意    1.有极值的函数未必有最值,有最值的函数未必有极值. 2.极值不一定是最值,最值只要不在区间端点处必定是极值. 2.若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值, f(b)为函数的最大值;若函数f(x) 在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值, f(b)为函数的最小值. 返回目录 即练即清 1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”) (1)若函数f(x)在定义域上都有f '(x)>0,则函数f(x)在定义域上单调递增. ( ) (2)对可导函数f(x), f '(x0)=0是x0为极值点的充要条件. ( ) (3)函数的极大值一定大于其极小值. ( ) (4)函数f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上一定有最值,但不一定有极值.  ( ) √         ✕         ✕         ✕     返回目录 2.函数y=f(x)的导函数y=f '(x)的图象如图所示,则 ( ) A.在区间(-2,1)上, f(x)单调递增 B.在区间(1,3)上, f(x)单调递减 C.在区间(4,5)上, f(x)单调递增 D.在区间(3,5)上, f(x)单调递增     C     返回目录 3.若x=2是函数f(x)=(x+2)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)=_________.     8     返回目录 4.(易错题)函数f(x)=x+ln(2-x)的单调递增区间为______________.     (-∞,1)     返回目录 考点清单 考点1　导数与函数的单调性 角度1　利用导数求不含参函数的单调性 典例1    (2026届安徽部分学校学情检测,15)已知函数f(x)=aln x+ - . (1)若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与x轴平行,求实数a的值; (2)若a=0,求f(x)的单调区间. 返回目录 解析    (1)由题意知f '(x)= + + ,则f '(1)=a+ , 又因为曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与x轴平行, 所以a+ =0,解得a=- . (2)a=0时, f(x)= - ,定义域为(0,+∞), f'(x)= + = , 令f '(x)=0,得x= , 当x∈(0, )时, f '(x)>0,当x∈( ,+∞)时, f '(x)<0, 所以f(x)的单调递增区间为(0, ),单调递减区间为( ,+∞). 返回目录 方法总结　利用导数求函数f(x)的单调区间 (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导数f '(x); (3)解不等式f '(x)>0,其解集与定义域的交集为单调递增区间; (4)解不等式f '(x)<0,其解集与定义域的交集为单调递减区间. 返回目录 变式训练 1.(关键元素变式)(2025届北京大学附中三模,20)设函数f(x)=x2-kx+ln(2x),且其图象在 (1, f(1))处的切线方程为y=-2+ln 2. (1)求k的值. (2)求f(x)的单调区间. (3)设y=g(x)为曲线f(x)在点(t, f(t))处的切线方程,是否存在t,使得函数h(x)=f(x)-g(x)单调? 若存在,求出所有t的值;若不存在,请说明理由. 返回目录 解析    (1)f '(x)=2x-k+2· =2x-k+ , 则  解得k=3. (2)由(1)知f'(x)=2x-3+ = ,x∈(0,+∞), 令f '(x)=0,得x= 或x=1, 当x∈ ∪(1,+∞)时, f '(x)>0,所以函数f(x)在 和(1,+∞)上单调递增, 返回目录 当x∈ 时, f '(x)<0,所以函数f(x)在 上单调递减, 所以函数f(x)的单调递增区间为 和(1,+∞),单调递减区间为 . (3)因为f '(x)=2x-3+ ,所以f '(t)=2t-3+ ,又f(t)=t2-3t+ln(2t), 所以曲线f(x)在点(t, f(t))处的切线方程为y-t2+3t-ln(2t)= (x-t)(t>0),整理得g(x)=  x+ln(2t)-t2-1, 则h(x)=f(x)-g(x)=x2-3x+ln(2x)-  =x2- x+ln +t2+1, 返回目录 所以h'(x)= +2x- = , 若h(x)在(0,+∞)上单调,则h'(x)≥0恒成立, 所以只有 =t,即t= 或t=- (舍去)时,h'(x)= ≥0恒成立, 即h(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以t= . 返回目录 角度2　利用导数求含参函数的单调性 典例2    (2021全国乙文,21(1))已知函数f(x)=x3-x2+ax+1.讨论f(x)的单调性. 解析　第一步:观察函数定义域并求导数 由f(x)=x3-x2+ax+1可得f '(x)=3x2-2x+a, 第二步:观察到导数对应方程不能用因式分解法求根,则按照判别式大小分类讨论 对于3x2-2x+a=0,Δ=4-12a. ①当a≥ 时,Δ≤0,即f '(x)≥0在R上恒成立,此时f(x)在R上单调递增. ②当a< 时,Δ>0,方程3x2-2x+a=0的两个根为x1= ,x2= ,故当x∈  ∪ 时, f'(x)>0,当x∈ 时, f '(x)<0, 返回目录 所以f(x)在 和 上单调递增,在 上单调 递减. 综上,当a≥ 时,f(x)在R上单调递增;当a< 时, f(x)在 上单调递增,在  上单调递减,在 上单调递增. 返回目录 解题技巧　讨论含参函数的单调性,其本质就是讨论导数符号的变化情况,讨论时要考 虑参数所在位置及参数取值对导函数符号的影响,一般需要进行四个层次的分类: (1)最高次幂的系数是不是0; (2)导函数是否有变号零点; (3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内; (4)导函数的变号零点之间的大小关系. 返回目录 变式训练 2.(不同分类标准变式)已知函数f(x)=ln x-ax+ -1(a∈R).当a≤ 时,讨论f(x)的单调性. 解析    f(x)=ln x-ax+ -1(x>0), 则f '(x)= -a+ = (x>0),令h(x)=ax2-x+1-a(x>0), 当a=0时,h(x)=-x+1(x>0),【先讨论二次项系数为0】 当x∈(0,1)时,h(x)>0, f '(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,h(x)<0, f '(x)>0,函数f(x)单调递增. 当a≠0时,由f '(x)=0,即ax2-x+1-a=0,解得x1=1,x2= -1. 当a= 时,x1=x2,h(x)≥0恒成立,此时f'(x)≤0,函数f(x)单调递减;【再讨论两根相等】 返回目录 当0<a< 时, -1>1>0,x∈(0,1)时,h(x)>0, f'(x)<0,函数f(x)单调递减;【最后讨论两根不相 等,注意抛物线开口方向】 x∈ 时,h(x)<0, f '(x)>0,函数f(x)单调递增; x∈ 时,h(x)>0, f '(x)<0,函数f(x)单调递减. 当a<0时, -1<0,x∈(0,1)时,h(x)>0, f '(x)<0,函数f(x)单调递减; x∈(1,+∞)时,h(x)<0, f '(x)>0,函数f(x)单调递增. 综上所述: 当a≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增; 返回目录 当a= 时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当0<a< 时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在 上单调递增,在 上单调递减. 返回目录 角度3　已知函数的单调性求参数 典例3    (2023全国乙理,16,5分)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)单调递增,则a 的取值范围是_________. 返回目录 解析　由题意得f '(x)≥0在(0,+∞)上恒成立, 即axln a+(1+a)xln(1+a)≥0在x∈(0,+∞)上恒成立, ∵a∈(0,1),∴a+1∈(1,2),∴ln(1+a)>0,ln a<0, ∴y=axln a与y=(1+a)xln(1+a)在(0,+∞)上均为增函数, ∴y=f '(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴f'(0)≥0,即ln a+ln(a+1)≥0, 即ln(a2+a)≥ln 1⇒a2+a≥1, 解得a≤ 或a≥ , 又a∈(0,1),∴a∈ . 返回目录 解题技巧　已知函数的单调性求参数范围 注意参数在导函数解析式中的位置,先尝试分离参数,将问题转化为求解对应函数的最 值问题;若不能分离参数或分离参数后对应函数的单调性无法利用导数解决,则可以直 接转化为求解含参函数的最值问题. 返回目录 变式训练 3.(关键元素变式)(2025届河北唐山二中月考,6)已知函数f(x)= mx2+ln x-2x在定义域 内是增函数,则实数m的取值范围为 ( ) A.[0,+∞)　　    B.[1,+∞)　　     C.[2,+∞)　　    D.[3,+∞)     B     返回目录 解析　因为函数f(x)= mx2+ln x-2x在(0,+∞)内是增函数,所以f '(x)=mx+ -2≥0在(0,+∞) 内恒成立, 所以m≥ - 在(0,+∞)内恒成立, 只需m≥ 即可.  - =- +1, 当 =1,即x=1时, =1, 所以m≥1,即m的取值范围为[1,+∞).故选B. 返回目录 考点2　导数与函数的极(最)值 角度1　利用导数解决函数极值问题 典例4    (2023北京,20,15分)设函数f(x)=x-x3eax+b,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y =-x+1. (1)求a,b的值; (2)设函数g(x)=f '(x),求g(x)的单调区间; (3)求f(x)的极值点个数. 返回目录 解析    (1)∵点(1, f(1))在切线y=-x+1上,且切线斜率为-1,∴f(1)=0, f '(1)=-1, 而f(1)=1-ea+b=0,即ea+b=1①, 又f '(x)=1-3x2eax+b-ax3eax+b, ∴f '(1)=1-3ea+b-aea+b=-1②, 由①②得a=-1,b=1. (2)g(x)=f '(x)=e1-x(x3-3x2)+1, g'(x)=-e1-x(x3-3x2)+e1-x(3x2-6x)=e1-x(-x3+6x2-6x)=-xe1-x(x2-6x+6), 令g'(x)=0,得x=0或x=3± . 返回目录 x,g'(x),g(x)的变化情况如表: x (-∞,0) 0 (0,3- ) 3-   (3- ,3+ ) 3+   (3+ ,+∞) g'(x) + 0 - 0 + 0 - g(x) 单调 递增 极大值 单调 递减 极小值 单调 递增 极大值 单调 递减 返回目录 故g(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(3- ,3+ ),单调递减区间为(0,3- )和(3+ ,+∞). (3)由(2)知g(x)=e1-x(x3-3x2)+1, ∴g(0)=1>0,g(-1)=-4e2+1<0,∴g(x)在区间(-∞,0)上有一个变号零点,故f(x)在(-∞,0)上有 一个极值点.又∵g(1)=-1<0,且g(3- )<g(1)<0,∴g(x)在(0,3- )上有一个变号零点,故 f(x)在(0,3- )上有一个极值点. ∵g(3)=1>0,且g(3+ )>g(3)>0, ∴g(x)在(3- ,3+ )上有一个变号零点,故f(x)在(3- ,3+ )上有一个极值点. 当x>3时,g(x)=x2e1-x(x-3)+1>0,故g(x)在(3+ ,+∞)上无零点,即f(x)无极值点. 综上, f(x)有3个极值点. 返回目录 方法总结　解决函数极值问题的一般思路   返回目录 变式训练 4.(已知极值求参数)(2026届山西大学附中模块诊断,13)已知函数f(x)的导数f '(x)=a(x +1)(x-a),若f(x)在x=-1处取到极大值,则a的取值范围是______________________.     (-∞,-1)∪(0,+∞)     返回目录 解析　由题意,当a=0时不成立,当a≠0时, f '(x)有两个零点x=-1与x=a. ①当a>0时, f '(x)的图象开口向上,且-1<a,故当x∈(-∞,-1)时, f '(x)>0,x∈(-1,a)时, f '(x)<0, f(x)在x=-1处取到极大值,符合题意.②当a<0时, f '(x)的图象开口向下; 当a=-1时, f '(x)≤0, f(x)无极大值,不符合题意; 当a<-1时,在x∈(a,-1)上, f '(x)>0,在x∈(-1,+∞)上, f '(x)<0,故f(x)在x=-1处取到极大值,符 合题意; 当-1<a<0时,在x∈(-∞,-1)上, f '(x)<0,在x∈(-1,a)上, f '(x)>0,故f(x)在x=-1处取到极小值,不符合题意. 综上,a的取值范围是(-∞,-1)∪(0,+∞). 返回目录 角度2　利用导数解决函数最值问题 典例5　(求含参函数的最值)已知函数f(x)=ex+ax+a(a∈R). (1)当a=1时,求曲线f(x)在(0, f(0))处的切线方程; (2)讨论f(x)的单调性,并求最值. 返回目录 解析    (1)当a=1时, f(x)=ex+x+1,求导得f'(x)=ex+1, 则f'(0)=2,又f(0)=2, 则曲线f(x)在(0, f(0))处的切线方程为y-2=2(x-0),即y=2x+2. (2)对f(x)=ex+ax+a求导得f'(x)=ex+a, ①当a≥0时, f'(x)>0在R上恒成立,故f(x)在R上单调递增,无最值; ②当a<0时,由f'(x)=0,解得x=ln(-a), 当x<ln(-a)时, f'(x)<0, f(x)在(-∞,ln(-a))上单调递减; 当x>ln(-a)时, f'(x)>0, f(x)在(ln(-a),+∞)上单调递增, 所以f(x)有最小值,为f(ln(-a))=eln(-a)+aln(-a)+a=aln(-a),无最大值. 返回目录 解题技巧　求f(x)在[a,b]上的最大(小)值 (1)求函数f(x)在区间(a,b)上的极值; (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小 的一个是最小值. 返回目录 变式训练 5.(已知最值求参数)(2025届河北高考冲刺模拟,15)已知函数f(x)=ax2-ln x(a∈R). (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程; (2)若函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为0,求实数a的值. 返回目录 解析    (1)当a=2时, f(x)=2x2-ln x,求导得f '(x)=4x- ,则f '(1)=3,又f(1)=2, 所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-2=3(x-1),即3x-y-1=0. (2)函数f(x)=ax2-ln x的定义域为(0,+∞),求导得f '(x)=2ax- = , 当a≤0时, f '(x)<0,函数f(x)在(0,e]上单调递减,f(x)min=f(e)=ae2-1=0,解得a= >0,与a≤0矛 盾,舍去. 当a>0时,由f'(x)<0得,0<x< ;由f '(x)>0得,x> , 则函数f(x)在 上单调递减,在 上单调递增, 返回目录 ①当 <e,即a> 时, f(x)在 上单调递减,在 上单调递增,则f(x)min= f =a· -ln =0,解得a= ,满足a> ,则a= ; ②当 ≥e,即0<a≤ 时, f(x)在(0,e]上单调递减, 则f(x)min=f(e)=ae2-ln e=0,解得a= ,不满足0<a≤ ,舍去. 综上,a= . 返回目录 $