函数与导数：切线问题5种高频考点复习讲义-2026届高三数学三轮冲刺复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数与导数切线问题，覆盖求函数在某点切线、已知切线求参数、过某点切线、切线数量求参数、公切线5种高频考点，按“点在曲线上-点不在曲线上-公切线”逻辑架构知识，通过核心知识点梳理、解题原理与思路指导、真题例题与变式训练，帮助学生系统突破切线问题难点。 讲义以数学思维和数学语言为核心，创新采用“原理拆解-方程建模-分类讨论”教学策略，如在切线数量求参数考点中，引导学生将切线条数转化为方程根的个数，通过构造函数分析零点培养逻辑推理能力。设置例题与变式分层训练，配合即时反馈，确保学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 函数与导数：切线问题5种高频考点复习讲义 考点目录 求函数在某点的切线 已知切线求参数 求函数过某点的切线 已知函数过某点切线的数量求参数 公切线问题 知识点解析 核心前置知识点 1. 导数几何意义：函数 在 处导数 ，等于该点处切线斜率。 1. 切线方程：点斜式 。 1. 区分两个概念：在点处切线（点在曲线上）、过点切线（点不一定在曲线上）。 1. 联立方程、一元二次方程判别式 、解方程、分类讨论。 考点一 求函数在某点的切线（点在曲线上） 知识点 1. 该点同时在曲线与切线上； 1. 斜率 ； 1. 切线方程标准形式：。 解题原理 利用导数求出切点处斜率，结合点斜式直接写切线。 解题思路 1. 求导 ； 1. 代入横坐标 ，得斜率 ； 1. 求切点纵坐标 ； 1. 代入点斜式，整理为直线一般式。 考点二 已知切线求参数 知识点 1. 切线已知（方程/斜率/定点），函数含参数； 1. 等量关系：① 切点处导数=切线斜率 ② 切点同时在曲线、切线上。 解题原理 联立“斜率相等”“坐标满足两个方程”，列方程组解参数。 解题思路 1. 对含参函数求导； 1. 设切点 ，由斜率相等列第一式：； 1. 由点在曲线上、切线上列另外两个等式； 1. 联立方程组，求解参数与切点。 考点三 求函数过某点的切线（点未必在曲线上） 知识点 1. 该点只是切线上一点，不一定是切点； 1. 需先设切点，再列方程求解。 解题原理 设出切点坐标，写出含参切线方程，利用定点在切线上建立方程，反求切点，再得切线。 解题思路 1. 设切点 ，求导得斜率 ； 1. 写出切线方程：； 1. 将已知定点坐标代入切线方程，得到关于 的方程； 1. 解出 ，回代求出斜率与完整切线方程； 1. 多解则写出全部切线。 考点四 已知过某点切线的数量求参数 知识点 1. 方程解的个数 = 切线条数； 1. 高次方程根的个数、二次方程判别式 、函数零点个数判定。 解题原理 转化为：关于切点横坐标的方程解的个数问题，结合方程根的分布求参数范围。 解题思路 1. 同考点三，设切点、写切线、代入定点，整理得到关于 的方程； 1. 题意：切线条数 方程实数根个数； 1. 若为二次方程：用 判断根的个数，列不等式求参数； 1. 若为高次方程：构造新函数，利用单调性、极值判断零点个数； 1. 结合题意限定，确定参数取值。 考点五 两条曲线的公切线问题 知识点 1. 公切线：同时与两条曲线相切的直线； 1. 两条曲线切点一般不同，设两组切点； 1. 同一条直线：斜率相等、切线方程完全一致。 解题原理 分别在两条曲线上设切点，各自写出切线方程；利用“两切线为同一直线”，斜率、截距分别相等，联立方程组求解。 解题思路 1. 设曲线 1 切点 ，曲线 2 切点 ； 1. 分别求导，写出两条切线方程； 1. 由斜率相等：； 1. 由切线为同一直线，截距相等再列一式； 1. 联立方程组，解出 ，进而求公切线方程或参数； 1. 多组解对应多条公切线。 考点一 求函数在某点的切线 【例题分析】 例1．（2026·安徽·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出切线斜率，再结合直线的点斜式方程可得切线方程. 【详解】，则， ，所以切线方程为，化简可得， 即函数的图象在点处的切线方程为. 例2．（2026·江西宜春·模拟预测）已知偶函数满足当时，，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的导数为奇函数求解即可 【详解】当时，， 因为为偶函数，所以，当时两边求导得， 所以，， 所以的图象在处的切线方程为，即 例3．（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【详解】，又，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即 例4．（2026·河南·三模）函数的图象在处的切线方程为______． 【答案】 【详解】∵ 函数解析式为， ∴ ，即切线经过点. . ∴ 切线的斜率. 由点斜式可得切线方程为，整理得. 【变式训练】 变式1．（2026·广东茂名·二模）曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以 ， 又，，则所求切线方程为. 变式2．（2026·福建莆田·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】曲线的导数，则在的切线斜率为， 由点斜式求得切线方程为， 化成一般式为. 变式3．（2026·福建福州·模拟预测）曲线在处的切线的倾斜角为__________． 【答案】 【分析】先求函数在处的导数值得到切线斜率，再根据斜率与倾斜角的关系计算倾斜角. 【详解】设，函数定义域为， 得到，所以，即曲线在处的切线斜率为. 设切线的倾斜角为，其中，由斜率定义可知，解得. 变式4．（25-26高三下·湖南·阶段检测）函数的图象在点处的切线方程为__________. 【答案】 【分析】根据导数几何意义求切线的斜率，结合切点坐标即可写出切线方程. 【详解】由，得， ，得， 故所求切线方程为，即. 考点二 已知切线求参数 【例题分析】 例1．（2026·山东青岛·二模）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】设切点，根据导数的几何意义可得表示出切线的斜率，进而求出，即可求解. 【详解】设切点坐标为， 因为，所以， 所以切线的斜率，解得， 又，即， 所以. 例2．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求在处的切线方程为；利用导数相等求出的切点横坐标；代入切线方程解得. 【详解】对求导得，当时，，， 曲线在处的切线方程为. 设切线与相切于点，对求导得， 由切线斜率为得，解得， 将切点代入切线方程得，解得. 例3．（2026·河北沧州·二模）已知函数，曲线在处的切线方程为，则_________. 【答案】 【详解】由题可知，由题意得，， 则，且，化简得， 解得，，即. 例4．（2026·湖南湘潭·三模）若曲线在点处的切线与直线平行，则__________． 【答案】/ 【分析】根据导数的几何意义及直线平行的关系求解即可. 【详解】由，可得．当时，． 因为曲线在点处的切线与直线平行， 所以． 【变式训练】 变式1．（2026·云南·模拟预测）曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义及垂直关系有求参数，注意验证切点是否在曲线上即可得. 【详解】由题设，则时， 由切线与直线垂直，则，所以， 所以，显然点在曲线上，满足题意， 综上，. 变式2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）在点处的切线方程是，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】，又在处的切线方程是， 故，又，故. 变式3．（2026·广东深圳·二模）若直线是曲线的一条切线，则___________． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解. 【详解】设切点为， 由于，则，解得， 于是切点为，则，解得． 变式4．（2026·山东聊城·模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最大值. 【详解】由，求导得， 设直线与曲线相切于点，则有， 解得，则，而为正实数， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 考点三 求函数过某点的切线 【例题分析】 例1．（25-26高二下·天津蓟州·期中）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设曲线切点为，利用导数的几何意义与两点间斜率公式得到，解出后代入曲线方程即得切点坐标. 【详解】设切点坐标为，. 由，求导得，则切线的斜率. 因为切线过原点和切点，所以斜率. 又切点在曲线上，则，即得. 解得，即. 将其代入曲线方程得，所以切点坐标为. 例2．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）曲线过坐标原点的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 ，得 . 设切点为 ，则切线斜率 . 切线方程为 . 将原点 代入得 ， 即 ，因为，所以，解得 . 所以切线斜率 ，切线方程为 . 故所求切线方程为 . 例3．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数过原点作曲线的切线，其切线方程为_____________． 【答案】 【分析】根据题意，设出切点的坐标，结合导数的几何意义，分类讨论，即可求解. 【详解】当时，函数，可得 设切点为，则， 所以切线方程为， 因为切线过原点，可得，解得，不符合题意，舍去； 当时，函数，可得 设切点为，则， 所切线方程为， 因为切点过原点，可得，解得， 此时切线方程为，即， 故答案为： 例4．（2026·天津和平·模拟预测）过点作曲线的切线，则切点的坐标为______． 【答案】 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义建立方程，将代入求解即可. 【详解】设切点的坐标为，由，， 所以过切点的切线方程为：， 把代入得：，即， 所以，则切点坐标为：即. 故答案为： 【变式训练】 变式1．（2024·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程. 【详解】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：， 故选：． 变式2．（2022·四川广安·二模）函数过点的切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设切点，利用导数的几何意义求该切点上的切线方程，再由切线过代入求参数m，即可得切线方程. 【详解】由题设，若切点为，则， 所以切线方程为，又切线过， 则，可得或， 当时，切线为；当时，切线为，整理得. 故选：C 变式3．（25-26高二下·山东济南·阶段检测）已知函数，求过点且与曲线相切的方程__________. 【答案】和 【分析】设出切点，利用导数的几何意义与直线的点斜式方程可表示出切线方程，再将点代入计算即可得切点坐标，即可得解. 【详解】，设切点为，则切线方程为， 由该直线过点，则，整理得， 即为，解得或， 则切线方程为与， 即为与. 变式4．（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知函数，请写出一条过点 且与的图象相切的直线方程_____. 【答案】或（写出其中一条即可） 【分析】设切点，利用导数求出切线斜率，得出切线方程，代入所过点坐标即可得解. 【详解】，设切点， 则切线方程为，即， 因为过点，所以， 解得或， 所以切线方程为或 故答案为：或（写出其中一条即可） 考点四 已知函数过某点切线的数量求参数 【例题分析】 例1．（2026·河北·三模）若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出函数的图象在处的切线方程，由已知建立方程，利用方程无解列式求解. 【详解】函数，求导得， 则函数的图象在处的切线方程为， 由原点不在该切线上，得关于切点横坐标的方程无解， 即无解，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 例2．（24-25高三上·山西·期末）已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入切线方程结合切线有且仅有1条，令判别式为即可求解. 【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率， 所以切线方程为， 因为直线过点，则， 化简得， 又因为切线有且仅有1条，即，解得或2， 故选：A 例3．（2025·安徽·模拟预测）已知点不在函数的图象上，且过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【分析】根据题意，设出切点坐标，由导数的几何意义可得，将问题转化为函数有三个零点问题，然后列出不等式，即可得到结果. 【详解】点不在函数的图象上，则，即， 设过点的直线与的图象相切于， 则切线的斜率，整理可得， 则问题可转化为有三个零点， 且，令，可得或， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 即当时，有极大值，当时，有极小值， 要使有三个零点， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 例4．（24-25高三上·广西·期中）已知函数，过点可作2条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】求出切线方程为，代入点的坐标化简可得，设，依题意，直线与的图象有两个交点，利用导数研究函数的性质，进而作出草图，结合图象即可得解． 【详解】，设切点为， 则切线方程为， 将点代入切线方程得，，化简得， 设，则， 令，解得，令，解得或， 在，上单调递减，在上单调递增，且， 作出函数的大致图象如下图所示， 由图象可知，要使直线与的图象有两个交点，则， 故答案为：． 【变式训练】 变式1．（2025·广东东莞·模拟预测）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对函数求导，设切点，写出切线方程，将点代入切线方程，得到，根据切线有两条，得到方程有两根，结合判别式即可求出结果. 【详解】由得， 设过点的直线与曲线切于点， 则切线斜率为， 所以切线方程为 因为切线过点， 所以，整理得， 因为过点的切线有两条， 所以方程有两不同实根， 因此，解得或， 即实数a的取值范围是. 故选：B 变式2．（2025·山东·模拟预测）若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切点坐标，求导并利用导数的几何意义求出切线方程，用表示出，再构造函数，利用导数探讨函数图象性质，进而求出的范围. 【详解】依题意，设切点坐标为，由，求导得， 则函数的图象在点处的切线方程为， 由切线过点，得， 令，依题意，直线与函数的图象有3个公共点， ，当或时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值，而当时，恒有， 又，因此当时，直线与函数的图象有3个公共点， 所以实数的取值范围是. 故选：B 变式3．（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知函数，若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】假设切点坐标，利用导数几何意义可写出切线方程，代入原点坐标化简可得，根据切线条数可知，由此可得的取值范围. 【详解】设过坐标原点的切线与相切于点， ，， 在点处的切线方程为：， ，， ，且过坐标原点的切线有两条，，解得：或， 即的取值范围为. 故答案为：. 变式4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，过点可作3条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据导数的几何意义，根据方程解的个数等价于两个函数图象的交点个数进行求解即可. 【详解】设曲线切点为，即， 由， 所以与曲线相切的直线的方程：， 因为切线过， 所以， 设 ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 显然当，，当，， 且，函数的图象如下图所示： 因此要想过点可作3条与曲线相切的直线， 只需直线与函数的图象有三个不同的交点， 即， 故答案为： 考点五 公切线问题 【例题分析】 例1．（2026·湖南岳阳·三模）已知，函数的定义域为的定义域为，若与恰好有2条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设公切线方程为，分别与的图象切于点，与的图象切于点，根据导数的几何意义得出，消去得关于的方程，两边取自然对数后令，定义函数，其定义域为（当）或（当）．利用导数求出的极小值，再根据极小值的正负讨论的解的个数得出参数范围. 【详解】，， 设公切线方程为，直线与的图象切于点，与的图象切于点， 则，，， 所以． 即，由， 得，代入，得关于的方程． 等式两边取对数得， 令，定义函数， 其定义域为（当）或（当）． 则， 当时，在单调递减，在上单调递增，此时在处取极小值； 当时，同理可得在处取极小值， 故有唯一极小值点，极小值为． 的解的个数对应公切线的条数： 若，则有两个解，即有两条公切线； 若，则有一个解，即一条公切线； 若，则无解，即无公切线． 当时，则，分子（因恒成立），故； 当时，可得，令可得，即，解得． 此外，时无公切线，时仅一条． 因此，恰好有两条公切线时的取值范围是． 例2．（2026·陕西商洛·二模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【详解】由，得 由，得. 直线的斜率为. 令，得， 将代入，得， 所以直线与函数的图象的切点为，所以，. 设直线与函数的图象的切点为， 则，得. 因为函数单调递增，且， 所以，. 所以. 例3．（2026·广西河池·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则__________． 【答案】 【分析】先利用公切线斜率求出的切点，代入得的值，再设上的切点，结合导数的几何意义和切点在函数图象上联立方程，利用函数单调性求，进而得，最后代入计算结果. 【详解】设直线与的切点为， 对求导得，由切线斜率为，得，解得， 故切点为，代入得，解得， 设直线与的切点为， 对求导得， 由切线斜率为，得 ， 又切点在图象上，故 ， 则， 设，则，故在上单调递增， 又，故，则，解得， 因此. 例4．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若曲线和圆存在4条公切线，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】借助导数的几何意义表示出曲线在处的切线方程，则该切线也是圆的切线，即可用圆的切线的性质得到与有关方程，再利用存在4条公切线，计算即可得. 【详解】对，有， 则曲线在处的切线方程为， 整理得， 由该切线也是的切线，则， 整理得， 由曲线和圆存在4条公切线， 故关于的方程有四个不同根， 故关于的方程有两个不同正根，设为、， 则，解得， 由，则，， 故时，该方程有两个不同正根， 即此时曲线和圆存在4条公切线， 故的取值范围是. 【变式训练】 变式1．（2026·广西崇左·一模）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】设直线与曲线、曲线分别相切于点，， 设，则，，， 则，所以，即. 因为， 所以. 变式2．（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【分析】解法一：先对求导得，设与直线切点为，写出切线方程，根据直线得到关于和的方程组，求出. 再对求导，设其与直线切点为，根据导数等于切线斜率以及切点在切线上列方程，求出. 解法二：设两条曲线的切点分别为，，分别根据切点在曲线上、在切线上以及切线斜率列出方程组，求解得到，，再同理求出，进而得到. 【详解】解法一：令，，则， 设直线与的切点为， 则切线方程为，即， 又因为，所以，解得，，所以切线方程为， 令，则， 设直线与的切点为，所以  ①， 又因为切点在直线上，所以，即  ②， 由①和②可得，所以，解得． 解法二：设切点分别为，， ．∴，． 同理．∴，∴，∴． 故选：B． 变式3．（2026·陕西榆林·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则______. 【答案】4 【分析】通过切线斜率即可直接求得的值，再设函数的图象的切点为，由切线斜率得到，结合函数单调性求得，得到，即可求解. 【详解】设直线与函数的图象的切点为， 由求导得，由，得， 所以直线与函数的图象的切点为， 将点代入，解得. 设直线与函数的图象的切点为， 又，则（*）. 由，代入上式得， 因为函数单调递增，且， 所以，代入（*），解得， 所以. 变式4．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若曲线与曲线有两条公切线，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义分别求出切线方程，从而得出，利用换元法把问题转化为有两个不同解，求导并分析函数的单调性和最大值，结合极限分析求出的取值范围． 【详解】设曲线上的切点为，求导得， 则切线方程为，即， 设该切线与曲线切于点，求导得， 则切线方程为，即， ，即①，②， 把①代入②消去得，由得，解得， 令，则，代入①得， 令，问题转化为有2个不同解， 求导，时，，单调递增； 时，，单调递减； 最大值，和时，， ，， ，即． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 函数与导数：切线问题5种高频考点复习讲义 考点目录 求函数在某点的切线 已知切线求参数 求函数过某点的切线 已知函数过某点切线的数量求参数 公切线问题 知识点解析 核心前置知识点 1. 导数几何意义：函数 在 处导数 ，等于该点处切线斜率。 1. 切线方程：点斜式 。 1. 区分两个概念：在点处切线（点在曲线上）、过点切线（点不一定在曲线上）。 1. 联立方程、一元二次方程判别式 、解方程、分类讨论。 考点一 求函数在某点的切线（点在曲线上） 知识点 1. 该点同时在曲线与切线上； 1. 斜率 ； 1. 切线方程标准形式：。 解题原理 利用导数求出切点处斜率，结合点斜式直接写切线。 解题思路 1. 求导 ； 1. 代入横坐标 ，得斜率 ； 1. 求切点纵坐标 ； 1. 代入点斜式，整理为直线一般式。 考点二 已知切线求参数 知识点 1. 切线已知（方程/斜率/定点），函数含参数； 1. 等量关系：① 切点处导数=切线斜率 ② 切点同时在曲线、切线上。 解题原理 联立“斜率相等”“坐标满足两个方程”，列方程组解参数。 解题思路 1. 对含参函数求导； 1. 设切点 ，由斜率相等列第一式：； 1. 由点在曲线上、切线上列另外两个等式； 1. 联立方程组，求解参数与切点。 考点三 求函数过某点的切线（点未必在曲线上） 知识点 1. 该点只是切线上一点，不一定是切点； 1. 需先设切点，再列方程求解。 解题原理 设出切点坐标，写出含参切线方程，利用定点在切线上建立方程，反求切点，再得切线。 解题思路 1. 设切点 ，求导得斜率 ； 1. 写出切线方程：； 1. 将已知定点坐标代入切线方程，得到关于 的方程； 1. 解出 ，回代求出斜率与完整切线方程； 1. 多解则写出全部切线。 考点四 已知过某点切线的数量求参数 知识点 1. 方程解的个数 = 切线条数； 1. 高次方程根的个数、二次方程判别式 、函数零点个数判定。 解题原理 转化为：关于切点横坐标的方程解的个数问题，结合方程根的分布求参数范围。 解题思路 1. 同考点三，设切点、写切线、代入定点，整理得到关于 的方程； 1. 题意：切线条数 方程实数根个数； 1. 若为二次方程：用 判断根的个数，列不等式求参数； 1. 若为高次方程：构造新函数，利用单调性、极值判断零点个数； 1. 结合题意限定，确定参数取值。 考点五 两条曲线的公切线问题 知识点 1. 公切线：同时与两条曲线相切的直线； 1. 两条曲线切点一般不同，设两组切点； 1. 同一条直线：斜率相等、切线方程完全一致。 解题原理 分别在两条曲线上设切点，各自写出切线方程；利用“两切线为同一直线”，斜率、截距分别相等，联立方程组求解。 解题思路 1. 设曲线 1 切点 ，曲线 2 切点 ； 1. 分别求导，写出两条切线方程； 1. 由斜率相等：； 1. 由切线为同一直线，截距相等再列一式； 1. 联立方程组，解出 ，进而求公切线方程或参数； 1. 多组解对应多条公切线。 考点一 求函数在某点的切线 【例题分析】 例1．（2026·安徽·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·江西宜春·模拟预测）已知偶函数满足当时，，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为______. 例4．（2026·河南·三模）函数的图象在处的切线方程为______． 【变式训练】 变式1．（2026·广东茂名·二模）曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·福建莆田·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·福建福州·模拟预测）曲线在处的切线的倾斜角为__________． 变式4．（25-26高三下·湖南·阶段检测）函数的图象在点处的切线方程为__________. 考点二 已知切线求参数 【例题分析】 例1．（2026·山东青岛·二模）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 例2．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 例3．（2026·河北沧州·二模）已知函数，曲线在处的切线方程为，则_________. 例4．（2026·湖南湘潭·三模）若曲线在点处的切线与直线平行，则__________． 【变式训练】 变式1．（2026·云南·模拟预测）曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（   ） A． B．1 C． D．2 变式2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）在点处的切线方程是，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 变式3．（2026·广东深圳·二模）若直线是曲线的一条切线，则___________． 变式4．（2026·山东聊城·模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______. 考点三 求函数过某点的切线 【例题分析】 例1．（25-26高二下·天津蓟州·期中）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）曲线过坐标原点的切线方程为（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数过原点作曲线的切线，其切线方程为_____________． 例4．（2026·天津和平·模拟预测）过点作曲线的切线，则切点的坐标为______． 【变式训练】 变式1．（2024·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 变式2．（2022·四川广安·二模）函数过点的切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 变式3．（25-26高二下·山东济南·阶段检测）已知函数，求过点且与曲线相切的方程__________. 变式4．（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知函数，请写出一条过点 且与的图象相切的直线方程_____. 考点四 已知函数过某点切线的数量求参数 【例题分析】 例1．（2026·河北·三模）若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高三上·山西·期末）已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 例3．（2025·安徽·模拟预测）已知点不在函数的图象上，且过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为_____． 例4．（24-25高三上·广西·期中）已知函数，过点可作2条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是______. 【变式训练】 变式1．（2025·广东东莞·模拟预测）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2．（2025·山东·模拟预测）若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3．（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知函数，若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是__________． 变式4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，过点可作3条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是________. 考点五 公切线问题 【例题分析】 例1．（2026·湖南岳阳·三模）已知，函数的定义域为的定义域为，若与恰好有2条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·陕西商洛·二模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则（    ） A． B．3 C．4 D． 例3．（2026·广西河池·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则__________． 例4．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若曲线和圆存在4条公切线，则的取值范围是_____. 【变式训练】 变式1．（2026·广西崇左·一模）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B．3 C． D．4 变式2．（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 变式3．（2026·陕西榆林·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则______. 变式4．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若曲线与曲线有两条公切线，则的取值范围为______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $