专题01二次根式期末复习讲义(20大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题01二次根式期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解二次根式定义，掌握其有意义的条件，会求字母取值范围。 2.熟记二次根式四大性质，明晰积、商的算术平方根运算规律。 3.能辨别最简二次根式、同类二次根式，掌握判定方法。 4.熟知二次根式四则运算及混合运算的规则与顺序。 1.准确求解字母取值范围，考虑周全。 2.熟练化简二次根式，运算过程规范，结果化为最简形式。 3.能运用根式知识解决简单计算与几何相关问题。 4.辨析易混知识点，养成严谨的解题习惯。 1.基础题：概念判断、取值范围、简单化简、根式辨析，确保零失分。 2.中档题：常规计算题型步骤完整，稳稳得分。 3.综合题：灵活应对根式与整式、几何结合的题型，突破难点。 4.规避常见易错点，做到会做题不丢分。 . 题型01.二次根式的识别 题型02.求二次根式中的参数 题型03.二次根式有意义的条件 题型04.求二次根式的值 题型05.利用二次根式的性质化简 题型06.最简二次根式的判断 题型07.化为最简二次根式 题型08.由最简二次根式求参数 题型09.二次根式的乘法 题型10.二次根式的除法 题型11.分母有理化 题型12.二次根式的乘除混合运算 题型13.复合二次根式的化简 题型14.同类二次根式 题型15.二次根式的加减运算 题型16.二次根式的混合运算 题型17.由字母的值,化简求值 题型18.已知条件式.化简求值 题型19.二次根式的大小比较 题型20.二次根式的应用 知识点01.核心概念（基础前提） 1. 定义 形如(a≥0)的式子叫做二次根式。 核心规则：被开方数 a 必须是非负数，这是根式存在的前提。 2. 二次根式有意义的条件（必考） 式子形式 取值范围 核心解读 单纯二次根式 a≥0 根号下不能为负数 根式作分母 a0 双重限制：根式非负 + 分母不为 0 多根式/分式混合式 列不等式组，同时满足所有条件 逐项检查，缺一不可 知识点02:核心性质｜必背清单 易混点直击：()2 vs 对比表 对比维度 ()2 ​ 成立条件 a≥0（被开方数非负，根式才有意义） a为任意实数（任何数平方后均非负） 运算顺序 先开二次方，再进行平方运算 先进行平方运算，再开二次方运算 计算结果 直接等于a 先得∣a∣，再根据a的正负去绝对值 本质特征 非负数的开方与平方互逆，结果唯一 任意数平方后开方，结果为非负数 （去绝对值后确定） 知识点03:二次根式的性质与化简 —— 给根式 “整容变标准” 1. 最简二次根式（两大硬性标准，双检法） 必须同时满足两个条件，才算标准根式： (1)被开方数不含分数、小数； (2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 答题铁律：所有根式计算题，最终结果一律化为最简二次根式。 2. 同类二次根式（“同门兄弟” 判别法） (1)判断步骤：先化简 → 再比对 (2)判定规则：化成最简根式后，被开方数完全相同，即为同类二次根式（和根号外系数无关）。 (3)运算规则：可仿照整式合并同类项的方法合并。 记忆口诀：先化简，看根号，根内相同就合并。 知识点04:二次根式的运算 —— 玩转根式四则运算 运算类型 运算法则 标准步骤 踩分提醒 乘法 =（a≥0，b≥0） 相乘合并→整体开方→化为最简 被开方数不能为负 除法 （a≥0,b>0） 根式相除→分母有理化→化简 结果分母严禁带根号 加减法 无固定公式 一化（全最简）二找（同类根式）三并（合并同类） 非同类根式，不能强行合并 混合运算：遵循整式运算顺序 顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内； 技巧：灵活运用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算： (+)(−)=a−b； (±)2=a+b±2​。 1.忽略二次根式有意义的条件（a≥0），求字母取值范围时遗漏限制； 2.混淆 ()2 与 ，后者结果必须加绝对值； 3.运算时未先化简就直接合并，导致错误； 4.分母有理化时漏乘、符号出错； 5.忽略运算结果需化为最简二次根式。 知识点05:分母有理化 将分母中的根号化去， 方法：分子分母同乘分母的有理化因式 常见类型及方法 .知识点06:化简二次根式一般方法 知识点07:高频易错 “陷阱榜” 1.求字母范围：漏掉被开方数、分母的限制条件； 2.化简 ：直接去掉符号，忘记绝对值； 3.收尾不规范：计算结果不化成最简二次根式； 4.判别失误：未化简就判断同类二次根式，乱合并； 5.除法疏漏：分母含根号，不做分母有理化； 6.运算混乱：混合运算颠倒顺序、误用乘法公式。 题型01.二次根式的识别 1．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需同时满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，据此逐一判断选项即可 【详解】解：∵二次根式需同时满足两个条件：①根指数为2，②被开方数为非负数， A、的根指数为3，不满足条件①，不是二次根式； B、的被开方数，无意义，不满足条件②，不是二次根式； C、根指数为2，被开方数，满足两个条件，是二次根式； D、的可取负数，当时无意义，因此不一定是二次根式． 2．下列式子：．其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据被开方数为非负数，即可得出答案． 【详解】解：，不是二次根式； 是二次根式； 当时，不是二次根式； 当时，，不是二次根式； ，是二次根式； 不是二次根式． 综上，，是二次根式，一共2个． 故选：B． 3．下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式． 【详解】解：二次根式定义要求被开方数， ：，被开方数，总是二次根式； ：中，故总是二次根式； ：，当时，，无意义，不一定是二次根式； ：中，故总是二次根式． 故选：． 题型02.求二次根式中的参数 4．已知x是正整数，且是整数，则x的最小值是_________． 【答案】2 【分析】先根据二次根式的性质化简为：，由题意可知，必须是整数，即必须是一个完全平方数，当时，，4是完全平方数，进而得出答案． 【详解】解：为正整数，且是整数， 必须是整数，即必须是一个完全平方数， 当时，，4是完全平方数， 此时， 是整数， 的最小值是． 5．是一个正整数，则的最小正整数是_____． 【答案】3 【分析】根据二次根式的定义可得，解得，再根据是一个正整数，可得或4或9，即可得到答案． 【详解】解：由二次根式的定义可得， 解得：， 是一个正整数， 或4或9， 解得：或8或3， 的最小正整数是3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，求得或4或9是解题的关键． 6．若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 7．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，3，3 (2)①无解，②不能，理由见解析 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． （1）根据题意可直接进行求解； （2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； ②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答． 【详解】（1）解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， ∴不是原方程的解，原方程无解； ②若代数式的值等于7，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， ∴该方程无解， ∴代数式的值不能等于7． 题型03.二次根式有意义的条件 8．二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式在实数范围内有意义的条件，利用被开方数为非负数的性质列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义 ∴被开方数需满足非负条件，即 解不等式得． 9．若，则________． 【答案】2 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，则可得，再代入计算可得的值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， ∵， ∴， ∴． 10．已知为任意实数，下列各式中，在实数范围内一定有意义的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）及分式有意义的条件（分母不为0），逐一判断各选项在为任意实数时是否有意义． 【详解】解：对选项A：要使有意义，需，即，当时无意义，不符合题意 对选项B：分母，当时式子无意义，虽分子中，但为任意实数包含，不符合题意 对选项C：要使有意义，需，即，当时无意义，不符合题意 对选项D：∵为任意实数，，∴，被开方数始终为正，∴在实数范围内一定有意义，符合题意 故选：D． 题型04.求二次根式的值 11．当时，二次根式的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：当时，． 12．已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是__________． 【答案】/ 【分析】根据二次根式的非负性，即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的非负性，解题的关键是掌握二次根式值的特点． 13．观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴第个数为， ∴第10个数是， 故选C． 14．若求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 题型05.利用二次根式的性质化简 15．计算：______． 【答案】/ 【详解】解：． 16．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】0 【分析】根据数轴可得，则，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：由图得， ∴， 则． 17．若a满足则的值为（    ） A．0 B．1 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】由方程中的可知，从而，代入原方程化简后平方求解，再计算的值． 【详解】解：∵有意义 ∴，即 ∵ ∴ 代入原方程： 化简得： 两边平方： ∴． ∴． 18．当时，求的值，如图是小亮和小芳的解答过程： (1)_______的解法是错误的． (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______________． (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2)当时， (3)2 【分析】（1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：小亮的解法是错误的，理由如下： ∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的． （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：当时，． （3）解：， ． 原式． 题型06.最简二次根式的判断 19．下列二次根式中，不属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式要求被开方数不含能开得尽方的因数（或因式），且不含分母，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，C选项，D选项的被开方数都不含能开得尽方的因数，都是最简二次根式， B选项中，被开方数8含能开得尽方的因数4， 因此，不属于最简二次根式． 20．下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确最简二次根式的判定条件，即根指数为2，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，依次对各选项判断即可． 【详解】解：最简二次根式需要同时满足：根指数为2，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此判断如下： 选项A：是三次根式，不是二次根式，不符合题意； 选项B：，被开方数含分母，不符合题意； 选项C：，被开方数含能开得尽方的因式，不符合题意； 选项D：，满足所有条件，是最简二次根式，符合题意． 21．下列各式（都有意义）：，，，，，中，属于最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据最简二次根式定义判断即可． 【详解】解：，被开方数含有分母，不是最简二次根式， ，被开方数含有能开得尽的因数9，不是最简二次根式， ，分母中含有根号，不是最简二次根式， 是最简二次根式， ，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 是最简二次根式， 所以最简二次根式有2个． 题型07.化为最简二次根式 22．化简后的结果是（   ） A． B． C．6 D．12 【答案】B 【详解】解：． 23．若为正整数，是整数，则m的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据m是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为3． 24．化简：化成最简二次根式为______． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再利用二次根式的性质化简为最简二次根式． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：， ． 25．把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了化为最简二次根式，熟练掌握化为最简二次根式的方法是解题的关键 （1）被开方数是小数，要把小数化成分数，然后利用商的算术平方根的性质进行化简； （2）被开方数是带分数，要把带分数化为假分数，然后利用商的算术平方根的性质进行化简； （3）分母是二次根式，要根据分式的基本性质将分母中的根号化去； 【详解】（1） （2） （3） 题型08.由最简二次根式求参数 26．如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么_____________． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，根据最简二次根式的被开方数相同列方程是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 解得， 故答案为：1． 27．若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的被开方数不含能开得尽方的因数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； B．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； C．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D．当时，，含有能开得尽方的因数，，不是最简二次根式，即的值不可能是． 28．若最简二次根式和可以合并，则的值为___________． 【答案】2 【分析】能合并则说明两者为同类二次根式，再根据同类二次根式的被开方数相同列方程即可． 【详解】解：由题意得：，解得：． 所以， ∴． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，掌握被开方数相同的最简二次根式称是同类二次根式成为解答本题的关键． 29．已知最简二次根式与最简二次根式可以合并． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)1或 (2)2或 【分析】本题考查最简二次根式合并的性质与二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）根据最简二次根式可合并的性质，得到两个二次根式的被开方数相等，列方程求解后验证被开方数非负得到的值； （2）根据二次根式被开方数必须非负，求出y的值，再代入计算得到的值． 【详解】（1）解：根据题意得，最简二次根式与最简二次根式可以合并， 则， 整理得：， 解得：或， 当时，，，符合题意， 当时，，，符合题意， 因此，的值为1或； （2）解：根据题意得： 解得：， 由（1）知：或， 当、时，， 当、时， 因此，的值为2或． 题型09.二次根式的乘法 30．______． 【答案】 【详解】解： ． 31．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的乘法、加法、除法、乘方法则，分别计算各选项即可得到正确结果． 【详解】解：选项A，， A计算正确． 选项B，先化简，可得， B错误． 选项C，根据二次根式除法法则 ，可得 ， C错误． 选项D，根据平方运算法则，可得 ， D错误． 32．计算：____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 利用平方差公式，将原式转化为幂的乘积形式，结合指数运算法则简化计算． 【详解】解；原式 = = = = = ． 故答案为：． 33．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 34．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）括号后合并同类二次根式即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开后，再合并同类项得到结果. 【详解】（1）解： （2）解： 题型10.二次根式的除法 35．化简：________． 【答案】 【详解】． 36．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则计算判断即可． 【详解】解：对于选项A，与不能合并，原计算错误； 对于选项B，，原计算错误； 对于选项C，，原计算正确； 对于选项D，，原计算错误． 37．计算：____________． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式计算平方项，再化简根式并计算除法项，最后合并同类项． 此题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握，即可解题． 【详解】解：． 故答案为：． 38．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 39．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可得出结果； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型11.分母有理化 40．化简：_______． 【答案】 【分析】直接进行分母有理化运算即可． 【详解】解：． 41．计算=______． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简，掌握知识点是解题的关键． 通过有理化分母，分别简化两个分式，然后相减得到结果． 【详解】解：对于第一项，分子和分母同乘以分母的共轭式： 对于第二项，分子和分母同乘以分母的共轭式： 原表达式为第一项减第二项： ， 故答案为． 42．已知，，则与的关系为________． 【答案】 【分析】将进行化简得，可判断． 【详解】解：， 又， ∴． 43．像、、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． (1)请写出的有理化因式：________； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意即可解答； （2）将每一个式子进行分母有理化，然后求和计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得的有理化因式为； （2）解： ． 题型12.二次根式的乘除混合运算 44．计算：的结果为______． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的乘除，把二次根式的除法转化成乘法运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 45．计算：_________；_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．第一题根据二次根式的乘除法法则计算即可；第二题先将括号内的二次根式化简，然后求和，再计算二次根式的除法即可． 【详解】解： ． ． 故答案为：； 46．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型13.复合二次根式的化简 47．当时，化简：______． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 48．（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，利用绝对值的意义和乘法公式结合二次根式的性质进行化简． 【详解】解： ， 故选：D． 49．在处理形如的嵌套二次根式时，我们可以利用完全平方公式和二次根式的性质，将其化简为不含根号的形式，核心思路是：把根号内的式子配成完全平方式，再开方化简． (1)比如化简二次根式．可以将转化为的形式， 因为，，若，可得___________，___________， 再根据，则可得到化简： (2)化简二次根式： (3)若，解方程． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意将写成的形式，即可得出，的值； （2）将转化为的形式，即可化简； （3）将转化为的形式，转化为，化简，并解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ，． （2）解：． （3）解：， ， ． ∴原方程转化为，解得． 题型14.同类二次根式 50．与最简二次根式是同类二次根式，则______． 【答案】 【分析】先将化为最简二次根式，根据同类二次根式的概念得到关于的一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：，且与最简二次根式是同类二次根式， ， 移项得， 系数化为得． 51．若与最简二次根式能合并，则___________． 【答案】2 【分析】能合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式的定义为：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．本题中已经是最简二次根式，因此令被开方数相等，即可求出． 【详解】解：与最简二次根式能合并， 与是同类二次根式， 根据同类二次根式的定义，可得． 52．整数满足，且二次根式与是同类二次根式，则 ______． 【答案】或 【分析】根据二次根式的定义，先确定的值，再求出． 【详解】解：二次根式与是同类二次根式， 令（为正整数），即， 当时，，； 当时，，（不合题意，是整数）； 当时，，； 当时，，（不合题意，是整数）； 当时，，（不合题意，）． 故答案为：或． 53．已知最简二次根式和最简二次根式可以合并，求的值． 【答案】4 【分析】根据题意，两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，则它们的根指数都为2，且被开方数相等，据此列出关于的方程组求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴，， 解得，， ∴． 题型15.二次根式的加减运算 54．定义新运算：，则的运算结果是______． 【答案】 【详解】解：由可得： ． 55．计算的结果为_________________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先把二次根式化为最简二次根式，再准确合并同类二次根式． 先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，从而计算出结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 56．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； 利用平方差公式计算． 【详解】（1）解：． （2）解：． 57．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对每一项分别化简，化简时用到二次根式化简规则，绝对值的性质，负整数指数幂的计算法则，再进行加减运算得到结果； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开计算，简化运算过程． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型16.二次根式的混合运算 58．计算： （1）______；（2）______；（3）______；（4）______． 【答案】 3 8 1 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）. 59．计算：_______． 【答案】 / 【详解】解：． 60．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】先利用二次根式的乘除运算法则计算，将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 61．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可． （2）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型17.由字母的值,化简求值 62．已知，，则代数式的值等于______． 【答案】4 【分析】先将所求代数式利用完全平方公式因式分解，再计算的值，整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 63．当时，的值为__________． 【答案】1 【分析】根据，化简求解即可； 【详解】解： 当时，原式． 64．已知，，求代数式的值． 【答案】 22 【分析】根据已知求出，再将代数式变形为，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 65．计算： (1) ； (2)先化简，再求值： ，其中． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 将代入上式得， 原式． 题型18.已知条件式.化简求值 66．已知，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 67．已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，代数式求值，理解二次根式的运算法则是解答关键． 根据二次根式的运算法则先进行化简，再将代入求解． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：B． 68．已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行变形，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，代入得， ． 69．已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的运算与乘法公式，先计算出，和的值，再利用完全平方公式和平方差公式对所求式子变形，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴． （2）解：，由完全平方公式可得：． （3）解：，由平方差公式可得：． 70．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简、完全平方公式.根据完全平方公式把已知等式变形，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 题型19.二次根式的大小比较 71．填空：________（填“”或“”） 【答案】 【分析】先将两个数分别平方，再比较平方结果的大小，平方结果更大的原数更大. 【详解】解：∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴. 72．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方法将三个二次根式转化为同分母分数，比较平方后的大小，从而得到原数的大小关系． 【详解】解：，，， ， ． 73．比较大小：（1）________    （2）________ 【答案】 > > 【分析】本题考查实数的大小比较，掌握乘方法，差值法比较大小是解题的关键．对于（1），通过将两个数分别取6次方来比较大小；对于（2），通过计算两个数的差来判断大小． 【详解】解：（1）∵，， 且， ∴． 故答案为：>． （2）设 , 则． ∵, , 且, , , ∴, ∴, ∴, ∴． ∴． 故答案为：>． 74．已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 (1)试比较：与大小关系 (2)试比较：与大小关系 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的结果即可得到答案； （2）可求出，，根据即可得到结论． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， 又 ， ∴． 题型20.二次根式的应用 75．一个长方形的面积为，其中一边长为，则和它相邻的另一边长为______． 【答案】 【分析】根据长方形面积公式，长方形面积等于相邻两边长的乘积，已知面积和其中一边长，通过除法计算得到另一边长，再利用二次根式的除法法则化简即可得到结果． 【详解】解：∵一个长方形的面积为，其中一边长为， ∴另一边长为． 76．如图1所示的中国结内包含两个全等的正方形，将其抽象成如图2所示的几何图形．若两个大正方形，的面积均为，重叠部分的小正方形为的面积为，则的长为______． 【答案】 【分析】首先根据正方形面积公式求出大正方形和小正方形的边长，再结合图形中线段的和差关系，用大正方形的边长减去小正方形的边长，即可得到的长度． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴大正方形的边长； ∵重叠部分的小正方形的面积为， ∴小正方形的边长， ∴． 77．如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为40，相邻两张正方形纸片的边长均相差1，设最大正方形纸片和最小正方形纸片的边长分别为，． (1)分别求和的值； (2)分别求和的值． 【答案】(1)； (2)39， 【分析】（1）先根据中间正方形的面积求出其边长，再结合图形边长关系求出、； （2）先根据（1）中的结论并结合二次根式运算法则求出，然后利用平方差公式计算． 【详解】（1）解：因为中间正方形纸片的面积为40， 所以中间正方形的边长为， 所以最大正方形的边长， 最小正方形的边长； （2）解：； 因为， ， ， 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次根式期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解二次根式定义，掌握其有意义的条件，会求字母取值范围。 2.熟记二次根式四大性质，明晰积、商的算术平方根运算规律。 3.能辨别最简二次根式、同类二次根式，掌握判定方法。 4.熟知二次根式四则运算及混合运算的规则与顺序。 1.准确求解字母取值范围，考虑周全。 2.熟练化简二次根式，运算过程规范，结果化为最简形式。 3.能运用根式知识解决简单计算与几何相关问题。 4.辨析易混知识点，养成严谨的解题习惯。 1.基础题：概念判断、取值范围、简单化简、根式辨析，确保零失分。 2.中档题：常规计算题型步骤完整，稳稳得分。 3.综合题：灵活应对根式与整式、几何结合的题型，突破难点。 4.规避常见易错点，做到会做题不丢分。 . 题型01.二次根式的识别 题型02.求二次根式中的参数 题型03.二次根式有意义的条件 题型04.求二次根式的值 题型05.利用二次根式的性质化简 题型06.最简二次根式的判断 题型07.化为最简二次根式 题型08.由最简二次根式求参数 题型09.二次根式的乘法 题型10.二次根式的除法 题型11.分母有理化 题型12.二次根式的乘除混合运算 题型13.复合二次根式的化简 题型14.同类二次根式 题型15.二次根式的加减运算 题型16.二次根式的混合运算 题型17.由字母的值,化简求值 题型18.已知条件式.化简求值 题型19.二次根式的大小比较 题型20.二次根式的应用 知识点01.核心概念（基础前提） 1. 定义 形如(a≥0)的式子叫做二次根式。 核心规则：被开方数 a 必须是非负数，这是根式存在的前提。 2. 二次根式有意义的条件（必考） 式子形式 取值范围 核心解读 单纯二次根式 a≥0 根号下不能为负数 根式作分母 a0 双重限制：根式非负 + 分母不为 0 多根式/分式混合式 列不等式组，同时满足所有条件 逐项检查，缺一不可 知识点02:核心性质｜必背清单 易混点直击：()2 vs 对比表 对比维度 ()2 ​ 成立条件 a≥0（被开方数非负，根式才有意义） a为任意实数（任何数平方后均非负） 运算顺序 先开二次方，再进行平方运算 先进行平方运算，再开二次方运算 计算结果 直接等于a 先得∣a∣，再根据a的正负去绝对值 本质特征 非负数的开方与平方互逆，结果唯一 任意数平方后开方，结果为非负数 （去绝对值后确定） 知识点03:二次根式的性质与化简 —— 给根式 “整容变标准” 1. 最简二次根式（两大硬性标准，双检法） 必须同时满足两个条件，才算标准根式： (1)被开方数不含分数、小数； (2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 答题铁律：所有根式计算题，最终结果一律化为最简二次根式。 2. 同类二次根式（“同门兄弟” 判别法） (1)判断步骤：先化简 → 再比对 (2)判定规则：化成最简根式后，被开方数完全相同，即为同类二次根式（和根号外系数无关）。 (3)运算规则：可仿照整式合并同类项的方法合并。 记忆口诀：先化简，看根号，根内相同就合并。 知识点04:二次根式的运算 —— 玩转根式四则运算 运算类型 运算法则 标准步骤 踩分提醒 乘法 =（a≥0，b≥0） 相乘合并→整体开方→化为最简 被开方数不能为负 除法 （a≥0,b>0） 根式相除→分母有理化→化简 结果分母严禁带根号 加减法 无固定公式 一化（全最简）二找（同类根式）三并（合并同类） 非同类根式，不能强行合并 混合运算：遵循整式运算顺序 顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内； 技巧：灵活运用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算： (+)(−)=a−b； (±)2=a+b±2​。 1.忽略二次根式有意义的条件（a≥0），求字母取值范围时遗漏限制； 2.混淆 ()2 与 ，后者结果必须加绝对值； 3.运算时未先化简就直接合并，导致错误； 4.分母有理化时漏乘、符号出错； 5.忽略运算结果需化为最简二次根式。 知识点05:分母有理化 将分母中的根号化去， 方法：分子分母同乘分母的有理化因式 常见类型及方法 .知识点06:化简二次根式一般方法 知识点07:高频易错 “陷阱榜” 1.求字母范围：漏掉被开方数、分母的限制条件； 2.化简 ：直接去掉符号，忘记绝对值； 3.收尾不规范：计算结果不化成最简二次根式； 4.判别失误：未化简就判断同类二次根式，乱合并； 5.除法疏漏：分母含根号，不做分母有理化； 6.运算混乱：混合运算颠倒顺序、误用乘法公式。 题型01.二次根式的识别 1．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子：．其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 题型02.求二次根式中的参数 4．已知x是正整数，且是整数，则x的最小值是_________． 5．是一个正整数，则的最小正整数是_____． 6．若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 7．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 题型03.二次根式有意义的条件 8．二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．若，则________． 10．已知为任意实数，下列各式中，在实数范围内一定有意义的是（） A． B． C． D． 题型04.求二次根式的值 11．当时，二次根式的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 12．已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是__________． 13．观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 14．若求的值． 题型05.利用二次根式的性质化简 15．计算：______． 16．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简______． 17．若a满足则的值为（    ） A．0 B．1 C．2025 D．2026 18．当时，求的值，如图是小亮和小芳的解答过程： (1)_______的解法是错误的． (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______________． (3)当时，求的值． 题型06.最简二次根式的判断 19．下列二次根式中，不属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 20．下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 21．下列各式（都有意义）：，，，，，中，属于最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型07.化为最简二次根式 22．化简后的结果是（   ） A． B． C．6 D．12 23．若为正整数，是整数，则m的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 24．化简：化成最简二次根式为______． 25．把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； 题型08.由最简二次根式求参数 26．如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么_____________． 27．若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 28．若最简二次根式和可以合并，则的值为___________． 29．已知最简二次根式与最简二次根式可以合并． (1)求的值． (2)若，求的值． 题型09.二次根式的乘法 30．______． 31．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 32．计算：____________． 33．计算 (1) (2) 34．计算： (1)； (2)． 题型10.二次根式的除法 35．化简：________． 36．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 37．计算：____________． 38．计算： (1)； (2)． 39．计算： (1)； (2)． 题型11.分母有理化 40．化简：_______． 41．计算=______． 42．已知，，则与的关系为________． 43．像、、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． (1)请写出的有理化因式：________； (2)化简：． 题型12.二次根式的乘除混合运算 44．计算：的结果为______． 45．计算：_________；_________． 46．计算： (1)； (2)． 题型13.复合二次根式的化简 47．当时，化简：______． 48．（    ） A． B． C．3 D．1 49．在处理形如的嵌套二次根式时，我们可以利用完全平方公式和二次根式的性质，将其化简为不含根号的形式，核心思路是：把根号内的式子配成完全平方式，再开方化简． (1)比如化简二次根式．可以将转化为的形式， 因为，，若，可得___________，___________， 再根据，则可得到化简： (2)化简二次根式： (3)若，解方程． 题型14.同类二次根式 50．与最简二次根式是同类二次根式，则______． 51．若与最简二次根式能合并，则___________． 52．整数满足，且二次根式与是同类二次根式，则 ______． 53．已知最简二次根式和最简二次根式可以合并，求的值． 题型15.二次根式的加减运算 54．定义新运算：，则的运算结果是______． 55．计算的结果为_________________． 56．计算： (1)； (2)． 57．计算： (1)； (2)． 题型16.二次根式的混合运算 58．计算： （1）______；（2）______；（3）______；（4）______． 59．计算：_______． 60．计算： (1)； (2)． 61．计算： (1)； (2)． 题型17.由字母的值,化简求值 62．已知，，则代数式的值等于______． 63．当时，的值为__________． 64．已知，，求代数式的值． 65．计算： (1) ； (2)先化简，再求值： ，其中． 题型18.已知条件式.化简求值 66．已知，则的值为______． 67．已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 68．已知，则的值为_________． 69．已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 70．已知，求的值． 题型19.二次根式的大小比较 71．填空：________（填“”或“”） 72．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 73．比较大小：（1）________    （2）________ 74．已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 (1)试比较：与大小关系 (2)试比较：与大小关系 题型20.二次根式的应用 75．一个长方形的面积为，其中一边长为，则和它相邻的另一边长为______． 76．如图1所示的中国结内包含两个全等的正方形，将其抽象成如图2所示的几何图形．若两个大正方形，的面积均为，重叠部分的小正方形为的面积为，则的长为______． 77．如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为40，相邻两张正方形纸片的边长均相差1，设最大正方形纸片和最小正方形纸片的边长分别为，． (1)分别求和的值； (2)分别求和的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $