解三角形：利用三角函数、基本不等式求解三角形中最值与范围问题 讲义-2026届高三数学三轮冲刺

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形中最值与范围问题，按利用三角函数和基本不等式两大核心考点构建知识体系，涵盖知识点解析、解题原理与思路，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生系统突破难点。 讲义采用“理论-实践”分层设计，在三角函数考点中引导学生边角互化转化为单一三角函数，结合正弦有界性求范围，培养数学思维；在基本不等式考点中通过余弦定理构造和积关系，强化数学语言表达。例题与变式训练贴近高考，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 解三角形：利用三角函数、基本不等式求解三角形中最值与范围问题复习讲义 考点目录 利用三角函数求解三角形中最值与范围问题 利用基本不等式求解三角形中最值与范围问题 知识点解析 考点一 三角函数解三角形最值范围 知识点 1. 依据：正余弦定理、内角和 、三角恒等变换 1. 核心：边化角，统一为单一三角函数 1. 性质：正弦余弦有界性、单调性、两角和差公式 解题原理 把边长、周长、面积、代数式全部转化为角的函数，利用三角函数值域限定范围，求出最值。 解题思路 1. 边角互化，全部化为角； 1. 结合三角形内角约束确定角范围； 1. 化简成 形式； 1. 利用单调性与有界性求最值、范围。 考点二 基本不等式解三角形最值范围 知识点 1. 依据：余弦定理、面积公式、均值不等式 1. 适用：边长和、周长、面积最值 1. 条件：一正二定三相等，验证取等条件能否成立 解题原理 由余弦定理建立边之间等式关系，套用基本不等式构造和与积的关系，直接求最值。 解题思路 1. 已知一角一边，用余弦定理列边的关系式； 1. 凑出和或积的结构，套用基本不等式； 1. 求出边长、周长、面积最值； 1. 检验等号可取，结合三边关系确定取值范围。 考点一 利用三角函数求解三角形中最值与范围问题 【例题分析】 例1．（2026·重庆北碚·模拟预测）如图，在四边形中，. (1)若，求边的长； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在 中利用余弦定理求出，进而求出 ，最后在中利用正弦定理求解 （2）设 ，利用正弦定理将表示为 的函数，进而将面积表示为 的三角函数，结合 的取值范围求值域 【详解】（1）在 中，，，由余弦定理， 因为 ，所以， 因为，所以，所以 ， 在中，由正弦定理得， 即 所以边的长为. （2）设 ，因为，所以， 在中，，所以， 由三角形内角和定理，得，解得， 在中，， 由正弦定理得， 所以面积 . 因为，所以，则， 所以，即面积的取值范围为. 例2．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）在中，角的对边分别为，且满足. (1)求；. (2)已知，点在边上，且满足，求线段的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知边角关系式转化为边的关系，再结合余弦定理即可求得； （2）先根据三角形内角关系确定的范围，再由正弦定理得到关于的表达式，再根据余弦函数的单调性即可求得范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：，所以， 又因为，且，所以. （2）因为，所以， 又因为，所以， 因为，所以，又，所以. 在中，由正弦定理可得， 因为，所以，又，所以，所以， 因为，所以，所以，即，所以线段的取值范围是. 例3．（2026·福建三明·二模）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求A； (2)若点H在所在平面内，且满足，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：利用余弦定理即可求解；解法二：利用正弦定理结合三角恒等变换即可求解； （2）由已知得，，即，，进而得H为的垂心，连接BH并延长交AC于点D，连接CH并延长交AB于点E，则，，在四边形ADHE中得，则， 解法一：在中，设，，则，由正弦定理，得，，进而得 ，利用三角函数的性质即可求解； 解法二：在中，由余弦定理，得，进而，进而求解. 【详解】（1）解法一：因为，，由余弦定理，得， 整理得， 则， 因为，所以； 解法二：因为，，所以， 由正弦定理，得， 即， 整理，得， 因为，所以，即， 因为，所以； （2）解法一：因为，所以，， 即，，故，． 所以H为的垂心． 连接BH并延长交AC于点D，连接CH并延长交AB于点E，则，． 在四边形ADHE中，由，得，则， 在中，设，，则， 由正弦定理，得， 所以，， 则 ， 因为，所以， 所以，所以． 即面积的取值范围为 解法二： 因为，所以，， 即，，故，． 所以H为的垂心． 连接BH并延长交AC于点D，连接CH并延长交AB于点E，则，． 在四边形ADHE中，由，得，则， 在中，由余弦定理，得 所以， 得，，当且仅当时，等号成立， 所以， 又，故面积的取值范围为. 【变式训练】 变式1．（2026·河北沧州·模拟预测）在中，点在线段上，. (1)若，求的值； (2)若，求的余弦值； (3)求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）利用余弦定理以及即可求解； （3）设，利用正弦定理和直角三角形的边角关系可得，再根据三角函数的最大值即可求解. 【详解】（1）因为，所以，所以. 在中，利用余弦定理可得， 即，解得（负数舍去）. （2）设，可得， 利用余弦定理可得， 即，解得， 又，所以的余弦值为. （3）设，可得. 在中，利用正弦定理可得，即， 整理可得，当时，取最大值. 变式2．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）已知是锐角三角形，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)求的取值范围； (3)若，求边上的中线的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及三角恒等变换化简即可得解； （2）根据三角形内角和定理及三角恒等变换化简，再结合三角函数的性质即可得解； （3）易得，两边同时平方将用表示，再利用正弦定理求出，再根据三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）由及正弦定理得， ， 因为，所以， 即， 所以，即， 因为，所以， 因为，所以； （2） ， 因为是锐角三角形，且， 所以，所以， 所以， 所以的取值范围为； （3）由余弦定理得，，即， 由边上的中线为，得， 两边平方得， 由正弦定理可知，， 所以， 所以 ， 由（2）知， 所以， 即，则. 变式3．（2025·湖北·模拟预测）已知分别为锐角三个内角的对边，满足. (1)求角的大小； (2)若的面积，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简可得,结合辅助角公式即可求解； （2）由三角形面积公式化简得，由正弦定理可得,化简后结合的范围即可求解. 【详解】（1）, 由正弦定理得：， 因为在中， 所以， 又因为，可得，即， 又因为在锐角中, 可得； （2）因为，可得， 由正弦定理得， 又， 所以， 在锐角中 所以, ， ， 所以的取值范围为 考点二 利用基本不等式求解三角形中最值与范围问题 【例题分析】 例1．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）的内角的对边分别是，已知． (1)求； (2)若点在边上，为的平分线且长度为1，求； (3)若是边上的一点，且，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理对已知条件进行转换得到，从而得到； （2）利用为及三角形的面积公式即可得到的关系式，变形得； （3）根据已知条件得到，再利用数量积的运算律得到的关系式，最后运用基本不等式得到的最大值，从而得到的面积的最大值． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 整理可得，由余弦定理可得 ，所以， 因为，故． （2）因为为的平分线，所以， 因为，即， 又因为，所以，故． （3）因为，所以，即， 所以， 即， 即，当且仅当即当时等号成立， 所以， 即面积的最大值为． 例2．（2026·河北沧州·二模）已知在中，D是边上一点，是的平分线，且． (1)求； (2)设当λ为何值时，取得最大值? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式化简可得，结合正弦定理可得，再利用构建方程，解得，进而可求； （2）利用余弦定理，分别求出，进而得到，再令，利用基本不等式得到最值即可． 【详解】（1），， ，，则， 设的内角所对的边分别为，则由正弦定理得， 又是的平分线，， 又，， ， 即， 即， ，解得， （2）如图， ，， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， ， 令，则，， ， 当且仅当，即时取等， 所以当时，取得最大值． 例3．（2026·福建龙岩·三模）在中，内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若边上的中线的长为2，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理以及特殊角的三角函数值求解即可. （2）根据向量的模以及基本不等式得，再根据三角形面积公式求最值. 【详解】（1）因为，所以， 因为所以， 所以 ，， 因为，． （2）因为是边上的中线，所以， 两边平方：， 由（1）得， 代入已知条件得：， 整理得 ， 所以． 所以，当且仅当时， 取到等号，所以面积的最大值为． 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A为钝角，，． (1)若，求c的值； (2)求面积的最小值． 【答案】(1) (2)72 【分析】（1）由结合，求得，进而求得，结合，得解； （2）由正弦定理结合条件式可得，进而得，利用基本不等式求解. 【详解】（1）由， 则，又， 所以， 化简整理得，解得或， 又为钝角，故为锐角，所以，则， 由，解得， . （2）因为， 又，则，所以， 所以的面积 ， 又为锐角，所以，， ， 当且仅当，即，时，取等号， 所以的面积的最小值为72. 变式2．（25-26高三上·宁夏中卫·阶段检测）记的内角的对边分别为，已知，． (1)若，求的面积； (2)求的值； (3)已知分别为边上一点，点在线段上，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，及，求出角，由正弦定理求出边，利用面积公式可求出面积. （2）由（1）知，,由余弦定理得即可求解. （3）设，由，得.由基本不等式得到，从而求出的最小值，四边形面积的最大值. 【详解】（1） 又，所以. 由正弦定理得，又，所以， 所以. （2）依题意，， 由余弦定理得， （3）由（2）知，又，又 ，， 设， 由，得，化简得. 因为，即， 当且仅当时，即取等号，所以， 即的最小值为，而， 所以当的面积最小时，四边形面积的最大，最大值为. 变式3．（24-25高三上·天津·期中）已知的内角所对应的边分别为，且． (1)求； (2)若，求的面积． (3)若，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两角差的余弦公式展开，利用正弦定理边化角，再结合三角形中即可求解； （2）根据题意，利用余弦定理求解，将已知条件代入三角形面积公式即可； （3）根据余弦定理得到边的关系，利用基本不等式求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】（1）， 因此，根据题意，， 由正弦定理可得，即， 在中，， 所以， 即，， ，故. （2）依题意，，，根据余弦定理可得： ， 即，，， 解得， 根据三角形面积公式得. （3）依题意，，，根据余弦定理可得： ， 即，， 由基本不等式可知，当且仅当时取等， 即，解得，当且仅当时取等， 综上，， 即当时，取最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 解三角形：利用三角函数、基本不等式求解三角形中最值与范围问题复习讲义 考点目录 利用三角函数求解三角形中最值与范围问题 利用基本不等式求解三角形中最值与范围问题 知识点解析 考点一三角函数解三角形最值范围 知识点 1.依据：正余弦定理、内角和A+B+C=π、三角恒等变换 2.核心：边化角，统一为单一三角函数 3.性质：正弦余弦有界性、单调性、两角和差公式 解题原理 把边长、周长、面积、代数式全部转化为角的函数，利用三角函数值域限定范围，求出最值。 解题思路 1.边角互化，全部化为角： 2.结合三角形内角约束确定角范围： 3.化简成y=Asin(ωx十p)+B形式； 4.利用单调性与有界性求最值、范围。 考点二基本不等式解三角形最值范围 知识点 1.依据：余弦定理、面积公式、均值不等式a+b≥2√b 2.适用：边长和、周长、面积最值 3.条件：一正二定三相等，验证取等条件能否成立 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 解题原理 由余弦定理建立边之间等式关系，套用基本不等式构造和与积的关系，直接求最值。 解题思路 1.已知一角一边，用余弦定理列边的关系式： 2.凑出和或积的结构，套用基本不等式： 3.求出边长、周长、面积最值； 4.检验等号可取，结合三边关系确定取值范围。 考点一 利用三角函数求解三角形中最值与范围问题 【例题分析】 例1.(2026重庆北碚模拟预测)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=2π，AC=AD=25 3 B (I)若CD=V5,求边AB的长； (2)求ABC面积的取值范围. 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 例2.(25-26高三下·贵州遵义·阶段检测)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足 sin C-sin A sin B-sin A 6 c+a (1)求C;. (2)已知c=√5，点M在边BC上，且满足∠AMC=2LB,求线段AM的取值范围. 例3.(2026福建三明二模)已知锐角ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=4,b+8cosB=2c. (1)求A: (2)若点H在ABC所在平面内，且满足HA.HB=HB.HC=HC.HA,求△HBC面积的取值范围. 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 【变式训练】 变式1.(2026·河北沧州模拟预测)在ABC中，点D在线段BC上，BD=2,AC=√3，∠BAD=90°， (I)若∠ADB=60,求CD的值： ②诺CD-之求∠4DB的余弦雀： (3)求sinC的最大值 变式2.(25-26高一下·安徽滁州阶段检测)已知ABC是锐角三角形，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 bsin A+a tan A cos B=2a sin C. (1)求A; (②)求cosA+cosB+cosC的取值范围； (3)若a=V3,求边BC上的中线AD的取值范围. 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 变式3.(2025·湖北模拟预测)已知a,b,c分别为锐角ABC三个内角A,B,C的对边，满足 √5 c.sinA-c.cos4=3a-b. (I)求角C的大小： (2)若ABC的面积S=√3b,求b的取值范围. 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 考点二 利用基本不等式求解三角形中最值与范围问题 【例题分析】 例1.(25-26高三下·甘肃武威阶段检测)ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知 (3c-2asinB)sinc=3(bsinB-asind). (I)求B; ②)若点E在边AC上，BE为∠ABC的平分线且长度为1，求a+C ac (3)若D是AC边上的一点，且CD=2DA,BD=2,求ABC的面积的最大值. 例2.(2026河北沧州二模)已知在ABC中，sinBsinC+cos2B=l,D是BC边上一点，AD是∠BAC的平分线， 且AD=AC. (I)求cos/BAC; (②)设AE=2AD(0<元<1)，当为何值时， BE取得最大值？ C 6 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 例3.(2026福建龙岩三模)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且V3 acosC-csinA=0. (1)求C; (②)若AB边上的中线CD的长为2，求ABC面积的最大值. 【变式训练】 变式1.(25-26高三上山东·阶段检测)己知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,角A为钝角， tan B+4 tan C =1,csin B=4. ()若tanA=-9, 7,求c的值： (2)求ABC面积的最小值. 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 变式2.(25-26高三上宁夏中卫阶段检测)记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3sinB=5sinC, √5sinA-cosA=2. (1)若b=10,求ABC的面积： (②)求的值： (3)已知c=3,E、F分别为边AB、AC上一点，点D在线段EF上，若AD=1,AD⊥AC,求四边形EFCB面积的最大 值. 变式3.(2425商三上天津期肿)已知ABC的内角4，B,C所对应的边分别为ac,且V5coB-台 (1)求A: (2)若√2a=b=4,求ABC的面积. (3)若a=2√3，ABC的面积为S,求S的最大值. 6