精品解析：北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2025-2026学年下学期九年级数学模拟练习（二模）

九年级数学模拟练习 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 第届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举办，这是首届男女运动员比例完全平衡的奥运会，其中男女运动员各为名，请问共多少名参赛运动员用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，首先计算总参赛人数，再将结果转换为科学记数法．科学记数法的形式为，其中且为整数． 【详解】解：计算总人数：男女运动员各5250名，总人数为 用科学记数法表示为：， 选项B为，符合科学记数法的要求， 故选：B． 3. 有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴，能够根据有理数在数轴上对应点的位置进行判断是解题的关键．根据有理数，在数轴上对应点的位置进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，， 故选：D． 4. 若一个八边形的每个外角都是，则x的值为（ ） A. 30 B. 45 C. 135 D. 150 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意多边形的外角和为，即可求解． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，八边形的每个外角都是， ∴， 即． 5. 如图．AB、BC为⊙O的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若∠CBD＝62°，则∠AOC的度数为（ ） A. 130° B. 124° C. 114° D. 100° 【答案】B 【解析】 【分析】如图，设点E是优弧（不与A，C重合）上的一点，则，根据圆内接四边形的对角互补即可求得． 【详解】解：如图，设点E是优弧（不与A，C重合）上的一点，连接AE、CE， ∵∠CBD＝62°． ∴． ∴∠AOC＝2∠E＝124°． 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质，圆周角定理，解题关键是利用圆内接四边形对角互补求出圆周角． 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 7. 一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起．则其颜色搭配一致的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据概率的计算公式．颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出概率即可．用A和a分别表示粉色有盖茶杯的杯盖和茶杯；用B和b分别表示白色有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：Aa、Ab、Ba、Bb， 所以颜色搭配正确的概率是. 故选B． 考点：列表法与树状图法． 8. 已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线相交于点D，双曲线经过点D，交的延长线于点E，且，有下列四个结论： ①双曲线的解析式为； ②点C的坐标是； ③； ④． 其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】过作轴于点，由菱形的面积可求得，在中，可求得，过作轴于点，由菱形的性质可求得点坐标，则可求得双曲线解析式；过作轴于点，则，可求得，可求得点坐标和；在中，由勾股定理可求得，结合条件可求得，则可求得，可得出答案． 【详解】如图，过作轴于点，过作轴于点，过作轴于点， ， ， ，即， ， 在中，，，由勾股定理可得， ， 四边形为菱形， 为中点， ，， ， 双曲线过点， ，解得， 双曲线解析式为， 故①正确； 又由上可知四边形为矩形， ， ，且， ， 故②正确； 在中，，， ， 故③正确； 在中，，， ， ， ， ， 故④不正确； 综上可知正确的为①②③共三个． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若有意义，则x的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的概念是关键； 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，由此列出不等式求解． 【详解】解：要使二次根式有意义，则被开方数必须满足，解得 ， 故答案为：． 10. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式x，再运用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11. 方程的解为___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． 先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根． 【详解】解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以，原方程的解为， 故答案为：． 12. 为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表： 视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 102 98 80 93 127 根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是_________． 【答案】7200 【解析】 【分析】用总人数乘以样本中视力不低于4.8的人数占被调查人数的比例即可得． 【详解】解：估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是12000×＝7200（人）， 故答案为7200． 【点睛】本题主要考查用样本估计总体，用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 13. 如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若，，则的度数是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． 根据平行线的性质，即“两直线平行，同旁内角互补”，由此可求解与的度数，再根据由此可求解． 【详解】解：，， ，． ，， ，， ． 故答案为：． 14. 用一组a，b的值说明命题“若非零实数，则”是错误的，这组值可以是_____， _____． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．通过a取，b取可说明命题“若，则”是错误的． 【详解】解：当，时，，，而， ∴命题“若，则”是错误的 故答案为：；1．（答案不唯一） 15. 如图，在正方形中，点E是的中点，连接交对角线于点F，连接．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质得，，，则，，由勾股定理求得，可证明，得，则，再证明，，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，，， ∵点E是的中点，交对角线于点F， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键． 16. 甲、乙两位工人要生产A，B，C，D四个产品，每个产品的生产都需要制作和包装两道工序，先由甲工人进行制作，制作完成后再由乙工人进行包装．两位工人完成每个产品各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： 产品 A B C D 甲需要的时间 10 6 9 7 乙需要的时间 8 8 4 10 （1）若按照的顺序制作，两位工人合作完成这四个产品的总时长最少为________分钟； （2）若使完成A，B，C，D四个产品的总时间最短，则应按照________的顺序生产． 【答案】 ①. 42 ②. 【解析】 【分析】根据表格中的数据计算出按的先后顺序制作时间即可； 要用最短的时间完成这四个产品的制作，开始的时候要让甲给道具制作的时间最短， 即开始应该让甲按照的顺序制造，再按照或分类讨论即可． 【详解】解：（1）甲先制作用10分钟， 然后乙再给包装8分钟，这8分钟甲可以给制作，（分）， 还剩下的时间制作2分钟，这时还需要（分）， 乙开始给包装又花了8分钟，这8分钟甲给制作，还留有（分）， 这1分钟甲给制作，在乙完成的包装时甲给制作还需要（分），这分钟乙同时可以包装完， 综上，按照的顺序制作，等甲做完且乙包装完， 需要（分）， 最后，甲制作完之后，乙再给包装花费（分） 所以总时长为（分）； （2）要用最短的时间完成这四个产品的制作，开始的时候要让甲给产品制作的时间最短， 即开始应该让甲按照的顺序制造， 当按照的顺序制作时，按照（1）中方法，需要（分）； 当按照的顺序制作时，按照（1）中方法，需要（分）， 所以按照的顺序制作所需总时间最短． 三、解答题（共68分，第17－19题每题5分，第20－21题每题6分，第22－23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数、负指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解： =5． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幂，负整数指数幂，绝对值以及特殊角的三角函数的运算法则，是解题的关键． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴原不等式组的解集为． 19. 已知，求分式的值． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的求值能力．先化简，再由题意得，最后代入求解． 【详解】解： ． ∵， ∴． ∴原式． 20. 如图，菱形的对角线相交于点，取中点，连接并延长，使得，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，过点作的垂线交于点，连接．求菱形的面积． 【答案】（1）见详解； （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得  、  ，证明  得出，，即可得出，，即可证明四边形是平行四边形，进而根据，即可得证； （2）过点作的垂线交于点，连接．点G在的垂直平分线上，，，由（1）得，则，，，，根据计算即可． 【小问1详解】 解：是菱形， ∴,, 是的中点，则 四边形是平行四边形， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：过点作的垂线交于点，连接． ∵，，， ∴点G在的垂直平分线上，，， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 21. 列方程解应用题 小华一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路．走普通公路比高速公路的路程多60公里，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百公里耗电20度，在高速公路上行驶比普通公路上行驶平均每百公里耗电增加，该车选择的充电站充电综合电费均为元/度．最终发现走普通公路的电费比高速公路的电费少15元，求返回时所走高速公路的路程． 【答案】所走高速公路的路程为550公里 【解析】 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键 设所走高速公路的路程为x公里，则普通公路的路程为公里，根据题意列出方程求解即可，注意单位换算． 【详解】解：设所走高速公路的路程为x公里，则普通公路的路程为公里， 根据题意得：， 解得， ∴所走高速公路的路程为550公里． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）； （2）且． 【解析】 【分析】（1）根据平移得到，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数图象的性质求解即可． 【小问1详解】 解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数经过点， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：函数中，当时，，当时，， 函数的图象如下， ∵当时，的图象平行于， 又∵当时，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值， ∴且 ∴在成立 ∴ 解得：， ∴，且． 23. 在人工智能时代，软件迅猛发展，某团队测评了A、B、C三款软件，本次测评由软件性能评分（满分100分）和软件使用体验评分（满分100分）两个部分构成．其中A、B、C三款软件的软件性能评分分别为85分，82分，90分．软件使用体验评分由10位专业测试员对软件分别打分，打分之和为该款软件使用体验评分，以下是A、B、C三款软件的软件使用体验评分的部分数据信息： A、B、C三款软件的软件使用体验打分情况统计表 软件名称 中位数 方差 软件使用体验评分 A 8.5 p a B 8.5 q 87 C m 2.01 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，a的值； （2）通过分析，可以发现专业测试员对________款软件的软件使用体验评分评价更一致（填写A、B或C）； （3）按照软件性能评分占，软件使用体验评分占来计算综合成绩，综合成绩较高的软件排序靠前，若综合成绩一致，则软件使用体验评分较高的软件排序靠前，则这三款软件中排序由前到后依次是_________． 【答案】（1）， （2）B （3）C，B，A 【解析】 【分析】（1）由折线图得到A款软件得分，求和即可求出a的值．根据扇形图求出C款软件打分情况，根据中位数的定义即可求出m的值； （2）根据方差的计算公式求出A，B两款软件的方差，比较方差即可解答； （3）根据加权平均数的计算公式求出这三款软件的综合成绩，根据排序规则即可解答． 【小问1详解】 解：由折线图可得，A款软件得分为7，10，10，7，9，9，8，9，10，6， 使用体验评分为， 即． 由扇形图可得，C款软件打分中，6分有（个）；8分有（个）；9分有（个）；10分有（个）； 中位数是第5个，第6个数据的平均数即（分）， 即． 【小问2详解】 解：A款软件得分的平均数为， 方差； B款软件得分的平均数为， 方差． ∵C款软件得分的方差为，而 ∴可以发现专业测试员对B款软件的软件使用体验评分评价更一致． 【小问3详解】 解：A款软件综合成绩为：（分）， B款软件综合成绩为：（分）， C款软件综合成绩为：（分）， 所以C款软件综合成绩最高，A款和B款软件综合成绩相同， 又B款软件使用体验评分比A款软件高， 故这三款软件中排序由前到后依次是C，B，A． 24. 如图，为的直径，、为的弦，与交于点，的延长线于点，． （1）求证：为的切线： （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，由角度关系可证得，结合进行等量代换，可求得，即，即可得证； （2）证明，可得，，，再证明，可得，，，，再证明，由线段比例关系即可求出的长． 【小问1详解】 解：连接、，如下图所示： ∵，． ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 25. 电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响，下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．以下是部分实验数据：x为温度（单位：），为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量．（电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量）． 0 10 20 30 40 50 （1）可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； （2）在温度为________________时两款电池相对容量相同． （3）在_________________下锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等； （4）随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量是如何变化的？ （5）由于冬季天气较冷，小林爸爸准备购买一台电动汽车送小林上学，考虑到续航持久性，你认为小林爸爸买车时应该选择配置上述两种电池的哪一种电池（不考虑价格等因素），请说明你的理由． 【答案】（1）见解析 （2）20 （3）10或40 （4）随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量都是先增大后减小 （5）小林爸爸买车时应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车；理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了画函数图象，表格表示变量之间的关系，解题的关键是理解题意，熟练掌握画函数图象的基本步骤． （1）先描点，再连线，即可得出与x的函数图象； （2）根据表格中的数据进行解答即可； （3）根据表格中的数据得出答案即可； （4）根据函数图象进行解答即可； （5）根据表格中数据进行解答即可． 【小问1详解】 解：如图： 【小问2详解】 解：在温度为时两款电池相对容量相同． 【小问3详解】 解：在或下锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等； 【小问4详解】 解：随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量都是先增大后减小； 【小问5详解】 解：小林爸爸买车时应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车；理由如下： 根据表格中的数据可知：在温度较低时，磷酸铁锂电池的相对容量比锰酸锂电池的相对容量要大，所以考虑到续航持久性，应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车． 26. 在平面直角坐标系中，已知二次函数过点和， （1）求出，，的值 （2）将二次函数的图象记为，一次函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，．当时，点与点的距离存在最大值且不超过，求的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，涉及二次函数解析式的求解、函数间的距离计算、分段讨论二次函数的最值以及不等式的求解，熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质以及分类讨论思想是解答本题的关键． （1）利用二次函数图象上点的坐标特征，将已知点的坐标代入函数表达式，通过待定系数法求解，，的值； （2）先表示出，两点的纵坐标，进而得到两点距离的表达式，将问题转化为求含绝对值的二次函数在指定区间上的最大值问题；再结合二次函数的对称轴、区间端点及顶点处的函数值，通过分段讨论确定最大值的约束条件，进而求解的取值范围． 【小问1详解】 解：函数过点， ， 函数过点，， ， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得， 设点，， 则，， 设点与点的距离为，则， 设，， ，则问题转化为：当时，存在最大值且最大值不超过， 的对称轴为， 时，时， 的最大值只能在或顶点处取得， 或， ①若，即时， 最大值， 解得：， 的取值范围为； ②若，即时， 最大值， 解得：， 的取值范围为； 综上所述，的取值范围为． 27. 在中，，，延长至点，使，将射线绕点逆时针旋转，与交于点． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）；见解析 【解析】 【分析】（1）根据图形旋转的性质及解直角三角形的知识，分别求出，，的长，即得答案； （2）过点作，且，连接交于点，先证明，得到，，进一步证明为等腰直角三角形，从而可逐步证明，，所以，，即可求得答案． 【小问1详解】 解：， ，， 在中，，， ， ， 在中，， ； 【小问2详解】 解：；证明如下： 如图，过点作，且，连接交于点， 在和中， ， ， ，， ， ， 即为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 由对顶角相等可知， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了图形旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质等知识，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 28. 对于平面直角坐标系中的点P和图形M，给出如下定义：将图形M绕P顺时针旋转得到图形N，当图形M与图形N有公共点时，我们称点P是图形M的“关联点”．已知，． （1）如图1，点P是线段的“关联点”，在点，，中，则满足条件的点是__________； （2）若直线上存在点P，使点P为线段的“关联点”，直接写出b的取值范围； （3）以为圆心，1为半径的，若线段上存在点P，使点P为的“关联点”，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接和，过点B作轴于点H，利用两点之间距离得到，，结合勾股定理的逆定理即可知点A饶点顺时针旋转得到点B；由点知设点A、点B饶点顺时针旋转得到点、点，则得到点和点，由点的纵坐标小于点B纵坐标，可知线段与线段无交点；由点的坐标得和，利用勾股定理的逆定理即可知点B饶点顺时针旋转得到点A； （2）设线段饶点P顺时针旋转得，过点P作轴，与过点作交于点H，过点A作交于点G，由定义知，，利用可证得，即设点，求得点的纵坐标为，同理，可得点的纵坐标为，由“关联点”得线段的A点和线段的重合，或者线段的B点和线段的重合，分情况求解即可； （3）假设饶点P顺时针旋转得，则为等腰直角三角形，进一步可知与由公共点，，即线段上存在点P使得，①当点P与点B重合时，点T可以取得最大值，此时过点P作轴，即可求得t的最大值；②当点T到线段的距离为时，求得直线的解析式为，利用，得，即可求得t的最小值． 【小问1详解】 解：连接和，过点B作轴于点H，如图， ∵，，， ∴， ∴ ∴ ∴点A饶点顺时针旋转得到点B， 则点是线段的“关联点”； ∵，，， ∴ 设点A、点B饶点顺时针旋转得到点、点，则 ∴点、点， ∵点的纵坐标小于点B纵坐标 ∴线段与线段无交点， 则点不是线段的“关联点”； ∵，，， ∴， ∴ ∴点B饶点顺时针旋转得到点A， 则点是线段的“关联点”； 故答案为：，； 【小问2详解】 设线段饶点P顺时针旋转得，过点P作轴，与过点作交于点H，过点A作交于点G，如图， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴ 由题意可设点， ∵，， ∴ ∴点的纵坐标为， 同理，可得点的纵坐标为， ∵点P为线段的“关联点”， ∴线段的A点和线段的重合，或者线段的B点和线段的重合， ①当线段的A点和线段的重合， ∵，点的纵坐标为， ∴，解得； ②当线段的B点和线段的重合， ∵，点的纵坐标为， ∴； 综上所述，； 【小问3详解】 假设饶点P顺时针旋转得，则为等腰直角三角形， ∵点P为的“关联点”， ∴与由公共点，如图， ∴， 即线段上存在点P使得， ①当点P与点B重合时，点T可以取得最大值，此时过点P作轴， ∵，，， ∴ 即t的最大值为4； ②当点T到线段的距离为时，如图， 则， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴直线的解析式为， 设点C为直线与x轴的交点，则点， ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查新定义下与圆相关的动态综合题，涉及旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、两点之间的距离、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定和性质、圆的性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解“关联点”，学会用动态的思维寻找特殊点解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学模拟练习 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 第届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举办，这是首届男女运动员比例完全平衡的奥运会，其中男女运动员各为名，请问共多少名参赛运动员用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 3. 有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一个八边形的每个外角都是，则x的值为（ ） A. 30 B. 45 C. 135 D. 150 5. 如图．AB、BC为⊙O的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若∠CBD＝62°，则∠AOC的度数为（ ） A. 130° B. 124° C. 114° D. 100° 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 7. 一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起．则其颜色搭配一致的概率是（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线相交于点D，双曲线经过点D，交的延长线于点E，且，有下列四个结论： ①双曲线的解析式为； ②点C的坐标是； ③； ④． 其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若有意义，则x的取值范围为_______． 10. 分解因式：__________． 11. 方程的解为___________. 12. 为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表： 视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 102 98 80 93 127 根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是_________． 13. 如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若，，则的度数是____________． 14. 用一组a，b的值说明命题“若非零实数，则”是错误的，这组值可以是_____， _____． 15. 如图，在正方形中，点E是的中点，连接交对角线于点F，连接．若，则的长为__________． 16. 甲、乙两位工人要生产A，B，C，D四个产品，每个产品的生产都需要制作和包装两道工序，先由甲工人进行制作，制作完成后再由乙工人进行包装．两位工人完成每个产品各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： 产品 A B C D 甲需要的时间 10 6 9 7 乙需要的时间 8 8 4 10 （1）若按照的顺序制作，两位工人合作完成这四个产品的总时长最少为________分钟； （2）若使完成A，B，C，D四个产品的总时间最短，则应按照________的顺序生产． 三、解答题（共68分，第17－19题每题5分，第20－21题每题6分，第22－23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知，求分式的值． 20. 如图，菱形的对角线相交于点，取中点，连接并延长，使得，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，过点作的垂线交于点，连接．求菱形的面积． 21. 列方程解应用题 小华一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路．走普通公路比高速公路的路程多60公里，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百公里耗电20度，在高速公路上行驶比普通公路上行驶平均每百公里耗电增加，该车选择的充电站充电综合电费均为元/度．最终发现走普通公路的电费比高速公路的电费少15元，求返回时所走高速公路的路程． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出m的取值范围． 23. 在人工智能时代，软件迅猛发展，某团队测评了A、B、C三款软件，本次测评由软件性能评分（满分100分）和软件使用体验评分（满分100分）两个部分构成．其中A、B、C三款软件的软件性能评分分别为85分，82分，90分．软件使用体验评分由10位专业测试员对软件分别打分，打分之和为该款软件使用体验评分，以下是A、B、C三款软件的软件使用体验评分的部分数据信息： A、B、C三款软件的软件使用体验打分情况统计表 软件名称 中位数 方差 软件使用体验评分 A 8.5 p a B 8.5 q 87 C m 2.01 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，a的值； （2）通过分析，可以发现专业测试员对________款软件的软件使用体验评分评价更一致（填写A、B或C）； （3）按照软件性能评分占，软件使用体验评分占来计算综合成绩，综合成绩较高的软件排序靠前，若综合成绩一致，则软件使用体验评分较高的软件排序靠前，则这三款软件中排序由前到后依次是_________． 24. 如图，为的直径，、为的弦，与交于点，的延长线于点，． （1）求证：为的切线： （2）若，，求的长． 25. 电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响，下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．以下是部分实验数据：x为温度（单位：），为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量．（电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量）． 0 10 20 30 40 50 （1）可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； （2）在温度为________________时两款电池相对容量相同． （3）在_________________下锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等； （4）随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量是如何变化的？ （5）由于冬季天气较冷，小林爸爸准备购买一台电动汽车送小林上学，考虑到续航持久性，你认为小林爸爸买车时应该选择配置上述两种电池的哪一种电池（不考虑价格等因素），请说明你的理由． 26. 在平面直角坐标系中，已知二次函数过点和， （1）求出，，的值 （2）将二次函数的图象记为，一次函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，．当时，点与点的距离存在最大值且不超过，求的取值范围． 27. 在中，，，延长至点，使，将射线绕点逆时针旋转，与交于点． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 28. 对于平面直角坐标系中的点P和图形M，给出如下定义：将图形M绕P顺时针旋转得到图形N，当图形M与图形N有公共点时，我们称点P是图形M的“关联点”．已知，． （1）如图1，点P是线段的“关联点”，在点，，中，则满足条件的点是__________； （2）若直线上存在点P，使点P为线段的“关联点”，直接写出b的取值范围； （3）以为圆心，1为半径的，若线段上存在点P，使点P为的“关联点”，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $