3.3 导数与函数的极值、最值 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数与函数的极值、最值”专题，依据课标要求梳理了极值的判定条件、导数求极值与最值的方法及生活中的最优化问题，对接高考评价体系，明确极值判断、含参函数最值等高频考点占比，归纳选择、填空、解答题等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题训练+方法建模+素养培养”，如以2025全国Ⅱ卷已知极值求参数题为例，详解“求导-列方程-验证”三步法，培养数学思维。通过分类讨论含参函数最值，强化数学语言表达，特设易错点警示和答题模板，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准把握学情，提升复习效率。

第3节　导数与函数的极值、最值 课标要求 1. 借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 2. 能利用导数求某些函数的极大（小）值、最大（小）值. 3. 掌握利用导数研究函数最值的方法. 4. 会用导数研究生活中的最优化问题. 01 PART 夯实必备知识 目 录 知识梳理 1. 函数的极值与导数 条件 f'（x0）＝0 x0附近的左侧f' （x） 0，右侧f' （x） ⁠0 x0附近的左侧f'（x） 0，右 侧f'（x） ⁠0 ＞　 ＜　 ＜　 ＞　 高中总复习·数学 目 录 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f（x0）为极 ⁠值 f（x0）为极 ⁠值 极值点 x0为极 ⁠值点 x0为极 ⁠值点 大　 小　 大　 小　 高中总复习·数学 目 录 提醒：（1）极值点不是点，若函数f（x）在x1处取得极大值，则x1为极 大值点，极大值为f（x1）；（2）f'（x0）＝0是x0为可导函数f（x）的极 值点的必要不充分条件.如：f（x）＝x3，f'（0）＝0，但0不是极值点. 高中总复习·数学 目 录 2. 函数的最值与导数 （1）如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条 ⁠的 曲线，那么它必有最大值和最小值； （2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的 ⁠ ，f（b）为函数的 ；若函数f（x）在[a，b]上单调递 减，则f（a）为函数的 ，f（b）为函数的 ⁠. 连续不断　 最小 值　 最大值　 最大值　 最小值　 若函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点，则相应的极值点一定 是函数的最值点. 高中总复习·数学 目 录 诊断自测 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）对于可导函数f（x），若f'（x0）＝0，则x0为极值点. （　×　） （2）函数的极大值不一定比极小值大. （　√　） （3）闭区间上的连续函数必有最值. （　√　） （4）函数在区间（a，b）上不存在最值. （　×　） （5）函数的极大值一定是函数的最大值. （　×　） （6）设函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，则y＝f（x）在区间 （a，b）内不单调. （　√　） × √ √ × × √ 高中总复习·数学 目 录 2. 如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，下列结论正确的是 （　　） A. y＝f（x）在x＝－1处取得极大值 B. 1是函数y＝f（x）的极值点 C. －2是函数y＝f（x）的极小值点 D. 函数y＝f（x）在区间（－1，1）上单调递减 √ 解析： 　由题图可知当x＜－2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当 x≥－2时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，故－2是函数y＝f（x）的极 小值点，y＝f（x）无极大值.故选C. 高中总复习·数学 目 录 3. 函数f（x）＝ln x－x在区间（0，e]上的最大值为（　　） A. 1－e B. －1 C. －e D. 0 √ 解析： 　因为f'（x）＝ －1＝ ，当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当 x∈（1，e]时，f'（x）＜0，所以当x＝1时，f（x）取得最大值ln 1－1＝ －1.故选B. 高中总复习·数学 目 录 4. 函数 g（x）＝－x2的极值点是 ，函数f（x）＝（x－1）3的极值 点 （填“存在”或“不存在”）. 解析：结合函数图象（图略）可知g（x）＝－x2的极值点是x＝0.因为f' （x）＝3（x－1）2≥0，所以f'（x）＝0无变号零点，故函数f（x）＝ （x－1）3不存在极值点. 5. 若函数f（x）＝ex＋ax在x＝2处取得极值，则a＝ ⁠. 解析：∵f（x）＝ex＋ax在x＝2处取得极值，∴f'（2）＝e2＋a＝0，解 得a＝－e2，经检验，符合题意. 0　 不存在　 －e2　 高中总复习·数学 目 录 02 PART 研透核心考点 目 录 函数的极值（定向精析突破） 考向1　由图象判断函数的极值 〔多选〕设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数g （x）＝xf'（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　） A. f（x）有两个极值点 B. f（0）为f（x）的极大值 C. f（x）有两个极小值点 D. f（－1）为f（x）的极小值 √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　根据g（x）＝xf'（x）的图象，可得当x＜－2时，g（x）＝ xf'（x）＞0，可得f'（x）＜0，即f（x）单调递减，当－2＜x＜0时，g （x）＝xf'（x）＜0，可得f'（x）＞0，即f（x）单调递增，当0＜x＜1 时，g（x）＝xf'（x）＜0，可得f'（x）＜0，即f（x）单调递减，当x＞ 1时，g（x）＝xf'（x）＞0，可得f'（x）＞0，即f（x）单调递增，因此 f（x）在x＝－2和x＝1处取得极小值，在x＝0处取得极大值，共3个极值 点，A错误，C正确；f（0）为f（x）的极大值，B正确；f（－1）不是f （x）的极小值，D错误. 高中总复习·数学 目 录 由图象判断函数y＝f（x）的极值要抓住两点 （1）由y＝f'（x）的图象与x轴的交点，可得函数y＝f（x）的可能极值 点； （2）由导函数y＝f'（x）的图象可以看出y＝f'（x）的值的正负，从而可 得函数y＝f（x）的单调性.两者结合可得极值点. 高中总复习·数学 目 录 考向2　求函数的极值（极值点） 已知函数f（x）＝ln x－ax（a∈R）. （1）当a＝ 时，求f（x）的极值； 解： 当a＝ 时，f（x）＝ln x－ x，函数的定义域为（0，＋∞），且f' （x）＝ － ＝ ， 令f'（x）＝0，得x＝2， 高中总复习·数学 目 录 于是当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表： x （0，2） 2 （2，＋∞） f'（x） ＋ 0 － f（x） 单调递增 ln 2－1 单调递减 故f（x）在定义域上的极大值为f（2）＝ln 2－1，无极小值. 高中总复习·数学 目 录 （2）讨论函数f（x）在定义域内极值点的个数. 解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞）， f'（x）＝ －a＝ （x＞0）. 当a≤0时，f'（x）＞0在（0，＋∞）上恒成立， 则函数在（0，＋∞）上是增函数，此时函数在定义域上无极值点； 当a＞0时，若x∈ ，则f'（x）＞0， 若x∈ ，则f'（x）＜0， 故函数在x＝ 处有极大值. 综上可知，当a≤0时，函数f（x）无极值点； 当a＞0时，函数y＝f（x）有一个极大值点，且为 . 高中总复习·数学 目 录 求函数的极值或极值点的步骤 （1）确定函数f（x）的定义域； （2）求导数f'（x），求方程f'（x）＝0的根； （3）检查在方程的根的左右两侧f'（x）的符号，确定极值点和函数的 极值. 高中总复习·数学 目 录 考向3　已知函数的极值求参数 （1）（2025·全国Ⅱ卷13题）若x＝2是函数f（x）＝（x－1）（x－ 2）（x－a）的极值点，则f（0）＝ ⁠； 解析： f'（x）＝（x－2）'[（x－1）（x－a）]＋（x－2）[（x－1） （x－a）]'＝（x－1）（x－a）＋（x－2）[（x－1）（x－a）]'，因 为x＝2是函数f（x）的极值点，所以f'（2）＝0，即（2－1）（2－a）＝ 0，则a＝2，经检验，满足题意，所以f（x）＝（x－1）（x－2）2，所 以f（0）＝－4. －4　 高中总复习·数学 目 录 （2）若函数f（x）＝ln（2x）＋ax有大于零的极值，则实数a的取值范 围为 ⁠. 解析：函数f（x）＝ln（2x）＋ax的定义域为（0，＋∞），求导得f' （x）＝ ＋a，当a≥0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，＋∞）上是 增函数，无极值，不符合题意；当a＜0时，当0＜x＜－ 时，f'（x）＞ 0，当x＞－ 时，f'（x）＜0，则当x＝－ 时，函数f（x）取得极大值f （－ ），因此f（－ ）＝ln（－ ）－1＞0，即ln（－ ）＞1，解得－ ＜a＜0. （－ ，0）　 高中总复习·数学 目 录 　　已知函数极值点或极值求参数的2个要领 （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定 系数法求解； （2）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用 待定系数法求解后必须验证根的合理性. 提醒：若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在 （a，b）内不是单调函数. 高中总复习·数学 目 录 训练1 （1）（2026·广东汕头模拟）设a∈R，若函数f（x）＝ x3－ x2＋ x＋2在（1，2）内存在极值点，则a的取值范围是（　B　） A. B. （3， ） C. （－∞，3） D. 解析： 依题意，f'（x）＝2x2－ax＋1在（1，2）内存在变号零点.所以a ＝2x＋ 在（1，2）内有解，易知y＝2x＋ 在（1，2）上单调递增，所 以3＜a＜ .故选B. B 高中总复习·数学 目 录 （2）〔多选〕（2023·新高考Ⅱ卷11题）若函数f（x）＝ aln x＋ ＋ （a≠0）既有极大值也有极小值，则（　BCD　） A. bc＞0 B. ab＞0 C. b2＋8ac＞0 D. ac＜0 BCD 高中总复习·数学 目 录 解析：因为函数f（x）＝aln x＋ ＋ （a≠0），所以函数f（x）的定 义域为（0，＋∞），f'（x）＝ ，因为函数f（x）既有极大值也 有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1， x2，则 即 所以 故选B、 C、D. 高中总复习·数学 目 录 函数的最值（定向精析突破） 考向1　不含参函数的最值 （1）函数f（x）＝x2 sin x＋2x cos x在区间［－ ，π］上的最大值与 最小值分别为（　A　） A. ，－2π B. ，－ C. 2π，－ D. 2π，－2π A 高中总复习·数学 目 录 解析： 由题意，得f'（x）＝2x sin x＋x2 cos x＋2 cos x－2x sin x＝（x2＋ 2） cos x.当x∈［－ ， ］时，f'（x）≥0，f（x）单调递增；当x∈ （ ，π］时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.又因为f（ ）＝ ，f（－ ）＝－ ，f（π）＝－2π，所以f（x）的最大值与最小值分别为 与－ 2π.故选A. 高中总复习·数学 目 录 （2）已知函数f（x）＝2ln x，g（x）＝x＋2，若f（x1）＝g（x2）， 则x2－2x1的最大值为 ⁠. 解析：设f（x1）＝g（x2）＝m，m∈R，则x1＝ ，x2＝m－2，x2－ 2x1＝m－2－2 .令h（x）＝x－2－2 ，则h'（x）＝1－ ，令h' （x）＞0，解得x＜0，所以h（x）在（－∞，0）上单调递增，令h' （x）＜0，解得x＞0，所以h（x）在（0，＋∞）上单调递减，h（x） max＝h（0）＝－4，所以x2－2x1的最大值为－4. －4　 高中总复习·数学 目 录 利用导数求给定区间上函数最值的步骤 （1）求函数f（x）的导数f'（x）； （2）利用f'（x）＝0求f（x）在给定区间上所有极值点的函数值； （3）求f（x）在给定区间上的端点值； （4）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大 值与最小值. 高中总复习·数学 目 录 考向2　含参函数的最值 已知函数f（x）＝ －ln x（a∈R）. （1）讨论f（x）的单调性； 解： 函数f（x）的定义域为（0，＋∞）， f'（x）＝ ， ①若a≤0，则f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，所以f（x）在（0，＋ ∞）上单调递减； ②若a＞0，则当x＞a时，f'（x）＜0；当0＜x＜a时，f'（x）＞0，所以 f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，＋∞）上单调递减. 高中总复习·数学 目 录 （2）求f（x）在［ ，e］上的最大值g（a）. 解：f'（x）＝ ，由（1）知， 当a≤ 时，f（x）在［ ，e］上单调递减， 所以f（x）max＝f（ ）＝2－ae； 当 ＜a＜e时，f（x）在［ ，a］上单调递增，在[a，e]上单调递减， 所以f（x）max＝f（a）＝－ln a； 当a≥e时，f（x）在［ ，e］上单调递增，所以f（x）max＝f（e）＝－ . 综上，g（a）＝ 高中总复习·数学 目 录 　　求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参 数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值. 高中总复习·数学 目 录 训练2 （1）函数f（x）＝ 在[2，＋∞）上的最小值为（　C　） A. － B. －1 C. D. 1 解析： f'（x）＝ ，令f'（x）＞0，解得x＞3，令f' （x）＜0，解得2≤x＜3，故f（x）在[2，3）上单调递减，在（3，＋ ∞）上单调递增，故f（x）min＝f（3）＝ . C 高中总复习·数学 目 录 （2）（2025·江苏宿迁二模）若函数f（x）＝ 有最大值， 则k的最大值为（　C　） A. B. C. D. C 高中总复习·数学 目 录 解析： 当x≥2时，f（x）＝ ，则f'（x）＝ ，当2≤x＜e 时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，当x＞e时，f'（x）＜0，此 时函数f（x）单调递减，则函数f（x）在x＝e处取得极大值，且极大值 为f（e）＝ ，因为函数f（x）＝ 有最大值，则 解得0≤k≤ ，因此实数k的最大值为 .故选C. 高中总复习·数学 目 录 （3）若函数f（x）＝ x3＋x2－ 在区间（a，a＋5）内存在最小值，则 实数a的取值范围是（　C　） A. [－5，0） B. （－5，0） C. [－3，0） D. （－3，0） 解析： 由题意，f'（x）＝x2＋2x＝x（x＋2），当 x＜－2或x＞0时，f'（x）＞0；当－2＜x＜0时，f'（x） ＜0.故f（x）在（－∞，－2），（0，＋∞）上单调递 增，在（－2，0）上单调递减，所以函数f（x）的极小值 为f（0）＝－ . 令 x3＋x2－ ＝－ 得x3＋3x2＝0，解得x＝0或x＝－3， 作其图象如图，结合图象可知 解得a∈[－3，0）. C 高中总复习·数学 目 录 03 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：95分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. （2026·黑龙江伊春开学考试）函数f（x）＝（4x－5）e2x的极值点为 （　　） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 　f'（x）＝4e2x＋2（4x－5）e2x＝（8x－6）e2x，令f'（x）＜ 0，得x＜ ，此时函数单调递减；令f'（x）＞0，得x＞ ，此时函数单调 递增.所以f（x）的极小值点为 ，无极大值点.故选B. 高中总复习·数学 目 录 38 2. 已知定义域为[－3，5]的函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）的 图象如图所示，则（　　） A. f（x）在（－2，2）上先增后减 B. f（x）有极小值f（2） C. f（x）有2个极值点 D. f（x）在x＝－3处取得最大值 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由f'（x）的图象可知，当x∈（－2，2）或x∈（4，5）时，f' （x）＜0，则f（x）单调递减，故A错误；当x∈（－3，－2）或x∈ （2，4）时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，所以当x＝2时，f（x）有 极小值f（2），故B正确；由f'（x）的图象结合单调性可知，当x＝－2， 2，4时，f（x）有极值，所以f（x）有3个极值点，故C错误；当x∈（－ 3，－2）时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，所以f（－3）＜f（－ 2），f（x）在x＝－3处不取得最大值，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 3. 函数f（x）＝ 在[0，2]上的最小值是（　　） A. B. C. 0 D. √ 解析： 因为f（x）＝ ，所以f'（x）＝ ＝ ，当x∈[0， 1）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（1，2]时，f'（x）＜ 0，函数f（x）单调递减，当x＝0时，f（0）＝0，当x＝2时，f（2）＝ ，所以函数f（x）在[0，2]上的最小值为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 4. 已知函数f（x）＝ x3＋（a－1）x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值 范围是（　　） A. [0，1] B. （－∞，0]∪[1，＋∞） C. [0，2] D. （－∞，0]∪[2，＋∞） √ 解析： 　由f（x）＝ x3＋（a－1）x2＋x＋1，得f'（x）＝x2＋2（a－ 1）x＋1.根据题意得[2（a－1）]2－4≤0，解得0≤a≤2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 5. 函数f（x）＝x2＋（a－1）x－3ln x在（1，2）内有最小值，则实数a 的取值范围为（　　） A. （－ ，2） B. ［－ ，2］ C. （－ ，2） D. （－ ，1］ √ 解析： 　f'（x）＝2x＋（a－1）－ ＝ ，设g（x）＝ 2x2＋（a－1）x－3，因为Δ＝（a－1）2＋24＞0，因此g（x）＝0有两 个不同实根，又g（0）＝－3＜0，因此g（x）＝0的两根一正一负，由题 意得正根在（1，2）内，所以 解得 － ＜a＜2.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕（2026·山西运城调研）若x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－ 1）ex－1的极值点，则下面结论正确的为（　　） A. a＝－1 B. f（x）的单调递增区间为（－2，1） C. f（x）的极小值为1 D. f（x）的极大值为5e－3 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由题可得f'（x）＝ex－1[x2＋（a＋2）x＋a－1]，x∈R，因 为x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的极值点，所以f'（－2）＝ 0，则4－2（a＋2）＋a－1＝0，解得a＝－1，故f（x）＝（x2－x－1） ex－1，f'（x）＝ex－1（x2＋x－2）＝（x－1）（x＋2）ex－1，当x＜－2 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当－2＜x＜1时，f'（x）＜0，f （x）单调递减；当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故f（x）的 单调递增区间为（－∞，－2），（1，＋∞），单调递减区间为（－2， 1），故A正确，B错误；由上可知，f（x）的极大值为f（－2）＝5e－3， 极小值为f（1）＝－1，故C错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 7. 某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定 为p（p≥20）元时的销售量为Q件，且Q＝8 300－170p－p2，则这批商 品的最大毛利润（毛利润＝销售收入－进货支出）为 元. 解析：设毛利润为L（p）元，由题意知L（p）＝pQ－20Q＝Q（p－ 20）＝（8 300－170p－p2）（p－20）＝－p3－150p2＋11 700p－166 000 （p≥20），所以L'（p）＝－3p2－300p＋11 700.令L'（p）＝0，解得p ＝30或p＝－130（舍去）.因为当20≤p＜30时，L'（p）＞0，当p＞30 时，L'（p）＜0，所以L（30）是极大值，根据实际问题的意义知，L （30）也是最大值，L（30）＝23 000，即零售价定为每件30元时，最大 毛利润为23 000元. 23 000　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 8. 已知函数f（x）＝x（ln x－ax）在（0，＋∞）上有两个极值，则实 数a的取值范围为 ⁠. 解析：f'（x）＝ln x＋1－2ax，由题意知ln x＋1－2ax＝0在（0，＋∞） 上有两个不相等的实根，则2a＝ ，设g（x）＝ ，则g'（x）＝ － .当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞1时，g' （x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）的极大值为g（1）＝1，又当 x＞1时，g（x）＞0，当x→＋∞时，g（x）→0，当x→0时，g（x）→ －∞，所以0＜2a＜1，即0＜a＜ . （0， ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 9. （13分）已知函数f（x）＝ ＋x（a∈R）. （1）若f'（0）＝0，求实数a的值； 解： 由函数f（x）＝ ＋x， 可得f'（x）＝1－ ＝ ， 所以f'（0）＝ ＝1－a＝0，解得a＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）讨论函数f（x）的极值. 解： 函数f（x）＝ ＋x的定义域为R， 且f'（x）＝1－ ＝ ，当a≤0时，f'（x）＞0恒成立， 所以f（x）在R上单调递增，f（x）无极值； 当a＞0时，令f'（x）＞0，解得x＞ln a；令f'（x）＜0，解得x＜ln a， 所以f（x）在（－∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）上单调递增， 所以f（x）的极小值为f（ln a）＝1＋ln a，无极大值. 综上所述，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）的极小值为1 ＋ln a，无极大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 10. （2026·广东六校联考）函数结构是值得关注的对象.为了研究y＝xx （x＞0）的结构，两边取对数，可得ln y＝ln xx，即ln y＝xln x，两边取指 数，得eln y＝exln x，即y＝exln x，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型.结 合上述材料，y＝xx（x＞0）的最小值为（　　） A. 1 B. e C. D. e－e √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　设f（x）＝xln x，则f'（x）＝ln x＋1，令f'（x）＞0，得x＞ ，令f'（x）＜0，得0＜x＜ ，所以f（x）在（ ，＋∞）上单调递增， 在（0， ）上单调递减，所以f（x）min＝f（ ）＝－ ，所以y＝xx的最 小值为 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 11. 已知直线x＝t分别与函数f（x）＝ex＋x和g（x）＝3x－1的图象交 于点A，B，则｜AB｜的最小值为（　　） A. ln 2 B. 3－2ln 2 C. 2ln 2 D. 3＋2ln 2 √ 解析： 　当x＝t时，｜AB｜＝｜f（t）－g（t）｜＝｜et＋t－3t＋1｜ ＝｜et－2t＋1｜.令h（t）＝et－2t＋1，则h'（t）＝et－2.令h'（t）＝ 0，得t＝ln 2，当t＜ln 2时，h'（t）＜0，当t＞ln 2时，h'（t）＞0， ∴h（t）在（－∞，ln 2）上单调递减，在（ln 2，＋∞）上单调递 增，则h（t）min＝h（ln 2）＝3－2ln 2＞0，∴｜AB｜的最小值为3－ 2ln 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕（2026·山东济南联考）已知函数f（x）＝ex（ sin x＋ cos x）在区间（－2π，0）内有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则（　　） A. ｜x1＋x2｜＝π B. f（x）在区间（x1，x2）上单调递减 C. f（x1）＋f（x2）＞0 D. ｜f（x1）－f（x2）｜＜1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A，由题意知函数f（x）＝ex（ sin x＋ cos x）在区间 （－2π，0）内有两个极值点x1，x2，则f'（x）＝2ex cos x＝0有两个实数 根x1，x2，令 cos x＝0，x∈（－2π，0），故x1＝－ ，x2＝－ ，当－ 2π＜x＜－ 时，f'（x）＞0，当－ ＜x＜－ 时，f'（x）＜0，当－ ＜x＜0时，f'（x）＞0，即x1＝－ 为f（x）在（－2π，0）内的极大值 点，x2＝－ 为f（x）在（－2π，0）内的极小值点，所以｜x1＋x2｜＝ 2π，故A错误；对于B，当x∈（－ ，－ ）时，f'（x）＜0，所以f （x）在区间（x1，x2）上单调递减，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 对于C，f（x1）＝ ［ sin （－ ）＋ cos （－ ）］＝ ，f（x2） ＝ ［ sin （－ ）＋ cos （－ ）］＝－ ，又y＝ex是R上的增函数， 故 ＜ ，所以f（x1）＋f（x2）＝ － ＜0，故C错误；对于 D，｜f（x1）－f（x2）｜＝ ＋ ＜ ＋ ＝ ，因为 ＞1，所 以 ＞e，所以 ＜ ＜1，故｜f（x1）－f（x2）｜＜1，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 13. （2026·河南五市联考）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f （x）＝－ f'（3）ln x－f（1）x2－4x，则f（x）的极值点为 　 　. 解析：由f（x）＝－ f'（3）ln x－f（1）x2－4x，可得f'（x）＝－ f' （3） －2f（1）x－4，将x＝3代入整理得4f'（3）＋21f（1）＋14＝0 ①，将x＝1代入f（x）＝－ f'（3）ln x－f（1）x2－4x可得f（1）＝－f （1）－4，即f（1）＝－2，将其代入①，解得f'（3）＝7，故得f（x）＝ －3ln x＋2x2－4x.则f'（x）＝－ ＋4x－4，令f'（x）＝0可得x＝－ 或 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 x＝ ，因为x＞0，所以当0＜x＜ 时，f'（x）＜0；当x＞ 时，f'（x）＞0，则函数f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增，即x＝ 是函数f（x）的极小值点，函数f（x）没有极大值点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）已知函数f（x）＝ln x－ax，x∈（0，e]，其中e为自然对数 的底数. （1）若x＝1为f（x）的极值点，求f（x）的单调区间和最大值； 解： ∵f（x）＝ln x－ax，x∈（0，e]， ∴f'（x）＝ ，由f'（1）＝0，得a＝1. ∴f'（x）＝ ， ∴x∈（0，1），f'（x）＞0，x∈（1，e]，f'（x）＜0， ∴f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，e]，f（x） 的极大值为f（1）＝－1，也即f（x）的最大值为f（1）＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）是否存在实数a，使得f（x）的最大值是－3？若存在，求出a的 值；若不存在，说明理由. 解： ∵f（x）＝ln x－ax，∴f'（x）＝ －a＝ ， ①当a≤0时，f（x）在（0，e]上单调递增， 得f（x）的最大值是f（e）＝1－ae＝－3，解得a＝ ＞0，舍去； ②当a＞0时，由f'（x）＝0，得x＝ ， 当0＜ ＜e，即a＞ 时， x∈（0， ），f'（x）＞0，x∈（ ，e），f'（x）＜0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 ∴f（x）的单调递增区间是（0， ），单调递减区间是（ ，e）， 又f（x）在（0，e]上的最大值为－3， ∴f（ ）＝－1－ln a＝－3，∴a＝e2； 当e≤ ，即0＜a≤ 时，f（x）在（0，e]上单调递增， ∴f（x）的最大值是f（e）＝1－ae＝－3，解得a＝ ＞ ，舍去. 综上，存在a符合题意，此时a＝e2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 15. 〔创新交汇〕已知函数f（x）＝ 若存在实数 x1，x2，x3且x1＜x2＜x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1f（x1） ＋x2f（x2）＋x3f（x3）的最大值为（　　） A. 3e3－12 B. 3e3－20 C. 5e5－12 D. 5e5－20 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　作出f（x）的大致图象如图所示.由题 意知，存在实数x1，x2，x3且x1＜x2＜x3，使得f （x1）＝f（x2）＝f（x3），因为f（x）＝x2＋ 4x＋5的图象关于直线x＝－2对称.所以x1＋x2＝ －4，所以x1f（x1）＋x2f（x2）＋x3f（x3）＝（x1＋x2＋x3）f（x3）＝（x3－4）f（x3）＝（x3－4）ln x3，由图可知，1＜f（x3）≤5，所以 e＜x3≤e5.设g（x）＝（x－4）ln x，x∈（e，e5]，则g'（x）＝ln x＋1－ ，易知g'（x）在（e，e5]上单调递增，又g'（e）＝2－ ＞0，所 以当x∈（e，e5]时，g'（x）＞0，所以g（x）在（e，e5]上单调递增，所以g（x）max＝g（e5）＝（e5－4）ln e5＝5e5－20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 $