微专题02 折叠问题（专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 微专题02折叠问题 题型01折叠中的角度计算问题 折叠问题 题型02折叠中的线段与周长计算问题 题型03折叠中的综合推理与证明问题 00 德点至破 题型01折叠中的角度计算问题 啸方法 考向分析：此类题型通常以长方形纸条或三角形纸片为载体，通过一次或多次折叠，求某一未知角的度数。 核心得分点在于熟练运用“折叠前后对应角相等”及“平行线、三角形的内角/外角性质”。 解题方法： 1. 锁定对应角：沿折痕折叠，原图与折叠后的图形全等。首先找出重合的顶点和边，明确哪两个角是对 应角（即折叠后重合的角）。 2. 转移角度：利用“对应角相等”将未知角转化为己知角。若题目中给出平行线，需结合“两直线平行， 同位角/内错角相等”进行角度传递。 3. 方程思想：在一个三角形中，利用“内角和等于180°”或“外角等于不相邻两内角之和”列出一元 次方程求解。 答题模板： 1. 找：观察折痕，确定折叠前后的对应角。 2.推：结合题意，推导出已知角与未知角之间的数量关系（如通过平行线转移角度）。 3.算：根据三角形内角和或平角为180°建立等式，求出目标角度。 1.(25-26七年级下山东青岛期中)图1是一张足够长的纸条，其中AD∥BC,点E,F分别在AD, BC上，∠EFC=m(0<m<90).如图2，将纸条折叠，使CF与EF重合，得折痕FG,.如图3，将纸 条展开后再折叠，使CF与FG,重合，得折痕FG,将纸条展开后继续折叠，使CF与FG,重合，得折痕 FG3..依次类推，第n次折叠后，∠EGnD的度数为 °.（用含m和的代数式表示） 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E E D B F B B F 图1 图2 图3 2.(25-26七年级下·河北衡水·期中)如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C,D分别落在点C,D'处， EC'与AD交于点G,再将其沿EG折叠，点A,B分别落在点A,B处，若折叠后A'G⊥AG,则LGFE的 度数为· G A D B 3.(25-26七年级下·江苏南京·期中)将一张正方形纸片ABCD折叠，点M、N分别在BC、DC上，沿着 AM和AN折叠，其中AM和AN是折痕，点B和点D折叠后的对应点分别是点B和点D,设锐角 ∠B'AD'=a°，则LMAN=·(用含的代数式表示) 4.(23-24七年级下，宁夏银川期末)小明同学喜欢玩折纸游戏，他在学习完角的知识后，他发现折纸的过 程中蕴含着丰富的数学知识，于是他找到若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，首先他在长 方形纸片ABCD的边AD上找到一点E,然后沿着CE进行第一次折叠（如图1），使得D点落在F处. 图1 图2 图3 图4 图5 (I)此时（如图1)小明经过测量得到∠DEC=38°，请你帮他计算∠AEF= (2)第一次折叠后，小明继续对纸片进行折叠，他将纸片沿着BE进行第二次折叠（如图2)，使得A点落 在G处，小明发现∠BEG的大小会随着E点的位置改变而发生改变： ①若点A经过折叠后刚好落在线段EF上（如图3），求出此时∠BEC的大小；（请写出推理过程） ②小明将E改变到如图4的位置的时候，经过测量∠GEF=10°，请你计算出此时∠BEC的大小.（请写 出推理过程) (3)小明继续研究折纸游戏，他又发现有意思的折纸过程：他将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠后（如 / 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图5)，点D落在点F处，AF和BC交于点M,再将△CFM沿CM折叠后，点F落在点H处，此时 CH将∠ACB分成的两个角满足：∠ACH:∠BCH=1:3,请你直接写出∠ACB的度数. 5.(25-26七年级上·广东深圳期末)【综合探究】探究小组通过动手折叠一张长方形纸片来研究角度问题. D 图1 图2 图3 备用图 (I)【操作探究】如图1，将长方形纸片ABCD的一角折叠，使顶点A落在点A处，点E,F是AB,AD边 上的点，EF为折痕，此时测量∠AEF=70°，则∠A'EF= (2)【深入探究】如图2，按(1)的折叠方式，将长方形纸片ABCD的一角沿EF为折痕折叠，使得EA恰 好平分∠FEB,求∠FEB的度数； (3)【拓展提升】如图3，在长方形纸片ABCD中，连接AC,在AC上取一点P,沿经过点P的折痕PM 折叠，使得点A落在直线BC上的点A处，沿经过点P的折痕PN折叠，使得点C落在线段AB上的点C 处，展开后，连接PA,PC',∠PC=n(0<n<180),请直接用含n的代数式写出两条折痕所夹的 ∠MPN的度数.(0<∠MPN<180 6.(25-26七年级下江苏苏州期中)综合实践 折纸中的数学 问题背景 折垂直平分线 折角平分线 折纸与数学有着密切 的联系，我们可以将几 M 何学原理运用到折纸 中，也可以利用折纸研 究几何学. B C(B) B 问题解决 提出问题 折平行线的方法步骤 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 N M E D D4节 B N ● B' 图1 图2 图3 如图，能折出过P点 说明：第一次过点P折叠使点B落在BC边上的点B',折痕 且与边BC平行的折 为MN,第二次过点P折叠使点N落在射线NM上的点N', 痕DE吗？ 展开压平得到折痕DE,则DE∥BC. D ID' 图4 图5 (1)结合图1至图3的操作，说明：DE‖BC; 迁移探究：再次折叠得到△AD'E', (2)如图4，将ADE沿过点A的某直线AF折叠得到△AD'E',AF与边BC交于F. ①若将ADE沿过点A的某直线AF折叠后AD的对应边所在直线垂直于BC,如图5，请你在图5中用 直尺和圆规作出直线AF(保留作图痕迹，不写作法)： ②若∠BAC=90°，∠B=50°，DE‖BC,直接写出当AAD'E的某一边与BC平行时∠BAF的大小. 题型02折叠中的线段与周长计算问题 啸方法 考向分析：此类题型多给出特定图形（如长方形、等腰三角形），将其一部分沿某直线翻折，求某一线段的 长度或阴影部分的周长。核心得分点在于利用“全等图形对应边相等”进行线段转移，从而化繁为简。 解题方法： 1.标记等长线段：折叠后，对应线段长度相等。在图上直接标出相等的线段。 2. 等量代换：观察所求线段或周长能否通过“截长补短”或“整体代换”转化为已知线段的和差。例如， 求不规则阴影周长时，通常将其各边分别转移至图形的边缘，发现其周长恰好等于原图形某条固定边 的长度之和。 3. 设元法建方程：若遇到局部折叠（如长方形的角折叠后落在内部），可设较短的未知线段为x,用x表 示出其他相关线段，再根据折叠后某条边的总长度不变列出一元一次方程并求解。 答题模板： 1.标：根据折叠性质，在图上标出所有相等的线段 2.转：将待求的线段（或周长）通过等量代换，转移到已知长度的线段上。 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.列：找不到直接关系时，设未知数，根据“折叠前后某条总长度不变”列方程求解。 1.(25-26七年级上·山东淄博·期末)己知一张三角形纸片ABC(如图①)，其中AB=AC=5,BC=3。将 纸片沿DE折叠，使点A与点B重合（如图②）时，CE=m;再将纸片沿EF折叠，使得点C恰好与BE 边上的点G重合（如图③），则△BFG的周长为() A D C B C B --- 图① 图② 图③ A.3+m B.8-m C.5 D.8-2m 2.(24-25七年级上·山东威海·期中)如图，已知三角形纸片ABC中，AH⊥BC于H,将纸片沿AH折叠， 点B落到BC上的点D处，再沿过点D的直线DE折叠，如果点C恰好落在点A处.那么以下结论中： ①AB=CD;②AB+BH=CH;③∠ADH=∠ADE;④若△ABD的周长是28，∠ABC的周长是44， 则AC=16,正确的有（填序号）. B H 3.(24-25七年级下·全国·单元测试)如图，把长方形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在边DC上的点 F处.若三角形AFD的周长为12，三角形ECF的周长为4，则长方形纸片ABCD的周长为， D 4.(24-25七年级下山东青岛月考)如图，将长方形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点 F处.若△AFD的周长为24cm,△ECF的周长为8cm,则长方形纸片ABCD的周长是cm. 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 5.(25-26七年级上·福建厦门期末)已知点M,N在线段AB上，M在N的左侧.将线段AM,BN分别 沿点M,N折叠，使A,B的对应点C,D仍落在线段AB上.若AB=I0,CD=2,则MN=。 6.(23-24九年级下·重庆开学考试)如图，长方形纸片ABCD,AB=5,BC=3,点E在边AD上，将 △ABE沿BE折叠，点A恰巧落在边CD上的点F处；点G在CD上，将aBCG沿BG折叠，点C恰好落 在线段BF上的点H处，那么HF的长度是 题型03折叠中的综合推理与证明问题 城方法 考向分析：此类题型通常以等腰三角形或一般三角形为背景，将某个角或某条边沿特定直线折叠，与图形 的其他部分产生交点，要求证明线段相等、等腰三角形，或计算比值。这是拉开分差的压轴题型，综合性 极强。 解题方法： 1.逆向推导：从题目要求出发（比如要证明两条线段相等），倒推需要的条件（比如证明两个三角形全等， 或证明等角对等腰)。 2. 顺向分析（抓不变量）： (1)边不变：折叠部分的邻边在折叠前后长度绝对不变。 (②)角不变：折叠产生的角常与底角、顶角的角平分线产生联系。 3. 构造辅助线（进阶）：若直接证明困难，可考虑连接对称点，利用“两点之间线段最短”求最小值；或 延长线段构造全等三角形（如常见的“手拉手”模型雏形）。 答题模板： 1.审：明确折叠的起始位置和终止位置，画出折叠后的清晰示意图（可在草稿纸上重画）。 2.抓：抓住折叠产生的“隐含条件”（一对全等三角形、一组等角、一组等边）。 3. 证：利用获得的隐含条件，结合等腰三角形的判定定理或全等三角形的判定定理(SAS/ASA/AAS/SSS) 完成逻辑推演。 1.(25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末)如图，小明同学将三角形纸片ABC按如下方式折叠：沿过点A 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的直线折叠该纸片，使点C的对应点C落在AB边上，折痕与BC边交于点D,展开后连接C'D;再沿 过点D的直线折叠该纸片，使点C的对应点C"落在AC边上，折痕交AC边于点E,若AB-AC=2, DE=3,则△BC'D的面积为 B D 2.(24-25八年级上江苏无锡期中)数学活动课上，同学们开展了以“折纸与证明”为主题的探究活动. B 图(1) M D 图(2) (I)间题：在ABC中，AB>AC,怎么证明∠C>∠B? 小华把AC沿∠A的平分线AD翻折，使点C落在AB上的点C处，如图(1)得到证明思路.请根据这 个思路，结合图(1)写出证明过程 (2)如图(2)，小华将矩形纸片ABCD对折使AB与DC重合，展平后得到折痕PQ,再次沿过点A的直线 折叠，使点D落在折痕PQ上的点N处，展平后得到折痕AM,连接AN、DN,得到△AND.请判断 △AND的形状，并说明你的理由 3.(25-26七年级下·福建福州·期中)【知识初探】 王芳同学在探究“过直线外一点画己知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的 直线， 基☐ 图2 备用图 备用图 (I)如图1，在纸上折出一条折痕BC,在BC外取一点P.过点P折叠纸片，使得点C的对应点C落在 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BC上（如图2），记折痕DE与BC的交点为A,将纸片展开铺平.则折痕DE与BC的位置关系是 (2)【深入探究】 接着，过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点E落在直线DP上（如图3），再将纸片展开铺平（如 图4).此时王芳说，PF就是BC的平行线.王芳的说法正确吗？请予以证明. (3)【拓展延伸】 王伟同学改变折痕BC和点P的位置，按照王芳同学的方法折叠得到FK∥BC后（点B,C,K,F分别 在线段MN,NQ,OR,RM上)，再画出∠PFM和∠ABM的角平分线FH、BI,FH、BI所在的直 线交于点G,请求出∠FGB的度数. 4.(24-25九年级上·广东深圳期中)【综合与实践】在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一 张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点. 【操作探究】 “乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作： 第1步：如图1所示，先将正方形纸片ABCD对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF; 第2步：将BC边沿CE翻折到GC的位置： 第3步：延长EG交AD于点H,则点H为AD边的三等分点. 证明过程如下：连接CH, :正方形ABCD沿CE折叠， :∠D=∠B=∠CGH=90°，①， 又：CH=CH, △CGH≌△CDH, .GH DH 由题意可知E是AB的中点，设AB=6(个单位)，DH=x,则AE=BE=EG=3, 在Rt△AEH中，可列方程：②，（方程不要求化简) 解得：DH=③_，即H是AD边的三等分点. “破浪”小组是这样操作的： 第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF; 第2步：再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，再展开铺平，折痕为AC,沿DE翻折得折痕DE交 AC于点G: 第3步：过点G折叠正方形纸片ABCD,使折痕MN∥AD. 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【过程思考】 (1)“乘风”小组的证明过程中，三个空的所填的内容分别是①： ,②： ,③： (2)结合“破浪”小组操作过程，判断点M是否为AB边的三等分点，并证明你的结论； 【拓展提升】 (3)如图3，在菱形ABCD中，AB=5,BD=6,E是BD上的一个三等分点且DE<BE,连接AE, 作点D关于AE的对称点为D,连接ED'并延长与菱形ABCD的边交于点F,请依照上述描述在图3中 将图补全，并直接写出D'F的长 H G B R 图1 图2 图3 备用图 5.(24-25九年级上·河南南阳·月考)问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1，已知AD是 ABC的角平分线，可证4B-BD AC CD D 图1 图2 ()尝试证明：用平行线分线段成比例的思路，利用图1证明4=BD AC CD (2)应用拓展：如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是边BC上一点.连接AD,将△ACD沿AD所 在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处.AC=1,AB=2,求DE的长； 6.(24-25七年级下·江苏扬州月考)数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可 以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式.如图，口是将正 方形纸片ABCD折叠后得到的一条折痕，其中点P,Q分别在边AD,CD上. 图① 图② 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)折叠正方形纸片ABCD,使得PA,CQ依次落在直线P9上.请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中 分别作出折痕PE,QF(不写作法，保留作图痕迹)，其中点E,F分别在边BC,AB上. (2)设PE,QF的交点为0，请求出LP0Q的度数. (3)折叠正方形纸片ABCD,使得BC落在直线P口上.请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕 MN(不写作法，保留作图痕迹)，其中点M,N分别在边AB,CD上. 微专题02 折叠问题 题型01 折叠中的角度计算问题 考向分析：此类题型通常以长方形纸条或三角形纸片为载体，通过一次或多次折叠，求某一未知角的度数。核心得分点在于熟练运用“折叠前后对应角相等”及“平行线、三角形的内角/外角性质”。 解题方法： 1. 锁定对应角：沿折痕折叠，原图与折叠后的图形全等。首先找出重合的顶点和边，明确哪两个角是对应角（即折叠后重合的角）。 2. 转移角度：利用“对应角相等”将未知角转化为已知角。若题目中给出平行线，需结合“两直线平行，同位角/内错角相等”进行角度传递。 3. 方程思想：在一个三角形中，利用“内角和等于180°”或“外角等于不相邻两内角之和”列出一元一次方程求解。 答题模板： 1. 找：观察折痕，确定折叠前后的对应角。 2. 推：结合题意，推导出已知角与未知角之间的数量关系（如通过平行线转移角度）。 3. 算：根据三角形内角和或平角为180°建立等式，求出目标角度。 1．（25-26七年级下·山东青岛·期中）图1是一张足够长的纸条，其中，点，分别在，上，．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕．如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕．将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕…依次类推，第次折叠后，的度数为__________．（用含和的代数式表示） 【答案】 【分析】由折叠的性质折叠n次可得，然后根据四边形内角和及补角性质可得答案． 【详解】解：如图， 由折叠可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， .....， ∴； 故答案为：． 2．（25-26七年级下·河北衡水·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，点分别落在点处，与交于点G，再将其沿折叠，点分别落在点处，若折叠后，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据折叠的性质和垂直的定义求出，再根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， 由题可知， ∴， ， ． 3．（25-26七年级下·江苏南京·期中）将一张正方形纸片折叠，点分别在上，沿着和折叠，其中和是折痕，点和点折叠后的对应点分别是点和点，设锐角，则______．（用含的代数式表示） 【答案】或 【分析】利用折叠的性质得到对应角相等，结合正方形内角为的性质，通过角度和差关系推导的表达式． 【详解】解：如图，当与不重叠时， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， 设，， 根据题意，由角度和差关系得：， 整理得：， 又∵， 代入得：； 如图，当与重叠时， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， 设，， 根据题意，由角度和差关系得：， 整理得：， 又∵， 代入得：； ∴或． 4．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）小明同学喜欢玩折纸游戏，他在学习完角的知识后，他发现折纸的过程中蕴含着丰富的数学知识，于是他找到若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，首先他在长方形纸片的边上找到一点E，然后沿着进行第一次折叠（如图1），使得D点落在F处． (1)此时（如图1）小明经过测量得到，请你帮他计算_________． (2)第一次折叠后，小明继续对纸片进行折叠，他将纸片沿着BE进行第二次折叠（如图2），使得A点落在G处，小明发现的大小会随着E点的位置改变而发生改变： ①若点A经过折叠后刚好落在线段上（如图3），求出此时的大小；（请写出推理过程） ②小明将E改变到如图4的位置的时候，经过测量，请你计算出此时的大小．（请写出推理过程） (3)小明继续研究折纸游戏，他又发现有意思的折纸过程：他将长方形纸片沿对角线折叠后（如图5），点D落在点F处，和交于点M，再将沿折叠后，点F落在点H处，此时将分成的两个角满足：，请你直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题考查折叠问题，解题关键是掌握折叠前后对应角相等． （1）由折叠前后对应角相等得，进而即可求解； （2）①由折叠前后对应角相等得，，进而即可求解；②； （3）由折叠得，，，设，则，，进而可得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：由折叠得，， ， 故答案为：； （2）解：①由折叠得，，， ， ， 即； ②， ， ， ； （3）解：由折叠得，，， ， 设，则，， ， ， ， ， ． 5．（25-26七年级上·广东深圳·期末）【综合探究】探究小组通过动手折叠一张长方形纸片来研究角度问题． (1)【操作探究】如图1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在点处，点是边上的点，为折痕，此时测量，则_____： (2)【深入探究】如图2，按（1）的折叠方式，将长方形纸片的一角沿EF为折痕折叠，使得恰好平分，求的度数； (3)【拓展提升】如图3，在长方形纸片中，连接，在上取一点，沿经过点的折痕折叠，使得点落在直线上的点处，沿经过点的折痕折叠，使得点落在线段上的点处，展开后，连接，请直接用含的代数式写出两条折痕所夹的的度数． 【答案】(1)70 (2) (3)或 【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的性质，角的和差关系推导，熟练掌握相关知识，分类讨论，数形结合借助方程解决问题是解题的关键； （1）根据折叠的性质即可解答； （2）设，使得恰好平分，，，根据折叠的性质列方程求解即可； （3）分是否在或内部两种情况讨论，设，，则 ，，根据和差关系得，或，分别求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质得； （2）解：设， ∵使得恰好平分， ∴，， 由折叠的性质得， ， 解得， ∴； （3）解：设，，则，， 如图3，当 在或 内部时； ∵， ∴， 由于、、共线，， ∴ ∴， ∴； 如图4，当 不在或 内部时； ∵， ∴， 由于、、共线，， ∴ ∴， ∴， ∴或． 6．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）综合实践 折纸中的数学 问题背景 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学． 折垂直平分线 折角平分线       提出问题   如图，能折出过点且与边平行的折痕吗？ 问题解决 折平行线的方法步骤   说明：第一次过点折叠使点落在边上的点，折痕为，第二次过点折叠使点落在射线上的点，展开压平得到折痕，则．    (1)结合图至图的操作，说明：； 迁移探究：再次折叠得到， (2)如图，将沿过点的某直线折叠得到，与边交于． ①若将沿过点的某直线折叠后的对应边所在直线垂直于，如图，请你在图中用直尺和圆规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，，直接写出当的某一边与平行时的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)①图见解析；②的度数为或或 【分析】（）由第一次折叠得，第二次折叠得，根据平行线的判定证明即可； （）①作的角平分线即可；以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点、，分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，射线即为所求； ②分三种情况，结合折叠性质与平行线性质，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠性质： 第一次折叠后，， ∴； 第二次折叠后，， ∴； ∴， ∴； （2）解：①如图： ②由题意得，当时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，且， ∴ ； 当时， 同理可得，， ∵， ∴， ∵平分，且， ∴； 由题意得，当时，如图： 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或或． 题型02 折叠中的线段与周长计算问题 考向分析：此类题型多给出特定图形（如长方形、等腰三角形），将其一部分沿某直线翻折，求某一线段的长度或阴影部分的周长。核心得分点在于利用“全等图形对应边相等”进行线段转移，从而化繁为简。 解题方法： 1. 标记等长线段：折叠后，对应线段长度相等。在图上直接标出相等的线段。 2. 等量代换：观察所求线段或周长能否通过“截长补短”或“整体代换”转化为已知线段的和差。例如，求不规则阴影周长时，通常将其各边分别转移至图形的边缘，发现其周长恰好等于原图形某条固定边的长度之和。 3. 设元法建方程：若遇到局部折叠（如长方形的角折叠后落在内部），可设较短的未知线段为x，用x表示出其他相关线段，再根据折叠后某条边的总长度不变列出一元一次方程并求解。 答题模板： 1. 标：根据折叠性质，在图上标出所有相等的线段。 2. 转：将待求的线段（或周长）通过等量代换，转移到已知长度的线段上。 3. 列：找不到直接关系时，设未知数，根据“折叠前后某条总长度不变”列方程求解。 1．（25-26七年级上·山东淄博·期末）已知一张三角形纸片（如图①），其中，。将纸片沿折叠，使点与点重合（如图②）时，；再将纸片沿折叠，使得点恰好与边上的点重合（如图③），则的周长为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式，折叠的性质，灵活掌握折叠的性质是解本题的关键．根据折叠的性质，列代数式即可得出答案． 【详解】解：，， ． 将纸片沿折叠，使点与点重合， ． 将纸片沿折叠，使得点恰好与边上的点重合， ，， ， 的周长为． 故选：D． 2．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，已知三角形纸片中，于H，将纸片沿折叠，点B落到上的点D处，再沿过点D的直线折叠，如果点C恰好落在点A处．那么以下结论中：①；②；③；④若的周长是28，的周长是44，则，正确的有______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了折叠的性质，由折叠的性质可得，，据此可判断①②，根据三角形周长计算公式可求出的长，进而可得的长，据此可判断④，根据现有条件无法证明，则可判断③． 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵的周长是28，的周长是44， ∴， ∴，即， ∴，故④正确； 根据现有条件无法证明，故③错误； 故答案为：①②④． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，把长方形纸片沿向上折叠，使点B落在边上的点F处．若三角形的周长为，三角形的周长为4，则长方形纸片的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 利用轴对称的性质，可知，已知三角形的周长为，三角形的周长为4，则长方形纸片的周长可求． 【详解】解：∵把长方形纸片沿向上折叠，使点B落在边上的点F处， ∴， ∵三角形的周长为，三角形的周长为4， ∴， ∴， 则长方形纸片的周长为． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·山东青岛·月考）如图，将长方形纸片沿向上折叠，使点B落在边上的点F处．若的周长为，的周长为，则长方形纸片的周长是______cm． 【答案】32 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据图形折叠的性质可知，，再由的周长，的周长，然后等量代换和即可得出结论． 【详解】解：∵由折叠而成， ∴， ∴，， ∵的周长为，的周长为， ∴，， ∴矩形的周长 ． 故答案为：32． 5．（25-26七年级上·福建厦门·期末）已知点，在线段上，在的左侧．将线段，分别沿点，折叠，使，的对应点，仍落在线段上．若，，则______． 【答案】或 【分析】本题考查折叠的性质及线段的和差计算，正确画出图形是解题关键．根据折叠的性质可知，，结合线段与的长度，分点在点左侧和点在点右侧两种情况，利用线段和差关系计算的长度即可． 【详解】解：由折叠的性质可得，，，设，， ∴，， 如图，当点在点的左侧时， ∵，，， ∴， 化简得：， ∵， ∴； 如图，当点在点的右侧时， ∵，，，，， ∴， 化简得：， ∵， ∴； 综上所述：的值为或． 6．（23-24九年级下·重庆·开学考试）如图，长方形纸片，点E在边上，将沿折叠，点A恰巧落在边上的点F处；点G在上，将沿折叠，点C恰好落在线段上的点H处，那么的长度是_____． 【答案】2 【分析】此题重点考查轴对称的性质、线段的和差计算等知识与方法，正确地找到沿折叠后的对应线段及沿折叠后的对应线段是解题的关键． 由折叠得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：由折叠得， ， ∴的长度是2， 故答案为：2． 题型03 折叠中的综合推理与证明问题 考向分析：此类题型通常以等腰三角形或一般三角形为背景，将某个角或某条边沿特定直线折叠，与图形的其他部分产生交点，要求证明线段相等、等腰三角形，或计算比值。这是拉开分差的压轴题型，综合性极强。 解题方法： 1. 逆向推导：从题目要求出发（比如要证明两条线段相等），倒推需要的条件（比如证明两个三角形全等，或证明等角对等腰）。 2. 顺向分析（抓不变量）：​ (1) 边不变：折叠部分的邻边在折叠前后长度绝对不变。 (2) 角不变：折叠产生的角常与底角、顶角的角平分线产生联系。 3. 构造辅助线（进阶）：若直接证明困难，可考虑连接对称点，利用“两点之间线段最短”求最小值；或延长线段构造全等三角形（如常见的“手拉手”模型雏形）。 答题模板： 1. 审：明确折叠的起始位置和终止位置，画出折叠后的清晰示意图（可在草稿纸上重画）。 2. 抓：抓住折叠产生的“隐含条件”（一对全等三角形、一组等角、一组等边）。 3. 证：利用获得的隐含条件，结合等腰三角形的判定定理或全等三角形的判定定理（SAS/ASA/AAS/SSS）完成逻辑推演。 1．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，小明同学将三角形纸片按如下方式折叠：沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕与边交于点，展开后连接；再沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕交边于点．若，，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的性质及三角形面积公式，熟练掌握折叠的性质与角平分线的性质是解题的关键． 先根据折叠性质证明，再通过角平分线的性质得出，结合，利用三角形面积公式计算的面积． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕交边于点． ． ∵沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕与边交于点， ，即平分． ，， ． ，由折叠知 ． ． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）数学活动课上，同学们开展了以“折纸与证明”为主题的探究活动． (1)问题：在中，，怎么证明？ 小华把沿的平分线翻折，使点C落在上的点处，如图（1）得到证明思路．请根据这个思路，结合图（1）写出证明过程． (2)如图（2），小华将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，再次沿过点A的直线折叠，使点D落在折痕上的点N处，展平后得到折痕，连接、，得到．请判断的形状，并说明你的理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等边三角形，理由见解析. 【分析】本题考查三角形的折叠问题，矩形的折叠，等边三角形的判定： （1）根据翻折的性质得：，根据，得出，进而可得出答案； （2）根据矩形的折叠得出垂直平分，再得出，根据折叠得出，推出，进而可得出结论． 【详解】（1）证明： 由翻折的性质得：， ∵， ∴， ∴； （2）是等边三角形， 理由：∵矩形纸片对折后再展开，折痕为， ∴垂直平分， ∴， ∵将点D翻折到上的点N处， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 3．（25-26七年级下·福建福州·期中）【知识初探】 王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． (1)如图1，在纸上折出一条折痕，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平．则折痕与的位置关系是______． (2)【深入探究】 接着，过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王芳说，就是的平行线．王芳的说法正确吗？请予以证明． (3)【拓展延伸】 王伟同学改变折痕和点P的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点B，C，K，F分别在线段，，，上），再画出和的角平分线、，、所在的直线交于点G，请求出的度数． 【答案】(1) (2)王芳的说法正确，证明见解析 (3)或 【分析】（1）由折叠推出，进而得到，即可得出结论； （2）同（1）可得，，然后结合即可得到； （3）作，得到，推出，求出，然后分交点在的上方和下方，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：由折叠可知： 又∵ ∴ ∴； （2）解：王芳的说法正确，证明如下： 同（1）可得， ∵ ∴； （3）解：如图，作，则：， ∴，， ∴， ∵， ∴ 当点在直线的下方时，如图：过点作，则：， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∵， ∴； 当点在上方时，如图，作，则：， 则：， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∵， ∴； 综上：或． 4．（24-25九年级上·广东深圳·期中）【综合与实践】在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作探究】 “乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作： 第1步：如图1所示，先将正方形纸片对折，使点A与点重合，然后展开铺平，折痕为； 第2步：将边沿翻折到的位置； 第3步：延长交于点，则点为边的三等分点． 证明过程如下：连接， 正方形沿折叠， ，①　　， 又， ， ． 由题意可知是的中点，设（个单位），，则， 在中，可列方程：②　　，（方程不要求化简） 解得：③　　，即是边的三等分点． “破浪”小组是这样操作的： 第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为； 第2步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点； 第3步：过点折叠正方形纸片，使折痕． 【过程思考】 （1）“乘风”小组的证明过程中，三个空的所填的内容分别是①：　　　，②：　　　，③：　　　； （2）结合“破浪”小组操作过程，判断点是否为边的三等分点，并证明你的结论； 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，，，是上的一个三等分点且，连接，作点关于的对称点为，连接并延长与菱形的边交于点，请依照上述描述在图3中将图补全，并直接写出的长___________． 【答案】（1）①，②，③2；（2）是，见解析；（3）见解析，． 【分析】过程思考：（1）先根据两个三角形全等，可得到第一个空的条件，然后根据直角三角形的勾股定理可得到第二个空，最后求得结果即可； （2）根据两个三角形相似以及平行线分线段成比例可得到边长之间的关系，即可证得结果； 拓展提升：根据E是上的一个三等分点，先根据对称性得到边长，然后根据三角形相似以及直角三角形的勾股定理可求得结果． 【详解】过程思考：解：（1）结合①下面两个三角形全等，可以得到该空为，此时可根据推断出两个三角形全等； 根据在直角三角形中三边满足勾股定理，即， 则； 将化简可得， 移项合并同类项得：， 解得：， 即， 故答案为：①，②，③2； （2）点是边的三等分点， 证明如下：由第1步的操作可知，分别是，的中点， 是正方形， ，， ，， ， ， ， ， 即， 点是边的三等分点； 拓展提升：（3）解：连接交于点，如图， ，， 四边形为菱形， ， ， ， ∴， 如图，连接，，与交点， 由对称性可知，，，， ， ， 设，则，即， 在中，， 即， 解得：（舍去），， ， ，， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、折叠的性质、勾股定理等，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 5．（24-25九年级上·河南南阳·月考）问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证． (1)尝试证明：用平行线分线段成比例的思路，利用图1证明 (2)应用拓展：如图2，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．，，求的长； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得，，从而证明，得，再利用等腰三角形的判定证，即可得证； （2）由折叠的性质得，，结合（1）可知，，从而由比例的性质得，利用勾股定理得，从而得即可得解． 【详解】（1）证明：过点C作，交的延长线于点E， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处， ∴，， 由（1）可知，， 又∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、相似三角形的判定及性质、勾股定理、比例的性质以及等腰三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及勾股定理是解题的关键． 6．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点分别在边上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边上． (2)设，的交点为，请求出的度数． (3)折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边，上． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了正方形的折叠问题，尺规作角平分线，解题的关键是掌握以上知识点． （1）作，的角平分线即可． （2）根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的性质得到，即可得到； （3）延长，交于T，作的角平分线即可． 【详解】（1）解：作，的角平分线， 如图所示、即为所求： （2）解：如（1）图所示， ∵，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴； ∵，分别是，的角平分线， ∴， ∴； （3）解：延长，交于T，作的角平分线， 如图所示即为所求： / 学科网（北京）股份有限公司 $