解三角形：正余弦定理的综合应用、解三角形中的最值与范围问题复习讲义-2026届高三数学三轮冲刺

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形核心模块，系统整合正余弦定理综合应用与最值范围问题两大考点，按公式原理、转化方法、解题思路分层构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题精讲及变式训练环节，帮助学生突破边角互化、函数转化等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出数学思维与数学语言的融合，如最值问题采用“角化函数”“边化代数”双策略，引导学生将边角关系转化为三角函数或代数表达式，培养推理能力与模型意识。设置基础巩固与能力提升分层练习，配合即时反馈，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师精准把控复习节奏提供有力支撑。

2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 解三角形：正余弦定理的综合应用、解三角形中的最值与范围问题复习讲义 考点目录 正余弦定理的综合应用 解三角形中的最值与范围问题 知识点解析 考点一 正余弦定理的综合应用 知识点 1. 核心公式 正弦定理：（为外接圆半径） 余弦定理：，及其推论 面积公式： 1. 基础关系 三角形内角和：；诱导公式：。 1. 常用转化 · 边角互化：等式全为齐次式时，可用正弦定理将边化为角、角化为边； · 出现平方项、夹角，优先使用余弦定理； · 结合三角恒等变换（和差、二倍角、辅助角公式）化简式子。 解题原理 借助正、余弦定理实现边角互化，结合三角公式、内角关系统一形式，建立方程求解边长、角度、面积。 解题思路 1. 观察条件形式：有平方、夹角优先用余弦定理；有比例、两角及对边优先用正弦定理。 1. 边角统一：要么全部化为角，利用三角公式化简求角；要么全部化为边，代数运算求边长。 1. 结合内角和、诱导公式处理角度关系，化简表达式。 1. 代入面积、周长等附加条件，联立求解目标量。 考点二 解三角形中的最值与范围问题 知识点 1. 必备工具：正余弦定理、三角恒等变换、基本不等式、三角函数单调性、二次函数性质。 1. 常见求解对象：边长、周长、面积、角、三角函数式的最值/取值范围。 1. 隐含约束：三角形三边关系、内角范围 、大边对大角。 解题原理 将待求量转化为单一变量函数（角为自变量或边为自变量），结合变量取值范围，利用函数性质或不等式求最值、区间。 解题思路 方法1：角化函数（主流方法） 1. 利用正余弦定理、内角和，把边长、面积、代数式全部转化为单个角的三角函数。 1. 结合三角恒等变换，整理为 标准形式。 1. 根据三角形内角约束，确定角的取值范围。 1. 由三角函数单调性、值域求最值与范围。 方法2：边化代数（基本不等式法） 1. 利用余弦定理、已知条件，得到边之间的等式关系。 1. 结合三边关系、基本不等式 构造不等式。 1. 求解边长、周长、面积的最值或范围。 通用步骤 1. 梳理已知条件，选定自变量（角/边）。 1. 统一变量，写出目标表达式。 1. 确定自变量的合法取值范围（核心易错点）。 1. 选用三角函数性质或基本不等式计算结果。 补充提醒 · 求角的范围时，注意“大边对大角”“锐角/钝角三角形”等限制条件； · 使用基本不等式时，验证等号能否成立。 考点一 正余弦定理的综合应用 【例题分析】 例1．（2026·山东泰安·模拟预测）已知内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若，为中点，求的最大值． 例2．（2026·重庆·三模）在中， (1)求边的长； (2)若，于点D，的中点为E，求线段的长． 例3．（2026·江西南昌·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，，且的面积为． (1)求的值； (2)如图，过点作，与平分线相交于点，若，求线段的长度． 【变式训练】 变式1．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知 中，内角 的对边分别为 ，满足 . (1)求 ； (2)若 ； 是 边上一点，且 ，求 的值. 变式2．（2026·北京丰台·二模）在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 变式3．（2026·福建厦门·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若D为BC的中点，，的面积为，求a. 考点二 解三角形中的最值与范围问题 【例题分析】 例1．（2026·吉林长春·三模）在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 例2．（2026·河北保定·模拟预测）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知在中，角，，所对的边分别为，，，且 . (1)证明: ； (2)若是锐角三角形，求 的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 例3．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，内角的对边分别为， (1)若的面积为2.求角； (2)若为锐角三角形，，且外接圆半径为2，求的取值范围. 【变式训练】 变式1．（2026·湖北黄冈·二模）已知锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求证：； (2)求的取值范围． 变式2．（2026·安徽·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 变式3．（2026·重庆·模拟预测）在中，，，分别为角，，所对的边，为边上的高，设，且． (1)若，且，求实数的值； (2)若，求的值； (3)求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 解三角形：正余弦定理的综合应用、解三角形中的最值与范围问题复习讲义 考点目录 正余弦定理的综合应用 解三角形中的最值与范围问题 知识点解析 考点一 正余弦定理的综合应用 知识点 1. 核心公式 正弦定理：（为外接圆半径） 余弦定理：，及其推论 面积公式： 1. 基础关系 三角形内角和：；诱导公式：。 1. 常用转化 · 边角互化：等式全为齐次式时，可用正弦定理将边化为角、角化为边； · 出现平方项、夹角，优先使用余弦定理； · 结合三角恒等变换（和差、二倍角、辅助角公式）化简式子。 解题原理 借助正、余弦定理实现边角互化，结合三角公式、内角关系统一形式，建立方程求解边长、角度、面积。 解题思路 1. 观察条件形式：有平方、夹角优先用余弦定理；有比例、两角及对边优先用正弦定理。 1. 边角统一：要么全部化为角，利用三角公式化简求角；要么全部化为边，代数运算求边长。 1. 结合内角和、诱导公式处理角度关系，化简表达式。 1. 代入面积、周长等附加条件，联立求解目标量。 考点二 解三角形中的最值与范围问题 知识点 1. 必备工具：正余弦定理、三角恒等变换、基本不等式、三角函数单调性、二次函数性质。 1. 常见求解对象：边长、周长、面积、角、三角函数式的最值/取值范围。 1. 隐含约束：三角形三边关系、内角范围 、大边对大角。 解题原理 将待求量转化为单一变量函数（角为自变量或边为自变量），结合变量取值范围，利用函数性质或不等式求最值、区间。 解题思路 方法1：角化函数（主流方法） 1. 利用正余弦定理、内角和，把边长、面积、代数式全部转化为单个角的三角函数。 1. 结合三角恒等变换，整理为 标准形式。 1. 根据三角形内角约束，确定角的取值范围。 1. 由三角函数单调性、值域求最值与范围。 方法2：边化代数（基本不等式法） 1. 利用余弦定理、已知条件，得到边之间的等式关系。 1. 结合三边关系、基本不等式 构造不等式。 1. 求解边长、周长、面积的最值或范围。 通用步骤 1. 梳理已知条件，选定自变量（角/边）。 1. 统一变量，写出目标表达式。 1. 确定自变量的合法取值范围（核心易错点）。 1. 选用三角函数性质或基本不等式计算结果。 补充提醒 · 求角的范围时，注意“大边对大角”“锐角/钝角三角形”等限制条件； · 使用基本不等式时，验证等号能否成立。 考点一 正余弦定理的综合应用 【例题分析】 例1．（2026·山东泰安·模拟预测）已知内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若，为中点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，结合两角和与差的正弦公式求解即可. （2）解法一：利用余弦定理结合基本不等式求解出的最大值，再利用向量的方法求解出的最大值即可.解法二：利用结合余弦定理求解最大值即可.解法三：在分别使用余弦定理求解即可. 【详解】（1）， ， ， ， ，，即， ，，，解得. （2）， 由余弦定理，，即. 由基本不等式，， 即， 当且仅当时，等号成立 解法一，两边取平方，可得： ， ， 当且仅当时，等号成立，取得最大值为. 解法二：,, 整理得，故， ，当且仅当时，等号成立， 故取得最大值为. 解法三：， 整理得，故， ，当且仅当时，等号成立， 故取得最大值为. 例2．（2026·重庆·三模）在中， (1)求边的长； (2)若，于点D，的中点为E，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合同角三角函数关系，利用正弦定理求解即可； （2）利用余弦定理及面积公式求解. 【详解】（1）因为，所以． 由正弦定理：， 所以． （2）由余弦定理：， 所以． 因为的面积为， 所以． 由勾股定理：， 所以． 例3．（2026·江西南昌·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，，且的面积为． (1)求的值； (2)如图，过点作，与平分线相交于点，若，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知的结构，应用余弦定理得到的表达式，结合三角形面积公式得，利用同角三角函数关系即可求出； （2）结合第一问结论和求出对应边长，再由平行线和角平分线推得，最后应用余弦定理即可算出的长度. 【详解】（1）由已知条件，得， 根据余弦定理，代入得 ①， 又的面积，由三角形面积公式得： ②， 将①②平方相加，结合可得 ， 即， 代入①得； （2）已知，即，结合得 ： ，从而， 因为是的平分线，所以； 又，内错角相等得，因此， 故为等腰三角形，， 由，同旁内角互补得， 因此， 在中，由余弦定理， 代入可得： ， 因此. 【变式训练】 变式1．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知 中，内角 的对边分别为 ，满足 . (1)求 ； (2)若 ； 是 边上一点，且 ，求 的值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用余弦定理求出的余弦值，从而得到角的大小； (2) 利用正弦定理把边化为角求解. 【详解】（1）因为 ，即 ， 由余弦定理得， 因为，所以； （2）因为， 由正弦定理 ，得， 即，所以 所以，又 ，得，所以，所以， 因为，所以，， 在 中，， 则 ， 在 中，， ，所以， 所以， 所以， 所以.    变式2．（2026·北京丰台·二模）在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)若选②，，若选③，， 【分析】（1）根据题意，利用余弦定理，求得，即可求解； （2）根据题意，分别选择条件，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由余弦定理得， 因为，可得. （2）解：选择条件①：，且 由正弦定理，可得， 因为，所以这样的不存在； 选择条件②，因为，且， 所以，则， 由，可得， 因为，所以，解得，所以 由正弦定理，可得， 设边上的高为，可得的面积为，所以， 因为，可得， 又因为，可得，所以. 选择条件③：由， 根据向量的数量积的公式，可得，所以， 因为且，所以，解得， 由余弦定理， 可得，所以 设边上的高为，可得的面积为，所以， 所以. 变式3．（2026·福建厦门·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若D为BC的中点，，的面积为，求a. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换和二倍角公式可求得或，进而可求得A； （2）由题意可得，结合向量的数量积可得，由的面积为，可得，进而利用余弦定理可求解. 【详解】（1）因为， 所以根据正弦定理可得， 所以， 所以， 所以，因为，所以， 所以，所以， 所以，解得或， 又，所以； （2）若D为边上的中点，则， 所以， 又，所以，所以 因为的面积为，所以，所以， 所以， 由余弦定理可得， 所以. 考点二 解三角形中的最值与范围问题 【例题分析】 例1．（2026·吉林长春·三模）在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，进而分析求解； （2）利用余弦定理整理可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，再根据正弦函数有界性运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得 ， 则 ，即， 又因为， 则， 即， 且，则，即，可得， 又因为，则， 可得，所以. （2）由正弦定理得，则， 由余弦定理得，即， 可得， 又因为 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 则，可得，即， 所以的取值范围为. 例2．（2026·河北保定·模拟预测）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知在中，角，，所对的边分别为，，，且 . (1)证明: ； (2)若是锐角三角形，求 的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）选①，由余弦定理、正弦定理化简可得，再利用三角恒等变换可得，进而可证；选②化简条件可得，结合余弦定理及二倍角公式可得，进而可证；选③，由余弦定理可得，化简证明同①； （2）由题意可得，根据三角恒等变换化简可得，令，则，根据函数的单调性求解即可. 【详解】（1）选①，由可得，即， 因为，所以， 化简可得，即， 由正弦定理可得， 因为， 所以， 所以或（舍去）， 所以； 选②，由可得， 即， 因为，所以， 即， 因为在上单调递减，所以； 选③，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，所以， 化简可得，即， 由正弦定理可得， 因为， 所以， 所以或（舍去）， 所以； （2）是锐角三角形， 则，所以， ， 令，则， 因为在区间单调递增，在区间单调递增， 所以在区间上单调递增， 所以，即. 例3．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，内角的对边分别为， (1)若的面积为2.求角； (2)若为锐角三角形，，且外接圆半径为2，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用余弦定理结合三角形面积公式可得，进而可求角； （2）由为锐角三角形，先求得，再利用正弦定理可得，然后化简式子，根据对勾函数的性质求范围即可． 【详解】（1）解：由余弦定理，得①， 由面积公式，得②. ②÷①，得，即. 由，得. （2）由题意，得外接圆的直径为4， 则由正弦定理，得， 所以. 因为是锐角三角形， 所以解得， 所以，则， 所以， 由对勾函数的性质，得在上单调递减， 所以的取值范围为. 【变式训练】 变式1．（2026·湖北黄冈·二模）已知锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由二倍角公式及同角三角函数的商数关系可得，从而证得； （2）结合（1）的结论，由锐角三角形的定义得的范围，根据正弦定理、诱导公式、二倍角公式及两角和的正弦公式，将转化为的函数，分析该函数的单调性，即可求得其取值范围． 【详解】（1），， 由正弦定理得，． 因为是锐角三角形，所以，， ，． （2）因为为锐角三角形，故，解得， 的取值范围是． ． 令，记． 函数在上为增函数，． 故的取值范围是． 变式2．（2026·安徽·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理角化边，再根据余弦定理求角； （2）根据（1）和余弦定理可得 ，再利用三角形的面积公式和基本不等式求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理，得 ，整理得， 由余弦定理，得， 又，所以． （2）由（1）及余弦定理知，， 故，当且仅当时等号成立， 即面积的最大值为． 变式3．（2026·重庆·模拟预测）在中，，，分别为角，，所对的边，为边上的高，设，且． (1)若，且，求实数的值； (2)若，求的值； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角形的面积公式结合余弦定理得到，再联立已知组成方程组可得； （2）首先根据余弦定理，并结合三角形面积公式，求得，再代入二倍角的正切公式，即可求解； （3）首先通过辅助线，构造可得，结合（1）的结果可得的范围，再根据二倍角公式，求得的取值范围. 【详解】（1）， 因为，代入可得，① 又，两边平方后可得，② 由余弦定理可得，代入②可得， 整理可得， 把①代入上式可得， 所以，两式相减可得， 因为，所以. （2）在中，，若. 又， （3）由（1）知. 如图，在中，过作的垂线，且使，则， ，即，得， ， , 设，，在区间单调递减， ，即, . 2 学科网（北京）股份有限公司 $