广东深圳高级中学（集团）2026届高三适应性考试数学试卷

深圳高级中学（集团)2026届高三适应性考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.复数z满足z(1+i)=2i,其中i为虚数单位，则z=() A.2 B.2N2 c.1 D.√2 2. “p=-子+，eZ是“函数y=m(+)的图象关丁任0对称的() 4 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设集合A={-2l,a吲，B={-1,a},若AUB含有4个元素，则a=( A.-1 B.0 C.1 D.2 4.已知函数f(x)=e+aex(a∈R)的图象关于原点对称，则f(a)=( A.i-e B.1 C.o- D.e+日 5.如图，平行四边形OABC中，OA=5,OC=4,作如下图所示网格，使得每个 小平行四边形都是菱形，若0AOC=-10,则CD.P0=( A吕 B. c. D. 6.抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反光线经过抛物 线的焦点.过点P(2√2,5)且平行于y轴的一条光线射向抛物线C:x2=4y上的A点，经过反射后的反射光线 与C相交于点B,则AB吲=() A B.9 C.36 D.? 7.函数f(x)=2+lnr与函数g(x)=e*公切线的斜率为( A.e2 B.e C.1或e D.1或e2 8.在平面直角坐标系x0y内，若直线：x+y+m=0绕原点0逆时针旋转90°后与圆C:(x一1)2+0一2)2= 1有公共点，则实数m的取值范围是() A.[之V3-1,V3-1] B.[-1,V2+1 C.[-1,V3+1] D.[-√2-1，V2-1] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 1 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.从我校高一和高：年级分别随机抽取100名学生进行知识竞赛，按得分满分：100分)绘制如图所示的频 率分布直方图，根据频率分布直方图，并用频率佔计概率记高一年级学生得分平均数的估计值为x,高二年 级学生得分中位数与平均数的估计值分别为y,z从高一和高二年级各随机抽取…名学生，记事件M=“高一 年级学生得分不低于60分，高二年级学生得分不低于80分”，事件N=“高-年级学生得分不低于80分) 高二年级学生得分不低于60分”，·则() 频率 频 组距 頸陌 0.030… 0.030)… 0.020 0.020 0.015 0.010 0.010 0.005 0.005 上 0 2030405060708090100分数 0 2030405060708090100分数 高一年级学生得分 高二年级学生得分 A.x<Z B.y>z C.事件M,N互斥 D.P(M)=P(N) 10.如图，在直三棱柱ABC-ABC屮，AB=AC=A4=2,AB LAC,点P、Q、M、N分别隄BB、CC、 AA、BC的中点，则( A.P、Q、M、N四点共面 B.线段BC为直三棱柱ABC-ABC外接球的直径 C.三棱锥P-4QN的体积为？ 3 D.直线MW与AC所成角余弦值为y通 11.如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第n行第0行 第1行 的第r个数可以表示为C(n≥1时).我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详 第2行 第3行 1 3 3 1 解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成第4行 14641 第5行.15101051 就同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有() A.第2026行共有2026个数 第n行 B.从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为C如-1 C.第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D.去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，则此数列前135项的和为218一52 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.与双曲线2-兰=1有相同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是一· 13.已知数列{a,}的前n项和为Sn,若nSn1-(n+1)Sn=2(h+内，且a,=2,则Sn= 4.在三角形ABC中，∠BAC=2BD=D正=EC,设∠BAD=a,LDAE=a,EAC=%, sindz= sina sina; 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面 B ABC的部分截面如图中阴影部分所示.已知LABC=子π，∠ACD=号路宽AD-24 米.设LBAC=0(7≤日≤君) ()若0=石求灯柱AB的高h: (②)此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多 少？ 16.下表为某汽车模型公司的产品分类，共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如表所示： 红色外观蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有 棕色内饰，求P(B4): (②)该公司举行了一个回馈客户抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模 型为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色，②两个模型的外观 和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色. 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元. 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖出现某种结果的概率越小，奖金金额越高 请判断以上三种结果分别对应几等奖设中奖的奖金数是X,写出X的分布，并求X的数学期望. 17.如图，B是圆柱OO的母线，四边形ABCD是底面内接正方形.点E,F 是棱BC,CD上的动点(E,F不与端点重合)，且CE=DF, 01 (I)证明：AE⊥平面PBF: (2)己知圆柱OO的体积为1，PB=2,点A到直线PF的距离是1. (i)求CE的长度： (i)求直线CD与平面PAE所成角的正弦值. 18.已知A、B分别为平面直角坐标系中x轴、y轴上的动点，|AB引=2，BC=BA(0<1<1) (1)讨论C点的运动轨迹Γ表示的图形： (2)若AB与T只有一个交点，求△A0B面积的最大值(O为坐标原点). 19.已知f(x)=xe+ae-1. (I)若a之0，证明：f(x)≥x+l血x恒成立 (2)令gn(x)=f(x)-n,且neN,gn（x)有唯一的正零点xn (i)求a的取值范围； (i)当a=1时，证明：2(n+2-2)<+++1<2+n+2nn. X X2 x深圳市高级中学（集团）2026届高三适应性考试 数学参考答案 2i(1-i) 1.【答案】D【详解】因为Ξ+1)=21，所以5岳5二1中i少 =1+i,所以=P+下-反 2【答案】A【解标】若酒数y=m(+列的图象关于得0对格，则经+p经ke乙， 朝利=一子经eZ,因为p0=-经低e乙是9子受4e乙的真子集，所以 “p=-亚+km,k∈Z"是“函数y=tan(x+p)的图象关于 4 任0对称的充分不必要条件故选：A 3.【答案】B【解析】根据集合元素的互异性可知，a≠1，a≠-2.因为AUB含有4个元素，所以A⌒B仅含有1 个元素，若d2∈A,则ad2=l或=a,所以a=0或a=±1.若-1∈A,则a=-1.结合集合元素的互异性可知a=0 或a=-1.当a=0时，A={-2,1,0},B={-1,0},AUB={-2,-1,0,1},符合题意.当a=-1时，A={-2,1-1}, B={-1,1},AUB={-2-1,1},不符合题意综上，a=0. 4.【答案】A解：·函数f(x)=ex+aex(a∈R)的图象关于原点对称，可得：f(x)为定义域R上的奇函数，根据奇 函数性质f(-x)=-f(x),令x=0,可得f(0)=0,又f(0)=e°+ae=0, a=-1,f()=e*-ex,故f@)=f(-1)=e1-e2=君-e故选A. 5.【答案1c【详解1设与a10C方向相同的单位向量分别为2,6，则oA.0c=5a46-10,枚a6=,由于 c0=a-260=-2a+0,放c00-6-20a+30-2a-a6-66-2-（6= 6.【答案】D解：由题意得点A的坐标为(2√Z2),C的焦点为F(0,1),所以直线AF的方程为y-?x+1,与抛物 线方程x2-4联立，消去得x2-V2x-4=0,由韦达定理得x+g=2.所以⅓+归=(4十g)+2- 所以由抛物线的定义得A副=A+y归+2=？故选：D 7.【答案】C【解答】解：由题意可得f'(x)=是，g'()=e,设切点坐标分别为(x,2+nx),(x2,e), 则切线方程为y-2+x)=c-x),即y=x+1+x,或y-e=e(c-x),即y=ex+(1- )e.则片-e,0 ,由①得x2=-lnx1: (1+nx1=(1-x2)ex,② 代入②，得(1+x)1-宁)=0，则x1=1或x=是公切线斜率为k=1或k=e. 8.【答案】D直线l:x+y+m=0的斜率为-1，过点(-m,0),直线l:x+y+m=0绕原点0逆时针旋转90°后， 斜率为1，过点(0，-m),得到直线x-y-m=0,该直线x-y-m=0与圆C:(x-1)2+y-2)2=1存在公共点， 则圆心C(1,2)到直线x-y-m=0的距离d=1-2m≤1，解得-√2-1≤m≤√2-1. 9.【答案】AB【解析】解：根据题意可得高一年级学生得分平均数的估计值为： x=(35×0.01+45×0.02+55×0.03+65×0.02+75×0.01+85×0.005+95×0.005)×10=58.5, 高二年级学生得分平均数的估计值分别为： z=(35×0.005+45×0.01+55×0.015+65×0.02+75×0.03+85×0.015+95×0.005)×10=67.5, 因为高二年级学生得分的频率分布直方图的前几组的频率依次为：0.05,0.1,0.15,0.2， 所以y=7O,所以x<z,所以A选项正确；因为y>z,所以B选项正确： 因为M∩N=“高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于80分”≠⑦，所以C选项错误： 由评率估计概率得：P(M)=(0.2+0.1+0.05+0.05)×(0.15+0.05)=0.08, P(N)=(0.05+0.05)×(0.2+0.3+0.15+0.05)=0.07,D选项错误.故选：AB. l0.【答案】BCD【详解】对于A,直线ONc平面BCCB,,点P∈平面BCCB,,而PE直线QW,点ME平面 BCC,B,因此直线PM与直线QN是异面直线，则P,M,2,W四点不共面，A错误：对于B,将三棱柱ABC-AB,C1 补形为正方体，AB,AC,AA为该正方体共点的三条棱，矩形BCCB,为该正方体对角面，则BC1为三棱柱ABC-AB,C1 外接球直径，B正确；对于C,点A到平面BCCB的距离为√2， 4W三V4-0N=;×,X22x1xW5=3,C正确：对于D,取4B中点O,连接O4,ON,由N是8 得ONIIAC,则∠NO是异面直线MN与AC所成角或其补角，由已知AC⊥AB, AC⊥AA,AB∩AA=A,AB,AAc平面ABBA,所以AC⊥平面ABB,A,故ON⊥平面 B M质 ABB,4,又OMc平面ABB,4,于是Ow⊥OM,而ON=AC=1,OM=VP+IP=V2, 则MN=VOM+ON=V5,因此cos∠wO=ON=1=5, wV5=子，D正确 11.【答案】BC【详解】对于A,第2026行共有2027个数，故A错误，对于B,由题意可得 C4+C+C6+…+Cig=(C4+C4)+C+C6+…+Cg-1=C+C+C6+…+Cg-1=…=C30-1,B正确， 对于C,第48行的所有数字之和为C。+Ce+C++C8=28=86=(1+7)5-C67P+C67+C67子++C876 =1+7(C670+C67++C75),由于C67+C。7+…+C715能被7整除，故第48行的所有数字之和被7除的余数为 1,C正确，对于D,第n行的和为C+C+C+…+C%=(1+1)”=2”,当n≥1时，第n行中去除为1的项的和为 2-2,第0行为1，故前”行中去除为1的项的和为8，-2-2）21=2州-2-21，放前17行中去除为1的 1-2 项的和为28-36，去除所有为1的项后，则从第一行开始，则剩下的每一行的个数为0,1,2,3,4，，可 以看成一个首项为0.公差为1的等差数列，前n行共有，少个数，当1=17时，”6-136，因此前17行中， 2 去掉为1的项，共有136项，且第17行中，去掉为1的项后，最后一项为C9,则此数列前135项的和为 S,-C49=218-53,则D答案错误 12【答案】号-盖-1设双面线的方程为x:-兰-1Q+0,将点(22)代入得1=3，所以方程为污-告-1. 4 13.【答案】S,=2m因为S-(+1)S,=20r+m→S-鸟=2. n+l n 所以数列 S是以三=9=2为首项，2为公差的等差数列，所以8=2+201-1)=21→3-2： n 11 14.【答案】2√5【解析】记SBc=3S，则AB AD sin d%=ADAE到sio%=AE ACsin%=2S, hsl4csm7-6S因为HD1 ii2江 =3,所以5i%sm2 -3所以0=25 AB ADsin a AE AC sin ag sinasina sina sind 【答案】解：(L)在△ACD中，LCAD=号-0，∠CDA=日+名，由正弦定理可得：mACD-LCDA:得Ac= AD AC 15. ADsin DA=16V3sim(6+名，在△ABC中，∠ACB=号-0，由正弦定理可得：m2ACB=m2ABC: AB AC sin∠ACD 得h=4csmc2=32sim(0+3snG-0)=32sim(0+9cosG+0)=16sim(20+3(后<0<？. sim∠ABC 若0=名则灯柱AB的高h=8V3: (②△ABc中，由正弦定理可得：n26cn2G得BC-aC2-32sn(0+身n0, AC sin∠ABC :AB+BC=32sim(6+石sin(写-0)+32sin(8+石sin9 ,13 32sino tcos)cososin0)32sincos0)sino 1 1 ,V3 32singcos0+4 cos20v3 v3. 1 sin0+2 sin0+simngcos0) =16sim20+8V3,“是≤0≤名∴名≤20≤行当0=品时，AB+BC取得最小值8+8√3. 故设置0=受时，制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值为8+8V3米。 16、【解析】解：0由数表知，P(®)=尝-P(=尝-手P(A)=元- 21 (2)设事件C:外观和内饰均为同色，事件D:外观内饰都异色，事件E:仅外观或仅内饰同色， 依腿意，PG-+-高：P(D)-4Cd-高 C25 C25 0= P(D)= a立-言-高：P同)c6-品则P(回>pO>rO. C25 C25 因此抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖： 外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖， 奖金额X的可能值为：600,300,150，奖金额X的分布列： 600 300 150 4 49 77 P 25 150 150 奖金额x的期望E0)=600×云+30×号+150×石=271元). 0 17.【答案】0证明见解析：回①CB=( 7 【详解】(I)在正方形ABCD中，由c8=DR,得BB=CF,an∠BAB-BE=C =tan∠CBF, AB BC 则∠BAE=∠CBF,∠BAE+∠FBA=∠CBF+∠FBA=90°，因此AE⊥BF, 由PB是圆柱OO的母线，得PB⊥平面ABCD,而AEC平面ABCD,则AE⊥PB, 又BF∩PB=B,BF,PBc平面PBF,所以AE⊥平面PBF. (2)(i)设圆柱OO的底面圆半径为r,圆柱OO的体积为T,PB=2,得m2.PB=元， 解得，=V ,则AB=BC=1,显然直线BA,BC,BP两两垂直，以点B为原点，直线 2 BA,BC,BP分别为x,y,二轴建立空间直角坐标系，则 AQ,0,0),C(0,1,0),DA,1,0),P(0,0,2),设BE=t(0<t<1),则E(0,t,0),Ft,1,0), AP=(1,0,2),PF=t,1,-2),由点A到直线PF的距离是1，得 PP-DP吗=1，则5-(-4y=1,而0<t<1,解得1=名，所以CB=BC-B驱= P+5 3 m)CD=10.0,4正=(L子.0)，设平面2As的法向量为n=(cy9 ii.AP=-x+2z=0 则 ,取z=1,得n=(2,3,1),设直线CD与平面PAE所成的角为8， a短=-+=0 期血6西筒离后】乐，所面我与于国所成的正班位为店 18.【答案】解：(1)设C(x,y),A(a,0),B(0,b),则BC=(x,y-b),BA=(a,-b),又BC=1BA(0<1<1),则 6--8a=2滑，a+6-+=4小忘+远=1， 所以当入E(0,)时，「为焦点在y轴上的椭圆， 当=时，T为圆x2+y2=1, 当1∈(（G,1)时，T为焦点在x轴上的椭圆： x2 (2)油题意可知直线不与坐标轴平行且不过原点，故设其方程为+名=1，联立{ 0+2-2=1 a +=1 利g-21+1-2x+62-+8飘9=0. á=将4低+-a+46=-以+a- 1g-8+a2=(倍-)=0. aa=a=2a.b=2v17,所5as身b72v1风列≤a回到-1， 当且仅当入=时等号成立.则△A0B面积的最大值为1. 19.【答案】(1)证明见解析(2)(i)a<2;(i)证明见解析 【详解】(1)令h(x)=e-x-1,则(x)=e*-1,当x≤0时，h(x)≤0，当x≥0时，h(x)≥0， 所以h(x)在(-o,0]上单调递减，在[0，+o)上单调递增，所以有h(x)≥h(0)=0,即e≥x+1, 当a≥0时，f(x)-(x+lnx)=e*+nx-(x+hx)-l+ae≥ae≥0恒成立. (2)(i)由题意有gn（(x)=(x+a)e-(n+1)有唯一的正零点xm,因为g(x)=(x+a+1)e, 所以gn(x)在(-∞，-a-1)上单调递减，在(-a-1,+∞)上单调递增， 当x<-a-1时，8(x)<0:gn（←a-l)=-ea1-(n+1)<0,8n(-a)=-(n+1)<0, 当x→+o时，8n(x)→+o,由零点存在性定理可知，8n（x)在(-a,+o)有唯一零点xn, 当a≤0时，-a≥0，则x.>0满足题意；当a>0时，要保证xm>0,则只要gn(0)=a-n-1<0,即a<n+1, neN*恒成立，所以0<a<2,综合可得a<2. (i)由题意可知(x,+1)e=n+1,也即h(x,+1)+xn=lh(n+l), 由(1)知e2x+1,则x=ex≥nx+l,即x-1≥hx,且x=lne≥ln(x+1), 因此有n(n+1)=ln(x.+1)+x≥2血（化+1），即n+1≥(x+1),也即Vn+1≥x,+1,可得n+1>x, .1、12 所以有候2n后n+2+市2+2-可). 2 故+上++>25-5+A-5++m+2-m+=2n+2-V), 又因为x-1≥n,所以有t-1≥血+-n(x,+1)-1n(n+). n+1 n+1 根据题意有血(，+1+=l血(n+1),从而有-x,=n(3+1）-n(+1)s支+1-1， n+1 点产，可用行进步之1后又得】-0，所以生所以片3，故 <3,所以++<n+21+tt…》」 （23 n/ 由x-1n可豹1h也1-x,令x=片得1”分s如号进一步得品a≥2，所心 n 1++t+1+h2+n3++n-1+ln, 3 23n 12 -1 1+1++<n+21+ 故 +2+)+2++sn+20+lnm, n 综上有2m+2-回<+王++2++2