专题02一元二次方程期末复习讲义(24大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题02一元二次方程期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解一元二次方程定义与一般形式，区分相关概念。 2.掌握四种解法及求根公式，能灵活解方程。 3.会用根的判别式判断根的情况。 4.掌握根与系数的关系，并用于计算、推理。 5.学会列方程解决实际应用问题。 1.合理选择解法，提升运算效率与准确率。 2.利用判别式求解参数范围，严谨分析。 3.运用根与系数关系、整体代入法解题。 4.找准等量关系，规范解答应用题并检验结果。 1.基础题：概念、常规解方程，保证不失分。 2.中档题：含参数问题、根的相关计算，步骤完整。 3.综合题：应对方程与代数、几何结合题型。 4.应用题：规范列式求解，舍去不合题意的解。 5.规避易错点：牢记二次项系数不为 0，养成验根习惯。 题型01.一元二次方程的定义求参数 题型02.由一元二次方程的解求参数 题型03.一元二次方程的解的估算 题型04.化成一元二次方程的一般式 题型05.因式分解法解一元二次方程 题型06.直接开平法 题型07.配方法 题型08.配方法的应用 题型09.公式法解一元二次方程 题型10.判别式判断一元二次方程根的情况 题型11.一元二次方程根的情况求参数 题型12.换元法解一元二次方程 题型13.一元二次方程根与系数的关系 题型14.传播问题 题型15.增长率问题 题型16.与图形有关的问题 题型17.数字问题 题型18.营销问题 题型19.动态几何问题 题型20.工程问题 题型21.行程问题 题型22.图标信息问题 题型23.握手循环赛问题 题型24.其他实际应用问题 知识点01:一元二次方程的定义 1.完整定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 2.三大判定条件（缺一不可） (1)是整式方程（分母、根号内不含未知数）； (2)只含有一个未知数； (3)未知数的最高次数为 2。 知识点02:一元二次方程的一般形式 1.标准形式ax2+bx+c=0（a0） 2.各项名称与系数: ax2二次项，a 为二次项系数； bx：一次项，b 为一次项系数； c：常数项（不含未知数的项）。 3.核心强调 a0：若a=0，方程最高次数变为 1，不再是一元二次方程； 整理要求：移项后右边必须为 0，习惯按未知数降幂排列。 知识点03:一元二次方程的解（根） 1.定义：能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，一元二次方程的解也称为根。 2.基础应用：已知方程的根，将根代入原方程，可求解方程中字母参数的值。 3.补充：一元二次方程在实数范围内，根的个数为 0 个、1 个（两个相等实数根）或 2 个。 知识点04.一元二次方程的解法【四法通关：选法有技巧，步骤有模板】 核心原则：能简不繁，优先选法顺序：因式分解法→直接开平方法→配方法→公式法 1. 直接开平方法【平方型专属，一步到位】 ✅ 适用：x2=p(p≥0) 或 (mx+n)2=p(p≥0)（无一次项，可凑平方） 解题步骤： 1.把方程化为(mx+n)2=p的形式 2.当p≥0时，两边开平方得mx+n=±​ 3.解两个一元一次方程，得到方程的根 2. 因式分解法【乘积为 0 专属，最快解法】 ✅ 适用：方程右边为 0，左边能分解为两个一次因式乘积（提公因式 / 平方差 / 十字相乘） 步骤： 1.移项：把方程右边化为 0 2.因式分解：把左边分解为两个一次因式的乘积 3.降次：令每个因式分别为 0，得两个一元一次方程 4.求解：解两个一元一次方程 3. 配方法【万能基础法，为公式法铺路】 ✅ 适用：所有一元二次方程（尤适二次项系数为 1、一次项系数为偶数） 解题步骤（以x2+bx+c=0为例）： 1.移项：把常数项移到右边，得x2+bx=−c 2.配方：两边加一次项系数一半的平方，得x2+bx+()2=−c+()2 3.化为平方形式：(x+)2= 4.用直接开平方法求解 4. 公式法【万能终极法，无技巧硬解】 ✅ 适用：所有一元二次方程（前三种方法无法快速求解时用） 解题步骤： 1.把方程化为标准形式ax2+bx+c=0（a0） 2.计算判别式：Δ=b2−4ac 3.若Δ≥0，代入求根公式：；若Δ<0，方程无实数根 知识点05:一元二次方程的解法｜四大方法・择优解题 解法名称 适用方程特征 解题核心思路 难易程度 直接开平方法 不含一次项、平方式等于常数 直接对等式两边开平方，注意正负 最简单 因式分解法 方程易分解为两个整式乘积形式 移项整理为乘积为 0，分别求根 计算快 配方法 所有一元二次方程通用 配方转化为完全平方式，再开方 步骤多 公式法 所有一元二次方程通用 套用固定求根公式，代入计算 万能法 知识点06:一元二次方程根的判别式｜秒判根的个数・必考考点 一、判别式定义 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0))，把 △=b²-4ac 叫做根的判别式。 2.根的判别式（△=b²-4ac） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 3.重要前提 使用判别式的先决条件：方程必须是一元二次方程，即 a0，含参数题目必须分类讨论。 知识点07:根与系数的关系：方程背后的 “隐藏密码” 1. 核心公式（韦达定理） 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0），若两根为 x1​,x2​： 两根之和：x1+x2−​ 两根之积：x1x2 2特殊形式（补充） 当二次项系数 a=1 时，方程简写为 x2+px+q=0，两根为x1、x2：x1+x2=-p,x1x2=q 3.高频常用代数式变形（考试必考） 基于和与积，整体代换求值，无需单独求根： 关键提醒 运用韦达定理必须保证 △ 0，方程无实数根时，定理不成立。 知识点08:一元二次方程的应用 1.列方程解应用题通用六步流程（标准答题格式） 审 → 设 → 列 → 解 → 验 → 答 (1).审题：通读题目，梳理已知量、未知量，挖掘题目中的等量关系； (2).设元：分直接设元、间接设元，一般设所求量为x，书写单位； (3).列方程：根据等量关系，列出一元二次方程； (4).解方程：选择合适解法求出方程的两个根； (5).双重检验：① 检验数值是否为方程的根；② 检验结果是否符合实际生活意义（长度、人数、增长率等不能为负数）； (6).作答：结合问题，规范写出答案，带单位。 2. 经典题型模型速览. 题型类别 核心公式 / 等量关系 典型特征 增长率 / 下降率问题 增长：a(1+x)n=b；下降：a(1−x)n=b（a初始量，x变化率，n变化次数，b最终量） 产量、利润、销售额等持续增减，已知初始与最终状态 传播问题 m(1+x)n=N（m初始传播源，x每轮传播数，n轮次，N总数量） 病毒、消息、分支生长等多轮扩散，总量逐步累积 利润（销售）问题 总利润 = （售价 - 成本）× 销售量； 销售额 = 售价 × 销售量 售价与销量反向联动，求特定利润或最优销售方案 几何（形积）问题 利用矩形、三角形等规则图形面积公式；不规则图形可通过分割 / 组合转化 场地修路、动点形成图形、图形面积计算，含边长限制 数字问题 多位数表示：三位数=100×百位数字+10×十位数字 +个位数字；连续整数/偶数/奇数：相邻两数差 1/2 已知数字间关系，求具体数字 握手 / 赠礼问题 握手总数：；互赠礼物总数：n(n−1)（n为人数） 无重复计数场景，数量与个体数成二次关系 利息问题 利息=本金×利率×期数； 本息和=本金×(1 + 利率 × 期数)（无利息税） 银行存款、理财收益计算，涉及本金、利率、期数 题型01.一元二次方程的定义求参数 1．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 2．若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（   ） A． B．1 C． D．0 3．若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为______． 4．方程，m为何值时，方程是一元二次方程． 题型02.由一元二次方程的解求参数 5．若关于的一元二次方程有一个根为2,则的值为 _______ ． 6．已知关于x的一元二次方程有一根为1，则m的值为（   ） A． B．或0 C．0 D．1 7．已知是关于x的一元二次方程的一个根． （1）若，且，则b的取值范围是______； （2）若，则c的值为______． 8．已知a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 题型03.一元二次方程的解的估算 9．根据表格对应值，判断关于的一元二次方程的一个解的范围是___________． 0 1 2 10．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 11．无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： (1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； (2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 题型04.化成一元二次方程的一般式 12．将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为____． 13．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 14．将关于的一元二次方程化为一般形式后，其常数项为0，则m的值为_____． 15．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)关于x的方程． 题型05.因式分解法解一元二次方程 16．一元二次方程的解是_____． 17．已知实数x满足，则代数式的值是（   ） A．7 B．4 C．7或 D．或3 18．已知关于的方程的解都是整数，求整数的值为_____． 19．解方程： (1) (2) 20．解下列方程： (1)； (2)． 题型06.直接开平法 21．方程的较小实数根为_____． 22．对任意有理数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：，．若，则的值为______． 23．方程的根是（   ） A．， B．， C． D．， 24．解方程： (1) ； (2)； (3)； (4)． 题型07.配方法 25．将方程配方成的形式，则_________． 26．用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 27．用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 28．解方程 (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 题型08.配方法的应用 29．用配方法解一元二次方程时，可将原方程配方成，则的值是____． 30．已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 31．我们称形如的方程为关于x的“标准二次方程”．若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如与就是“伙伴方程”．已知与是伙伴方程，那么代数式能取的最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 32．配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值．最小值等，例如：求代数式的最小值，解法如下： 解： ∵，∴．∴的最小值是3． 根据材料中的方法，解答下列问题： (1)若，求的值． (2)求代数式的最小值． (3)用配方法说明：不论x为何值；代数式的值总是正数． 题型09.公式法解一元二次方程 33．小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，，____________． 34．对于任意实数a，b，定义．若，则a的值为____． 35．解下列方程： (1)； (2)． 题型10.判别式判断一元二次方程根的情况 36．一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 37．已知实数a，b满足，则关于x的方程根的情况是_____． 38．对于一元二次方程，下列说法中正确的个数是(    ) ①若是方程的一个根，则一定有成立； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若，则方程有一根为； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 39．已知关于的方程． (1)求证：无论为何实数，此方程总有实数根． (2)若两根异号且负根的绝对值大，求的取值范围． 题型11.一元二次方程根的情况求参数 40．若关于x的方程（k为常数）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 41．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______． 42．已知、是两个不相等的实数，且满足：，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 43．已知一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值． (2)若方程有两个相同的实数根，且，求b的值． 题型12.换元法解一元二次方程 44．已知关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 45．若关于x的一元二次方程的根为，，则一元二次方程的根为______． 46．阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得；当时，，解得，原方程的解为，． 根据上述材料，解下列方程： (1)； (2)． 题型13.一元二次方程根与系数的关系 47．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 48．若、是方程的两个根，则____． 49．若实数满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D．或 50．已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根为，，且，求的值． 题型14.传播问题 51．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践中，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ 52．经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 53．数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 题型15.增长率问题 54．某小型公司通过优化生产、拓展市场，每月净利润稳步增长．已知该公司第1个月净利润为10万元，第3个月净利润为万元，且这两个月的净利润的月平均增长率相同．求该公司这两个月净利润的月平均增长率． 55．五色糯米饭是广西三月三的特色美食之一．它以黑、红、黄、紫、白五色得名，是三月三节日的必备佳肴，象征着吉祥如意、五谷丰登．在三月三期间，某特色美食店主打五色糯米饭，第一天卖出五色糯米饭200份，由于节日氛围浓厚，销量持续上涨，第三天卖出了242份，且第二天、第三天的销量增长率相同． (1)求该店五色糯米饭销量的日平均增长率； (2)若按照这个增长率，请你帮忙预测第四天能卖出多少份五色糯米饭． 56．为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：月份售出套，月份售出套． (1)若月增长率相同，求该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率； (2)该品牌边刷套装每套进货价为元．调查发现，当销售价为元时，月均销售量为套；而当销售价每上涨元时，月均销售量将减少套．为使月均销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？ 题型16.与图形有关的问题 57．一个美丽的乡村计划新建一个现代化的猪舍，以改善农场的养殖条件．农场主希望这个猪舍是一个矩形，且面积为25平方米，其中一边将利用现有的围墙（墙长为8米），这样可以节省材料成本．为了建造这个猪舍，农场主购买了长为15米的木板来围住其余的三边．现在，农场主要计算猪舍的边的长度，以便他能够合理地利用这些木板，并确保猪舍的面积符合要求．请你帮他算一算吧． 58．为了丰富学生的课余生活，学校计划在校园内建造一个活动区域（长方形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为，位置的墙最大可用长度为），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留宽的门（不用栅栏）．建成后栅栏总长． (1)若活动区域（长方形）的一边长为，则另一边 ． (2)若活动区域（长方形）的面积为，求边的长． 59．如图1，有一张长为、宽为的长方形硬纸片，剪去四个角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）． (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 题型17.数字问题 60．2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）． 61．小明同学是一位诗词爱好者，在学习了《一元二次方程及其应用》这一章后，改编了苏轼的词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去，浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”其中蕴含着一道数学问题：周瑜在30岁时已经担任东吴的都督，去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．求周瑜去世时的年龄． 62．综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下： 【进位制的认识】 ①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． ②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． ③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当时，．如：；． 【解决问题】 (1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天 (2)类比十进制加减法计算（结果保留二进制） 例如； 写出________________ (3)小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）． 题型18.营销问题 63．某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，每天销售量y（个）与售价x（元/个）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 64．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装，平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装每降价2元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若要求销售这种服装平均每天盈利1000元，同时又要使顾客得到较多的实惠，那么售价应该定为多少元？ (2)平均每天盈利能否达到1250元？请说明理由． 65．综合与应用 【问题情境】某农科院研制了一款优质新品种葡萄，并广泛种植．某葡萄种植基地2024年种植该品种葡萄，2026年该品种葡萄的种植面积达到 【提出问题】 (1)求这个基地年新品种葡萄种植面积的年平均增长率． 【问题拓展】 (2)某超市调查发现，当该品种葡萄的售价为每千克8元时，每周能售出，每千克售价每上涨1元，每周销售量将减少．已知该品种葡萄的进价为每千克6元，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品种葡萄售价不能超过每千克15元．要使每周销售该品种葡萄的利润为2240元，则该品种葡萄每千克售价应上涨多少元？ 题型19.动态几何问题 66． 如图所示，在中，，，，点由点出发，沿边以的速度向点移动；点由点出发，沿边以的速度向点移动．如果点，分别从点，同时出发，问： (1)经过_____________________秒后，的面积等于？ (2)经过几秒后，P，Q两点间距离是？ 67．在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为． (1)当时，求长． (2)当的面积为时，求t的值． (3)当时，求t的值． 68．如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 题型20.工程问题 69．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 70．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 71．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万． (1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米． (2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值． 题型21.行程问题 72．在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 73．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 74．随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 题型22.图标信息问题 75．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 76．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 77．疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 题型23.握手循环赛问题 78．某次校友聚会上，所有参加聚会的校友之间都相互握手问候，据统计共握手45次，求参加聚会的校友人数． 79．北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军．趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计． (1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明； (2)赛后经查询，小米的统计正确．因为有一人身体不适，参加4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛． 80．以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 题型24.其他实际应用问题 81．小明准备进行如下操作实验：把一根长为的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于，小明该怎么剪？ 82．在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为10米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为（米/秒）．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少________米，从开始到滚动了秒后小球的速度为________米/秒． (2)小球从开始到滚动21米用了多少秒？ (3)小球在最后一秒滚动了多少米？ 83．阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简． 读完这段文字，请解答以下问题： (1)填空： ， ， ， ； (2)在复数范围内解方程：； (3)在复数范围内解方程：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02一元二次方程期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解一元二次方程定义与一般形式，区分相关概念。 2.掌握四种解法及求根公式，能灵活解方程。 3.会用根的判别式判断根的情况。 4.掌握根与系数的关系，并用于计算、推理。 5.学会列方程解决实际应用问题。 1.合理选择解法，提升运算效率与准确率。 2.利用判别式求解参数范围，严谨分析。 3.运用根与系数关系、整体代入法解题。 4.找准等量关系，规范解答应用题并检验结果。 1.基础题：概念、常规解方程，保证不失分。 2.中档题：含参数问题、根的相关计算，步骤完整。 3.综合题：应对方程与代数、几何结合题型。 4.应用题：规范列式求解，舍去不合题意的解。 5.规避易错点：牢记二次项系数不为 0，养成验根习惯。 题型01.一元二次方程的定义求参数 题型02.由一元二次方程的解求参数 题型03.一元二次方程的解的估算 题型04.化成一元二次方程的一般式 题型05.因式分解法解一元二次方程 题型06.直接开平法 题型07.配方法 题型08.配方法的应用 题型09.公式法解一元二次方程 题型10.判别式判断一元二次方程根的情况 题型11.一元二次方程根的情况求参数 题型12.换元法解一元二次方程 题型13.一元二次方程根与系数的关系 题型14.传播问题 题型15.增长率问题 题型16.与图形有关的问题 题型17.数字问题 题型18.营销问题 题型19.动态几何问题 题型20.工程问题 题型21.行程问题 题型22.图标信息问题 题型23.握手循环赛问题 题型24.其他实际应用问题 知识点01:一元二次方程的定义 1.完整定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 2.三大判定条件（缺一不可） (1)是整式方程（分母、根号内不含未知数）； (2)只含有一个未知数； (3)未知数的最高次数为 2。 知识点02:一元二次方程的一般形式 1.标准形式ax2+bx+c=0（a0） 2.各项名称与系数: ax2二次项，a 为二次项系数； bx：一次项，b 为一次项系数； c：常数项（不含未知数的项）。 3.核心强调 a0：若a=0，方程最高次数变为 1，不再是一元二次方程； 整理要求：移项后右边必须为 0，习惯按未知数降幂排列。 知识点03:一元二次方程的解（根） 1.定义：能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，一元二次方程的解也称为根。 2.基础应用：已知方程的根，将根代入原方程，可求解方程中字母参数的值。 3.补充：一元二次方程在实数范围内，根的个数为 0 个、1 个（两个相等实数根）或 2 个。 知识点04.一元二次方程的解法【四法通关：选法有技巧，步骤有模板】 核心原则：能简不繁，优先选法顺序：因式分解法→直接开平方法→配方法→公式法 1. 直接开平方法【平方型专属，一步到位】 ✅ 适用：x2=p(p≥0) 或 (mx+n)2=p(p≥0)（无一次项，可凑平方） 解题步骤： 1.把方程化为(mx+n)2=p的形式 2.当p≥0时，两边开平方得mx+n=±​ 3.解两个一元一次方程，得到方程的根 2. 因式分解法【乘积为 0 专属，最快解法】 ✅ 适用：方程右边为 0，左边能分解为两个一次因式乘积（提公因式 / 平方差 / 十字相乘） 步骤： 1.移项：把方程右边化为 0 2.因式分解：把左边分解为两个一次因式的乘积 3.降次：令每个因式分别为 0，得两个一元一次方程 4.求解：解两个一元一次方程 3. 配方法【万能基础法，为公式法铺路】 ✅ 适用：所有一元二次方程（尤适二次项系数为 1、一次项系数为偶数） 解题步骤（以x2+bx+c=0为例）： 1.移项：把常数项移到右边，得x2+bx=−c 2.配方：两边加一次项系数一半的平方，得x2+bx+()2=−c+()2 3.化为平方形式：(x+)2= 4.用直接开平方法求解 4. 公式法【万能终极法，无技巧硬解】 ✅ 适用：所有一元二次方程（前三种方法无法快速求解时用） 解题步骤： 1.把方程化为标准形式ax2+bx+c=0（a0） 2.计算判别式：Δ=b2−4ac 3.若Δ≥0，代入求根公式：；若Δ<0，方程无实数根 知识点05:一元二次方程的解法｜四大方法・择优解题 解法名称 适用方程特征 解题核心思路 难易程度 直接开平方法 不含一次项、平方式等于常数 直接对等式两边开平方，注意正负 最简单 因式分解法 方程易分解为两个整式乘积形式 移项整理为乘积为 0，分别求根 计算快 配方法 所有一元二次方程通用 配方转化为完全平方式，再开方 步骤多 公式法 所有一元二次方程通用 套用固定求根公式，代入计算 万能法 知识点06:一元二次方程根的判别式｜秒判根的个数・必考考点 一、判别式定义 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0))，把 △=b²-4ac 叫做根的判别式。 2.根的判别式（△=b²-4ac） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 3.重要前提 使用判别式的先决条件：方程必须是一元二次方程，即 a0，含参数题目必须分类讨论。 知识点07:根与系数的关系：方程背后的 “隐藏密码” 1. 核心公式（韦达定理） 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0），若两根为 x1​,x2​： 两根之和：x1+x2−​ 两根之积：x1x2 2特殊形式（补充） 当二次项系数 a=1 时，方程简写为 x2+px+q=0，两根为x1、x2：x1+x2=-p,x1x2=q 3.高频常用代数式变形（考试必考） 基于和与积，整体代换求值，无需单独求根： 关键提醒 运用韦达定理必须保证 △ 0，方程无实数根时，定理不成立。 知识点08:一元二次方程的应用 1.列方程解应用题通用六步流程（标准答题格式） 审 → 设 → 列 → 解 → 验 → 答 (1).审题：通读题目，梳理已知量、未知量，挖掘题目中的等量关系； (2).设元：分直接设元、间接设元，一般设所求量为x，书写单位； (3).列方程：根据等量关系，列出一元二次方程； (4).解方程：选择合适解法求出方程的两个根； (5).双重检验：① 检验数值是否为方程的根；② 检验结果是否符合实际生活意义（长度、人数、增长率等不能为负数）； (6).作答：结合问题，规范写出答案，带单位。 2. 经典题型模型速览. 题型类别 核心公式 / 等量关系 典型特征 增长率 / 下降率问题 增长：a(1+x)n=b；下降：a(1−x)n=b（a初始量，x变化率，n变化次数，b最终量） 产量、利润、销售额等持续增减，已知初始与最终状态 传播问题 m(1+x)n=N（m初始传播源，x每轮传播数，n轮次，N总数量） 病毒、消息、分支生长等多轮扩散，总量逐步累积 利润（销售）问题 总利润 = （售价 - 成本）× 销售量； 销售额 = 售价 × 销售量 售价与销量反向联动，求特定利润或最优销售方案 几何（形积）问题 利用矩形、三角形等规则图形面积公式；不规则图形可通过分割 / 组合转化 场地修路、动点形成图形、图形面积计算，含边长限制 数字问题 多位数表示：三位数=100×百位数字+10×十位数字 +个位数字；连续整数/偶数/奇数：相邻两数差 1/2 已知数字间关系，求具体数字 握手 / 赠礼问题 握手总数：；互赠礼物总数：n(n−1)（n为人数） 无重复计数场景，数量与个体数成二次关系 利息问题 利息=本金×利率×期数； 本息和=本金×(1 + 利率 × 期数)（无利息税） 银行存款、理财收益计算，涉及本金、利率、期数 题型01.一元二次方程的定义求参数 1．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 1 【分析】根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，二次项系数不为，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． 2．若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和常数项的概念，熟练掌握“一元二次方程二次项系数不为0且常数项的概念”是解题的关键． 根据一元二次方程常数项为0和二次项系数不为0的条件来确定的值． 【详解】∵ 方程常数项为0， ∴ ，解得． 又∵ 方程是一元二次方程， ∴ 二次项系数，即． ∴ ， 故选：C． 3．若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为______． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，先把原方程进行化简整理，从而可得，然后根据题意可得，从而可得：，再把a的值代入中，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 由题意得：， 解得：， ∴该方程中的一次项系数， 故答案为：5． 4．方程，m为何值时，方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程未知数的最高次数为2且二次项系数不为零是解题的关键． 根据一元二次方程的定义列关于m的方程求解即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义可得： ，解得：． 所以当时，该方程是一元二次方程． 题型02.由一元二次方程的解求参数 5．若关于的一元二次方程有一个根为2,则的值为 _______ ． 【答案】 【分析】方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，因此可将已知根代入原方程，得到一个关于 的一元一次方程，解此方程即可求出的值． 【详解】解：将代入方程， 得：， 化简计算：， ， ， ． 6．已知关于x的一元二次方程有一根为1，则m的值为（   ） A． B．或0 C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将代入关于的一元二次方程中，且，解出的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为， ∴，且， 解得：， 故选：C． 7．已知是关于x的一元二次方程的一个根． （1）若，且，则b的取值范围是______； （2）若，则c的值为______． 【答案】 5 【分析】（1）根据方程的解得到，结合，得到，利用不等式的性质求解即可； （2）易得，，根据完全平方公式的变形以及完全平方的非负性进行求解即可. 【详解】解：（1）∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴① ∵， ∴， ，得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 且， ∴， ∴，而， ∴， ∴. 8．已知a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】11 【分析】把代入方程中得，从而可得，再把所求式子去括号后合并同类项，最后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 题型03.一元二次方程的解的估算 9．根据表格对应值，判断关于的一元二次方程的一个解的范围是___________． 0 1 2 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果越接近时，说明未知数的值越接近方程的根． 利用时，，而时，可判断当时，． 【详解】解：的解，即为当时的取值， 由表知，当时，， 当时，， ∴在时，， 故答案为：． 10．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 11．无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： (1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； (2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 【答案】(1)； (2)求得的整数部分，即可得到． 【分析】（）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可； （）根据材料二即可总结得出； 本题考查了解一元二次方程，无理数的估算，解题的关键是理解题目给出的方法，熟练进行计算． 【详解】（1）解：（）我们知道面积是的正方形的边长是， ∵， ∴设，可画出如图示意图： 由图中面积计算，， ∵， ∴， ∵是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程， 解得， ∴； （2）解：估算（为开方开不尽的数）的一般方法：求得的整数部分，即可得到． 题型04.化成一元二次方程的一般式 12．将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为____． 【答案】 【详解】解：， ， ； 故一次项系数为. 13．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的知识，先将一元二次方程整理为一般形式，一元二次方程的一般形式为 （），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.排除二次项系数为的错误选项，即可得到结果． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式：原方程为 移项得 ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 14．将关于的一元二次方程化为一般形式后，其常数项为0，则m的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握在一般形式中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式中，常数项的概念列式计算即可． 【详解】解：， 整理得，， 常数项为0， ， 解得，， 故答案为：4． 15．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)关于x的方程． 【答案】(1)，二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是0 (2)，二次项系数是，一次项系数是，常数项是 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键． （1）先去分母，再移项、合并同类项为，从而可得答案； （2）先移项，再合并同类项可得，从而可得答案． 【详解】（1） 解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是0； （2） 移项、合并同类项得：， 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 题型05.因式分解法解一元二次方程 16．一元二次方程的解是_____． 【答案】， 【详解】解： 整理得， ∴或 解得，． 17．已知实数x满足，则代数式的值是（   ） A．7 B．4 C．7或 D．或3 【答案】A 【分析】本题把看作整体，将原方程转化为一元二次方程，用因式分解法求解，再根据平方的非负性舍去不合理的解，最后代入计算即可. 【详解】解：∵， 令，由平方数的非负性得， 原方程可化为， 因式分解得， ∴或， 解得或， ∵， ∴不符合题意舍去，得， ∴． 18．已知关于的方程的解都是整数，求整数的值为_____． 【答案】，，， 【分析】用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论求解． 【详解】解：当时，原方程为，解得，符合题意； 当时，原方程为，解得，符合题意； 当且时，原方程化为，解得，． 为整数，且，均为整数根， ，，，，得，，，，，，， 且，，，得，，，，． 综上所述，当的值为，，，时，原方程的根都为整数． 19．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将原式分解因式可得，，解方程即可； （2）将原式分解因式可得，，解方程即可． 【详解】（1）解：， 分解因式得，， 可得或， 解得：，； （2）解：， 分解因式得，， 可得或， 解得：，． 20．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）方程移项后运用因式分解法解答即可； （2）方程运用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ∴，； （2）解：， ， ，， ∴，． 题型06.直接开平法 21．方程的较小实数根为_____． 【答案】/ 【分析】对方程两边开平方得到两个一元一次方程，求解得到方程的两个根，比较根的大小即可得到较小实数根． 【详解】解：对方程两边直接开平方，得 ， 即或， 解得，， ， 方程的较小实数根为． 22．对任意有理数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：，．若，则的值为______． 【答案】10 【分析】根据新定义运算规则列出关于的方程，解方程后计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴根据定义可得， 整理可得：， ∴， ∴． 23．方程的根是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法解方程即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解： ， 或 ， ∴ ，， 故选：． 24．解方程： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 解得：， （2）解： 解得：， （3）解： 解得：， （4）解： 解得：， 题型07.配方法 25．将方程配方成的形式，则_________． 【答案】 【分析】将原方程的常数项移到等号右侧，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将原方程整理为的形式，确定与的值后，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴，， ∴． 26．用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据配方法得到的结果还原出一元二次方程的一般形式为，再通过对比系数求出的值． 【详解】解：用配方法解得， 两边平方得， 展开左边得， 整理得， 原方程为 对比系数，可得． 27．用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用完全平方公式配方即可得到结果． 【详解】解：∵， 移项得， 二次项系数化为1得， 配方，两边同时加1得， 即， 对比可得，． 故选：D． 28．解方程 (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：， ， 或， 解得：； （2）解：， 整理得：， ， 即， 或， 解得：； （3）解： ， ， 解得：； （4）解： ， 或， 解得：； （5）解： 或， 解得：； （6）解： ， ， 或， 解得：． 题型08.配方法的应用 29．用配方法解一元二次方程时，可将原方程配方成，则的值是____． 【答案】24 【分析】本题主要考查了配方法的应用，把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得m、n的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解： ，则， ∴， 故答案为：． 30．已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 【答案】 【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，对作差结果进行配方整理，根据完全平方的非负性判断差的符号，即可得到A与B的大小关系． 【详解】解： ， ，即， ． 31．我们称形如的方程为关于x的“标准二次方程”．若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如与就是“伙伴方程”．已知与是伙伴方程，那么代数式能取的最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】D 【分析】根据“伙伴方程”的定义可得可以变形，展开成一般式后根据系数相等列方程解得，，最后根据求解即可． 【详解】解：∵与是伙伴方程， ∴可以变形， 即， ∴，， 解得，， ∴， ∴代数式能取的最大值是． 32．配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值．最小值等，例如：求代数式的最小值，解法如下： 解： ∵，∴．∴的最小值是3． 根据材料中的方法，解答下列问题： (1)若，求的值． (2)求代数式的最小值． (3)用配方法说明：不论x为何值；代数式的值总是正数． 【答案】(1) (2)最小值为3 (3)见解析 【分析】（1）先配方，再由完全平方和绝对值的非负性求解即可； （2）将原式配方成，即可求解最小值； （3）将原式配方成，即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解： ∵ ∴ ∴的最小值为3； （3）解： ， ∵， ∴， ∴ ∴不论x为何值；代数式的值总是正数． 题型09.公式法解一元二次方程 33．小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，，____________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 根据求根公式中的意义求解． 【详解】解：． 故答案为：． 34．对于任意实数a，b，定义．若，则a的值为____． 【答案】 【分析】根据定义的运算规则，将 代入公式，得到关于 的方程，然后解该一元二次方程． 本题考查了新定义计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由定义，， 所以 ． 给定 ， 因此 ， 即 ． 解得． 故答案为：． 35．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用公式法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解：， ， 解得： （2）解：， ， ， ， 或 解得： 题型10.判别式判断一元二次方程根的情况 36．一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴该一元二次方程没有实数根． 37．已知实数a，b满足，则关于x的方程根的情况是_____． 【答案】没有实数根 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的值，再代入求出的值，最后计算一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴． ∴一元二次方程为， ∵． ∴该一元二次方程没有实数根． 38．对于一元二次方程，下列说法中正确的个数是(    ) ①若是方程的一个根，则一定有成立； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若，则方程有一根为； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题利用方程根的定义，一元二次方程判别式与根个数的关系，逐个判断每个说法的正误，即可得到正确结论． 【详解】解：①∵是方程的根， ∴将代入方程得， 提取公因式得， 当时等式成立，但不一定等于， ∴①错误． ②∵方程有两个不相等的实数根， ∴该方程判别式， 对于方程，其判别式， ∵，， ∴， ∴方程必有两个不相等的实数根， ∴②正确． ③若，即， 将代入方程左边得： ， ∴满足方程，即方程有一根为， ∴③正确． ④若， 方程的判别式 ， ∵，若，则，； 若，则，，， ∴恒大于，方程必有两个不相等的实数根， ∴④正确． 综上，正确的说法共个． 39．已知关于的方程． (1)求证：无论为何实数，此方程总有实数根． (2)若两根异号且负根的绝对值大，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)k的取值范围为 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此可证出：无论为何实数，方程总有实数根； （2）根据根与系数的关系列出关于的不等式组，解不等式组可得出答案． 【详解】（1）解：方程中，，，， ， 整理可得：， 无论为何实数，方程有实数根； （2）解：方程两根异号且负根的绝对值大， ， ， 解得：， 的取值范围为． 题型11.一元二次方程根的情况求参数 40．若关于x的方程（k为常数）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】/ 【分析】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 可得根的判别式， 代入方程系数，解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：方程中， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 41．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 即， 解得：， ∴的取值范围是且． 42．已知、是两个不相等的实数，且满足：，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，两式相加可得，两式相减可得，故可为方程的两个解，再根据根的判别式即可解答，正确得到，是解题的关键． 【详解】解： 两式相加可得，两式相减可得， 则可为方程的两个解， 、是两个不相等的实数， ， 即， ， 故可得或， 解得或， 故选：D． 43．已知一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值． (2)若方程有两个相同的实数根，且，求b的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把代入，化简即可得到答案； （2）由得到，代入根的判别式，化简得，解关于b的方程即可证得结论． 【详解】（1）解：∵若是方程的一个根， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵方程有两个相同的实数根， ∴， 解得， ∴b的值为或． 题型12.换元法解一元二次方程 44．已知关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 【答案】B 【分析】利用换元法，将新方程中的看作整体，对应原方程的，根据原方程的解得到整体的取值，再解一元一次方程即可得到新方程的解． 【详解】解：令，则方程可变形为， 关于的方程的解为， ， 即或， 解得或， 方程的解是． 45．若关于x的一元二次方程的根为，，则一元二次方程的根为______． 【答案】， 【分析】先整理所求一元二次方程，通过换元法将其转化为与已知方程形式一致的方程，利用已知方程的根得到换元后未知数的值，进而求出所求方程的根． 【详解】解：整理方程，移项得： 设，则上述方程可化为， 根据题意可知：一元二次方程的根为，， 因此可得：或， 解得，． 46．阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得；当时，，解得，原方程的解为，． 根据上述材料，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）设，则原方程可化为，解方程，即可求解； （2）设，则原方程可化为，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 原方程的解为，． （2）解：设，则原方程可化为， 解得．             ， 即或， 解得，． 题型13.一元二次方程根与系数的关系 47．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 48．若、是方程的两个根，则____． 【答案】2028 【分析】根据题意得，，变形计算即可； 【详解】解：根据题意得，， 故， ． 49．若实数满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由题意可知，和是一元二次方程的两个不相等实根，利用根与系数的关系以及完全平方公式求解． 【详解】解：∵实数，满足，且， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 50．已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据根的判别式进行证明即可； （2）根据韦达定理求出，再由进行计算即可． 【详解】（1）证明：， ， 方程总有两个实数根； （2）解：由题意可得：， ， ， 解得或． 题型14.传播问题 51．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践中，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ 【答案】这种水果黄瓜每个支干长出个小分支． 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 设这种水果黄瓜每个支干长出个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． 【详解】解：设这种水果黄瓜每个支干长出个小分支， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：这种水果黄瓜每个支干长出个小分支． 52．经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 【答案】52人 【分析】设每轮传染中平均每人传染人，根据题意列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染人，根据题意得， 解得（舍去）， 第一轮传染后患流感的人数共有（人）， 答：第一轮传染后患流感的人数共有52人． 53．数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【答案】4名 【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可． 【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 题型15.增长率问题 54．某小型公司通过优化生产、拓展市场，每月净利润稳步增长．已知该公司第1个月净利润为10万元，第3个月净利润为万元，且这两个月的净利润的月平均增长率相同．求该公司这两个月净利润的月平均增长率． 【答案】 【分析】设该公司这两个月净利润的月平均增长率为x，根据第1个月和第3个月的净利润建立方程求解即可． 【详解】解：设该公司这两个月净利润的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：该公司这两个月净利润的月平均增长率为． 55．五色糯米饭是广西三月三的特色美食之一．它以黑、红、黄、紫、白五色得名，是三月三节日的必备佳肴，象征着吉祥如意、五谷丰登．在三月三期间，某特色美食店主打五色糯米饭，第一天卖出五色糯米饭200份，由于节日氛围浓厚，销量持续上涨，第三天卖出了242份，且第二天、第三天的销量增长率相同． (1)求该店五色糯米饭销量的日平均增长率； (2)若按照这个增长率，请你帮忙预测第四天能卖出多少份五色糯米饭． 【答案】(1)该店五色糯米饭销量的日平均增长率为 (2)第四天能卖出267份五色糯米饭 【分析】（1）设该店五色糯米饭销量的日平均增长率为x，根据题意列方程解决． （2）根据求出的增长率直接计算即可． 【详解】（1）解：设该店五色糯米饭销量的日平均增长率为x． 则， 解得，（不符合题意，舍去） 答：该店五色糯米饭销量的日平均增长率为． （2）解：份， 答：第四天能卖出267份五色糯米饭． 56．为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：月份售出套，月份售出套． (1)若月增长率相同，求该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率； (2)该品牌边刷套装每套进货价为元．调查发现，当销售价为元时，月均销售量为套；而当销售价每上涨元时，月均销售量将减少套．为使月均销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)销售价应定为元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（增长率问题），以及销售利润问题的实际应用． （1）设该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为，根据两次增长后的销售量列方程并解方程即可. （2）设该品牌边刷套装的销售价应定为元，根据涨价后的销售利润列方程并解方程, 并根据尽可能让顾客得到实惠选择最优解即可. 【详解】（1）解：设该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为； （2）解：设该品牌边刷套装的销售价应定为元，则每套的销售利润为元，月均销售量为套， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又要尽可能让顾客得到实惠， 取， 答：该品牌边刷套装的销售价应定为元． 题型16.与图形有关的问题 57．一个美丽的乡村计划新建一个现代化的猪舍，以改善农场的养殖条件．农场主希望这个猪舍是一个矩形，且面积为25平方米，其中一边将利用现有的围墙（墙长为8米），这样可以节省材料成本．为了建造这个猪舍，农场主购买了长为15米的木板来围住其余的三边．现在，农场主要计算猪舍的边的长度，以便他能够合理地利用这些木板，并确保猪舍的面积符合要求．请你帮他算一算吧． 【答案】的长是5米． 【分析】设的长为米，则，根据面积列方程求解． 【详解】解：设的长为米，， 根据题意得， 整理得，， 解得， ∴的长是5米． 58．为了丰富学生的课余生活，学校计划在校园内建造一个活动区域（长方形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为，位置的墙最大可用长度为），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留宽的门（不用栅栏）．建成后栅栏总长． (1)若活动区域（长方形）的一边长为，则另一边 ． (2)若活动区域（长方形）的面积为，求边的长． 【答案】(1) (2)边的长为． 【分析】（1）由栅栏总长为，即可求出的长； （2）设，则，根据活动区域的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值． 【详解】（1）解：； （2）解：设，则，依题意得： ， 解得：， ∵， ∴， ∴， 当时，，符合题意． 答：边的长为． 59．如图1，有一张长为、宽为的长方形硬纸片，剪去四个角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）． (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】(1)26 (2)剪去正方形的边长为 (3)剪去的正方形的边长为 【分析】（1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， 纸盒底面长方形的长为； （2）解：设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； （3）解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为． 题型17.数字问题 60．2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【答案】5 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解日历表的中数与数的关系，正确列式求解是关键． 设这个最小数为，则最大数为，由此列方程求解即可． 【详解】解：设这个最小数为，则最大数为， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 61．小明同学是一位诗词爱好者，在学习了《一元二次方程及其应用》这一章后，改编了苏轼的词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去，浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”其中蕴含着一道数学问题：周瑜在30岁时已经担任东吴的都督，去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．求周瑜去世时的年龄． 【答案】周瑜去世时的年龄为36岁 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，数字问题，掌握根据数字间的关系列方程，求解后结合实际意义检验根的合理性是解题的关键． 设周瑜去世时年龄的十位数字为，根据十位与个位的数量关系表示出个位数字，再根据个位数字的平方等于该两位数列方程，求解后结合30岁时担任都督的实际条件检验，确定年龄． 【详解】解：设周瑜去世时年龄的十位数字是． 依题意，得， 即，解得（不合题意，舍去），， ， ， ∴周瑜去世时的年龄为36岁． 62．综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下： 【进位制的认识】 ①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． ②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． ③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当时，．如：；． 【解决问题】 (1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天 (2)类比十进制加减法计算（结果保留二进制） 例如； 写出________________ (3)小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）． 【答案】(1)510 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，一元二次方程的实际应用，熟练掌握进制之间的换算方法，是解题的关键： （1）根据图形，列出算式进行计算即可； （2）类比十进制的加减运算，进行计算即可； （3）根据进制之间的换算关系，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：（天）； 故答案为：510； （2）； 故答案为： （3）由题意，得：， 解得：或（舍去）； 故． 题型18.营销问题 63．某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，每天销售量y（个）与售价x（元/个）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)当售价定为60元时，每天的利润可达到6000元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出y与x的函数表达式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据每天的利润等于每个纪念章的利润乘以销售量建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数表达式为， 由题意得，， 解得， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：由题意得，， 整理得或（舍去）， 答：当售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 64．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装，平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装每降价2元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若要求销售这种服装平均每天盈利1000元，同时又要使顾客得到较多的实惠，那么售价应该定为多少元？ (2)平均每天盈利能否达到1250元？请说明理由． 【答案】(1)售价应定为70元 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设每件降价元，根据销售这种服装平均每天盈利1000元，列出方程，解方程即可； （2）根据每天盈利达到1250元，列出方程，判断方程是否有解即可． 【详解】（1）解：设每件降价元， 由题意列方程：， 整理得， 解得，， 要使顾客得到较多实惠，取，售价为元， 答：售价应定为70元． （2）解：当， 整理得：， 判别式，方程无实数根， 答：平均每天盈利不能达到1250元． 65．综合与应用 【问题情境】某农科院研制了一款优质新品种葡萄，并广泛种植．某葡萄种植基地2024年种植该品种葡萄，2026年该品种葡萄的种植面积达到 【提出问题】 (1)求这个基地年新品种葡萄种植面积的年平均增长率． 【问题拓展】 (2)某超市调查发现，当该品种葡萄的售价为每千克8元时，每周能售出，每千克售价每上涨1元，每周销售量将减少．已知该品种葡萄的进价为每千克6元，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品种葡萄售价不能超过每千克15元．要使每周销售该品种葡萄的利润为2240元，则该品种葡萄每千克售价应上涨多少元？ 【答案】(1) (2)该品种葡萄每千克售价应上涨6元 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据两年种植面积的关系列方程求解即可； （2）设每千克售价上涨y元，先求出y的取值范围，再根据总利润列方程求解即可． 【详解】（1）解：设年平均增长率为x， ∵某葡萄种植基地2024年种植该品种葡萄，2026年该品种葡萄的种植面积达到， ∴， 解得：（负值舍去）； （2）解：设每千克售价上涨y元，则每千克利润为元，每周销售量为， ∵该品种葡萄售价不能超过每千克15元，售价应上涨， ∴， 解得， ∵每周销售该品种葡萄的利润为2240元， ∴， 解得：（舍去）， ∴该品种葡萄每千克售价应上涨6元． 题型19.动态几何问题 66． 如图所示，在中，，，，点由点出发，沿边以的速度向点移动；点由点出发，沿边以的速度向点移动．如果点，分别从点，同时出发，问： (1)经过_____________________秒后，的面积等于？ (2)经过几秒后，P，Q两点间距离是？ 【答案】(1)2或4 (2)秒 【分析】本题是一元二次方程的应用题，属于常考题型，正确理解题意列出方程、熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）设秒后，面积为，用含x的代数式表示出和，然后根据三角形的面积可得关于x的方程，解方程即可求出结果； （2）设秒后，，两点间距离是，根据勾股定理可得关于t的方程，解方程即得结果． 【详解】（1）解：设秒后，面积为，则，， 由可得， 解得，； 答：经过2秒或4秒后，面积为． （2）解：设秒后，，两点间距离是， 由勾股定理，得，即， 解得：（舍去）； 答：秒后，，两点间距离是． 67．在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为． (1)当时，求长． (2)当的面积为时，求t的值． (3)当时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，，，根据勾股定理求解即可； （2）根据题意，，由列方程求解即可； （3）根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， ， ； （2）解：，，， ，， ， ； （3）解：由勾股定理，可得， 解得或， ， ． 68．如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)的值为2或8秒 (3)的面积不能达到，理由见解析 【分析】（1）根据，可得，的长，即可求解； （2）由题意得，，，则，即可求解； （3）由（2）可得，令，进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴． （2）解：由题意得，，， ∴， 整理，得， 解得． 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意；∴ ∴的值为2或8秒． （3）解：不能．理由如下： 由（2）可知，， 令， 整理，得， ∵， ∴无实数根， ∴的面积不能达到． 题型20.工程问题 69．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 70．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米 (2)18 【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案； （2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得 ， 解得， 米， 所以A型设备每小时铺设的路面110米； （2）根据题意得：， 解得，（舍去）， 答：m的值是18． 【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 71．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万． (1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米． (2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值． 【答案】(1)甲最多施工2500米 (2)a的值为6 【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米， 依题意，得：12（5000-x）≥×10x， 解得：x≤2500， 答：甲最多施工2500米． （2）依题意，得： ， 整理，得：， 解得：，， 当时，总成本为：（万元）， ∵， ∴不符合题意舍去； 当时，总成本为：（万元）， ∵， ∴符合题意； 答：a的值为6． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 题型21.行程问题 72．在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 73．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，再进一步求解即可. （2）①利用列代数式即可； ②利用建立一元二次方程求解即可. 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：①这段时间内小球的平均速度； ②由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意， ∴. 74．随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 【答案】(1)张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米 (2)的值为 【分析】（1）设李大伯徒步走的速度为每分钟米，则张大伯每分钟走米，根据两人共走了米列方程，解得的值代入中计算即可； （2）结合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走米，由已知条件可得张大伯走了分钟，李大伯走了分钟，根据两人又共走了米列方程，解方程并根据实际意义确定值即可． 【详解】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟米，得 解得 ∴（米） 所以，张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米； （2）解：依题意，得 整理得 解得（舍）， 答：的值为． 【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量关系是解决问题的关键． 题型22.图标信息问题 75．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 【答案】（1） ；（2）10 【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解； （2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨， 元； （2）若 ，有 ，解得： ，即 ，不合题意，舍去， ∴ ， 根据题意得： ， 解得： （舍去）， 答：规定用水量a的值为10吨． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 76．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【答案】(1)元 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）由题意列出代数式即可得出结论； （2）由3月份的用电量、缴电费总数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，超过a度的电费为元； （2）由表格可知3月份的用电量超过a度，故：， 整理得：， 解得：， ∵4月份用电量度，交费元， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：电厂规定的a的值为． 77．疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【答案】(1)40，，29，26 (2)他今日检测总人数为人 【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t与x之间的函数关系式，即可补全表格； （2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒， 由题意得：、， 补全表格如下： 检测人数人 人均检测时间秒 （2）解：由题意得，， 解得，， 当时，检测总人数为人， 每位大白的检测人数不超过人， 不符合题意，舍去， 当时，检测总人数为人， 答：他今日检测总人数为人． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键． 题型23.握手循环赛问题 78．某次校友聚会上，所有参加聚会的校友之间都相互握手问候，据统计共握手45次，求参加聚会的校友人数． 【答案】参加聚会的有10人． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设参加这次聚会的校友人数为x人，根据所参加的校友之间共握手次列出方程，求解即可． 【详解】解：设参加这次聚会的校友人数为x人， 根据题意得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：参加聚会的有10人． 79．北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军．趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计． (1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明； (2)赛后经查询，小米的统计正确．因为有一人身体不适，参加4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛． 【答案】(1)小诚的说法有道理，见解析 (2)原来有9人参加比赛 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）设原来有人参加比赛，设有一人比赛了场后退出比赛，可得方程，整理并求解即可． 【详解】（1）解：小诚的说法有道理．理由如下： 设有人报名参赛，由题意，得， 整理得． 解得． 与都不是整数， 方程的解不符合实际，故小诚的说法有道理． （2）解：设原来有人参加比赛， 由题意，得， 整理得． 解得（不符合题意，舍去）． 原来有9人参加比赛． 80．以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)此次参赛一共有8个球队 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）设每年接待游客人数的增长率为，根据题意可得，求解得到合适的x值； （2）设此次参赛一共有个球队，根据题意可得，求解得到合适的x值即可． 【详解】（1）解：设每年接待游客人数的增长率为， 可列方程：，解得（舍去） 答：平均增长率为． （2）解：设此次参赛一共有个球队， 可列方程：，解得，（舍去） 答：此次参赛一共有8个球队． 题型24.其他实际应用问题 81．小明准备进行如下操作实验：把一根长为的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于，小明该怎么剪？ 【答案】小明应该将铁丝剪成和的两段 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设围成第一个正方形的边长为，则围成第二个正方形的边长为，根据正方形的面积公式结合两个正方形的面积之和等于，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设围成第一个正方形的边长为，则围成第二个正方形的边长为，依题意得： ， 解得：，， ，， 答：小明应该将铁丝剪成和的两段． 82．在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为10米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为（米/秒）．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少________米，从开始到滚动了秒后小球的速度为________米/秒． (2)小球从开始到滚动21米用了多少秒？ (3)小球在最后一秒滚动了多少米？ 【答案】(1)2， (2)秒 (3)米 【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动21米用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． （3）根据（1）中结论得出小球滚动距离，再代入和作差即可解答． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 从开始到滚动了秒后小球的速度为米/秒， （2）解：设小球滚动21米用了秒，此时小球的末速度为 米/秒， 根据题意，得 整理得 解得 ， 当 时， ，不符合实际，舍去 因此 答：小球从开始到滚动21米用了3秒． （3）解：∵小球的滚动速度平均每秒减少，从开始到滚动了秒后小球的速度为米/秒， ∴小球滚动距离， 当时，， ∴小球滚动25米后停止， 当时，， 故小球在最后一秒滚动了米． 83．阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简． 读完这段文字，请解答以下问题： (1)填空： ， ， ， ； (2)在复数范围内解方程：； (3)在复数范围内解方程：． 【答案】(1)，1，，1 (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）直接根据计算即可； （2）把右边的写成求解即可； （3）利用配方法，结合求解． 【详解】（1）解：；；；； 故答案为：，1，，1； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （3）解：， ， ， ∴， 解得：，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $