精品解析：广东深圳平湖中学2026届高三高考考前适应性考试数学试题

高三年级高考适应性考试 数学 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且，则（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为向量，，， 所以，解得，故． 2. 若集合，，且，则的值为（ ） A. 4 B. 2或4 C. 或4 D. 或4 【答案】C 【解析】 【详解】当时，满足； 当时，因为，所以， 此时，满足． 3. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，； 当时，， 所以的值域为． 4. 已知等比数列的公比为q，且，，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得：，又， 解得：. 5. 某乡村合作社优化农产品种植结构，持续扩大蔬菜种植面积，统计该合作社近5年的蔬菜种植面积（单位：亩）依次为8，10，13，16，20，且这5年的总利润为142.5万元，由这5年的数据求得年利润（单位：万元）与满足线性回归方程，则当蔬菜种植面积增加到30亩时年利润的预测值为（ ） A. 60万元 B. 65万元 C. 70万元 D. 75万元 【答案】C 【解析】 【详解】由已知得，， 因为点在回归直线上，所以，得， 即, 所以当蔬菜种植面积增加到30亩时年利润的预测值为万元． 6. 已知偶函数满足当时，，则的图象在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用偶函数的导数为奇函数求解即可 【详解】当时，， 因为为偶函数，所以，当时两边求导得， 所以，， 所以的图象在处的切线方程为，即 7. 若球与球的体积之比为，表面积之比为，且棱长为1的正方体的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设球与球的半径分别为，， 球的体积为，表面积为， 球的体积为，表面积为， 所以，，所以， 因为棱长为1的正方体的所有顶点都在球的表面上， 所以，则， 所以球的表面积为. 8. 已知面积为的正方形的顶点都在双曲线上，点是上与点，，，都不重合的动点，记，，，的斜率分别为，，，，若的虚轴长的取值范围为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过令，，，以及虚轴的取值范围得到的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】因为面积为的正方形的顶点都在双曲线上，由对称性，正方形的中心必定是坐标原点， 不妨令，，，，则，即， 由已知得，则，， 设，则，，相减得，所以， 又，，，， 所以，所以，故B正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，在复平面内对应的点为，位于第二象限，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误， 10. 若，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过解分式不等式，根据指数函数，对数函数以及三角函数性质逐项分析即可. 【详解】由，解得：或， 对于A，因为，所以， 由，故A正确； 对于B，由，故B错误； 对于C，由，故C正确； 对于D，由，故D正确． 11. 已知圆与曲线，则（ ） A. ，恒有公共点 B. 当时，，恰有2个公共点 C. 当时，，在时的公共点有3个 D. 当时，直线与有3个公共点的充要条件是直线与圆相交 【答案】ABD 【解析】 【分析】由 得 ，代入圆，把公共点个数转化为关于的方程根的个数．注意圆 上的点满足，所以只需讨论的情况． 【详解】由得，代入圆： ，化简得：. 当时，由得，将点代入，成立，因此点为公共点，恒成立，选项A正确. 下面讨论时的公共点．令 则时公共点个数等于方程的正根个数． 对于B选项，当时，， 若 ，则 ．若 ，令，则 ， 则， 因为二次函数 的最小值为 所以 恒成立．故在上单调递增．又 所以方程在内有且仅有一个正根．再加上公共点，共有个公共点，故B选项正确． 对于C选项，当时， 此时 令，则 的两个根为 因此在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 又 且 所以在时只有一个正根，公共点不是个，故C选项错误． 对于D选项，当时，曲线为 直线与有个公共点，等价于方程 有个不同实根． 设 则， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 又 因此方程 有个不同实根的充要条件是 另一方面，直线与圆 相交的充要条件是圆心到直线的距离小于半径， 即 等价于，所以D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中的第5项的系数为______． 【答案】240 【解析】 【分析】由二项式定理通项公式即可求解. 【详解】展开式通项公式为 所以展开式中的第5项的系数为． 13. 已知抛物线的焦点为，若点为在第一象限内的一点，且，则直线的斜率为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据焦半径公式得，进而求得，再计算斜率即可. 【详解】由已知得，设， 所以，根据焦半径公式得，解得， 代入得，解得， 所以直线的斜率为． 14. 已知数列中，为正整数，且，，，则当的值最大时，满足的的值为________． 【答案】66 【解析】 【分析】根据题意列举求得最大为11，进而得，，再结合分组求和的方法，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】由题意得，，，，的可能取值如图所示， 由图可知最大为11， 由，则或16，因为，所以， 所以， 当时，，解得， 当时，，满足条件的不存在， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，且． （1）求； （2）若点为的中点，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，再结合余弦定理得，再结合求解即可； （2）结合（1）得，再根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 解：因为 所以，由余弦定理得，整理得， 所以， 因为，所以， 所以 【小问2详解】 解：由（1）知，所以， 因为，所以， 在中由余弦定理得 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若当时，，求的取值范围． 【答案】（1）在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）求导得，再构造函数，研究其性质得，进而得即可判断单调性； （2）根据题意得，进而转化为，再构造函数，研究其最大值即可求得答案. 【小问1详解】 解：因为，定义域为， 所以， 设，则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以在上单调递增． 【小问2详解】 解：由，得，即， 因为在上单调递增， 所以，即， 设，则， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是． 17. 如图，四棱柱的所有棱长都为，三棱锥是正三棱锥． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （2）以正的中心为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 在所有棱长都为的四棱柱中，四边形是菱形，则， 设，则为的中点，连接，由三棱锥是正三棱锥， 得，则，而平面， 因此平面，而平面，所以平面平面. 【小问2详解】 依题意，三棱锥是所有棱长均为的正三棱锥，取正中心，连接， 则平面，且，在平面内过作， 以为原点，以直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， ， 设平面的法向量，则，取，得， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验，根据以往数据可知，单次发射成功的概率为，失败的概率为，发射结果相互独立．计划发射多次． （1）若某次发射失败，则整个试验终止；若发射成功，则继续发射且至多发射4次．记发射的次数为，求的分布列与期望； （2）若在一次发射中发射失败，能够成功进行现场修复并确保后续发射不受此次失败影响的概率为（即修复后，系统恢复到正常发射状态）．修复失败的概率为．考虑一个简化的连续发射模型，从第1次发射开始．若发射成功，则继续进行下一次发射；若发射失败但成功修复．则继续进行下一次发射；若发射失败且修复失败，则试验终止；此外，若连续2次发射失败，试验也终止． ①求至少发射3次的概率； ②定义为第次发射成功的概率，是否存在实数使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的分布列为 1 2 3 4 期望为 （2）① ；②存在； 【解析】 【分析】（1）依题意，确定的取值可能为1，2，3，4，分别求出其对应的概率，列出分布列，利用数学期望公式计算即可； （2）①记第次发射成功为事件，第次发射失败后修复成功为事件，至少发射3次为事件，则，根据概率乘法公式求解； ②第次发射成功有2种情形：第次、第次发射成功，或第次发射成功，第次发射失败且发射失败后修复成功，第次发射成功，则，再构造等比数列求解. 【小问1详解】 由题知，的所有可能取值分别为1，2，3，4， 则， ， 所以的分布列为 1 2 3 4 ． 【小问2详解】 ①记第次发射成功为事件，第次发射失败后修复成功为事件， 则，，， 记至少发射3次为事件，则， 所以 ． ②第次发射成功有2种情形：第次、第次发射成功， 或第次发射成功，第次发射失败且发射失败后修复成功，第次发射成功， 所以， 设，则， 所以，解得，或， 因为，，所以时， 是等比数列， 所以． 19. 已知点，分别是椭圆的左、右顶点，且的离心率为． （1）求的方程； （2）若点是上与，不重合的点，直线，与直线分别交于点，，求的最小值； （3）若不过点且斜率为的直线与交于，两点，证明：的外心恒在定直线上． 【答案】（1） （2）6 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件求解即可. （2）设直线求出的坐标，然后得到函数，利用基本不等式解决最值问题. （3）设出点，坐标与直线方程，通过联立得到韦达公式，设出外接圆一般方程，将得到的韦达公式代入运算，寻求的关系即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因为的离心率为，所以，解得， 所以的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，令，得， 设点，其中，则， 则， 所以， 所以直线的方程为， 所以， ， 当且仅当时等号成立． 故的最小值是6． 【小问3详解】 证明：设，，直线的方程为， 联立，得， 所以，，且，， ， ． 设的外接圆方程为， 把点代入圆的方程得， 因为点，在圆上，所以①，②， ①+②得， 其中， ， 所以， 即， ①-②得， 易得，且， 上式两边同时除以得， 整理得，即， 代入得， 所以，或． 当时，，不满足题意， 所以，即， 即点正在定直线上， 所以的外心恒在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级高考适应性考试 数学 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且，则（ ） A. 6 B. C. D. 2. 若集合，，且，则的值为（ ） A. 4 B. 2或4 C. 或4 D. 或4 3. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的公比为q，且，，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 5. 某乡村合作社优化农产品种植结构，持续扩大蔬菜种植面积，统计该合作社近5年的蔬菜种植面积（单位：亩）依次为8，10，13，16，20，且这5年的总利润为142.5万元，由这5年的数据求得年利润（单位：万元）与满足线性回归方程，则当蔬菜种植面积增加到30亩时年利润的预测值为（ ） A. 60万元 B. 65万元 C. 70万元 D. 75万元 6. 已知偶函数满足当时，，则的图象在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若球与球的体积之比为，表面积之比为，且棱长为1的正方体的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知面积为的正方形的顶点都在双曲线上，点是上与点，，，都不重合的动点，记，，，的斜率分别为，，，，若的虚轴长的取值范围为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 10. 若，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆与曲线，则（ ） A. ，恒有公共点 B. 当时，，恰有2个公共点 C. 当时，，在时的公共点有3个 D. 当时，直线与有3个公共点的充要条件是直线与圆相交 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中的第5项的系数为______． 13. 已知抛物线的焦点为，若点为在第一象限内的一点，且，则直线的斜率为________． 14. 已知数列中，为正整数，且，，，则当的值最大时，满足的的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，且． （1）求； （2）若点为的中点，且，求． 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若当时，，求的取值范围． 17. 如图，四棱柱的所有棱长都为，三棱锥是正三棱锥． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验，根据以往数据可知，单次发射成功的概率为，失败的概率为，发射结果相互独立．计划发射多次． （1）若某次发射失败，则整个试验终止；若发射成功，则继续发射且至多发射4次．记发射的次数为，求的分布列与期望； （2）若在一次发射中发射失败，能够成功进行现场修复并确保后续发射不受此次失败影响的概率为（即修复后，系统恢复到正常发射状态）．修复失败的概率为．考虑一个简化的连续发射模型，从第1次发射开始．若发射成功，则继续进行下一次发射；若发射失败但成功修复．则继续进行下一次发射；若发射失败且修复失败，则试验终止；此外，若连续2次发射失败，试验也终止． ①求至少发射3次的概率； ②定义为第次发射成功的概率，是否存在实数使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知点，分别是椭圆的左、右顶点，且的离心率为． （1）求的方程； （2）若点是上与，不重合的点，直线，与直线分别交于点，，求的最小值； （3）若不过点且斜率为的直线与交于，两点，证明：的外心恒在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $