第12讲 幂函数与二次函数课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦幂函数与二次函数专题，依据高考评价体系梳理了幂函数图象性质、二次函数图象单调性及闭区间最值、一元二次方程根的分布等核心考点。通过典型例题分析明确幂函数奇偶性判断、二次函数最值求解等高频题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“考点解析+方法总结+跟踪训练”的实战策略，如二次函数闭区间最值采用“三点一轴”分类讨论法，培养学生数学思维的推理能力。根的分布问题结合数形结合分析条件，提升数学眼光的几何直观，助力学生掌握解题技巧，教师可据此高效指导复习。

第12讲 幂函数与二次函数 考点一　幂函数的图象和性质 [例1]　(1)如图所示是函数y=(m,n均为正整数且m,n互质)的图象,则(　　) A.m,n是奇数,且<1 B.m是偶数,n是奇数,且<1 C.m是偶数,n是奇数,且>1 D.m,n是奇数,且>1 B [解析]　由幂函数性质可知,y=与y=x的图象恒过定点(1,1),即在第一象限内的交点坐标为(1,1),当0<x<1时,>x,则<1.又y=的图象关于y轴对称,所以y=为偶函数,所以(-x===.又m,n互质,所以m为偶数,n为奇数. (2)下列比较大小中正确的是(　　) A.()0.7<()0.7　　 　 B.(-)-1<(-)-1 C.(-2.1<(-2.2 D.(-<( C [解析]　由函数y=x0.7在(0,+∞)上单调递增,所以()0.7>()0.7,A选项错误; 由函数y=x-1在(-∞,0)上单调递减,则(-)-1>(-)-1,B选项错误; (-2.1=(-,(-2.2=(-, 又函数y=在R上单调递增,所以(-<(-,即(-2.1<(-2.2,C选项正确; (-=(,函数y=在(0,+∞)上单调递增, 则(>(,即(->(,D选项错误. 跟踪训练 1.(多选)下列说法正确的是(　　 ) A.f(x)=xα 是幂函数,则“α是正偶数”是“f(x)的值域为[0,+∞)”的充要条件 B.幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm的图象关于y轴对称,则实数m=2 C.幂函数y=xα中α的取值集合C是{-1,0,,1,2,3}的子集,当幂函数的值域与定义域相同时,集合C为{-1,,1,3} D.“m=-1”是“幂函数f(x)=(m∈Z)是偶函数,且f(x)在(-∞,0)上单调递增”的充要条件 BCD 解析:对于A,当α 是正偶数时,显然f(x)=xα≥0,即其值域为[0,+∞).当f(x)=时,f(x)的值域为[0,+∞),但α 不是正偶数.故“α 是正偶数”是“f(x)的值域为[0,+∞)”的充分不必要条件,A错误. 对于B,由幂函数的定义,知m2-3m+3=1, 解得m=1 或m=2.当m=1 时,f(x)=x的图象不关于y 轴对称,舍去; 当m=2 时,f(x)=x2的图象关于y 轴对称, 因此m=2,B正确. 对于C,当α=-1时,y=的定义域和值域均为(-∞,0)∪(0,+∞),符合题意; 当α=0时,y=x0的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为{1},故不符合题意; α=时,y=的定义域为[0,+∞),值域为[0,+∞),符合题意; α=1时,y=x的定义域与值域均为R,符合题意; α=2时,y=x2的定义域为R,值域为[0,+∞),不符合题意; α=3时,y=x3的定义域与值域均为R,符合题意,C正确. 对于D,必要性:因为函数f(x)是偶函数,且在(-∞,0)上单调递增, 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减, 所以m2+2m-3<0, 即(m-1)(m+3)<0,解得-3<m<1. 又因为m∈Z,所以m=-2或m=-1或m=0. 当m=0或m=-2时,f(x)=x-3, 此时f(x)为奇函数,不满足题意; 当m=-1时,f(x)=,此时f(x)为偶函数,满足题意,必要性得证;充分性:当m=-1时,f(x)=x-4是偶函数且在(-∞,0)上单调递增,充分性得证,D正确. 2.已知幂函数f(x)的图象过点(2,),若f(3-2m)<1,则实数m的取值范围为(　　) A.(-∞,1) B.(1,) C.(-∞,1)∪(1,) D.(-∞,1)∪(,+∞) D 解析:设f(x)=xα,因为幂函数f(x)的图象过点(2,),所以2α=,即α=-1,所以f(x)=x-1=, 于是不等式f(3-2m)<1可转化为<1,即<0, 所以(2m-2)(3-2m)<0,即m>或m<1. 考点二　二次函数的图象和性质 角度1　二次函数的图象 [例2]　(多选)函数f(x)=ax2-2x+1与g(x)=xa在同一平面直角坐标系中的图象不可能为(　　) BD [解析]　对于A,当a=-1时,f(x)=-x2-2x+1,其图象开口向下,对称轴方程为x= -1,g(x)=x-1=,其图象关于原点对称,且在(0,+∞)上单调递减,故A满足要求; 对于B,当f(x)=ax2-2x+1的图象开口向上时,a>0,此时g(x)=xa在(0,+∞)上单调递增,故B不满足要求; 对于C,当a=时,f(x)=x2-2x+1,其图象开口向上, 对称轴方程为x=2,g(x)=,其图象在[0,+∞)上单 调递增,且越来越平缓,故C满足要求; 对于D,当f(x)=ax2-2x+1的图象开口向上时,a>0, 此时其对称轴方程为x=-=>0,故D不满足要求. 方法总结 研究二次函数的图象应从“三点一线一开口”进行分析,“三点”中有一个点是顶点,另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点,常取与x轴的交点;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指图象的开口方向. 角度2　二次函数的单调性问题 [例3]　已知f(x)=ax2-2x+1,若f(x)在[0,1]上单调,求实数a的取值范围. [解]　当a=0 时,f(x)=-2x+1在[0,1] 上单调递减,符合题意; 当a>0 时,f(x)的对称轴方程为x=,且>0, 所以≥1,即0<a≤1,符合题意; 当a<0 时,f(x)的对称轴方程为x=,且<0, 所以a<0 符合题意. 综上可知,实数a 的取值范围是(-∞,1]. 方法总结 解决二次函数单调性问题的注意点 1.二次项系数的符号确定二次函数图象的开口方向. 2.二次函数的对称轴是其单调区间的分界点. 角度3　二次函数的最值(值域)问题 [例4]　已知二次函数g(x)=x2-2mx-1,x∈[-1,2],求g(x)的最小值. [解]　g(x)=x2-2mx-1=(x-m)2-m2-1,x∈[-1,2]. 当m≤-1时,g(x)在[-1,2]上单调递增,g(x)min=g(-1)=2m; 当-1<m<2时,g(x)min=g(m)=-m2-1; 当m≥2时,g(x)在[-1,2]上单调递减,g(x)min=g(2)=3-4m. 综上,g(x)min= 方法总结 闭区间上二次函数最值(值域)问题的解法 抓住“三点一轴”,利用数形结合求解,“三点”是指区间两个端点和顶点, “一轴”指的是对称轴,结合图象,根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 跟踪训练 3.已知函数f(x)=-x2+4x+5在区间[0,m]上的值域为[5,9],则实数m的取值范围是(　　) A.[2,4] B.[0,4] C.[0,2] D.[1,4] 解析:f(x)=-x2+4x+5的图象开口向下,对称轴为x=2,且f(0)=f(4)=5,f(2)=9. ∵函数f(x)=-x2+4x+5在区间[0,m]上的值域为[5,9], ∴2≤m≤4,即实数m的取值范围是[2,4]. A 一元二次方程根的分布 教材延展 常用思路 求解一元二次方程根的分布问题的思路 1.当方程中二次项系数含有参数时,为避免讨论对应二次函数图象的开口方向,可将方程两边同时除以二次项系数,从而只需研究开口向上的情况,需要先判断二次项系数能否为0. 2.求解二次方程根的分布问题,最重要的是数形结合,即结合对应二次函数的图象,从以下角度考虑:①开口方向;②判别式;③对称轴;④在区间端点处的函数值. [例]　(1)关于x的一元二次方程x2+(a2-1)x+a-2=0有一个根小于1,另一个根大于1,则实数a的取值范围是(　　) A.(-1,2) B.(-2,0) C.(-2,1) D.(0,1) [解析]　二次函数f(x)=x2+(a2-1)x+a-2的图象开口向上, 由f(x)=0的一个根小于1,另一个根大于1,得f(1)<0, 因此12+a2-1+a-2<0,解得-2<a<1,所以实数a的取值范围是(-2,1). C (2)若关于x的方程x2-2ax+a+2=0在区间(-2,1)上有两个不相等的实数根,则a的取值范围是(　　) A.(-,-1) B.(-,1) C.(-∞,-)∪(-1,+∞) D.(-∞,-)∪(1,+∞) A [解析]　令g(x)=x2-2ax+a+2,因为方程x2-2ax+a+2=0在区间(-2,1)上有两个不相等的实数根, 所以 解得-<a<-1,所以a的取值范围是(-,-1). 跟踪训练 1.已知方程x2+2mx-m+12=0的两根都大于-2,则实数m的取值范围是(　　) A.m<-4 B.-5<m<-4 C.m≤-4 D.m>4或m<-4 C 解析:令f(x)=x2+2mx-m+12, 因为方程x2+2mx-m+12=0的两根都大于-2, 所以由题意可得解得m≤-4. 2.方程x2+2ax-a=0在区间(0,1)和(1,2)上各有一个根的充要条件是(　　) A.a∈(-∞,-1) B.a∈(-,-1) C.a∈(-,0) D.a∈(-2,-1) B 解析:因为方程x2+2ax-a=0在区间(0,1)和(1,2)上各有一个根, 令f(x)=x2+2ax-a,则由题意可得解得-<a<-1, 则方程x2+2ax-a=0在区间(0,1)和(1,2)上各有一个根的充要条件是a∈ (-,-1). $