5.2 简单的轴对称图形小节复习题 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦轴对称图形核心知识，结合太空探索等科技情境，通过基础判断、动态几何、综合实践题，分层考查几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|等腰三角形性质、垂直平分线、角平分线|第6题引入“二分对称图形”创新概念，考查分类讨论能力| |填空题|5题|折叠问题、角平分线综合、动态几何|第13题多角度探究三角形高与角平分线关系，培养推理意识| |解答题|5题|全等证明、网格作图、最短路径应用|第18题以宇航员路径设计为情境，用对称转化解决最短路径，体现模型意识与应用能力|

5.2《简单的轴对称图形》小节复习题 一、单选题 1.如图,直线ABI CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,点G在射线FD上,且EG=EF, 若∠AEF=65 ,则∠FEG=() B A.35 B.50 C.65 D.70 2.下列说法:①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合;②等腰三角形的两腰上的中线 长相等;③等腰三角形的腰一定大于其腰上的高;④等腰三角形的一边长为8,一边长为16, 那么它的周长是32或40.其中不正确的() A.①③ B.①④ C.①③④ D.①②③④ 3.如图,在 ABC中,AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E两点,并且相交于点F,且 ∠BAC=110 ,则∠DAE的度数是() A.30 B.40 C.60 D.70 4.如图,在 ABC中,BC>AC>AB,点O到三边的距离相等.设BC=a,AC=b,AB=c, OA=x,OB=y,OC=z.记d,=x+c+a+z,d2=x+b+a+y,d3=y+c+b+z,则下列结论中正确的是() a A.d,最小 B.4最小 C.4最小 D.d=d2=d3 5.如图,LA0B=60 ,点P到OA的距离是2,到OB的距离是3,M,N分别是OA,OB上的 动点,则 PMN周长的最小值是() M N B A.219 B.313 C.9 D.5√5 6.已知A、B、C、D是平面内四个点,如果能用两种不同长度的线段将这四个点进行两两连接, 使得任意三点所连线段都能构成等腰三角形,我们就称这四个点及它们之间的连线构成“二分 对称图形”.例如:如图就是一种“二分对称图形”,其中 ABD, ACD、 BCD、 ABC均为 等腰三角形,且满足AB=AC=BC=a,AD=BD=CD=b,a≠b.则满足条件的“二分对称图形” 共有().(形状相同的图形算作同一种) 0 B A.5种 B.6种 C.7种 D.7种以上 7.如图,已知 ABC,以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程: B ①以点B为圆心,任意长为半径画弧,分别交BA,BC于点E,F; ②以点E为圆心,EF长为半径画弧,两弧交于点M: ③作射线BM,与CA延长线父于点P,点D为CP延长线上一点. 根据以上作法,下列结论不成立的是() A.∠PBC=2LABC B.AF=AM C.CM⊥BP D.S APB:SAAB=PB:CB 8.如图,在 ABC中,AB=AC,∠BAC=40 ,将 ABC绕点A逆时针方向旋转得 AEF,其中, E,F是点B,C旋转后的对应点,BE,CF相交于点D.当旋转到AF IBE时,∠CAE的大小是() A.90 B.75 C.60 D.45 9.对于任意 ABC(见示意图).若AD是 ABC的边BC上的中线,∠ADB、∠ADC的角平 分线分别交AB、AC于点E、F,连接EF,那么EF、BE、CF之间的数量关系正确的是() A.BE+CF=EF B.BE+CF≥EF C.BE+CF<EF D.BE+CF>EF 10.如图, ABC中,∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P,若AB:BC:AC=5:4:3,则 PAB、 PBC、 PAC的面积之比为() C B A.3:4:5 B.5:4:3 C.25:16:9 D.9:16:25 二、填空题 11.如图,Rt ABC中,∠ACB=90 ,角平分线CE,BD交于点F,若FD=FE,则LCDF= 度 F B 12.如图,在等边 ABC纸片中,将 BDE沿DE折叠,点B落在点F处,则 ∠AEF+∠CDF= B 13.如图,在 ABC中,BD、BE分别是高和角平分线,点F在CA的延长线上,FH⊥BE交BD 于C,交BC于H,下列结论:①∠BE=∠R:②2∠BEF=∠BMF+∠C: ∠F-∠BAC-∠B:④ ∠BGH=∠ABE+∠C.其中正确的是 G 14.如图, ABC中,点E在AB边上,连接CE,∠BEC的角平分线与∠BAC的角平分线交于 点F,连接CF,若AC=5,CE=3,S ACF=10,则S CF= 15.如图,O为坐标原点, AB0中的两个顶点为A6,0),,B(6,6),点D在边AB上,点C在边 OA上,且BD=AC=1,点P为边OB上的动点,则PC+PD的最小值为 y 1B D D 0 CA 三、解答题 16.已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、 F, (1)连接CD、BD,求证: CDF≌ BDE; (2)若AE=5,AC=3,求BE的长. C 17.图是两个8 6的正方形网格,网格中每个小正方形的边长均为1,点A、B、C在小正方 形的顶点上 B B 图1 图2 (1)请在图1中确定点D(点D在小正方形的顶点上),使四边形ABCD为轴对称图形, (2)请在图2中确定点E(点E在小正方形的顶点上),使以点A、B、C、E为顶点的四边形为 面积为10的轴对称图形. (3)请直接写出(1)中四边形ABCD的面积. 18.综合与实践 问题情境 如图1,在太空探索中,宇航员需要从空间站A出发,先到陨石带边缘收集样本,再到能源站 补充燃料,最后返回空间站B.为了提高效率,宇航员需要设计一条最短路径, 问题解决 数学建模:如图2,若只需在能源站补充燃料,可作B关于能源站直线1的对称点B,连接 AB',与直线I的交点即为最优燃料点C,此时路径AC+CB最短. 推理论证:如图3,在直线1上另取任意一点C,连接AC',BC',B'C',只要说明 AC+CB<AC'+C'B'即可. 证明::直线1是点B,B的对称轴,点C,C在1上,CB=一,CB=一, :AC+CB AC+CB'=. :在 AC'B′中,AB′<AC'+CB,∴<AC'+CB′,即AC+CB最小, 陨石带 A 图1 图2 图3 图4 (1)本问题实际上是利用转化的思想,把在直线同侧的A,B转化为在直线的两侧,从而利用“两 点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决.请补全上述推理论证; (2)请你根据以上材料内容,帮助宇航员在图1中画出最短路径; (3)如图4,在 ABC中,AB=AC,AD⊥BC,若点P在AD上移动,点Q在AC上移动,如何确 定PC+PQ的最小值? 19.已知,如图,把三角形MON顶点O放在直线AB上. (1)如图1,若∠MON=90 ,射线OC平分LAON,∠MOC=28 ,求LB0N的度数; (2)如图2,若OM、ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线,求∠MON的度数, (3)在(2)的条件下,若将三角形M0N绕点O旋转到如图3所示的位置,射线OC平分 LAON,试写出LBON和∠MOC之间的数量关系,并说明理由 B M —B A B M 图1 图2 图3 20.在 ABC中,LABC=45,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,并与CD相交于点 F. D E B (1)求证: ABED CBE; (2)求证:BD=CD; (3)求证: BDF≌ CDA; (4求证:CE=BF. 参考答案 一、单选题 1.B 解::ABCD,∠AEF=65 , ∠EFG=∠AEF=65 , EG=EF, ∠EGF=∠EFG=65 , ∠FEG=180 -∠EGF-∠EFG=50 2.C 解:,等腰三角形的顶角的平分线,底边上的高,底边上的中线,三线合一, ∴①错误; 如图1, B 图1 .AB=AC,AE=EB,AD=DC, .'DC=BE,ZDCB=ZEBC, 在 BDC和 CEB中, BC=CB ∠BCD=∠CBE, CD=BE ∴. BDC≌ CEB(SAS), ∴.BD=CE, ∴②正确; 如图2, B 图2 当 ABC为等腰直角三角形时,等腰三角形的腰等于其腰上的高, ∴.③错误; 等腰三角形的一边长为8,一边长为16, 只能三边是16,16,8, ∴.它的周长是40, ∴.④错误; 故选:C. 3.B 解:,在 ABC中,AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E两点, .DA=DB,EA=EC, .∠B=∠BAD,∠C=LEAC, .∠BAC=110 , .∠B+∠C=180 -∠BAC=70 , .∴.∠BAD+∠EAC=70o, .∴.∠DAE=∠BAC-∠BAD+∠EAC)=110 -70 =40 . 故选:B. 4.C 解::点O到三边的距离相等, 点O为 ABC三条角平分线的交点, ∠AC0=LBC0, 如图,在BC上截取CD=CA=b, :C0=C0, AC0≌ DCO(SAS, .A0=DO=x, 在 BD0中,B0-D0<BD, 即y-x-a+b<0, d3-d=y+c+b+z-(x+c+a+z)=y-x+b-a, d3-d1<0, 在BC上截取BE=AB=C, 同理可得 ABO≌ EBO(SAS), :A0=E0=x, 在 CE0中,C0-E0<CE, 即z-x-a+c<0, d;-d,=y+c+b+z-(x+b+a+y=c+z-x-a, d3-d2<0, 故d最小, 故选:C. C D a E 5.A 作P点分别关于OA、OB的对称点P、P",连接P'P",分别交OA、OB于M,N,则MP=MP' NP=NP",OP=OP'=OP",ZBOP=ZBOP",ZAOP=ZAOP"', ∴.PN+PM+MN=NP+MN+MP',∠P'OP"=2∠AOB=120 , ∴此时 PMW周长最小,为P'P", 延长PP,交OB与D, ,∠A0B=60 , ∴.∠P'Pp"=120 , .LEPD=60 , .∴.∠D=30 , PE=3, ∴.PD=2PE=6, ∴.CD=CP+PD=2+6=8, OC-CD=8 3 3 pp"=V50P=5x257=219, 即 PMN周长的最小值是2√19. 故选:A. 0 P 6.B 解:如图,加上题干中1种,共6种 第一个图:AD=BD=CD=BC,AB=AC, 第二个图:AB=BC=CD=DA,DB=AC, 第三个图:AD=BA=CD,DB=AC=BC, 第四个图:AB=BC=CD=DA=DB,AC 第五个图:AD=BD=CD=BC,AB=AC, 故选:B. 7.C 解:连接AM,AF,ME,FE,过点A作AQ⊥BP于点Q,AN⊥BC于点N, D B F入 由作图得,BM=BF,ME=FE, 又BE=BE, ∴. BEM≌aBEF(SSS), ∴.LPBA=LABC, .∠PBC=2LABC, 故选项A正确,不符合题意; BM=BF,∠ABM=∠ABF,BA=BA, ∴. ABM≌ ABF(SAS), .AM AF, 故选项B正确,不符合题意; 无法判断CM⊥BP, 故选项C符合题意; ∠PBA=∠ABC,AQ⊥BP,AN⊥BC, ..AO=AN 又5w8p-A0.S.-BC. 2 1BP.AC BP BC ANCB' 2 故选项D正确,不符合题意; 故选:C. 8.C 解:,将 ABC绕点A逆时针方向旋转得 AEF, ∴.∠EAF=∠BAC=40 ,AB=AE, ,AF∥BE, .∴.∠FAE=∠AEB=40 , .AB=AE, ∴.∠ABE=∠AEB=40 , ∴.∠BAE=180 -40 -40 =100 , .∴.∠CAE=100 -40 =60 , 故选:C 9.D 【分析】延长FD到G,使DG=FD,根据角平分线和平角定义证得∠EDF=90 ,即ED⊥FD,则 ED解:延长FD到G,使DG=FD, ,∠ADB、∠ADC的角平分线分别交AB、AC于点E、F, ∴.∠ADE=∠BDE=,∠ADB,∠ADF=∠CDF=,∠ADC, ,∠ADB+∠ADC=180 , ∴.∠EDF=∠ADE+∠ADF=,(∠ADB+∠ADC)=90 , .ED⊥FD,又DG=DF, ED垂直平分GF, ∴.EF=EG, ,AD是 ABC的边BC上的中线, ∴.BD=DC,又∠BDG=∠CDF,DGDF, . BDG≌ CDF(SAS), ..BG=CF, 在 BEG中,,BE+BG>EG, .'.BE+CF EF, 故选:D. 10.B 解:过P点作PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF LAC于F,如图, C A 设 PAB、 PBC、 PAC的面积分别为S、S2S, ,∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P, .PD=PP,PD=PE(角平分线的性质), .'PD=PE=PF, 设PD=PE=P =t 根据三角形的面积公式得, S=PDAB=克AB, S2=PEBC=专BC, S3=PF.AC=专 AC AB:BC:AC=5:4:3, PAB、 PBC、 PAC的面积之比为5:4:3. 二、填空题 11.75 解:过点F作FG⊥AB于点G,FH⊥AC于点H,FT⊥BC于点T,连接AF, C 中 D A GE B :CE平分∠ACB, 1 &FH=FT,∠BCE=∠ACB=45, .BD平分∠ABC, 1 .FG=FT,∠CBD= ∠ABC, :FH=FG, :∠FHD=∠FGE=90 ,FD=FE, . FHD2 FGE(HL), :∠FDH=LFEG, 设∠CBD=x,则∠ABC=2x,∠CDF=90 -x, 90 -x=2x+45 , 解得x=15 , .∠CDF=90 -x=75 . 故答案为:75. 12.120 解:: ABC是等边三角形, ∴ A=∠B=∠C=60 , 由折叠得F=∠B=60 , :∠F+∠FED+∠FDE=180 , ∴ ∠FED+∠FDE=180 -∠F=120 , 又∠A+∠AED+∠EDC+∠C=360 ,即∠A+∠AEF+∠FED+∠EDF+∠FDC+∠C=360 , ∴.60 +∠AEF+120 +∠CDF+60 =360 , ∴∠AEF+∠CDF=360 -60 -120 -60 =120 , 故答案为:120 . 13.①②③④ ①.BD⊥FD, .∴.∠FGDt∠F=90 , FH⊥BE, ∴.∠BGHt∠DBE=90 , .∠FGD=∠BGH, .∠DBE=∠F,故①正确: ②',BE平分∠ABC, ∠ABE=∠CBE, ∠BEF=∠CBE+∠C, .2∠BEF=∠ABC+2∠C, ∠BAF=∠ABC+∠C, ∴.2∠BEF=∠BAF+∠C,故②正确; ③∠ABD=90 -∠BAC, ∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90 +∠BAC=∠CBD-∠DBE-90 +∠BAC, ,∠CBD=90 -∠C, .∠DBE=∠BAC-∠C∠DBE, 由①得,∠DBE=∠F, ∴.∠F=∠BAC-∠C∠DBE, ∴∠F=?(∠BAC-∠C),故③正确: ④.∠AEB=∠EBC+∠C, ,∠ABE=∠CBE, ∴.∠AEB=∠ABE+∠C, BD⊥FC,FH⊥BE, .∠FGD=∠FEB, ∴.∠BGH=∠ABE+∠C,故④正确. 故答案是:①②③④. 14.6 解:如图,过点F分别作AB,AC,EC的垂线,交AB延长线于点G,交AC延长线于点M,交EC于 点N. ,'∠BEC的角平分线与∠BAC的角平分线交于点F, FN=FG,FM=FG, FN=FM, AC=5,CE=3,SAACF=10, S ACR=吉AC FM=专X5XFM=10 FM=4, :FN=FM=4, S cF=CE.FN=专X3X4=6: 15.6 .A6,0),B(6,6, .0A=AB=6,AB1x轴, .∠B=∠C0B=45 ,∠0AB=90 , .∠B=450 如图,过点D作DE⊥AB交y轴于点E,交BO于点P,连接PC, y个 B D 则LPDA=LPBD=90 , ∠B=45 , ∴.PD=BD=1, .BD AC=1, ∴.PD=AC=1, DE⊥AB,AB⊥x轴, ∴.PD∥AC, ∴四边形ACPD是平行四边形, ∴四边形ACPD是矩形, 同理可得四边形OCPE是矩形, .∠C0P=45 , ∴PC=0C, .四边形OCPE是正方形, ∴.点E是点C关于OB对称的对称点,PC+PD的值最小, .DP=BD =1, ∴.PC=AD=5, ∴.PC+PD=6, 此时PC+PD的值最小,为6, 故答案为:6. 三、解答题 16.证明:(1)如图,连接CD、BD, ,AD平分∠BAE,DE⊥AB,DF⊥AC, .'.DE=DF, 又,DG垂直平分BC, .'.CD=BD 在Rt CDF和Rt BDE中 :8P=8股, ∴.Rt CDF≌Rt BDE(HL), (2)在Rt ADF和Rt ADE中 :8P=般, ∴.Rt ADF≌Rt ADE(HL), .'.AE=AF, '.Rt CDF≌Rt BDE, .'.BE=CF, ,CF=AF-AC=5-3=2, BE=2. 17.(1)解:如图所示,取点D,使得AD川BC,AB=CD=V1+32=√10, 构成一个等腰梯形,是一个轴对称图形, 图1 则点D即为所求, (2)解:如图所示,取点E,使得AB=CE=V?+22=√5, AC=BE=V42+22=2V5,构成一个平行四边形ABEC,根据AB2+AC2=25=52=BC2,判定四边 形ABEC是矩形,是一个轴对称图形, 矩形的面积为AC,AB=2√5xV5=10,符合题意, 图2 则点E即为所求. (3)解:振据题意,得3+5列x3=12. 18.(1)证明:直线1是点B,B的对称轴,点C,C在1上, :CB=CB',C'B'=C'B, ,AC+CB=AC+CB'=AB′. :在 ACB'中,AB′<AC'+CB′, .AC+CB<AC+CB',即AC+CB最小. 故答案为:CB,CB,AB',AC+CB; (2)解:如图,ACCD-BD即为最短路径; 陨石带 AC D B A B (3)解:过点B作AC的垂线,垂足为点Q,交AD于点P,此时PC+PQ的最小值为BQ的长. B 19.解:(1)如图1,.∠M0C28 ,∠M0N90 , ∴.∠N0C-90 -28 =62 , 又.OC平分∠AON, ∴.∠A0C∠N0C-62 , .∠B0N180 -2∠N0C-180 -62 2=56 ; (2),OM、ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线, .∴.∠AOM=∠COM,∠CO∠BON, .∠A0B=180 , ∴∠M0N∠COM∠CO;(∠A0C+∠B0C)=90 ; (3)∠B0N2∠MOC, 如图3,,OC平分∠AON, .∠AOC∠NOC, .∠M0N-90 , ∴.∠A0C-∠NOC-90 -∠M0C, ∴.∠B0N180 -2∠N0C-180 -2(90 -∠M0C)=2∠M0C, 即:∠BON2∠MOC. 20.(1)证明::BE平分∠ABC, ∠ABE=LCBE, :BE⊥AC, LAEB=LCEB=90 , 在 ABE与 CBE中, [∠ABE=∠CBE BE=BE ∠AEB=∠CEB=90 ∴ ABE≌ CBE(ASA); (2)证明::CD1AB, ∠BDC=90 , ∠DCB+LABC=90 , :∠ABC=45 , ,∠DCB+45 =90 , ∠DCB=45 , .∠DCB=LABC=45 , ∠DCB=∠DBC, :BD=CD (3)证明::CD1AB, .∠A+∠ACD=90 ,∠BDF=90 , :BE⊥AC, ∠A+LABE=90 ,∠CDA=90 , .∠ABE=∠ACD,∠BDF=∠CDA=90 , ∠FBD=LACD, 在 BDF与aCDA中, [∠FBD=∠ACD BD=CD ∠BDF=∠CDA=90 BDF≌CDA(ASA; (4)证明:: ABE≌aCBE, :BC=BA, 又BE⊥AC于E, :.CE-AE-ICA, 2 BDF≌ CDA, :BF=CA, :.CE=IBF. 2