精品解析：2026年山东聊城东方中学等校初中学生毕业水平自检数学练习试题

2026年初中学生毕业水平自检 数学练习试题 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算各选项对应的值，再比较实数大小，即可得到最小的数． 【详解】解：∵计算各选项的结果：，，，， ∴比较大小得 ， ∴最小的数是． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰梯形 C. 正五边形 D. 菱形 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形指沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能互相重合的图形，中心对称图形指绕对称中心旋转后能与原图重合的图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断各选项即可得出结果． 【详解】解：A．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求； B．等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求； C．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求； D．菱形沿两条对角线所在直线折叠可重合，绕对角线交点旋转可与原图重合，因此既是轴对称图形又是中心对称图形，符合要求． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式运算法则，二次根式的性质，立方根的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：、与不是同类二次根式，无法直接合并，该选项运算错误，不符合题意； 、，该选项运算正确，符合题意； 、，该选项运算错误，不符合题意； 、，该选项运算错误，不符合题意． 4. 利用细菌做生物杀虫剂，可以减轻对环境的污染．如果一种细菌的长度大约为，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于1的数的科学记数法表示，科学记数法的表示形式为，需满足，为整数，的绝对值等于原数从左向右数第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】解：对于 ，左起第一个非零数字为，前共有个零，且要求， 可得 ，， ． 5. 如图是一个口和底均为圆，且有提手的水果篮，这个水果篮外形的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：这个水果篮外形的俯视图是， ∴选项符合题意． 6. 为了解枣庄市初中生体质健康水平，在2025年秋季《国家学生体质健康标准》全市测试数据中进行随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，若枣庄市有10000名初中生参加体质测评，下列估计的体质健康合格人数中最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与的比值 0.87 0.92 0.93 0.89 0.90 0.92 0.92 0.93 0.93 0.93 A. 9300 B. 9200 C. 9003 D. 9000 【答案】A 【解析】 【分析】观察大样本下频率的稳定值，用该稳定值估计总体的合格频率，再计算总体合格人数． 【详解】解：∵随着累计抽测学生数逐渐增大，体质健康合格学生数与的比值逐渐稳定在， ∴根据用频率估计概率的方法，可得全市初中生体质健康合格的频率约为， ∵枣庄市共有名初中生， ∴估计体质健康合格的人数为， 因此最合理的是选项A． 7. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房．若设该店有客房间，房客人，则根据题意列出一个方程是，则列出的另一方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设该店有客房间，房客人，根据“一房七客多六客，一房八客一房空”列出方程即可． 【详解】解：设该店有客房间，房客人， 由一房七客多六客得“”； 由一房八客一房空得“” 8. 如图，在正五边形中，连接，以点为圆心，长为半径作弧，得到．若的长为，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先求出正五边形的内角，进而求出所对的圆心角，最后根据弧长公式求解． 【详解】解：多边形为正五边形， 每一个内角均为， ， ， ， 的长为， ， ∴． 9. 已知是的二次函数，如下表给出了与的几组数值，下列结论不正确的是（ ） … 0 1 2 … … 2 3 2 … A. 抛物线的开口向下 B. 当时， C. 当时，随的增大而增大 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出二次函数解析式，再结合二次函数的性质逐一判断选项，找出错误结论． 【详解】解：设二次函数解析式为 由表格可知，当时，，代入得，故B选项正确，不符合题意； 将和分别代入解析式得： ， 解得：， 因此二次函数解析式为：， ， 抛物线开口向下，故A选项正确，不符合题意； 抛物线对称轴为 ，开口向下，因此当 时，随x的增大而增大， 满足， 当时，随的增大而增大，故C选项正确，不符合题意； 当时，代入解析式得，故D选项错误，符合题意． 10. 节能冰箱通过变频技术或其他节能设计，实现电能高效利用．若某款节能冰箱的耗电功率为（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度（）与时间（min）之间的关系如图所示．通过观察发现：当内部温度为5时，冰箱运行，当温度下降到20时，停止运行，温度上升到5℃时，冰箱再次运行，如此循环．有以下结论：①当时，；②当时，，③；④如果冰箱每天耗电量（kW·h）耗电功率（）每天运行时间（h），则该款冰箱每天的耗电量不到．其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先设y关于x的函数表达式为，再将点代入，并求出解可解答①；然后将点代入，求出解说明②；将代入②中的关系式解答③； 最后求出每天的耗电量，比较说明④即可． 【详解】解：设当时，y关于x的函数表达式为，将点代入，得 ， 解得， 所以当时，y是x的一次函数，则①不正确； 当时，y关于x的函数关系式为， 将点代入，得， 所以当时，y是x的反比例函数，则②正确； 当时，， 解得， 所以，则③不正确； 每天的耗电量， 所以该冰箱每天耗电量低于1度，则④正确， 所以正确的有2个． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】解题思路为先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解： ． 12. 将方程化成（为常数）的形式，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用配方法将原方程变形为的形式，求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即 ，整理为 的形式得， ，， 则， 因此． 13. 如图，根据下面两位同学讨论一个不等式的对话信息，直接写出一个符合条件的不等式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】写出未知数系数为负数，并且不等式的解集为的不等式即可． 【详解】解：根据题意可得，（答案不唯一）． 14. 如图，观察下列图形中的数字排列规律，在第个图中，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】观察各图形可发现的规律及它们之间的关系即可解答． 【详解】解：由题意得，所在的位置的数字规律为：，，，，， ∴第个为，即； 由题意得，所在的位置的数字规律为，，，， ∴第个为，即， 由题意得，， ∴当时， ． 15. 如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点．若，，则正方形的边长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据证明，得，，可判断是等腰直角三角形，求出，在中，求得，过点作，交的延长线于点，证明是等腰直角三角形，得，，在中由勾股定理可求． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， 在中，． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式计算，再根据零指数幂计算即可； （2）先根据分式的乘除法计算，再根据分式的加减法计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图1，已知，首先以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点，交于点；然后分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；最后作射线交于点． （1）依据以上作图，若，求的度数； （2）如图2，在图1基础上分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；再作直线，分别交于点．依据以上作图，若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线定义得，由直角三角形两锐角互余得． （2）连接，，证明四边形是菱形，得求出，运用三角形面积公式可求解． 【小问1详解】 解：由作图可知平分， ∴， ∵， ∴ ∴ ． 【小问2详解】 解：连接，， 由作图可知垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴, ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形， ∴ 又 ∴， ∴． 18. 【实践课题】测量被湖水隔开的两棵树的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】数学课外兴趣小组的同学们设计了如图的测量方案：从树沿着垂直于的方向走到，再从沿着垂直于的方向走到，为上一点，其中甲、乙两位同学分别测得以下相关数据：甲测量出m，，乙测量出三个数据． 【问题解决】 （1）借助甲同学测量数据计算之间的距离；（参考数据） （2）如果借助乙同学的数据，用相似三角形的相关知识可以计算之间的距离，那么乙所测的三个数据可以为___________（分别用表示）．根据所填数据求之间的距离． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）解，求得； （2）提供的数据：，证明，根据相似三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，，，， ∴， 所以，之间的距离为； 【小问2详解】 解：数据：； ∵， ∴， ∴ ∴． 19. 年月日是第个国际禁毒日，为增强学生安全意识，某校九年级开展了一次禁毒知识竞赛，随机抽取部分学生的竞赛成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：组：，组：，组：，D组：．下面给出了部分信息： 组的成绩为，，，，，，，，，． （1）补全学生竞赛成绩的频数分布直方图； （2）在竞赛成绩的扇形统计图中，组所对应的圆心角度数为____________，竞赛成绩的中位数是____________． （3）如果成绩不低于分为优秀，请估计参赛名学生中的优秀人数； （4）根据活动要求，学校将禁毒知识竞赛成绩、演讲成绩分别按和的比例确定这次活动个人的综合成绩．学校将从甲、乙两位学生中选择一人参加省级比赛，应派谁去？请说明理由． 甲、乙两位学生的竞赛成绩与演讲成绩（单位：分）如下表： 竞赛成绩 演讲成绩 甲的成绩 乙的成绩 【答案】（1）补全学生竞赛成绩的频数分布直方图见解析； （2），； （3）估计参赛名学生中的优秀人数为人； （4）应派甲去，理由见解析． 【解析】 【分析】（）先求出抽取的学生的总人数，可求出组的频数，然后补全频数分布直方图即可； （）用乘以组所对应的百分比即可求出圆心角，根据题意中位数定义可得位于第，的成绩分别为，，然后求出平均数即可； （）用乘以成绩高于分的人数所占比例即可求解； （）然后加权平均数分别求出甲、乙两位学生的综合成绩，再比较即可． 【小问1详解】 解：随机抽取部分学生的人数为（人）， ∴组的人数：（人）；组的人数： （人）， 补全学生竞赛成绩的频数分布直方图，如图， 【小问2详解】 解：组所对应的圆心角度数为 ； 根据题意得：位于第，的成绩分别为，， ∴所抽取学生的竞赛成绩的中位数是， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计参赛名学生中的优秀人数为人； 【小问4详解】 解：应派甲去，理由如下： 甲的综合成绩为：（分）， 乙的综合成绩为：（分）， ∵， ∴应派甲去． 20. 已知，过三点的与相切于点． （1）如图，若，求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长，交于点E，连接，由四边形是平行四边形可证明,，可得，再证明即可； （2）连接设半径为，在中，，设，则，在中由勾股定理得，解方程即可． 【小问1详解】 证明：连接并延长，交于点E，连接， ∵切于， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：连接设半径为， ∵， ∴， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 21. 在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，点的坐标为，对角线相交于点，且菱形的面积为20． （1）如图1，当反比例函数的图象与菱形有交点时，的最大值为___________．（请直接写出结果） （2）如图2，反比例函数的图象经过点． ①求反比例函数的关系式； ②判断对角线与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）32 （2）①；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由点的坐标为得到，由菱形的面积求出菱形的高，运用勾股定理可求出点横坐标，可得点、的坐标，从而可求出的最大值； （2）①根据中点坐标公式求出点的坐标，即可求解； ②根据两点间距离公式求出的长即可得出． 【小问1详解】 解：∵四边形为菱形，点的坐标为， ∴， ∴， 设边上的高为， ∵菱形的面积为20， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为； 【小问2详解】 解：①∵是菱形对角线的交点， ∴是的中点， ∴点的坐标为，即， 把代入得， ∴反比例函数解析式为； ②；理由： ∵ ∴， 又， ∴， ∴． 22. 在平面直角坐标系中，对于二次函数，若其图象上存在点，使得，则称点为该函数的“特征点”．已知二次函数（为常数），其图象的顶点为． （1）求证：二次函数总有两个不同的“特征点”； （2）设二次函数的两个“特征点”为，线段的中点为，求证：线段的长度为定值； （3）在（2）的条件下，设为线段上的动点，求动点到轴的距离的最大值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）要证明二次函数总有两个不同的“特征点”，只需证明方程有两个不同的实数根，可通过判别式来判断； （2）先求出B、C两点的坐标，再根据中点坐标公式求出D点坐标，最后根据两点间距离公式求出的长度； （3）先求出的表达式，再根据M为线段上的动点，求出M到轴的距离的最大值． 【小问1详解】 证明：已知二次函数（为常数），特征点满足， ∴， 整理得， ∴， ∴方程总有两个不等实数根，即二次函数总有两个不同的“特征点”． 【小问2详解】 证明：由（1）得， 解得：，， 设，则：，， 所以，，， 因为是的中点， 所以，点的横坐标为：，纵坐标为， 所以，， 二次函数顶点的坐标为， ∴， ∴为定值． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 所以，直线的解析式为， 因为为线段上的动点，所以到轴的距离就是点纵坐标的绝对值， 由、两点的纵坐标可知， 所以，点纵坐标的最大值为， 所以动点到轴的距离的最大值为． 23. 【操作感知】如图1，在矩形中，已知． （1）如图2，连接，求的长度及的度数． 【探究发现】 在“鲁南传统剪纸与几何变换”实践活动中，老师指导同学们将如图1所示的矩形纸片进行折叠探究．在边上取一点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点分别为点． （2）其中小明、小丽两位同学的折叠情况如下： ①小明：当恰好经过点时，如图3，求线段的长； ②小丽：当点与点重合时，如图4，求折叠后到直线的距离． （3）在点从点移动到点的过程中，请求出点移动的路径长，并思考线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）①；②到直线的距离为 （3），存在，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用求解即可； （2）①，则，由勾股定理得，，在中，由勾股定理列方程求解即可；②过点作交的延长线于点，根据求解即可； （3）先判断点的运动轨迹是以点为圆心，4为半径的圆弧，根据弧长公式可求点移动的路径长；连接并延长交圆弧于点，此时最小，最小值为 ． 【小问1详解】 解：在矩形中，，， 在中，由勾股定理得 ， 又， ∴； 【小问2详解】 解：①由折叠得，，； ∵经过点， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， 由折叠得，， 在中，, 即 , 解得：， 即线段的长为； ②当点与点重合时，折痕为， 由折叠得：，， ∴， ∴ ， 过点作交的延长线于点， ∴， ∴， ∴点到直线的距离等于的长，即为， 答: 点到直线的距离为； 【小问3详解】 解：由折叠性质得， ∴点的运动轨迹是以点为圆心，4为半径的圆弧， ∵点从点移动到点，折痕旋转角的度数为， ∴点移动的角的度数为：， ∴点移动的路径长为； ∵，，， ∴当三点共线时，最小， 连接并延长交圆弧于点，此时最小， ∵， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学生毕业水平自检 数学练习试题 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰梯形 C. 正五边形 D. 菱形 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. 2 C. D. 4. 利用细菌做生物杀虫剂，可以减轻对环境的污染．如果一种细菌的长度大约为，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个口和底均为圆，且有提手的水果篮，这个水果篮外形的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 为了解枣庄市初中生体质健康水平，在2025年秋季《国家学生体质健康标准》全市测试数据中进行随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，若枣庄市有10000名初中生参加体质测评，下列估计的体质健康合格人数中最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与的比值 0.87 0.92 0.93 0.89 0.90 0.92 0.92 0.93 0.93 0.93 A. 9300 B. 9200 C. 9003 D. 9000 7. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房．若设该店有客房间，房客人，则根据题意列出一个方程是，则列出的另一方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正五边形中，连接，以点为圆心，长为半径作弧，得到．若的长为，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 9. 已知是的二次函数，如下表给出了与的几组数值，下列结论不正确的是（ ） … 0 1 2 … … 2 3 2 … A. 抛物线的开口向下 B. 当时， C. 当时，随的增大而增大 D. 当时， 10. 节能冰箱通过变频技术或其他节能设计，实现电能高效利用．若某款节能冰箱的耗电功率为（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度（）与时间（min）之间的关系如图所示．通过观察发现：当内部温度为5时，冰箱运行，当温度下降到20时，停止运行，温度上升到5℃时，冰箱再次运行，如此循环．有以下结论：①当时，；②当时，，③；④如果冰箱每天耗电量（kW·h）耗电功率（）每天运行时间（h），则该款冰箱每天的耗电量不到．其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：___________． 12. 将方程化成（为常数）的形式，则___________． 13. 如图，根据下面两位同学讨论一个不等式的对话信息，直接写出一个符合条件的不等式______． 14. 如图，观察下列图形中的数字排列规律，在第个图中，的值为______． 15. 如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点．若，，则正方形的边长为___________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图1，已知，首先以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点，交于点；然后分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；最后作射线交于点． （1）依据以上作图，若，求的度数； （2）如图2，在图1基础上分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；再作直线，分别交于点．依据以上作图，若，求的面积． 18. 【实践课题】测量被湖水隔开的两棵树的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】数学课外兴趣小组的同学们设计了如图的测量方案：从树沿着垂直于的方向走到，再从沿着垂直于的方向走到，为上一点，其中甲、乙两位同学分别测得以下相关数据：甲测量出m，，乙测量出三个数据． 【问题解决】 （1）借助甲同学测量数据计算之间的距离；（参考数据） （2）如果借助乙同学的数据，用相似三角形的相关知识可以计算之间的距离，那么乙所测的三个数据可以为___________（分别用表示）．根据所填数据求之间的距离． 19. 年月日是第个国际禁毒日，为增强学生安全意识，某校九年级开展了一次禁毒知识竞赛，随机抽取部分学生的竞赛成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：组：，组：，组：，D组：．下面给出了部分信息： 组的成绩为，，，，，，，，，． （1）补全学生竞赛成绩的频数分布直方图； （2）在竞赛成绩的扇形统计图中，组所对应的圆心角度数为____________，竞赛成绩的中位数是____________． （3）如果成绩不低于分为优秀，请估计参赛名学生中的优秀人数； （4）根据活动要求，学校将禁毒知识竞赛成绩、演讲成绩分别按和的比例确定这次活动个人的综合成绩．学校将从甲、乙两位学生中选择一人参加省级比赛，应派谁去？请说明理由． 甲、乙两位学生的竞赛成绩与演讲成绩（单位：分）如下表： 竞赛成绩 演讲成绩 甲的成绩 乙的成绩 20. 已知，过三点的与相切于点． （1）如图，若，求证：是的切线； （2）若，求的半径． 21. 在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，点的坐标为，对角线相交于点，且菱形的面积为20． （1）如图1，当反比例函数的图象与菱形有交点时，的最大值为___________．（请直接写出结果） （2）如图2，反比例函数的图象经过点． ①求反比例函数的关系式； ②判断对角线与的数量关系，并说明理由． 22. 在平面直角坐标系中，对于二次函数，若其图象上存在点，使得，则称点为该函数的“特征点”．已知二次函数（为常数），其图象的顶点为． （1）求证：二次函数总有两个不同的“特征点”； （2）设二次函数的两个“特征点”为，线段的中点为，求证：线段的长度为定值； （3）在（2）的条件下，设为线段上的动点，求动点到轴的距离的最大值． 23. 【操作感知】如图1，在矩形中，已知． （1）如图2，连接，求的长度及的度数． 【探究发现】 在“鲁南传统剪纸与几何变换”实践活动中，老师指导同学们将如图1所示的矩形纸片进行折叠探究．在边上取一点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点分别为点． （2）其中小明、小丽两位同学的折叠情况如下： ①小明：当恰好经过点时，如图3，求线段的长； ②小丽：当点与点重合时，如图4，求折叠后到直线的距离． （3）在点从点移动到点的过程中，请求出点移动的路径长，并思考线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $