5.1 轴对称及其性质小节复习题2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦轴对称性质，融合氢能、平面镜成像等现实情境与将军饮马、折纸操作等经典问题，通过选择、填空、解答题梯度设计，培养几何直观与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|轴对称图形识别、镜面对称、对称轴判定|以氢能图标、台球桌等情境考查概念辨析，如第1题结合碳中和热点| |填空题|5题|折叠性质、对称点距离、网格对称作图|第11题镜面时间问题，第13题网格对称培养空间观念| |解答题|6题|最短路径（将军饮马）、动态几何、对称综合应用|第17题将军饮马问题链，第20题两面镜子成像探究，发展推理与创新意识|

5.1《 轴对称及其性质》小节复习题 一、单选题 1．氢能具有清洁无污染、高效可再生的优势，既能助力减碳降排、推动绿色低碳，也有助于达成“碳中和”目标．下列与氢能有关的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（   ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度，做竖直向上运动 D．以的速度，做竖直向下运动 3．下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（    ）次． A．6 B．7 C．8 D．9 4．如图，线段AC，AD关于直线AB成轴对称，点E，F分别在AC，AD上，且．ED，CF相交于点B．图中关于AB成轴对称的三角形共有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 5．下列说法中，正确的是（   ） A．两个成轴对称的图形中，对称轴被对应点所连线段垂直平分 B．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点不一定在这个角的角平分线上 C．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高线是它的对称轴 D．两点之间，线段最短 6．如图，设和是镜面平行相对且间距为的两面镜子，把一个小球A放在和之间，小球在镜中的像为，在镜是中的像为，则等于（   ） A． B． C． D． 7．由正方形和圆组成的轴对称图形如图所示，该图形的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 8．如图1，直线l及同侧两点A，B，要在直线l上找一点C，使 最大，其做法为：连接并延长，交直线l于点C，可证点C即为所求．如图2，直线l及两侧两点A，B，在直线l上找一点C，使最大．下列图中所画点C的位置正确的是（   ） A． B． C． D． 9．下列说法中，正确的是（   ）． A．长方形有且只有一条对称轴 B．垂直于线段的直线就是线段的对称轴 C．平行四边形的对称轴是对角线 D．平面内两条相交直线是轴对称图形 10．如图所示，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为AB、CD，点恰好落在折叠后的边上，设，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称如图1，若从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间为如图2所示，则电子钟的实际时间应该是______． 12．如图，将一张长方形纸条沿折叠，若，则的度数为______． 13．如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．可以画出与∆ABC成轴对称、每个顶点都在格点上，且位置不同的三角形有________个． 14．如图，在中，是的平分线，若分别是和上的动点，则的最小值为_____． 15．如图所示的是一组按照某种规律摆放成的图案，则第2026个图案________轴对称图形（填“是”或“不是”）． 三、解答题 16．某综合实践小组准备了如图1所示的三种卡片开展拼图游戏．其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，且． (1)请你利用1个A型卡片，2个B型卡片设计一个轴对称图形，画出图形（只需画一种），并直接写出它的周长（用含a，b的代数式表示）； (2)该综合实践小组用1个A型，2个B型，1个C型卡片拼成如图2所示的正方形，发现可以用一个乘法公式表示这个正方形的面积．请你利用这个乘法公式中的数量关系解决问题：若，，求t的值； (3)现共有10张A型卡片，25张B型卡片和16张C型卡片，请你用这些卡片设计一个面积最大的正方形，写出拼成这个正方形需要的各种型号卡片的数量（不要求画图），并用含a，b的代数式表示这个正方形的面积．（注：以上所有的拼图均不考虑缝隙与重叠） 17．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在∆ABC中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 18．如图，在长方形中，，．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，连结．设点的运动时间为秒()． (1)当点在边上时，线段的长为；(用含的代数式表示)当点在边上时，线段的长为；(用含的代数式表示) (2)当线段将长方形分割后，所得图形中存在轴对称图形时，求的值； (3)若点到达点后，立即以原速度的倍返回到点，同时点以原速度继续向终点运动．在点的整个运动过程中，作点关于点的中心对称点，当的面积是面积的倍时，直接写出的值． 19．已知点，在直线两侧，点，在直线上，点为上一动点，连接，，且． (1)如图（1）所示，当点在线段上时，若，，则 （选填“”“”或“”）； (2)如图（2）所示，当点在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图（3）所示，当点在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，求证：． 20.将两面镜子用胶带连在一起，并打开呈夹角时，在中间放置一个蜡烛，在镜中能看见5个完整的蜡烛（如图1）．你知道为什么吗？ 我们可以把两面镜子用直线、代替，设蜡烛放置于点，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像（如图2）．继续作出关于的对称点为（如图3），最后作出关于的对称点，均为（如图4），这样，我们就作出了点在两面镜子中的5个像． (1)如图5，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛； (2)如图6，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛．请你借助网格完成作图，并标注相应的字母； (3)试猜想，若两面镜子呈夹角，且为整数时，理论上在镜中能看见_______个完整的蜡烛． 21.在中，，，点D，E在直线上，且，过点B作交直线于点F，直线交直线于点G，连结 (1)如图1，射线，都在的内部． 设，则______ （用含有的式子表示）； 作点B关于直线的对称点，则线段与图1中已有线段______ 的长度相等，并写出证明过程； (2)如图2，当射线在∆ABC的外部，射线在∆ABC的内部时，其他条件不变，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 参考答案 一、单选题 1．C 解：A.该选项不是轴对称图形； B. 该选项不是轴对称图形； C. 该选项是轴对称图形； D. 该选项不是轴对称图形． 2．A 解：小球在平面镜中的像是以的速度，做竖直向上运动． 故选：A． 3．B 解：根据图形可得总共反射了7次． 故选：B． 4．D 解：关于成轴对称的三角形有：和，和，和，和，共对． 故选：D． 5．D 解：对于A，根据轴对称的性质，成轴对称的两个图形中，对称轴垂直平分对应点所连线段，原说法颠倒关系，故A错误； 对于B，根据角平分线的判定定理，在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的角平分线上，故B错误； 对于C，对称轴是直线，等腰三角形底边上的高线是线段，正确表述为等腰三角形底边上的高线所在直线是它的对称轴，故C错误； 对于D，“两点之间，线段最短”是基本几何事实，说法正确． 6.D 解：如图所示， 经过反射后，，， ∴． 故选：D． 7．D 解：该图形沿直线l4折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故该图形的对称轴是l4， 故选：D． 8．B 解：如图，作关于直线的对称点，作直线交直线于，连接， 则， ∴， 此时最大． 故选：B 9．D A、长方形有两条对称轴，此项错误； B、过线段的中点，且垂直于线段的直线才是线段的对称轴，此项错误； C、平行四边形不是轴对称图形，所以没有对称轴，此项错误； D、平面内两条相交直线是轴对称图形，此项正确． 故选：D． 10．A 解：由折叠的性质可知， ∴，， 在中，， 即， 解得：． 二、填空题 11．15∶01 解：实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称， 电子钟的实际时间应该是， 故答案为：． 12． 解：如图，∵， 设，则， ∵由折叠可得， ∴， 解得：， ∴， ， ∴. 13．5 解：根据轴对称图形的定义可以画出与∆ABC成轴对称的三角形如下： 即可以画5个． 故答案为：5． 14． 解：作点关于的对称点，连接，过点作于点，如图所示： 是∆ABC的角平分线，与关于对称， ∴点在上，则， ，， ， ， 即的最小值为． 15．是 前4个图案的对称轴如图所示． 按此规律，摆放成的图案都是轴对称图形． 故第个图案是轴对称图形． 故答案为：是. 三、解答题 16．（1）解：如图所示： ∴周长， 或如图所示： ∴周长， 或如图所示： ∴周长， 或如图所示： ∴周长， 或如图所示： ∴周长， （2）解：依题意，表示这个正方形的面积的乘法公式为， 则， ∵，， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， （3）解：依题意，现共有10张A型卡片，25张B型卡片和16张C型卡片，用这些卡片设计一个面积最大的正方形，如图所示： 上图一共用了9张A型卡片，24张B型卡片和16张C型卡片， 此时面积为或． 17．解：（1）正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点， 由对称轴的性质可得，， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：11； （3）①如图，最短， 过点分别作的对称点，连接与交点即为点 则， ∴； ②如图： 因为， 所以， 由轴对称的性质可得， 因为， 所以， 所以， 同理可得， ∴ 故答案为：． 18．（1）解：(1)当点在边上时，， ， ； 当点在边上时，， ． 故答案为：；； （2）①当点在边上时，， 由题意得： ． 当时，为等腰直角三角形，是轴对称图形， ， ． ②当点在边上时，， 当时，四边形为长方形，是轴对称图形， ， ． 综上，当线段将长方形分割后，所得图形中存在轴对称图形时，的值为或． （3）当的面积是面积的倍时，的值为或．理由： ①当点在边上时，， 由题意得： 作点关于点的中心对称点，如图， 则， 的面积是面积的倍， ， ， 不合题意，舍去． ②当点在边上，且未到达点时，， 由题意得：， ． 作点关于点的中心对称点，如图， ， ， 的面积是面积的倍， ， ． ③当点在边上，到达点以原速度的倍返回时，， 由题意得：， ． 作点关于点的中心对称点，如图， ， ． ． ， ． 综上，当的面积是面积的倍时，的值为或． 19．（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：∵，，， ∴， 由折叠得：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 20.（1）解：如图，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像，继续作出关于的对称点均为， ∴当两面镜子呈夹角时，镜中能看见3个完整的蜡烛； 故答案为：3； （2）解：如图，即为所求， ∴当两面镜子呈夹角时，镜中能看见7个完整的蜡烛； 故答案为：7； （3）解：∵当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； ...... 当两面镜子呈夹角，且为整数时，镜中能看见个完整的蜡烛； 故答案为：． 21.（1）解：①，， ， ， ； ②， 证明：连接，如图， 由对称性可知，，， ， ， ，， ， ， ， ； （2）； 证明：作B点关于的对称点，连接， 由对称性可知，，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 学科网（北京）股份有限公司 $