三角函数：给值求值问题、积化和差与和差化积公式的应用复习讲义-2026届高三数学三轮冲刺复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数核心考点，涵盖给值求值问题及积化和差与和差化积公式应用，按考点分设知识点解析、解题原理与思路，构建“基础公式—角关系分析—公式转化”的逻辑体系，通过考点梳理、方法指导（如定角定号、角的拆分）、真题训练（例题与变式），帮助学生系统突破难点。 资料以“角的精准拆分”和“公式灵活转化”为特色，如引导学生将目标角拆成已知角的和差倍培养数学思维中的推理能力，通过整体代换处理sinα±cosα形式发展模型观念。设置分层练习，确保复习高效，助力学生提升解题效率，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 三角函数：给值求值问题、积化和差与和差化积公式的应用复习讲义 考点目录 给值求值问题 积化和差与和差化积公式的应用 知识点解析 考点一 给值求值问题 知识点 1. 基础公式：同角三角函数基本关系 、。 1. 诱导公式、两角和/差、二倍角、降幂、辅助角公式。 1. 角度关系：已知角与目标角的和、差、倍、互补、互余关系；角的范围决定三角函数符号。 解题原理 借助三角公式对已知条件变形，结合角的范围确定函数值符号，逐步代换求出目标式的值。 解题思路 1. 定角定号：由已知角范围，判断 、、 正负。 1. 角的拆分：把目标角拆成已知角的和/差/倍，如 。 1. 公式代换：选用对应和差、二倍角公式展开计算。 1. 整体代换：出现 形式，常平方结合 整体求解。 考点二 积化和差与和差化积公式的应用 知识点 1. 和差化积 1. 积化和差 1. 配套知识：三角化简、求值、证明恒等式、三角函数最值。 解题原理 实现三角乘积形式与和差形式的互化，统一式子结构，进而化简、消项、求值或证明。 解题思路 1. 观察结构：式子为和差形式→用和差化积；式子为乘积形式→用积化和差。 1. 套公式变形：代入公式展开，合并同类项、约分、消去冗余项。 1. 结合其他公式：搭配诱导、二倍角、同角公式继续化简。 1. 收尾求解：计算数值、证明恒等式、分析单调性与最值。 考点一 给值求值问题 【例题分析】 例1．（2026·西藏日喀则·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·陕西榆林·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 例4．（2026·四川成都·二模）已知，，则__________ 例5．（2026·浙江·模拟预测）已知，则__________. 例6．（2026·四川攀枝花·一模）若，则______． 【变式训练】 变式1．（2026·广西南宁·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·河南·三模）已知，且在第二象限，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·山东泰安·模拟预测）已知，若，则（     ） A． B． C． D． 变式4．（2026·江西·三模）已知，且，则______，______． 变式5．（2026·浙江·二模）已知，则________. 变式6．（2026·四川·二模）已知，则__________. 考点二 积化和差与和差化积公式的应用 【例题分析】 例1．（2026·安徽芜湖·二模）在锐角中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C．3 D． 例3．（2026·河北承德·模拟预测）已知，，且，，则的值为_______． 例4．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知函数．若有两个零点和，则 ___________． 【变式训练】 变式1．（2025·江西·二模）已知函数，是偶函数，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 变式2．（2025·湖南常德·一模）已知，则（    ） A． B．7 C． D． 变式3．（2024·山东·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 变式4．（2026·安徽阜阳·模拟预测）已知，则______，______. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 三角函数：给值求值问题、积化和差与和差化积公式的应用复习讲义 考点目录 给值求值问题 积化和差与和差化积公式的应用 知识点解析 考点一 给值求值问题 知识点 1. 基础公式：同角三角函数基本关系 、。 1. 诱导公式、两角和/差、二倍角、降幂、辅助角公式。 1. 角度关系：已知角与目标角的和、差、倍、互补、互余关系；角的范围决定三角函数符号。 解题原理 借助三角公式对已知条件变形，结合角的范围确定函数值符号，逐步代换求出目标式的值。 解题思路 1. 定角定号：由已知角范围，判断 、、 正负。 1. 角的拆分：把目标角拆成已知角的和/差/倍，如 。 1. 公式代换：选用对应和差、二倍角公式展开计算。 1. 整体代换：出现 形式，常平方结合 整体求解。 考点二 积化和差与和差化积公式的应用 知识点 1. 和差化积 1. 积化和差 1. 配套知识：三角化简、求值、证明恒等式、三角函数最值。 解题原理 实现三角乘积形式与和差形式的互化，统一式子结构，进而化简、消项、求值或证明。 解题思路 1. 观察结构：式子为和差形式→用和差化积；式子为乘积形式→用积化和差。 1. 套公式变形：代入公式展开，合并同类项、约分、消去冗余项。 1. 结合其他公式：搭配诱导、二倍角、同角公式继续化简。 1. 收尾求解：计算数值、证明恒等式、分析单调性与最值。 考点一 给值求值问题 【例题分析】 例1．（2026·西藏日喀则·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，． 例2．（2026·陕西榆林·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式及两角和的正余弦公式可得 【详解】因为，所以，故．又， 所以，．所以． 所以． 例3．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由两角和的正切公式得，再通过二倍角公式及齐次式计算可得. 【详解】由三角恒等变换可知，解得， 原式. 例4．（2026·四川成都·二模）已知，，则__________ 【答案】 【分析】对已知的两个式子左右两边平方，相加后利用同角三角函数基本关系，再结合两角差的正弦定理的逆用，代入即可求解. 【详解】由题知①， ②， 得， 即， 所以，所以. 例5．（2026·浙江·模拟预测）已知，则__________. 【答案】 【分析】用降幂公式将半角转化为整角，化简题干等式；通过移项推导得到与的倍数关系；代入解出，最后结合二倍角公式即可得解. 【详解】因为，又， 所以 整理得，所以， 又，所以，解得， 因此. 故答案为：. 例6．（2026·四川攀枝花·一模）若，则______． 【答案】 【分析】由，结合诱导公式和二倍角公式计算可得. 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 【变式训练】 变式1．（2026·广西南宁·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， . 变式2．（2026·河南·三模）已知，且在第二象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在第二象限，所以， ，根据三角恒等式可得， 则， ，化简可得， 因为在第二象限，即， 所以，即在第一或第三象限，故， 因此解得. 变式3．（2026·山东泰安·模拟预测）已知，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意利用二倍角的余弦公式化为关于的一元二次方程，即可求得的值，结合角的象限从而求得． 【详解】因为， 所以，即， 化简得，解得（舍去）或， 因为，所以. 变式4．（2026·江西·三模）已知，且，则______，______． 【答案】 【分析】根据题意，结合求得，进而结合二倍角公式求得，再结合，根据正弦差角公式求解即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 因为， 所以. ． 因为， 所以 ． 变式5．（2026·浙江·二模）已知，则________. 【答案】 【分析】利用二倍角公式和同角三角函数平方和的关系，将转化为关于的式子，解出的值，进而求出的值. 【详解】解：由得， 分子分母同时除以得， 所以，故，且， 解得， 所以. 变式6．（2026·四川·二模）已知，则__________. 【答案】 【详解】对展开并整理得： , , , , , , 所以, 所以. 考点二 积化和差与和差化积公式的应用 【例题分析】 例1．（2026·安徽芜湖·二模）在锐角中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理结合三角形的性质可判断A；结合和差化积公式判断BCD. 【详解】在锐角中，，则， 即，. 对于A，由，根据正弦定理可得，故A错误； 对于B，，故B正确， 对于C， ， 其中，由于的大小关系不定，的符号不定，从而导致不等式不恒成立，故C错误； 对于D，， 其中，由于的大小关系不定，的符号不定，从而导致不等式不恒成立，故D错误. 例2．（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据两角和差的余弦可得，再由同角三角函数的基本关系式得，故可求，从而求得. 【详解】因为 ， 又因为，且，, 所以，故， 又由于，所以， 由于， 故选：A． 例3．（2026·河北承德·模拟预测）已知，，且，，则的值为_______． 【答案】24或 【分析】先由范围确定、的区间并判断三角函数符号,求出与,再把通分化简为,利用积化和差公式算出,最后代入数值计算得出结果. 【详解】 由角范围得：,. 由,所以 得,. 由,,得. 若,则 . 代入目标式：. 若 . 代入目标式：. 综上所述, 或 例4．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知函数．若有两个零点和，则 ___________． 【答案】 【分析】利用和差化积公式得，再结合正弦函数性质即可求出的值，代入可得，并求出，从而得到答案. 【详解】根据和差化积公式得， 令， 当时，，则，此时无解， 当时，，则，则或，解得或， ， ， 设，即，两边取余弦，得 ， 其中 ， 所以， 整理方程，得， 故， ， ，，， ，解得， ，， . 故答案为：. 【变式训练】 变式1．（2025·江西·二模）已知函数，是偶函数，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用偶函数定义化简解出得值，将得值代入，通过三角恒等式展开并化简，利用余弦函数的有界性求出最大值. 【详解】由是偶函数，得， 展开并整理得：， 根据二倍角公式得：， 整理得：，结合，得， 代入，，则 ， 利用积化和差公式： 化简得：， 当时，取得最大值. 故选：B 变式2．（2025·湖南常德·一模）已知，则（    ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【分析】先利用条件求出，然后可得答案. 【详解】因为，所以， 由和差化积公式可得， 因为，所以， 由， 可得，所以. 故选：C 变式3．（2024·山东·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用两角和的正弦公式求出，再根据结合两角和差的余弦公式化简即可得解. 【详解】， ， 所以. 故选：D. 变式4．（2026·安徽阜阳·模拟预测）已知，则______，______. 【答案】 【分析】第一空，将已知条件两边同时平方两式相加，结合同角三角函数基本关系与余弦函数的和差公式即可求解；第二空，利用三角函数的和差公式得到，再利用倍角公式化简转化即可得解. 【详解】由可得，即， 由可得，即， 两式相加可得， 即，解得； 因为， ， 所以， 所以． 故答案为：；. 2 学科网（北京）股份有限公司 $