精品解析：广东深圳市建文外国语学校2025-2026学年第二学期校二模考试高三数学试题

深圳市建文外国语学校2025-2026学年第二学期校二模考试 高三数学 本试题卷共4页，共19题.全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为，则点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为球的半径，为线段上的点，且，过且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是第一象限角，且，则（　　） A. B. C. D. 6. 5位医生被分配到4个接种点承担接种新冠疫苗工作，每个医生只能去一个接种点，每个接种点至少有一名医生，其中医生甲不能单独完成接种工作，则共有（ ）种不同的分配方法 A. 24 B. 48 C. 96 D. 12 7. 已知分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆上一点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若定点，满足 ，动点P满足，则动点P的轨迹是椭圆 B. 若定点，满足，动点M满足 ，则动点M的轨迹是椭圆 C. 当时，方程表示椭圆 D. 若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 10. 互不相等的一组样本数据成等差数列，公差为，则下列选项中正确的是（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的上四分位数和下四分位数之差为 C. 从这5个数中任选3个数，这3个数成等差数列的概率为 D. 若的标准差为2，可得 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若数列均为等差数列，则数列为等差数列 B. 若数列是公比相同的等比数列，则数列为等比数列 C. 若数列为等差数列，则数列为等比数列 D. 存在非零实数使得数列为等比数列 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知椭圆和双曲线的焦点相同，则______. 13. 的展开式中的系数是__________.（用数字作答） 14. 若函数为偶函数，则正实数的值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响． （Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率； （Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题个数记为，求随机变量的分布列和期望． 16. 已知椭圆的右焦点为，且长轴长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长． 17. 已知椭圆：的短轴长为，由的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）已知点，过点的直线与椭圆交于不同两点，．证明：． 18. 已知为等差数列，公差，中的部分项恰为等比数列，且公比为，若，， （1）求； （2）求数列的通项公式及其前项之和. 19. 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． （1）证明：； （2）求集合中元素个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市建文外国语学校2025-2026学年第二学期校二模考试 高三数学 本试题卷共4页，共19题.全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为 ， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解分式不等式得出集合A，再应用交集定义计算求解. 【详解】，即，，解得， 又因为集合，则. 3. 已知点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为，则点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】设，因为点到的距离为， 则，得到， 故选：A. 4. 已知为球的半径，为线段上的点，且，过且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，由题得,设球的半径为，解方程即得解. 【详解】解：如图所示，由题得. 设球的半径为，则, 所以. 故选：B 5. 已知是第一象限角，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为是第一象限角，且， 所以，则，, 所以. 6. 5位医生被分配到4个接种点承担接种新冠疫苗工作，每个医生只能去一个接种点，每个接种点至少有一名医生，其中医生甲不能单独完成接种工作，则共有（ ）种不同的分配方法 A. 24 B. 48 C. 96 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】先从4人中选1人与甲组成1组，再连同剩余3人分配到4个接种点即可求解. 【详解】从能独立工作的4名医生中选一人与甲同时工作有种，然后把剩余3人与所选2人视为4组，分到4个不同的接种点，共有种， 故共有 故选：C 7. 已知分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆上一点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的定义、离心率公式以及勾股定理即可得解. 【详解】 因为，则， 因为，所以，解得，即椭圆的离心率为． 故选：A. 8. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过图形根据向量的线性运算进行求解，用将向量表示出来. 【详解】根据图形和已知条件可得： ， 所以，所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若定点，满足 ，动点P满足，则动点P的轨迹是椭圆 B. 若定点，满足，动点M满足 ，则动点M的轨迹是椭圆 C. 当时，方程表示椭圆 D. 若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，若定点，满足，动点P满足 ， 则动点P的轨迹为以，为端点的线段，所以A选项不正确; 对于B，若定点，满足，动点M满足 ， 则由椭圆的定义，可得动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆，所以B选项正确; 对于C，当 ，即时，方程表示圆，所以C选项不正确; 对于D，若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点在轴上. 其中，，可得，所以焦点坐标为，所以D选项正确. 10. 互不相等的一组样本数据成等差数列，公差为，则下列选项中正确的是（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的上四分位数和下四分位数之差为 C. 从这5个数中任选3个数，这3个数成等差数列的概率为 D. 若的标准差为2，可得 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平均数、四分位数、等差数列性质以及方差等概念，通过对每个选项计算分析来判断其正确性. 【详解】对应A选项，首先看，根据等差数列下标性质知道，所以A选项正确. 对于B选项，当时，这个数按从小到大排列，上四分位数是，下四分位数是，此时上四分位数和下四分位数之差为. 当时，这个数按从大到小排列，上四分位数是，下四分位数是，此时上四分位数和下四分位数之差为，所以B选项错误. 对于C选项，从个数中选个数的组合数种. 而；；；这组能构成等差数列，所以这个数成等差数列的概率为，C选项正确. 对于D选项，已知，因为，，，，代入可得. 又已知，即，所以，D选项错误. 故选：AC. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若数列均为等差数列，则数列为等差数列 B. 若数列是公比相同的等比数列，则数列为等比数列 C. 若数列为等差数列，则数列为等比数列 D. 存在非零实数使得数列为等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等差、等比数列的概念及特例可判断A、B，根据等比数列的定义与性质可判断C、D. 【详解】对于，设数列的公差分别为， 则，为常数，故选项正确； 对于，均为等比数列且公比相等，当时，数列不是等比数列，故选项错误； 对于，设等差数列的公差为，则，为常数，所以为等比数列，故选项正确； 对于，若数列为等比数列，则， 当时，，当时，不是常数，故选项错误. 故选：. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知椭圆和双曲线的焦点相同，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线方程可得，且焦点在x轴上，再结合椭圆方程列式求解即可. 【详解】对于双曲线，可知其半焦距，且焦点在x轴上， 对于椭圆可得，且，解得. 故答案为：. 13. 的展开式中的系数是__________.（用数字作答） 【答案】80 【解析】 【详解】设二项展开式的通项公式为. 由. 所以. 故的系数为. 14. 若函数为偶函数，则正实数的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据偶函数满足对定义域内任意恒成立的性质，列等式求解正实数的值. 【详解】由偶函数定义可知，对任意，均有成立， 因为正实数，整理得： 该式对任意恒成立，故 ，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响． （Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率； （Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题个数记为，求随机变量的分布列和期望． 【答案】（I） （II） （III）X的分布列为 X 1 2 3 4 P 【解析】 【详解】（Ⅰ）设事件表示“该选手能正确回答第i轮问题”． 由已知，，，． （Ⅰ）设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则 （Ⅱ）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则 （Ⅲ）X的可能取值为1,2,3,4． ；；； ∴X的分布列为 X 1 2 3 4 P ∴． 16. 已知椭圆的右焦点为，且长轴长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长求出，根据焦点坐标得到，利用求出，即可求出椭圆的标准方程； （2）由题意求出直线的方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求解. 【小问1详解】 因为椭圆的长轴长为，即，则， 又因为椭圆的右焦点为，即，所以， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可得直线的方程为， 与椭圆方程联立得，得， 设，， 则，， 故. 所以线段的长为. 17. 已知椭圆：的短轴长为，由的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）已知点，过点的直线与椭圆交于不同两点，．证明：． 【答案】（1） （2）证明：设直线的方程为（当直线斜率不存在时，直线过点，不合题意）. 设，. 联立，整理得， ， 则，， ， 而， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据所给条件列方程求出，即可写出椭圆方程； （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，代入化简即可. 【小问1详解】 由椭圆短轴长为，得，所以. 又的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为，所以，即. 又，解得，. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 18. 已知为等差数列，公差，中的部分项恰为等比数列，且公比为，若，， （1）求； （2）求数列的通项公式及其前项之和. 【答案】（1）2 （2）； 【解析】 【分析】（1）利用等比中项公式得到，再利用等差数列的通项公式得到，从而得解； （2）利用等差与等比数列的通项公式推得，进而利用分组求和法即可得解. 【小问1详解】 由，，成等比数列，故，即， 即，又，故，， 故等比数列的公比. 【小问2详解】 在等差数列中，， 在等比数列中，， 故，即， 所以 . 19. 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． （1）证明：； （2）求集合中元素个数． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出； （2）根据题意化简可得，即可解出． 【小问1详解】 设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证． 【小问2详解】 由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $