第25讲 两角和与差、倍角的正弦、余弦和正切公式课件 -2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“两角和与差、倍角的正弦、余弦和正切公式”专题，依据高考评价体系梳理了直接应用公式求值、公式逆用与变形、角的变换三大考查维度，通过全国卷真题分析明确高频考点分布，归纳出求值、化简等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题解析+方法总结+跟踪训练”的备考策略，以2025全国二卷求值题为例，通过角的拆分法和公式逆用培养学生数学思维与运算能力，方法总结强调公式结构与符号规律，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

第25讲两角和与差、倍角的正弦、余弦和正切公式 考点一　直接应用公式求值 [例1]　(1)(2025·全国二卷)已知0<α<π,cos=,则sin(α-)=(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. D [解析]　因为cos α=2cos2-1=2×()2-1=-, 所以sin α===, 则sin(α-)=sin αcos-cos αsin=×-(-)×=. (2)(2024·全国甲卷)已知=,则tan(α+)=(　　) A.2+1 B.2-1 C. D.1- [解析]　根据题意有=, 即1-tan α=,所以tan α=1-, 所以tan(α+)===2-1. B 方法总结 利用三角函数公式解题时应注意的问题 1.首先要注意公式的结构特点和符号变化规律,例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘,符号相反”. 2.应注意同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用. 3.应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用. 跟踪训练 1.(2026·江西鹰潭模拟)若α∈(-,),tan α=,则sin(α+)=(　　) A. B. C. D. A 解析:tan α==,即sin α(3-sin α)=cos2α=1-sin2α, 整理可得sin α=. 因为α∈(-,),sin2α+cos2α=1,所以cos α==, 所以sin(α+)=sin αcos+cos αsin=×+×=. 2.(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　　) A. B. C.- D.- 解析:因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=, cos αsin β=,所以sin αcos β=+=, 所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=, 所以cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-=. B 考点二　公式的逆用与变形 [例2]　(1)(多选)下列计算正确的有(　　) A.coscos-sinsin= B.sin 47°cos 17°+cos 47°cos 107°= C.sin-cos= D.=1 AB [解析]　对于A,coscos-sinsin=cos(+)=cos=,故A正确; 对于B,sin 47°cos 17°+cos 47°cos 107°=sin 47°cos 17°-cos 47°sin 17°=sin 30°=,故B正确; 对于C,sin-cos=2(sincos-sincos)=2sin(-)=2sin(-)=-,故C不正确; 对于D,=×=×tan(2×22.5°)=×tan 45°=,故D不正确. (2)(2026·天津模拟)若tan α=3,tan β=5,则tan(α-β)的值为　　　　　.  [解析]　由tan α=3,tan β=5,得tan(α-β)===-. - 方法总结 两角和、差公式的逆用和变形应用的技巧 1.逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式. 2.两角和、差公式的变形 sin αsin β+cos(α+β)=cos αcos β; cos αsin β+sin(α-β)=sin αcos β; tan α±tan β=tan(α±β)·(1∓tan α·tan β). 跟踪训练 3.cos 160°cos 130°-sin(-160°)cos 40°=(　　) A. B. C.- D.- A 解析:cos 160°cos 130°-sin(-160°)cos 40° =cos 160°cos(90°+40°)+sin 160°cos 40° =-cos 160°sin 40°+sin 160°cos 40° =sin(160°-40°)=sin 120° =. 4.=(　　) A.-4 B.-2 C.2 D.4 A 解析:由题意得,tan 40°+== = ====4sin 40°. ∵cos 230°=cos(180°+50°)=-cos 50°=-cos(90°-40°)=-sin 40°, ∴=-4. 考点三　角的变换问题 [例3]　已知cos(α+)=,cos(β-)=,α,β∈(-,),则cos(α+β)=(　　) A. B. C. D. C [解析]　∵α,β∈(-,),∴α+∈(0,),β-∈(-,0). 又∵cos(α+)=>0,cos(β-)=>0, ∴α+∈(0,),β-∈(-,0), ∴sin(α+)>0,sin(β-)<0, ∴sin(α+)==,sin(β-)=-=-, 则cos(α+β)=cos[(α+)+(β-)] =cos(α+)cos(β-)-sin(α+)sin(β-)=×-×(-)=. 跟踪训练 5.已知α∈(0,π),cos(α+)=,则sin α=(　　) A. B. C. D. A 解析:因为cos(α+)=>0,α∈(0,π),则α+∈(,),所以sin(α+)==, 所以sin α=sin[(α+)-]=sin(α+)cos-cos(α+)sin=×-×=. 6.已知sin(-α)=,则cos(+2α)=(　　) A.- B. C.- D. C 解析:法一:cos(+2α)=cos 2(+α) =2cos2(+α)-1 =2cos2[-(-α)]-1 =2sin2(-α)-1 =-. 法二:cos(-2α)=1-2sin2(-α)=1-2×=, 所以cos(+2α)=cos[π-(-2α)]=-cos(-2α)=-. $