6.3三角形的中位线 自主学习同步练习题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦三角形中位线，通过基础巩固、综合应用到探究拓展的分层设计，培养几何直观与推理能力，实现从概念理解到创新应用的递进。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|中位线定义与基本性质|单选题1-2直接应用定理求长度，填空题8结合生活情境（跷跷板）强化几何直观| |中档|中位线与平行四边形、角平分线综合|单选题3（瓦里尼翁平行四边形）、填空题10-12结合全等、垂直构造中位线，提升推理能力| |提升|中位线探究与跨知识整合|解答题20（梯形中位线性质推导）、21（综合应用与延伸），培养创新意识与模型观念|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《6.3三角形的中位线》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．如图，在中，，点D，E分别是边的中点，那么的长为（　　） A．2 B． C．4 D．3 2．如图，在中，对角线，相交于点，点是的中点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，法国数学家瓦里尼翁发现，顺次连接四边形各边中点E、F、G、H得到的平行四边形与原四边形关系密切，因此平行四边形也被称为瓦里尼翁平行四边形．已知下列线段的长度，能得到瓦里尼翁平行四边形周长的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．如图，在中，，，分别是，，的中点，有四条线段，，，，其中有一条线段是的中线，则该线段是（ ） A． B． C． D． 5．如图，在平行四边形中，，点分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（   ） A．2 B． C．1 D． 6．如图，已知线段，连接，，点E，F分别是边，的中点，连接，且，，则的长为（   ） A．8 B．6 C．10 D． 7．如图，的对角线交于点O，平分交于点E，交于点F，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中所有正确结论的序号是（　　） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 二、填空题 8．为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为，．当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为_____． 9．如图，中，，平分，交于点，，点，分别是和的中点，则的长为___． 10．如图，在中，已知平分于点是的中点．若，，则 _____． 11．如图，在四边形中，点，分别是，的中点．若，，，则的长为_____． 12．如图，在中，点E是的中点，平分，且于点D．若，，则的长为______．    13．如图，中，，点D，E分别在边上，且，，分别连接，点M，N分别是的中点，连接，则线段的长为______． 14．如图，在中，对角线与交于点O，的平分线与交于点E，点F是的中点，连接，若，则长为______． 三、解答题 15．已知：如图，在中，，点是边的中点，连接． (1)尺规作图：在上求作一点，使得为的中位线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 16．如图，在中，，，分别为，的中点，点，在射线上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 17．如图，的中线，相交于点，且，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 18．如图，在中，，E，F分别是，的中点，延长到点D，使，连接，，，，交于点O． (1)求证：与互相平分． (2)若，，求的长． 19．如图，在四边形中，，、、分别是、、的中点，． (1)求证：是等腰三角形： (2)求的度数． 20．【知识回顾】 如图1，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”． 【方法迁移】 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图2，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图2，连接并延长，交的延长线于点…… (1)请写出梯形的中位线和两底间的关系，并说明理由． 【理解内化】 (2)如图3，若梯形的面积为，高为，则梯形的中位线的长为__________． 21．【教材呈现】如图是沪教版八年级下册教材第42页的第1题，请完成这道题的证明． (1)如图①，在四边形．中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． (2)【教材延伸】 如图②，延长图①中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． (3)【应用探究】 如图③，在中，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，求的长． 参考答案 1．A 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理进行解答即可． 【详解】解：∵点D，E分别是边的中点， ∴， 故选：A． 2．B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，由平行四边形的性质可得O是的中点，进而由是的中点可得为的中位线，根据三角形中位线的性质即可求解，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴O是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 3．C 【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．根据三角形中位线定理得到，再根据四边形的周长公式判断即可． 【详解】解：∵点E、F、G、H分别为的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∵四边形的周长， ∴已知线段和的长度，能得到四边形的周长， 故选：C． 4．B 【分析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得．本题主要考查三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 【详解】解：根据三角形中线的定义知线段是的中线， 故选：B． 5．D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，中位线的定义和性质，勾股定理， 先根据中位线的定义和性质可得，再根据“垂线段最短”可知当时，最小时，即最小，然后根据平行四边形的性质和直角三角形的性质求出，最后根据勾股定理求出，则答案可得. 【详解】解：如图所示，连接， ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴是的中位线， ∴， 可知最小时，最小， 根据“垂线段最短”可知当时，最小时，即最小，如图， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴的最小值为． 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了三角形中位线定理和勾股定理，作出辅助线，构造出直角三角形是解决此题的关键．连接，取中点，连接，，根据三角形中位线定理求得，的值，证得，然后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，取中点，连接，， ∵E，G分别是，中点， ∴，， 同理可得，， ∵， ∴， 在中，． 故选：C． 7．C 【分析】由平行四边形的性质得，可得，可证明是等边三角形，从而得到，进而得到，可判断①正确，②正确；由，得，可判断③错误；由三角形中位线定理得，可判断④正确，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等边三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、平行四边形的面积公式、垂线段最短、三角形中位线定理等知识，证明是等边三角形是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴；平分，故①正确，②正确； ∵， ， ∴，故③错误； ∴O是的中点，E是的中点， ∴，故④正确， 故选：C． 8． 【分析】利用三角形中位线定理，通过已知的中点和垂直关系，得出线段间的数量关系，进而求出离地面的高度．本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：在的延长线上取一点，使得． 点为的中点， 是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ，即另一端离地面的高度为． 故答案为：． 9．// 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线的性质是解题关键． 首先根据平行四边形的性质可得，，再结合角平分线的定义和平行线的性质证明为等腰三角形，易得，进而可得，然后结合点，分别是和的中点，易得是的中位线，结合三角形中位线的性质即可获得答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是和的中点， ∴， 故答案为：． 10．3 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质得到，，进而求出，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：延长交于点D， 平分， ， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ，是的中点， 是的中位线， ， 故答案为：3． 11． 【分析】本题考查三角形的中位线的判定与性质，勾股定理，作出正确的辅助线是解题的关键．设边的中点为G，连接，，易证，，，，，．继而证明．在中，．即可解答． 【详解】解：如图，设边的中点为G，连接，． ∵点E，G分别是，的中点， ∴，， ∴． ∵点F，G分别是，的中点， ∴，， ∴． ∵， ， ∴． 在中，． 故答案为：． 12．2 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形中位线的性质．延长交于N，利用证得，求得，，再根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】解：延长交于N，   平分，， ，， 又， ， ，， ， ∵点E是的中点， ， 则是的中位线， ∴， 故答案为：2． 13． 【分析】根据题意取的中点F，连接，根据三角形的中位线的性质，可得，，，，根据勾股定理，则，求出即可． 本题考查三角形中位线，勾股定理等知识，解题的关键是掌握三角形中位线的性质，勾股定理的应用． 【详解】解：取的中点F，连接， ， 点M是的中点， 是的中位线， ，， ， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， 故答案为： 14． 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、三角形的中位线、等腰三角形的判定与性质．由和角平分线得到，则，再根据是的中位线，得到． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点，， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 15．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用作垂直平分线的方法作出的中点，则为的中位线； （2）根据中位线的性质求得，再利用等腰三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）证明：∵为的中位线， ∴， ∴， ∵，点是边的中点， ∴， ∴． 16．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据证明即可； （2）过点作于，利用勾股定理及平行四边形的性质、矩形的性质及判定得出的值，进而求出的长. 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 过点作于， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 17．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理可得出，，然后利用平行四边形的判定即可得证； （2）利用三线合一得，由勾股定理求出，结合平行四边形的性质可求出，再由勾股定理求出，然后根据三角形中位线定理可得的长． 【详解】（1）证明：∵的中线，交于点O， ∴，， ∵点F，G分别是，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， ∵，是的中线， ∴，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴． ∵，E分别是，的中点， ∴． 18．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明是的中位线，得出，，结合题意可得，，进而得出四边形为平行四边形，即可得证； （2）由勾股定理可得，由（1）可得，，求出，，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分． （2）解：∵在中，，，， ∴， 由（1）可得：，， ∴， 在中，，， ∴． 19．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形的中位线性质可得，，，，再利用等量代换和等腰三角形的判定可得结论； （2）利用平行线的性质和等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵在四边形中，、、分别是、、的中点， 分别是与的中位线， ，，，， 是等腰三角形； （2）解：，， ， ． 20．(1)；，理由见解析 (2) 【分析】（1）先证和全等，再说明是的中位线．利用三角形中位线定理得出结论； （2）先根据梯形面积求解得到的值，再由梯形中位线求解即可． 【详解】（1）解：，． 证明：连接并延长，交的延长线于点G， ∵， ∴，， ∵就是梯形的中位线， ∴， ∴ ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴，，即， ∵ ∴． （2）解：梯形的面积为，高为， ∴ ∴ 则梯形的中位线． 21．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据中位线定理证明即可； （2）根据中位线定理证明即可； （3）连接，取中点，连接、，结合（1）（2）的结论证明为等腰直角三角形，进而解题． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，由（1）得， ∵是的中点，是的中点，为的中点， ∴，， ∴，， ∴； （3）证明：如图，连接，取中点，连接，，由（1）知， 由（2）可知，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， 由（1）知， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $