3.3 利用导数研究函数的极值、最值 专题课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“利用导数研究函数的极值、最值”核心考点，依据课标要求梳理了极值的必要与充分条件、闭区间最值求法等考查要点，对接高考评价体系，分析出极值点判断、参数求解、三次函数最值等高频考点，归纳了选择、填空、解答题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+规律提炼+素养提升”，如以2023新高考Ⅱ卷导数题为例，解析根据极值求参数的“导数零点分析+单调性验证”方法，培养数学思维与逻辑推理能力。总结求最值的“极值端点比较法”，帮助学生掌握得分技巧，教师可通过自主诊断和对点训练精准教学，助力高效复习。

第3节　利用导数研究函数的极值、最值 2027 课标解读　1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大(小)值、最大(小)值以及在给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大(小)值.3.体会导数在研究极大(小)值、最大(小)值中的作用. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(多选题)(人教A版选择性必修第二册习题5.3第4题改编)若函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列结论中正确的是(　　) A.f(x)在x1取得极小值 B.f(x)在x3取得极大值 C.f'(x)在x2取得极大值 D.f(x)在x5取得极大值 BC 解析 由于f'(x1)>0,所以x1不是f(x)的极小值点,故选项A错误;由于f'(x3)=0,且x3左、右两侧导数值分别为正、负,所以x3是f(x)的极大值点,故选项B正确;由图象易知,f'(x)在x2取得极大值,但f(x)不在x5取得极大值,故C选项正确,D选项错误.故选BC. 2.(人教B版选择性必修第三册6.2.2节练习A第3题改编)已知函数f(x)=在x=0处取得极值,则实数a的值为(　　) A.6 B.0 C.2 D.-2 B 解析 由已知得f'(x)=,因为f(x)在x=0取得极值,所以f'(0)=0,即=0,解得a=0,此时f'(x)=,可以验证符合题意,故a=0.故选B. 3.(人教B版选择性必修第三册6.2.2节练习B第3题改编)设函数f(x)=ax3+3x+2有极值,则实数a的取值范围是　　　　　,极值点是　　　　　.  a<0 ± 解析 当a=0时,f(x)=3x+2没有极值,不合题意;当a≠0时,f'(x)=3ax2+3,则f'(x)=3ax2+3=0应有两个不相等的实数根,所以Δ=-36a>0,解得a<0,此时f'(x)=0的根是x=±,此即为极值点. 4.(人教A版选择性必修第二册5.3.2节例7改编)给定函数f(x)=(x+1)ex,则函数的最小值为　　　　　.  - 解析 由已知f'(x)=(x+2)ex,令f'(x)=0得x=-2,当x<-2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>-2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,因此函数f(x)在x=-2处取得极小值f(-2)=-,所以函数的最小值为-. 知识梳理 　　 　　　　　函数极值反映的是函数局部的性质 1.函数的极值与导数 条件 f'(x0)=0 x0附近的左侧f'(x)　　　0, 右侧f'(x)　　　0  x0附近的左侧f'(x)　　　0, 右侧f'(x)　　　0  图象   形如山峰   形如山谷 极值 f(x0)为极　　值  f(x0)为极　　值  极值点 x0为极　　　值点  x0为极　　　值点  极值点是一个实数 > < < > 大 小 大 小 微思考 若函数f(x)可导,则当f'(x0)=0时,f(x)一定在x=x0处取得极值吗? 提示 不一定.f'(x0)=0是f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件,例如f(x)=x3,满足f'(0)=0,但f(x)=x3在x=0处不取得极值. 2.函数的最值与导数 　 　反映的是函数整体的性质 (1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条　　　　　　的曲线,那么它必有最大值和最小值.  (2)一般地,求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下: ①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的　 　　;  ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值　　　　　　比较,其中最大的一个是　　　　　　,最小的一个是　　　　　.  连续不断 极值 f(a),f(b)　 最大值 最小值 研考点•精准突破 考点一　利用导数研究函数的极值 考向1　求函数的极值(极值点) 例1　(1)(多选题)(2025·全国2,10)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=(x2-3)ex+2,则(　　) A.f(0)=0 B.当x<0时,f(x)=-(x2-3)e-x-2 C.f(x)≥2当且仅当x≥ D.x=-1是f(x)的极大值点 ABD 考点一 考点二 考点三 解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,A正确;当x<0时,-x>0, f(-x)=[(-x)2-3]e-x+2=(x2-3)e-x+2=-f(x),所以f(x)=-(x2-3)e-x-2,B正确;又f(-1) =2e-2=2(e-1)>2,所以C错误;当x>0时,f'(x)=ex(x+3)(x-1),当0<x<1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x>1时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以x=1是f(x)的极小值点,所以由奇函数的性质可知,x=-1是f(x)的极大值点,D正确.故选ABD. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·湖南师大附中适应性测试)函数f(x)=x2-ln x的极值点为　　　.  解析 f(x)的定义域为x>0,求导得f'(x)=3x-,在区间(0,)上,f'(x)<0,f(x)单调递减;在区间(,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以x=是函数f(x)的极小值点,没有其他极值点. 考点一 考点二 考点三 规律方法　求函数极值(极值点)的方法步骤 (1)求函数f(x)的定义域; (2)求f(x)的导数f'(x),并求方程f'(x)=0的根; (3)判断f'(x)=0的根的左右两侧f'(x)值的符号,确定极值点; (4)求出极值. 考点一 考点二 考点三 [对点训练1]已知函数f(x)=xln x. (1)求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程; (2)求函数f(x)的极值. 解 (1)由于f(x)=xln x定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+x·=1+ln x,f(e)=e,f'(e)=2,故曲线y=f(x)在点(e,e)处的切线方程为y-e=2(x-e),即2x-y-e=0. (2)令f'(x)<0,则0<x<, 令f'(x)>0,则x>,则函数f(x)在区间(0,)上单调递减,在区间(,+∞)上单调递增.故函数f(x)的极小值为f()=-,无极大值. 考点一 考点二 考点三 考向2　根据函数的极值(极值点)求参数值(范围) 例2　(1)(2025·广东深圳模拟)已知函数f(x)=x(x+a)2在x=1处有极小值,则实数a=(　　) A.3 B.-3 C.1 D.-1 D 考点一 考点二 考点三 解析 由已知f(x)=x(x2+2ax+a2)=x3+2ax2+a2x,所以f'(x)=3x2+4ax+a2,而f(x)在x=1处有极小值,所以f'(1)=0,故3+4a+a2=0,解得a1=-1或a2=-3.当a2=-3时,f'(x)=3x2-12x+9,令f'(x)<0,x∈(1,3),令f'(x)>0,x∈(-∞,1)∪(3,+∞),故此时f(x)在区间(-∞,1),(3,+∞)上单调递增,在区间(1,3)上单调递减,此时f(x)在x=1处有极大值,不符合题意;当a1=-1时,f'(x)=3x2-4x+1,令f'(x)<0,x∈(,1),令f'(x)>0,x∈(-∞,)∪(1,+∞),故此时f(x)在区间(-∞,),(1,+∞)上单调递增,在区间(,1)上单调递减,此时f(x)在x=1处有极小值,符合题意.故选D. 考点一 考点二 考点三 (2)(多选题)(2023·新高考Ⅱ,11)若函数f(x)=aln x+(a≠0)既有极大值也有极小值,则(　　) A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 BCD 考点一 考点二 考点三 解析 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=.因为函数f(x)既有极大值也有极小值,所以g(x)=ax2-bx-2c在区间(0,+∞)内有两个不同的零点,即一元二次方程ax2-bx-2c=0有两个不同的正实数根,设为x1,x2,所以 所以b2+8ac>0,且ab>0,ac<0,bc<0, 所以A不正确,B,C,D正确.故选BCD. 考点一 考点二 考点三 教考链接 (人教A版选择性必修第二册复习参考题5,9)已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,求c的值. 考点一 考点二 考点三 解 因为f(x)=x(x-c)2=x3-2cx2+c2x,所以f'(x)=3x2-4cx+c2=(3x-c)(x-c).当f'(x)=0,即x=,或x=c时,函数f(x)=x(x-c)2可能有极值.由题意,当x=2时,函数 f(x)=x(x-c)2有极大值,所以c>0.由于 x (-∞,) (,c) c (c,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以,当x=时,函数f(x)=x(x-c)2有极大值.此时=2,所以c=6. 考点一 考点二 考点三 规律方法　根据极值(点)求参数值(范围)的方法技巧 (1)已知函数f(x)在x=a处取得极值b,可根据列出关于参数的方程组求解,注意检验是否真正取得极值; (2)已知函数f(x)有n个极值点,则方程f'(x)=0在定义域上应有n个变号零点,由此建立关于参数的不等式组求解. 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](2025·上海,19)已知函数f(x)=x2-(m+2)x+mln x,m∈R. (1)若f(1)=0,求不等式f(x)≤x2-1的解集; (2)若函数y=f(x)满足在(0,+∞)上存在极大值,求m的取值范围. 解 (1)由题意知f(1)=1-(m+2)=0,可得m=-1,则f(x)=x2-x-ln x, 于是f(x)≤x2-1⇔x+ln x-1≥0. 设g(x)=x+ln x-1,x>0, ∵g'(x)=1+>0在(0,+∞)上恒成立,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增. 又g(1)=0,∴g(x)≥0⇔g(x)≥g(1)⇔x≥1,∴不等式f(x)≤x2-1的解集为{x|x≥1}. 考点一 考点二 考点三 (2)∵f'(x)=2x-(m+2)+,x∈(0,+∞),∴当m≤0时,f'(x)>0⇔x>1,f'(x)<0⇔0<x<1.∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,此时f(x)无极大值.当>1即m>2时,f'(x)>0⇔0<x<1或x>,f'(x)<0⇔1<x<,∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,此时f(x)在x=1处取得极大值. 当0<<1即0<m<2时,f'(x)>0⇔0<x<或x>1,f'(x)<0⇔<x<1,∴f(x)在(0,)上单调递增,在(,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,此时f(x)在x=处取得极大值.当=1即m=2时,f'(x)=≥0恒成立,此时f(x)在(0,+∞)上单调递增,函数无极值. 综上,可知m的取值范围为(0,2)∪(2,+∞). 考点一 考点二 考点三 教考链接 (人教A版选择性必修第二册5.3.2例7)给定函数f(x)=(x+1)ex. (1)判断函数f(x)的单调性,并求出f(x)的极值; (2)画出函数f(x)的大致图象; (3)求出方程f(x)=a(a∈R)的解的个数. 考点一 考点二 考点三 解 (1)函数的定义域为x∈R. f'(x)=(x+1)'ex+(x+1)(ex)'=ex+(x+1)ex=(x+2)ex. 令f'(x)=0,解得x=-2. f'(x),f(x)的变化情况如表所示. x (-∞,-2) -2 (-2,+∞) f'(x) - 0 + f(x) 单调递减 - 单调递增 所以,f(x)在区间(-∞,-2)上单调递减,在区间(-2,+∞)上单调递增.当x=-2时,f(x)有极小值f(-2)=-. 考点一 考点二 考点三 (2)令f(x)=0,解得x=-1.当x<-1时,f(x)<0;当x>-1时,f(x)>0. 所以,f(x)的图象经过特殊点A(-2,-),B(-1,0),C(0,1). 当x→-∞时,与一次函数相比,指数函数y=e-x呈爆炸性增长,从而f(x)=→0;当x→+∞时,f(x)→+∞,f'(x)→+∞.根据以上信息,画出f(x)的大致图象如图所示. 考点一 考点二 考点三 (3)方程f(x)=a(a∈R)的解的个数为函数y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数.由(1)及图可得,当x=-2时,f(x)有最小值f(-2)=-. 所以,关于方程f(x)=a(a∈R)的解的个数有如下结论:当a<-时,解为0个;当a=或a≥0时,解为1个;当-<a<0时,解为2个. 考点一 考点二 考点三 考点二　利用导数研究函数的最值 考向1　求函数的最值 例3　(1)(多选题)已知函数f(x)=x2+aln x,则下列结论正确的有(　　) A.a=时,曲线y=f(x)的切线斜率最小值为2 B.a=时,f(x)有最大值 C.a=-时,f(x)有两个零点 D.a=-时,f(x)有最小值 AD 考点一 考点二 考点三 解析 对于A,f'(x)=2x+≥2=2,当且仅当x=时,等号成立,故A正确;对于B,由A知f(x)单调递增,故B错误;对于C,f'(x)=2x-,∴f(x)在x=处取得最小值f()=ln>0,故C错误,D正确. 故选AD. 考点一 考点二 考点三 (2)已知函数f(x)=aln x+bx2-1(a,b∈R),曲线y=f(x)在x=1处与直线y=0相切. ①求a,b的值; ②求f(x)在区间[,e2]上的最大值和最小值.(其中e=2.718…为自然对数的底数) 考点一 考点二 考点三 解 ①易知函数f(x)=aln x+bx2-1的定义域为(0,+∞),则f'(x)=+2bx,因为曲线y=f(x)在x=1处与直线y=0相切, 所以解得 ②由①得f(x)=-2ln x+x2-1, 所以f'(x)=-+2x=,当≤x<1时,f'(x)<0,当1<x≤e2时,f'(x)>0,所以f(x)在区间[,1)上单调递减,在区间(1,e2]上单调递增,所以函数f(x)在x=1处取得最小值,f(x)min=f(1)=0. 因为f()=-2ln+()2-1=1+,f(e2)=-2ln e2+(e2)2-1=e4-5,且e4-5>1+,所以f(x)max=f(e2)=e4-5. 综上,f(x)在区间[,e2]上的最大值为e4-5,最小值为0. 考点一 考点二 考点三 规律方法　求函数最值的方法 (1)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值:①求f(x)的导数f'(x);②解方程f'(x)=0,求出使得f'(x)=0的所有点;③计算f(x)在区间[a,b]上使得f'(x)=0的所有点以及端点的函数值;④比较以上各个函数值,其中最大的是函数的最大值,最小的是函数的最小值. (2)求函数f(x)在开区间或无穷区间上的最值:先求出函数在给定区间上的极值,再结合单调性、极值情况、函数值的正负情况等作出函数的大致图象,结合图象观察分析得到函数的最值. 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](2025·湖北孝感模拟)函数f(x)=xsin x+cos x在区间[0,]上的最小值为(　　) A.- B.0 C.- D.- A 解析 f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,所以当x∈(0,)时,f'(x)>0,当x∈()时,f'(x)<0,所以f(x)在区间(0,)上单调递增,在区间()上单调递减,又f(0)=1,f()=-,所以f(x)min=f()=-.故选A. 考点一 考点二 考点三 考向2　根据函数的最值求参数 例4　(1)(2025·湖北武汉模拟)若函数f(x)=2x++3ln x在区间(a,2-3a)内有最小值,则实数a的取值范围是　　　　.  [0,)　 解析 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2-,令f'(x)=0可得x=1或x=-(舍),当0<x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,即最小值.又因为函数f(x)在(a,2-3a)内有最小值,故0≤a<1<2-3a,解得0≤a<,所以实数a的取值范围是[0,). 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·江苏徐州期末)已知函数f(x)=x2-aln x+1(a>0),若函数f(x)有最小值2,则实数a的值为　　　　.  2 考点一 考点二 考点三 解析 f(x)=x2-aln x+1(a>0)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-,令f'(x)>0,解得x>;令f'(x)<0,解得0<x<,所以f(x)在区间(0,)上单调递减,在区间(,+∞) 上单调递增,所以f(x)min=f()=-aln+1=2,即ln-1=0.令t=>0, 设g(t)=t-tln t-1,g'(t)=-ln t, 令g'(t)<0,解得t>1;令g'(t)>0,解得0<t<1,所以g(t)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减, 所以g(t)≤g(1)=1-ln 1-1=0,所以t==1,解得a=2. 考点一 考点二 考点三 规律方法　根据函数最值求参数的注意点 (1)注意分析判断最值是在极值点还是区间的端点处取得. (2)注意分析区间是无穷区间、开区间还是闭区间. (3)注意结合函数图象及单调性分析最值情况. 考点一 考点二 考点三 [对点训练4](2022·全国甲,理6)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f'(2)=(　　) A.-1 B.- C. D.1 B 考点一 考点二 考点三 解析 函数f(x)的定义域是(0,+∞). f'(x)=,分析易知,当a=0时,不满足题意.当a>0时,若b≤0,则x>0时,f'(x)>0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,无最大值,不符合题意.当b>0时,由f'(x)<0,得0<x<;由f'(x)>0,得x>,所以函数f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,f(x)在区间(0,+∞)上不存在最大值,不符合题意.当a<0时,若b≥0,则 x>0时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,当x→+∞时,f(x)→-∞,当x→0+时,f(x)→+∞,无最大值,不符合题意. 考点一 考点二 考点三 当b<0时,易知函数f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以当x=时,f(x)存在最大值,即解得 所以f'(2)==-,故选B. 考点一 考点二 考点三 考点三　利用导数解决实际应用问题 例5　(2025·江苏无锡期中)广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画,根据该设施的外观,设计成的平面图由半径为2 m的扇形AOB和三角区域BCO构成,其中C,O,A在一条直线上,∠ACB=,若<∠AOB<π,则当 ∠AOB=　　　时,该设施平面图的面积有最大值,最大值为　　 　　.  　　 2+ m2 考点一 考点二 考点三 解析 设∠AOB=x,由已知可得∠CBO=x-,S扇形AOB=lr=2x.在△BCO中,由正弦定理可得,所以CO=2(sin x-cos x),从而S△CBO=BO·CO·sin∠BOC=2sin2x-2sin xcos x,设该设施平面图面积为S(x),所以S(x)=2sin2x-2sin xcos x+2x=2sin x·(sin x-cos x)+2x(<x<π). 因为S'(x)=2(sin 2x-cos 2x)+2=2sin(2x-)+2,由S'(x)=0,解得x=,令S'(x)>0,解得<x<, 所以单调递增区间是(); 令S'(x)<0,解得<x<π,所以单调递减区间是(,π),因此S(x)在x=处取得最大值,是2+ m2. 考点一 考点二 考点三 规律方法　利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)设自变量、因变量,建立函数关系式y=f(x),并确定其定义域; (2)求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0; (3)比较函数在区间端点和f'(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值; (4)回归实际问题作答. 考点一 考点二 考点三 [对点训练5]将一个圆锥整体放入棱长为2的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内,圆锥的轴线与容器的体对角线重合,则圆锥体积的最大值为　　　　　.  　 考点一 考点二 考点三 解析 设正方体容器为ABCD-A1B1C1D1,在射线AA1,AB,AD上分别取点E,F,G,使得AE=AF=AG,则△EFG为等边三角形,设△EFG的内切圆圆心为O,半径为r,即求圆锥C1O体积的最大值. 当平面EFG经过正方体中心时,r=,只需考虑r∈(0,]的情况,∴EF=FG=EG=2r,AE=AF=AG=r. ∵A,O,C1三点共线,且AC1⊥平面EFG,∴AO=r, ∴OC1=2r,∴πr2(2r)=. 考点一 考点二 考点三 令f(x)=-x3+x2,x∈(0,], ∵f'(x)=-3x2+2x, ∴f(x)在区间(0,]上单调递增, ∴f(x)max=f()=, ∴圆锥C1O体积的最大值为. 考点一 考点二 考点三 $