西藏自治区西藏昌都市第一高级中学2025-2026学年高二下学期5月期中测试数学试题

昌都一高2027届高二下期5月半期测试 数 学 试 题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则的虚部为（ ） A． B．1 C． D． 3．已知单位向量，的夹角为，则（ ） A． B．21 C． D．31 4．已知的展开式中含项的系数为12，则为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．在2025年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考，，三所高校，则恰有两人报考同一所高校的方法共有（ ） A．9种 B．36种 C．38种 D．45种 6．已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是（ ） A．0.63 B．0.24 C．0.87 D．0.21 7．将三颗骰子各掷一次，记事件“三个点数互不相同”，事件“至少出现一个5点”，则（ ） A． B． C． D． 8．某中学《同唱华夏情，共圆中国梦》文艺演出在学校演艺大厅开幕，开幕式中文艺表演由6个节目组成，若考虑整体效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：节目《文明之光》必须排在前三位，且节目《一带一路》、《命运与共》必须挨着，则开幕式文艺表演演出顺序的编排方案共有（ ） A．120种 B．156种 C．188种 D．240种 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．在的展开式中，下列说法中正确的有（ ） A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为0 C．系数最大的项为第4项和第5项 D．存在常数项 10．下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 11．下列说法正确的是（ ） A．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 B．已知随机变量，若，，则 C．已知，则 D．从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．安排6名歌手的演出顺序时，要求某歌手既不第一个出场，也不最后一个出场，共有________种不同的排法； 13．已知曲线在点处的切线方程为，则值为________． 14．已知数列的前项和公式为，则的通项公式为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知的周长为，且． （1）求边的长； （2）若的面积为，求角的度数． 16．袋子中装有大小形状完全相同的5个小球，其中红球3个白球2个，现每次从中不放回的取出一球，直到取到白球停止． （1）求取球次数的分布列； （2）求取球次数的期望和方差． 17．已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间和极值． 18．已知双曲线:的离心率为，且过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线C右焦点的直线l与双曲线相交于，两点，若线段的长为8，求直线的方程． 19．已知1是函数的极值点，在处的切线与直线垂直． （1）求，的值； （2）若函数在上有最大值2，在上有最小值也有最大值，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案和解析 1．A 2．C 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．A 9．AB 10．BD 11．AC 12．480 13． 14． 15．【答案】解：（1）的周长为， ， ， ∴由正弦定理得， ； （2）的面积， ， ， ， ∴由余弦定理得， ， ． 【解析】此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于常考题． （1）由正弦定理化简已知的等式，得到，及的关系式，根据周长的值，求出的值即可； （2）由三角形的面积公式表示出三角形的面积，使其等于已知的面积，得到的值，又根据第一问求出的的值，得到的值，配方后求出的值，然后利用余弦定理表示出，把得到的，及的值代入求出的值，由为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可得到的度数． 16．【答案】解：（1）由题设知，，2，3，4 ， ， ， ， 则的分布列为 1 2 3 4 （2）则取球次数的期望 ， 的方差． 【解析】本题考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于基础题． （1）根据相互独立事件概率求出离散型随机变量的分布列； （2）由分布列求期望和方差． 17．【答案】解：（1）易知，则，又， 则在处的切线方程为； （2）的定义域为，令得，，， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 极小 所以的递增区间为；递减区间为；极小值为，无极大值． 【解析】 （1）求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程； （2）求定义域，求导，令，再列表分析函数的单调性，进而得到单调区间和极值情况． 18．【答案】 解：（1）因为双曲线的离心率为，且过点， 所以，解得，，， 因此双曲线的标准方程为． （2）右焦点为， 当直线无斜率时，此时，代入双曲线方程可得，满足， 当直线有斜率，此时设直线的方程为， 由，可得， 设、，，， 由根与系数的关系可得：，， ， 解得，故，故直线的方程为．综上可得或 【解析】本题考查了双曲线的概念及标准方程，双曲线的性质及几何意义，直线的点斜式方程和直线与圆锥曲线相交的弦长，属于中档题． （1）利用双曲线的离心率公式和标准方程，结合题目条件得，最后计算得结论； （2）直线的方程为，代入双曲线方程，设、，运用韦达定理和弦长公式即可求解． 19．【答案】 解：（1）易知切线斜率为 ，，， 所以，； （2），， ，，的变化情况如下表所示 1 2 + 0 0 + 递增 递减 递增 所以在上单调递增，在上单调递减，上单调递增，所以，所以，所以，又在上有最大值和最小值，所以． 【解析】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的最值问题，属于基础题． 学科网（北京）股份有限公司 $