反比例函数与几何问题、反比例函数与实际应用问题专项训练-2026年中考数学二轮复习

**基本信息** 聚焦反比例函数与几何综合及实际应用，通过精选典例构建“函数性质-几何直观-动态变化”与“现实情境-数学建模-模型应用”双逻辑链条，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |反比例函数与几何问题|3例+3变式|结合函数图像与矩形、菱形等图形，涉及交点、面积、动点及翻折变换|从解析式求解（待定系数法）到几何性质应用（中点、对称），再到动态问题中函数关系建立，体现几何直观与推理能力| |反比例函数与实际应用问题|3例+3变式|以信号强度、运输任务等为情境，需建立反比例模型解决等级划分、最值等问题|从现实情境抽象出反比例关系，通过数据确定解析式，应用于实际决策，发展抽象能力与应用意识|

反比例函数与几何问题、反比例函数与实际应用问题专项训练 反比例函数与几何问题、反比例函数与实际应用问题专项训练 考点目录 反比例函数与几何问题 反比例函数与实际应用问题 考点一 反比例函数与几何问题 例1．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)当反比例函数大于一次函数时，直接写出自变量x的取值范围； (3)若点C为线段上一点，且，连接，求． 例2．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)求的值并求出点的坐标； (2)点是轴上的动点，连接，，求周长的最小值； (3)是轴上的点，是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 例3．（2026·重庆·一模）如图，点E为矩形的对角线的中点，，，动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动；同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，连接，．设运动时间为x秒，且，的面积为，的面积与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 变式1．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图1，将直线向上平移个单位，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，，如果的面积为，求的值． (3)在（2）的条件下，过点作的平分线的垂线，垂足为，求点的坐标． 变式2．（2026·安徽阜阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点 (1)求k的值； (2)点B在反比例函数的图象上，记线段与x轴正半轴的夹角为，若，求的面积． 变式3．（2026·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数位于第二象限的图像上，点在轴的负半轴上，四边形为菱形． (1)求点的坐标和的值； (2)将菱形沿过原点的某条直线翻折，记点的对称点为，点的对称点为，当点落在函数位于第四象限的图像上时，点的坐标为___________． 考点二 反比例函数与实际应用问题 例1．（2026·河北邯郸·二模）在移动通信中，手机接收到的信号强度会随着与信号基站（如图）距离的增加而减弱．某通信实验室在郊区空旷地带对一座信号基站进行测试，发现信号强度（单位：相对值）与手机到基站距离（单位：米）的平方成反比．为便于分析，工程师引入中间变量，则与满足函数关系，其中为与基站发射功率有关的常数．测试人员在距离基站米处测得信号强度为个单位． (1)求常数k的值，并写出P关于x的函数解析式； (2)网络工程师将信号强度划分为以下等级： 信号强度 等级 优秀 良好 一般 弱覆盖 用户体验 高速上网 正常上网 可上网，速率慢 容易掉线 若测试人员从基站出发，沿直线匀速步行，速度．设出发后的时间为秒，他与基站的距离为米．当秒时，测试人员所处位置的信号强度等级是什么？请通过计算说明； (3)该基站的信号覆盖边缘定义为信号强度降至单位的位置．若该基站周围为平坦开阔地形，信号向各个方向均匀传播，求该基站的信号覆盖面积（即信号强度不低于单位的区域面积），结果保留． 例2．（2026·河北秦皇岛·一模）某物流公司承接一项运输任务，需要将一批物资从仓库运往灾区，该公司拥有不同型号的货车，且对于同一型号的货车，每辆货车的实际载重量相同． 要求：每次任务派出货车的型号相同． 如果用点的横坐标（辆）表示完成该任务所需的货车数量，纵坐标（吨/辆）表示每辆货车的载重量，图中给出了一部分点的坐标．已知． (1)根据所给信息，求与的函数关系式． (2)原计划用若干辆货车运输，实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的．求原计划使用的货车数量． (3)受道路限重条件影响，每辆货车的实际载重量不得超过8吨．请问至少需要多少辆货车才能完成任务？请结合反比例函数图象说明理由． 例3．（2026·湖北宜昌·一模）某综合实践活动小组结合物理热敏电阻特性与数学函数知识，设计了一款简易温度监测报警装置（图1），其工作原理是通过温度传感器监测环境温度，当环境温度达到设定的超限报警温度点时，启动超限报警功能．热敏电阻（单位：）与环境温度（单位：）满足的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图2所示；图3的电路中，电源电压伏，定值电阻，电压表测两端电压（单位：V），当达到设定阈值时触发报警． 温馨提示：①欧姆定律；②串联电路电流处处相等，总电压等于各部分电压之和． (1)求，的值，并写出关于的函数解析式； (2)求关于的函数解析式； (3)若电压表量程为，为保护电压表，请确定该监测报警装置可监测的最高环境温度． 变式1．（2026·吉林·一模）如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形为向上攀爬的梯子，米，进口，且米，出口C点距水面的距离为． (1)求段滑梯所在双曲线的解析式； (2)若为米，求B，C之间的水平距离的长度． 变式2．（2026·江苏无锡·一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明a的取值范围． 变式3．（2026·上海金山·二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：A）与总电阻（单位：Ω）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式： (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $反比例函数与几何问题、反比例函数与实际应用问题专项训练 反比例函数与几何问题、反比例函数与实际应用问题专项训练 考点目录 反比例函数与几何问题 反比例函数与实际应用问题 考点一 反比例函数与几何问题 例1．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)当反比例函数大于一次函数时，直接写出自变量x的取值范围； (3)若点C为线段上一点，且，连接，求． 【答案】(1)直线的表达式为：，反比例函数的表达式为 (2)自变量x的取值范围为或 (3) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）根据函数图象即可求解； （3）先求出点，再由求解，再根据共高三角形面积比等于底之比求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 则反比例函数的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 即点， ∴将点，代入 则， 解得 ∴直线的表达式为：； （2）解：一次函数与反比例函数的图象相交于、， 反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围为或； （3）解：连接， 对于，当时，则， 解得 ∴点， ∴， ， ∴ 则． 例2．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)求的值并求出点的坐标； (2)点是轴上的动点，连接，，求周长的最小值； (3)是轴上的点，是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或或 【分析】（1）根据待定系数法即可求，根据对称性即可求点坐标； （2）根据线段比例关系，可得，作关于轴的对称点，利用将军饮马模型即可求出最短距离； （3）设，即可表达出三边的边长，由为直角三角形即可分类讨论，然后利用勾股定理列式求解． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得，即, 点在双曲线上， , 直线与双曲线的交点关于原点对称， 点B是点A关于原点的对称点， ； （2）解：设，过点作轴，过点作轴， 则， 作关于轴的对称点，连接交轴于点G，连接 ，即， ， 的纵坐标为， ， 解得，即， ， ， 两点之间线段最短， 最小，即最小． 此时的周长最小， 周长的最小值； （3）解：设， ，， ， ， ， 分三种情况： 当时，，即， ， 此时， 当时，，即， ，， 此时或 当时，，即 ， 此时， 综上所述，或或或． 例3．（2026·重庆·一模）如图，点E为矩形的对角线的中点，，，动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动；同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，连接，．设运动时间为x秒，且，的面积为，的面积与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)画图见解析，当时，随着x的增大而增大，当时随着x的增大而减小 (3) 【分析】（1）分和求出关于x的函数表达式，再根据题意求出关于x的函数表达式即可； （2）利用两点法画出函数图象，再根据函数图象写出函数的一条性质即可； （3）根据函数图象解答即可． 【详解】（1）解∶作于M，于，于F， ． 四边形为矩形， ，，． ，，，． 点E为矩形的对角线的中点， ，． （秒） 当时， ； 当时， ． ， ． ，即． ． （2）解：函数，的图象如下： 由函数图象可知，当时，随着x的增大而增大，当时随着x的增大而减小；（答案不唯一） （3）解：由函数图象可知，当时，x的取值范围． 变式1．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图1，将直线向上平移个单位，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，，如果的面积为，求的值． (3)在（2）的条件下，过点作的平分线的垂线，垂足为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先把点代入直线方程，求出得到点的坐标，再将点代入反比例函数，求出系数，得到表达式； （2）先联立直线与反比例函数，求出点的坐标，再利用“平行线间的三角形面积相等”，将的面积转化为的面积，拆分为两个三角形面积之和列方程，解出； （3）先通过“角平分线+垂线”构造全等三角形，证明是的中点，再联立平移后的直线与反比例函数，求出点，进而得到直线的解析式，然后利用求出点的坐标，最后用中点坐标公式，算出的坐标． 【详解】（1）解：根据题意可知，点位于上， 将代入可得， 解得， 则点的坐标为， 将代入， 解得， 故反比例函数的表达式为． （2）解：如图，直线向上平移个单位后与轴交于点， 直线向上平移个单位后的直线解析式为， 令可得， 点的坐标为， ， 将与联立， 可得， 解得或，则或， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 解得． （3）解：如图，过点作的平分线的垂线并延长交的延长线于点， 在和中， ， ， ，， 根据（2）可知直线向上平移单位后的直线解析式为， 将与联立， 可得， 解得或， 点在第一象限， ，则， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 直线的解析式为， 设点的坐标为， ， ， ， 解得或（不合题意，舍去）， 点的坐标为， 点为的中点， 点的坐标为，即． 变式2．（2026·安徽阜阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点 (1)求k的值； (2)点B在反比例函数的图象上，记线段与x轴正半轴的夹角为，若，求的面积． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）先求出点A的坐标，将其代入反比例函数表达式，即可得到k的值． （2）以的正切值为入手点，求出点B的坐标，然后求出所在直线的函数表达式为，结合轴，，得出，根据公式“三角形的面积铅垂高×水平宽”计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把代入，得， ∴， ∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点 ∴把代入，得， 解得． （2）解：由（1）得， ∴， 如图，过点A作x轴的垂线，交于点C，过点B作轴于点D． ∵， ∴． 设，则， ∴． 将代入， 得， 解得，（不符合题意，已舍去）， ∴， 设所在直线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为． ∵轴，， ∴点C的横坐标为3， 把代入，得 ∴， ∴， ∴（三角形的面积铅垂高×水平宽”）． 变式3．（2026·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数位于第二象限的图像上，点在轴的负半轴上，四边形为菱形． (1)求点的坐标和的值； (2)将菱形沿过原点的某条直线翻折，记点的对称点为，点的对称点为，当点落在函数位于第四象限的图像上时，点的坐标为___________． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先根据点A的坐标，用勾股定理求出菱形边长，利用菱形的性质，确定B的纵坐标与A相同，再结合边长算出B的横坐标，得到B点坐标．将B点坐标代入反比例函数解析式，求出k的值． （2）利用翻折前后点到原点距离相等，得．设第四象限点，结合反比例函数和，解出两个符合题意的坐标．利用线段垂直平分线性质，列等式化简，求出翻折对称轴直线解析式．设的对称点，利用中点在对称轴上和到原点距离相等列二元方程组．联立求解，舍去和原点重合的解，得到坐标． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，且． 已知点，由勾股定理得： ∴． ∵，即轴， ∴点的纵坐标与点相同，点的横坐标为， ∴． ∵点在反比例函数的图像上， ∴，解得． （2）解：由（1）知，且在轴负半轴， ∴． 菱形绕原点翻折 翻折前后对应点到原点距离相等， 设，由题意得 解得第四象限符合题意的点为，． 当时， 翻折对称轴是线段的垂直平分线， 设对称轴上任意一点， 垂直平分线上的点到线段两端距离相等 两边平方化简，得 翻折对称轴为直线． 设关于直线的对称点为， 线段的中点在对称轴上， ， 化简得， 又， ， 联立解得，舍去与重合的解， ， 当时 翻折对称轴是线段的垂直平分线 设对称轴上任意一点， 垂直平分线上的点到线段两端距离相等 两边平方化简，得 翻折对称轴为直线． 设关于直线的对称点为， 线段的中点在对称轴上， 化简得 又 联立解得，舍去与重合的解 综上，点的坐标为或． 考点二 反比例函数与实际应用问题 例1．（2026·河北邯郸·二模）在移动通信中，手机接收到的信号强度会随着与信号基站（如图）距离的增加而减弱．某通信实验室在郊区空旷地带对一座信号基站进行测试，发现信号强度（单位：相对值）与手机到基站距离（单位：米）的平方成反比．为便于分析，工程师引入中间变量，则与满足函数关系，其中为与基站发射功率有关的常数．测试人员在距离基站米处测得信号强度为个单位． (1)求常数k的值，并写出P关于x的函数解析式； (2)网络工程师将信号强度划分为以下等级： 信号强度 等级 优秀 良好 一般 弱覆盖 用户体验 高速上网 正常上网 可上网，速率慢 容易掉线 若测试人员从基站出发，沿直线匀速步行，速度．设出发后的时间为秒，他与基站的距离为米．当秒时，测试人员所处位置的信号强度等级是什么？请通过计算说明； (3)该基站的信号覆盖边缘定义为信号强度降至单位的位置．若该基站周围为平坦开阔地形，信号向各个方向均匀传播，求该基站的信号覆盖面积（即信号强度不低于单位的区域面积），结果保留． 【答案】(1)， (2)等级为良好，理由见解析 (3)（平方米） 【分析】（1）将，，代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将，，代入得出，求得，的值，即可求解； （3）令，得出的值，进而求得，再根据圆的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵测试人员在距离基站米处测得信号强度为个单位． ∴ ，， ∴ ， ∴P关于x的函数解析式为． （2）解：当时，，， ∴． ∵， ∴测试人员所处位置的信号强度等级为良好． （3）解：令，则，解得， ∴， 覆盖面积：（平方米）． 例2．（2026·河北秦皇岛·一模）某物流公司承接一项运输任务，需要将一批物资从仓库运往灾区，该公司拥有不同型号的货车，且对于同一型号的货车，每辆货车的实际载重量相同． 要求：每次任务派出货车的型号相同． 如果用点的横坐标（辆）表示完成该任务所需的货车数量，纵坐标（吨/辆）表示每辆货车的载重量，图中给出了一部分点的坐标．已知． (1)根据所给信息，求与的函数关系式． (2)原计划用若干辆货车运输，实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的．求原计划使用的货车数量． (3)受道路限重条件影响，每辆货车的实际载重量不得超过8吨．请问至少需要多少辆货车才能完成任务？请结合反比例函数图象说明理由． 【答案】(1)（，且x为正整数） (2)原计划使用货车6辆 (3)至少需要8辆货车，理由见解析 【分析】（1）根据题意可得y是x的反比例函数，据此利用待定系数法求解即可； （2）设原计划使用货车辆，根据实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的建立方程求解即可； （3）求出时x的值，再根据增减性可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，所给的点的坐标的横纵坐标的乘积都为60， ∴y是x的反比例函数， 设 当时， ， 解得， ∴， ∵，即， ∴， 与的函数关系式为（，且x为正整数）； （2）解：设原计划使用货车辆， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 答：原计划使用货车6辆． （3）解：至少需要8辆货车才能完成任务，理由如下： 在中，当时，， 由反比例函数的图象可知，当，且x为正整数时，随增大而减小， ∴当时，， ∵为正整数， ∴至少需要8辆货车． 例3．（2026·湖北宜昌·一模）某综合实践活动小组结合物理热敏电阻特性与数学函数知识，设计了一款简易温度监测报警装置（图1），其工作原理是通过温度传感器监测环境温度，当环境温度达到设定的超限报警温度点时，启动超限报警功能．热敏电阻（单位：）与环境温度（单位：）满足的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图2所示；图3的电路中，电源电压伏，定值电阻，电压表测两端电压（单位：V），当达到设定阈值时触发报警． 温馨提示：①欧姆定律；②串联电路电流处处相等，总电压等于各部分电压之和． (1)求，的值，并写出关于的函数解析式； (2)求关于的函数解析式； (3)若电压表量程为，为保护电压表，请确定该监测报警装置可监测的最高环境温度． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将，代入，求出k、b的值，即可得出函数解析式； （2）根据可变电阻和定值电阻的电流大小相等，得出，将，，代入求出结果即可； （3）根据反比例函数的性质得出随的增大而增大，从而得出当取最大值3时，有最大值，求出最大值即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得：， ∴． （2）解：由题意得：可变电阻电压， ∵，可变电阻和定值电阻的电流大小相等， ∴， 将，，代入化简得： ． （3）解：∵中，， ∴随的增大而增大，即当取最大值3时，有最大值， ∴最大为， ∵，符合的取值范围， ∴该装置可监测的最高环境温度为． 变式1．（2026·吉林·一模）如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形为向上攀爬的梯子，米，进口，且米，出口C点距水面的距离为． (1)求段滑梯所在双曲线的解析式； (2)若为米，求B，C之间的水平距离的长度． 【答案】(1) (2)6米 【分析】（1）根据矩形的性质得到点，设段滑梯所在双曲线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点C的纵坐标为，代入（1）中双曲线的解析式，求解出点C的横坐标，得到的长，利用即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设段滑梯所在双曲线的解析式为， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴点C的纵坐标为， 当时，，解得：， ∴点C的横坐标为8，即， ∴米． 答：B，C之间的水平距离的长度为6米． 变式2．（2026·江苏无锡·一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明a的取值范围． 【答案】(1) (2)x每增加相同的数值，y的增加量相同 (3) 【分析】（1）由，得，将代入求解即可； （2）由题意可得，设（为常数），计算即可； （3）求得，由 得x随着a的增大而减小，结合反比例函数的性质代入即可求解． 【详解】（1）解：令，得， ， ∴， ∴， 即； （2）解：， ， ， 设（为常数）， 则， ∴是常数． ∴x每增加相同的数值，y的增加量相同． （3）解：， 整理得， ∵， ∴x随着a的增大而减小． 当最大刻度是时，令， 得， ∴． 变式3．（2026·上海金山·二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：A）与总电阻（单位：Ω）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式： (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】结合图像求出与的函数关系式，以及利用反比例函数的性质求解电流的取值范围． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 由图2可知，图像经过点和， 代入得：， 解得：， ． 当时，（）， ，且， （）． （2）解：电流与总电阻成反比例， 设， 由（1）可知，当时，，此时， 代入得：， 解得：， 关于电阻的函数解析式为． （3）解：由（1）可知，， 当时，（）， 当时，（）， 当时，， ，且， 随的增大而减小， 当时，取最大值，（）， 当时，取最小值，（）， 电流表显示电流的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $