微专题03 与等腰三角形有关的分类讨论（专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 微专题03与等腰三角形有关的分类讨论 题型01已知边长条件，求等腰三角形的周长（或已知周长求边长） 与等腰三角形有关的分类讨论 题型02已知角度条件，求等腰三角形的未知角 题型03探索平面上的点，使构成等腰三角形（动点折叠综合） 流点量戒 题型01已知边长条件，求等腰三角形的周长（或已知周长求边长) 啸方法 考向分析：此类题型通常只给出一个等腰三角形的两边长（或周长及一边），要求计算周长（或第三边长）。 由于未明确指出哪条是腰、哪条是底，必须分情况讨论。核心得分点在于“分类”与“检验”。 解题方法： 1.定标准，分情况：若已知两边长为a、b(a≠b),则分“腰长为a”和“腰长为b”两种情况；若已知一 边和周长，则分“已知边为腰”和“已知边为底”两种情况。 2. 用定理，求第三边：根据等腰三角形“两腰相等”的性质，结合题目给定的周长或边长，求出第三边 的长度。 3. 抓核心，检验取舍：这是最关键的一步！必须利用“三角形任意两边之和大于第三边”（或等价地，“任 意两边之差小于第三边”)对求出的结果进行检验。若不满足，则说明这种等腰情况在实际空间中无法 构成封闭图形，需果断舍去。 答题模板： 1.列：根据题意，设未知数，列出两种情况的方程。 2.求：分别计算出两种情况下第三边的具体数值。 3. 验：代入“两边之和大于第三边”进行验证，写出符合实际的解，计算最终周长。 1.(25-26七年级下·安徽宿州期中)等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”， 若等腰ABC的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是() B. 6 c D. 2.(25-26八年级上·全国·课后作业)(1)等腰三角形的两条边长分别为9和12，则这个等腰三角形的周长 是· (2)若等腰三角形的周长为22cm,一条边长为4cm,则这个等腰三角形的底边长为 3.(24-25七年级下，全国暑假作业)已知一个等腰三角形的一边长为4. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)若另一边长为5，则该等腰三角形的周长是 (2)若另一边长为2，则该等腰三角形的周长为 (3)若周长为9，则该等腰三角形的另两边长分别是 4.(25-26八年级上陕西延安·期末)我们称等腰三角形的腰长与其底边长的比值为这个等腰三角形的“和谐 比”.若等腰三角形ABC的周长为20，其中一边长为6，则这个等腰三角形的“和谐比”为 5.(23-24七年级下·全国·单元测试)等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差4的三角 形，若这个等腰三角形的一边长为8，则等腰三角形的周长为 6.(25-26八年级下·山东青岛期中)若等腰三角形的两边长分别是10cm和5cm,则这个等腰三角形的周长 是 cm 题型02已知角度条件，求等腰三角形的未知角 妹方法 考向分析：此类题型通常给出一个等腰三角形的一个内角（或结合平行线、折叠背景给出一个间接角），要 求计算另外两个角。由于未明确指出已知角是顶角还是底角，必须分情况讨论。核心得分点在于“内角和 约束”与“钝角/锐角的空间限制”。 解题方法： 1.看已知角，分情况：若已知角为α，则分“a为顶角”和“a为底角”两种情况。 2. 用定理，求未知角：利用“三角形内角和为180°”及“等腰三角形两底角相等”的性质，计算其余两 个角的度数。 3. 双重检验，去伪存真： (1)第一重（内角和检验）：检查计算出的三个角之和是否为180°。 (2)第二重（空间位置检验）：若题目附加了限制条件（例如该三角形是“锐角三角形”或“钝角三角 形”)，则需检查求出的角度是否符合该限制，不符合则舍去。 答题模板： 1. 分：明确己知角，将其分别设定为顶角和底角，画出对应的几何示意图。 2.算：运用等腰三角形性质和三角形内角和定理，计算出另外两角的具体度数。 3.验：确认计算结果是否满足三角形内角和定理及题目隐含的空间限制条件（如锐角、钝角）。 1.(25-26八年级上河南洛阳·期末)已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为() A.40° B.100° C.40°或70° D.40°或100 2.(25-26七年级上山东烟台期末)如果等腰三角形的一个角等于68°，则它的底角等于() A.68° B.56 C.68°或56 D.68°或669 3.(24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔期中)若等腰三角形中有一个角等于100°，则这个等腰三角形的顶角 的度数为(). 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.40° B.1009 C.40°或100 D.80° 4.(18-19八年级上·福建厦门期中)若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则该等腰三角形的顶角的 度数为 5.(2019甘肃中考真题)定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的特 征值”.若等腰ABC中，∠A=80°，则它的特征值k= 6.(25-26八年级上陕西西安期末)等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30°，则该等腰三角形的 顶角的度数是 题型03探索平面上的点，使构成等腰三角形 啸方法 考向分析：此类题型通常在平面直角坐标系或网格图中，给出两个定点A、B,要求在直线上或网格中寻找 第三个点C,使得△ABC为等腰三角形。这是期末考试和月考的经典压轴题，极易漏解。核心得分点在于 掌握“两圆一中垂线”的几何作图思想。 解题方法： 1.画草图，定基准：标出已知的两个定点A和B。 2. 套模型，找轨迹（核心口诀：两圆一中垂线）： (I)第一种情况(CA=CB):点C在线段AB的垂直平分线上。（注意：若题目要求点C在直线AB上， 则垂足也算一个解)。 (2)第二种情况(AB=AC):以点A为圆心，以AB长为半径画圆，圆与直线（或网格）的交点即为 所求的点C(除点B外)。 (3)第三种情况(BA=BC):以点B为圆心，以BA长为半径画圆，圆与直线（或网格）的交点即为 所求的点C(除点A外)。 3.数形结合，确定坐标：结合坐标系或网格纸，数出符合条件的点C的个数，并写出其坐标。 答题模板： 1.忆：回忆“两圆一中垂线”模型，明确构成等腰三角形的三种可能(AB为底、BC为底、AC为底)。 2.作：在草稿纸上，分别以已知两点为圆心、边长为半径作圆，并作出两点连线的中垂线。 3.找：找出所作圆和中垂线与题目要求直线（或网格）的所有交点，去除重复和共线点，得出最终的点 的个数及坐标。 1.（2024江苏泰州一模)证明：等腰三角形的两底角相等.要求： (1)用无刻度的直尺和圆规作等腰ABC,使底边BC=m,腰AB=AC=n; (2)结合图形，写出已知、求证，并完成证明； (3)证明过程若需添加辅助线，则辅助线也需用无刻度的直尺和圆规作图. m n 2.(25-26八年级上·福建泉州期末)如图，在锐角ABC中，分别以AB,AC为腰作等腰△ABD和等腰 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △ACE,且AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE,CD与BE交于点P, D (I)求证：△ABE≌△ADC; (2)请用等式表示∠BPC与∠BAD的数量关系，并给予证明； (3)以BC为底边作等腰BCF,若∠BFC=∠BAD,则点A,P,F这三点是否共线？请说明理由. 3.(25-26八年级上江苏南京·阶段检测)【模型提出】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂直，所 以称为“一线三垂直”模型.当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形， B B 图1 图2 图3 (1)①如图1，在等腰直角ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于点D, BE⊥DE于点E,则AD,BE与DE之间满足的数量关系是 ②如图2，在等腰直角ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线CE,过点A作AD⊥CE于点 D,过点B作BE⊥CE于点E,AD=5,BE=2,则DE的长为 【模型初探】 (2)①如图3，四边形ABCD中，AC=BC,∠ACB=∠ADC=90°，CD=8.求△BCD的面积 ②如图4，在RtAAOB中，∠AOB=90°，分别以BA和OB为直角边作等腰Rt△ABD和等腰Rt△OBC, 连DC交OB延长线于点E,判断AO与BE的数量关系并证明. 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 图4 图5 【模型拓展】 (3)如图5，在ABC中，AB=AC,BC=4,S。4Bc=6,以AC为直角边向右侧作一个等腰直角三角 形ACD,连接BD,请画出图形并直接写出△BCD的面积. 4.(25-26八年级上·贵州黔东南期中)如图，以ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰 直角△ACE,∠BAD=∠CAE=90°，连接BE和CD相交于点O,AB交CD于点F,AC交BE于点G. D A E G B (I)求证：△DAC≌△BAE; (2)试判断DC与BE的位置关系，并说明理由. 5.(2024九年级上重庆专题练习)学习了等腰三角形后，小雯在用尺规作等腰三角形顶角的角平分线时， 发现这条角平分线与底边的交点到两腰中点的距离相等，她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个 三角形全等得出结论，请根据她的思路完成以下作图与填空： 如图，用直尺和圆规作∠BAC的平分线交BC于点D,连接DE,DF,(要求：只保留作图痕迹)己知： 如图，等腰ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,E,F分别是AB,AC的中点，求证：DE=DF. 证明：：E,F分别是AB,AC的中点， AB=AC, .① :AD平分∠BAC, 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②. AD=AD, △ADE≌_③(SAS)· :DE DF. 小雯进一步研究，发现角平分线AD上任意一点均有此特征. 请你依照题意补全命题：等腰三角形的顶角平分线上的点④. B 6.(25-26八年级下·四川成都·月考)我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b叫做完全平方式.如果一个 多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为 完全平方式，然后进行因式分解.例如：x2+4x+3=x2+4x+4-1(此处可看作在原式上添加“+4-4”， 也可看作将3拆分为“+4-1”)=(x+2)-12=(x+2+1)(x+2-1=(x+3)(x+1). (1)用配方法将x2-6x-16分解因式； (2)已知a、b分别为等腰三角形的腰和底，且满足a2+b2-4a-2b+5=0,求该等腰三角形的周长. (3)当x,y为何值时，代数式-x2+2xy-2y2+6y+7取得最大值，最大值为多少？ 微专题03 与等腰三角形有关的分类讨论 题型01 已知边长条件，求等腰三角形的周长（或已知周长求边长） 考向分析：此类题型通常只给出一个等腰三角形的两边长（或周长及一边），要求计算周长（或第三边长）。由于未明确指出哪条是腰、哪条是底，必须分情况讨论。核心得分点在于“分类”与“检验”。 解题方法： 1. 定标准，分情况：若已知两边长为a、b(a≠b)，则分“腰长为a”和“腰长为b”两种情况；若已知一边和周长，则分“已知边为腰”和“已知边为底”两种情况。 2. 用定理，求第三边：根据等腰三角形“两腰相等”的性质，结合题目给定的周长或边长，求出第三边的长度。 3. 抓核心，检验取舍：这是最关键的一步！必须利用“三角形任意两边之和大于第三边”（或等价地，“任意两边之差小于第三边”）对求出的结果进行检验。若不满足，则说明这种等腰情况在实际空间中无法构成封闭图形，需果断舍去。 答题模板： 1. 列：根据题意，设未知数，列出两种情况的方程。 2. 求：分别计算出两种情况下第三边的具体数值。 3. 验：代入“两边之和大于第三边”进行验证，写出符合实际的解，计算最终周长。 1．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题分3为腰长和3为底边长两种情况讨论，计算对应边长后求出“优美比”，同时根据三角形三边关系验证能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵等腰的周长为， ∴底边长 ， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”为； ②当为底边长时， ∵等腰的周长为， ∴腰长， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”为； 综上，该等腰三角形的“优美比”是或． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）等腰三角形的两条边长分别为9和12，则这个等腰三角形的周长是______． （2）若等腰三角形的周长为，一条边长为，则这个等腰三角形的底边长为______． 【答案】 30或33 【分析】本题考查了等腰三角形的构成条件、三角形的三边关系，分类讨论是解答的关键： （1）分9为腰和12为腰两种情况讨论即可； （2）分的边为腰和为底边两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：①当9为腰时，满足构成三角形的条件， 故此三角形的周长； ②当12为腰时，满足构成三角形的条件， 故此三角形的周长， 故这个等腰三角形的周长是30或33； （2）解：①当4为腰时，底边长为，，不符合三角形三边关系； ②当4为底边时，腰长为，，符合三角形三边关系． 故这个等腰三角形的底边长为． 故答案为：30或33；． 3．（24-25七年级下·全国·暑假作业）已知一个等腰三角形的一边长为4． （1）若另一边长为5，则该等腰三角形的周长是________； （2）若另一边长为2，则该等腰三角形的周长为________； （3）若周长为9，则该等腰三角形的另两边长分别是________． 【答案】 13或14 10 2.5，2.5或4，1 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解题中需要用到分类讨论思想，并验证是否符合三边关系． （1）题中没有明确指出4和5哪条是腰，需要分类讨论，并验证是否符合三边关系； （2）同（1）方法，明显不符合三边关系，需舍去； （3）需要分别讨论4是腰还是底边，再根据三边关系，进而求解． 【详解】解：（1）当底边为4，腰为5时，此时三边为，符合三边关系，则周长为14； 当底边为5，腰为4时，此时三边为，符合三边关系，则周长为13； 故答案为：14或13． （2）当底边为2，腰为4时，此时三边为，符合三边关系，则周长为10； 当底边为4，腰为2时，此时三边为，不符合三边关系，舍去． 故答案为：10． (3)若周长为9，底边为4时，腰为，此时三边为，符合三边关系， ∴等腰三角形的另两边长2.5和2.5； 若周长为9，腰为4时，底边为，此时三边为，符合三边关系， ∴等腰三角形的另两边长4和1． 故答案为：2.5，2.5或4，1． 4．（25-26八年级上·陕西延安·期末）我们称等腰三角形的腰长与其底边长的比值为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则这个等腰三角形的“和谐比”为____． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质．熟悉等腰三角形三边关系，根据不同情况分别计算答案，是解题的关键．根据等腰三角形的周长和一边长，分别讨论该边为腰长或底边长两种情况，计算和谐比即可． 【详解】解：等腰三角形的周长为，其中一边长为， 若为腰长，则底边长为，满足三角形的三边条件，其和谐比为， 若为底边长，则腰长为，满足三角形的三边条件，其和谐比为． 故答案为：或． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，若这个等腰三角形的一边长为，则等腰三角形的周长为____________． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及三角形的构成条件，根据等腰形的定义及等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，得这条中线不可能是底边上的中线，只能是等腰三角形的一腰上的中线，根据题意画出图形，如图，中，，设，等腰三角形的腰长，进而分和两种情况讨论求解即可． 【详解】解：根据等腰形的定义及等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，得这条中线不可能是底边上的中线，只能是等腰三角形的一腰上的中线， 根据题意画出图形，如图，中，，设，等腰三角形的腰长， ∵是腰上的中线， ∴， 当时，， 若，则 解得，此时的周长为； 若，则解得，此时的周长为； 当时， 若，则 解得， ∴， 此时的周长为； 若，则解得， ∴， ∵，，不符合三角形的条件， ∴此情形应舍去， 故答案为：或或． 6．（25-26八年级下·山东青岛·期中）若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是________． 【答案】25 【分析】题目未明确腰和底边的长度，因此需要分两种情况讨论，再根据三角形三边关系验证能否组成三角形，即可得到结果． 【详解】解：根据等腰三角形的定义，分以下两种情况讨论： 当边长为的边为腰时， 三角形的三边长分别为，，， 因为，不满足三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，因此这种情况不成立，舍去； 当边长为的边为腰时， 三角形的三边长分别为，，， 满足三角形的三边关系定理， 此时这个等腰三角形的周长为． 题型02 已知角度条件，求等腰三角形的未知角 考向分析：此类题型通常给出一个等腰三角形的一个内角（或结合平行线、折叠背景给出一个间接角），要求计算另外两个角。由于未明确指出已知角是顶角还是底角，必须分情况讨论。核心得分点在于“内角和约束”与“钝角/锐角的空间限制”。 解题方法： 1. 看已知角，分情况：若已知角为α，则分“α为顶角”和“α为底角”两种情况。 2. 用定理，求未知角：利用“三角形内角和为180°”及“等腰三角形两底角相等”的性质，计算其余两个角的度数。 3. 双重检验，去伪存真： (1) 第一重（内角和检验）：检查计算出的三个角之和是否为180°。 (2) 第二重（空间位置检验）：若题目附加了限制条件（例如该三角形是“锐角三角形”或“钝角三角形”），则需检查求出的角度是否符合该限制，不符合则舍去。 答题模板： 1. 分：明确已知角，将其分别设定为顶角和底角，画出对应的几何示意图。 2. 算：运用等腰三角形性质和三角形内角和定理，计算出另外两角的具体度数。 3. 验：确认计算结果是否满足三角形内角和定理及题目隐含的空间限制条件（如锐角、钝角）。 1．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形内角和定理，需分两种情况讨论，即已知的内角为顶角或底角，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为的性质求解顶角的度数． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为， ①当的角为等腰三角形的顶角时， ∴该等腰三角形的顶角为， ②当的角为等腰三角形的底角时， ∴顶角 ， 综上，这个等腰三角形的顶角为或， 故选：D． 2．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如果等腰三角形的一个角等于，则它的底角等于（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题需分情况讨论已知角为底角或顶角的情况，理解题意是解决本题的关键． 利用等腰三角形两底角相等及三角形内角和为的性质计算底角度数即可． 【详解】解：分两种情况：当已知的角为底角时，等腰三角形底角即为； 当已知的角为顶角时，底角为， 综上，底角等于或． 故选C． 3．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为（   ）． A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理及等腰三角形定义，根据三角形内角和定理可知，若等腰三角形中有一个角等于，则这个角只能是等腰三角形的顶角，即可得到答案，熟记三角形内角和定理及等腰三角形定义是解决问题的关键． 【详解】解：由三角形内角和定理可知，任意一个三角形三个内角和为， 当等腰三角形中有一个角等于，则这个角只能是等腰三角形的顶角， 由三角形内角和定理可知这个等腰三角形的顶角的度数为， 故选：B． 4．（18-19八年级上·福建厦门·期中）若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则该等腰三角形的顶角的度数为______． 【答案】40°或80° 【分析】根据已知条件，先设出三角形的两个角，然后进行讨论，即可得出顶角的度数． 【详解】解：①当较大的角为顶角，设这个角为x°， 则：x+2(x-30)=180 x=80； ②当较大的角为底角，设顶角为y°，则： y+2(y+30)=180 y=40， 答：等腰三角形的顶角为80°或40°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的分类讨论及三角形内角和定理，若题目中没有明确顶角或底角，需分情况进行讨论，这是解答问题的关键． 5．（2019·甘肃·中考真题）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________． 【答案】或 【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解． 【详解】解：①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为： ∴特征值 ②当为底角时，顶角的度数为： ∴特征值 综上所述，特征值为或． 故答案为或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏． 6．（25-26八年级上·陕西西安·期末）等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角的度数是___________． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及分类讨论思想．需要分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，利用直角三角形两锐角互余和三角形内角和定理求解． 【详解】解：设等腰三角形中，，为腰上的高，与另一腰的夹角为， ①当为锐角三角形时，高在三角形内部，如图， 在中，，，则， ②当为钝角三角形时，顶角为钝角，高在外部，即点在的延长线上，如图： 在中，，， 则， 综上，该等腰三角形的顶角的度数是或， 故答案为：或． 题型03 探索平面上的点，使构成等腰三角形 考向分析：此类题型通常在平面直角坐标系或网格图中，给出两个定点A、B，要求在直线上或网格中寻找第三个点C，使得△ABC为等腰三角形。这是期末考试和月考的经典压轴题，极易漏解。核心得分点在于掌握“两圆一中垂线”的几何作图思想。 解题方法： 1. 画草图，定基准：标出已知的两个定点A和B。 2. 套模型，找轨迹（核心口诀：两圆一中垂线）： (1) 第一种情况（CA＝CB）：点C在线段AB的垂直平分线上。（注意：若题目要求点C在直线AB上，则垂足也算一个解）。 (2) 第二种情况（AB＝AC）：以点A为圆心，以AB长为半径画圆，圆与直线（或网格）的交点即为所求的点C（除点B外）。 (3) 第三种情况（BA＝BC）：以点B为圆心，以BA长为半径画圆，圆与直线（或网格）的交点即为所求的点C（除点A外）。 3. 数形结合，确定坐标：结合坐标系或网格纸，数出符合条件的点C的个数，并写出其坐标。 答题模板： 1. 忆：回忆“两圆一中垂线”模型，明确构成等腰三角形的三种可能（AB为底、BC为底、AC为底）。 2. 作：在草稿纸上，分别以已知两点为圆心、边长为半径作圆，并作出两点连线的中垂线。 3. 找：找出所作圆和中垂线与题目要求直线（或网格）的所有交点，去除重复和共线点，得出最终的点的个数及坐标。 1．（2024·江苏泰州·一模）证明：等腰三角形的两底角相等．要求： （1）用无刻度的直尺和圆规作等腰，使底边，腰； （2）结合图形，写出已知、求证，并完成证明； （3）证明过程若需添加辅助线，则辅助线也需用无刻度的直尺和圆规作图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的作法是解答本题的关键． 根据等腰三角形的作图方法画图即可；根据图形写出已知、求证，证明法一：作的平分线，交于点，根据证明即可；证明法二：取的中点为，连接，根据证明即可；证明法三：过点作于点，根据证明即可． 【详解】如图，即为所求作的三角形． 已知：如图，中，． 求证：． 证明：法一：作的平分线，交于点 在和中 ． 法二：取的中点为，连接． 在和中 法三：过点作于点 在和中 ． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在锐角中，分别以为腰作等腰和等腰，且与交于点． (1)求证：； (2)请用等式表示与的数量关系，并给予证明； (3)以为底边作等腰，若，则点这三点是否共线？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)三点共线，理由见解析 【分析】（1）先证明，即可求证； （2）法一：由，得到，进一步得到，即可求证；法二：过点作，垂足分别为，则，求出，证明后逐步求证即可； （3）过点作，垂足分别为，则，依次求出，，，证明，得到，进一步得到，即可求证． 【详解】（1）证明：，，， ， 在和中， ， ； （2）解：法一： ， ， 记交于点， ，， ， ， ； 法二：过点作，垂足分别为， 则， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：点三点共线，理由如下： 过点作，垂足分别为， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点三点共线． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，涉及到了等腰三角形与三点共线等问题，本题较综合，考查了学生的综合分析能力，属于压轴题类型． 3．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）【模型提出】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________． ②如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为________． 【模型初探】 （2）①如图3，四边形中，，，．求的面积________． ②如图4，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点，判断与的数量关系并证明． 【模型拓展】 （3）如图5，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请画出图形并直接写出的面积． 【答案】（1）①；②3；（2）①；②，证明见解析；（3）或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论的思想是解答本题的关键． （1）根据，得到，结合，得到，，从而得到，即可得到，即可得到答案； 同理证明即可得到答案； （2）①，过点B作交延长线于H，同（1）可证明，则，再根据三角形面积计算公式求解即可；②过点D作交延长线于H，同理可证明，得到；再证明，得到，则； （3）分，两种情况讨论，根据等腰直角三角形结合（1）的结论求解即可得到答案． 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 故答案为：； （2）①如图所示，过点B作交延长线于H， 同（1）可证明， ∴， ∴； ②，证明如下： 如图所示，过点D作交延长线于H， ∵是等腰直角三角形，且为直角边， ∴， ∴同理可证明， ∴； ∵是以为直角边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，过点A作于E，过点作交延长线于， ，，， ，， 由（1）得：， ， ； 以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，过点A作于E，过点作交延长线于， ，，， ，， 由（1）得：， ， ； 综上所述，的面积为或． 4．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，，，进一步利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，利用三角形内角和以及对顶角相等得到，可得，即可证明． 【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形， ，， 又， ， 即， 在和中， ， ； （2）解： 理由： ， ，， 又，， ， ， 即． 5．（2024九年级上·重庆·专题练习）学习了等腰三角形后，小雯在用尺规作等腰三角形顶角的角平分线时，发现这条角平分线与底边的交点到两腰中点的距离相等．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 如图，用直尺和圆规作的平分线交于点D，连接，．（要求：只保留作图痕迹）已知：如图，等腰中，，平分，E，F分别是，的中点．求证：． 证明：∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∵， ∴_①． ∵平分， ∴_②． ∵， ∴_③． ∴． 小雯进一步研究，发现角平分线上任意一点均有此特征． 请你依照题意补全命题：等腰三角形的顶角平分线上的点 _④． 【答案】作图见解析；，，，到两腰中点的距离相等 【分析】本题考查尺规作图作角平分线，全等三角形判定与性质，涉及等腰三角形的性质，根据题意补全图形，观察证明过程填空即可．解题的关键是掌握角平分线的尺规作图方法和全等三角形的判定定理． 【详解】解：补全图形如下： 证明：∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∵， ∴①． ∵平分， ∴②． ∵， ∴③． ∴． 依照题意补全命题：等腰三角形的顶角平分线上的点到两腰中点的距离相等④． 故答案为：，，，到两腰中点的距离相等． 6．（25-26八年级下·四川成都·月考）我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解．例如：（此处可看作在原式上添加“”，也可看作将3拆分为“”）． (1)用配方法将分解因式； (2)已知a、b分别为等腰三角形的腰和底，且满足，求该等腰三角形的周长． (3)当x，y为何值时，代数式取得最大值，最大值为多少？ 【答案】(1) (2)5 (3)当时，代数式取最大值，最大值为16 【分析】（1）根据，再根据平方差公式分解即可； （2）将原式化为，再根据完全平方公式整理成平方和等于0的形式求出a，b的值，然后根据等腰三角形的性质和三角形三边关系解答； （3）根据完全平方公式整理为，再讨论极值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 即， ∴． ∴三边长为2，2，1，则周长为； （3）解： ， ∵，， ∴当时，， 所以当时，代数式取最大值，最大值为16． / 学科网（北京）股份有限公司 $