广东广州市铁一中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

**基本信息** 这份八年级期中数学试卷聚焦函数与几何核心知识，通过航海情境、折纸探究等真实问题设计，融合数形结合与动态思维，体现数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|函数自变量取值、勾股定理、一次函数性质|第5题以航海情境考查勾股定理应用，体现数学建模| |填空题|6/24|多边形内角、一次函数增减性、中点四边形|第16题结合菱形动点与函数图象，渗透数形结合| |解答题|9/86|二次根式运算、四边形证明、动态几何|24题通过折纸探究黄金矩形，25题正方形中对称与最值，培养推理与创新意识|

广东省广州市越秀区铁一中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（4分）函数中自变量x的取值范围是（　　） A．x≥2 B． C． D． 2．（4分）下列各组数作为三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（　　） A．2、3、4 B．3、4、5 C．1、、 D．、、 3．（4分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（4分）对于一次函数y＝x+2，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点（2，0） B．图象不经过第三象限 C．y随x的增大而减小 D．图象可由直线y＝x向上平移2个单位长度得到 5．（4分）如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西50°方向航行，那么慢船沿（　　）方向航行． A．南偏西40° B．北偏西40° C．南偏西50° D．北偏西50° 6．（4分）已知正比例函数y＝kx，且y随x的增大而减少，则直线y＝2x+k的图象是（　　） A． B． C． D． 7．（4分）已知函数y＝（m﹣2）x|m﹣3|+m+2是一次函数，则m的值为（　　） A．2 B．4 C．2或4 D．±4 8．（4分）下列说法正确的是（　　） A．四条边相等的四边形是矩形 B．有一个角是90°的平行四边形是正方形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 9．（4分）如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是BO、CO的中点，连接AO．若AO＝6cm，BC＝8cm，则四边形DEFG的周长是（　　） A．14cm B．18cm C．24cm D．28cm 10．（4分）如图，矩形ABCD的边AB＝，BC＝3，E为AB上一点，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，连接CG，则CG的最小值为（　　） A． B． C．3 D．2 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）. 11．（4分）比较大小： 　 　 3． 12．（4分）一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形的边数是　 　 ． 13．（4分）点（1，y1），（﹣2，y2）在直线y＝﹣2x+b上，则y1，y2的大小关系是　 　 ． 14．（4分）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，AC与BD应满足的条件是　 　 ． 15．（4分）已知，则＝　 　 ． 16．（4分）如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，则PO的长为 　 　 ． 三、解答题（共9小题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算： （1）； （2）． 18．（6分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°． （1）尺规作图：在线段BC上截取BE＝AD，连接DE（保留作图痕迹，军写作法）； （2）若AD＝3，AB＝4，BC＝5，求CD的长度． 19．（8分）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示， （1）化简：； （2）点（a，b）在一次函数y＝2x﹣1的图象上，求P的值． 20．（8分）某农户种植一种经济作物，总用水量y（m3）与种植时间x（天）之间的函数关系式如图所示． （1）分别求出当0≤x≤20和x＞20时，y与x之间的函数关系式； （2）若种植时间为11天，总用水量为多少？种植时间为多少天时，总用水量达到7000m3？ 21．（8分）已知直线l1：y＝（m﹣1）x+4m+2的图象与直线l2：的图象平行． （1）求直线l1的函数解析式，并在直角坐标系中画出该函数图象； （2）直线l的函数图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，P（0，a）为y轴上的一个动点，当△ABP的面积为8时，求a的值． 22．（10分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，DP∥AC，CP∥BD． （1）求证：四边形OCPD是矩形； （2）若AC＝6，BD＝8，求OP的长． 23．（12分）在“勾股定理”的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．由得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． （1）【类比运用】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内： ①画出顶点在格点的△ABC，其中，，； ②求出①中所画△ABC的面积． （2）【拓展运用】 ①在图3中，设A（x1，y1），B（x2，y2），AC∥y轴，BC∥x轴，AC⊥BC于点C，则AC＝ 　 　 ，BC＝ 　 　 ，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：； ②求代数式的最小值为 　 　 ． 24．（14分）数学兴趣小组在开展“折纸数学”探究活动时，利用一张矩形纸片ABCD进行了如下两步深度操作． 活动探究 解决问题 巧构特殊角 1．对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开． 2．再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，使纸片展平． 问题一： 图1中∠ABM的度数为　 　 ，请说明你的理由. 妙分黄金矩形 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片ABCD，长．如图2，折叠纸片ABCD，点B落在AD上的点E处，折痕为AF，连接EF．然后将纸片展开． 问题二： 证明四边形CDEF是黄金矩形； 在图2的基础上，取AE的中点G，如图3，连接FG，折叠纸片ABCD，点B落在FG上的点H处，折痕为FP，过点P作PQ⊥EF于点Q． 问题三： 四边形BFQP是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 25．（14分）在▱ABCD中，O为对角线的交点，点E为AB上的一动点，将射线OE绕点O逆时针旋转90°交AD于点F． （1）如图1，在平面直角坐标系中，对角线AC、BD分别在x轴、y轴上，若∠ABD＝60°，OE⊥AB，AB＝4，则点A的坐标为 　 　 ，OF的长为 　 　 ． （2）如图2，若▱ABCD是矩形，连接EF，探究BE、EF与FD的数量关系，并证明； （3）如图3，若▱ABCD是正方形，连接EF，点O关于直线EF的对称点为P，连接BP、CP，若BP+CP的最小值为，求AB的长． 广东省广州市越秀区铁一中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（4分）函数中自变量x的取值范围是（　　） A．x≥2 B． C． D． 【分析】由二次根式的被开方数大于等于0问题可解． 【解答】解：根据3x﹣1≥0，得． 故选：C． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，解答时注意通过二次根式被开方数要大于等于零求出x取值范围． 2．（4分）下列各组数作为三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（　　） A．2、3、4 B．3、4、5 C．1、、 D．、、 【分析】欲求证是否为直角三角形，根据给出三边的长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可，如果相等就是直角三角形，如果不等就不是直角三角形． 【解答】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项错误； B、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项正确； C、12+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故此选项错误； D、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故此选项错误． 故选：B． 【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理的应用．关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 3．（4分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式混合运算的法则进行计算即可． 【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、＝3≠﹣3，原计算错误，不符合题意； C、÷＝＝2≠4，原计算错误，不符合题意； D、×＝＝1，正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 4．（4分）对于一次函数y＝x+2，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点（2，0） B．图象不经过第三象限 C．y随x的增大而减小 D．图象可由直线y＝x向上平移2个单位长度得到 【分析】根据图象与系数的关系，一次函数的性质，图象的平移，一次函数图象分布解答即可． 【解答】解：根据图象与系数的关系，一次函数的性质逐项分析判断如下： 在y＝x+2中，当x＝2时，y＝4， ∴一次函数图象过点（2，4），故A不符合题意； ∵k＝1＞0，b＝2＞0， ∴一次函数图象经过第一、二，三象限，y随着x的增大而增大，故B，C不符合题意； 一次函数图象可由直线y＝x向上平移2个单位长度得到y＝x+2，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数图象的分布和性质，图象的平移，熟练掌握图象分布，性质，平移是解题的关键． 5．（4分）如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西50°方向航行，那么慢船沿（　　）方向航行． A．南偏西40° B．北偏西40° C．南偏西50° D．北偏西50° 【分析】根据三角形的三边长，可知AC2+BC2＝AB2，得∠ACB＝90°，从而得出答案． 【解答】解：由题意知，AC＝24海里，BC＝10海里，AB＝26海里， ∵AC2+BC2＝400，AB2＝400， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∵甲船沿北偏西50°方向航行， ∴乙船以南偏西40°方向航行． 故选：A． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解直角三角形﹣方向角问题，判断△ABC是直角三角形是解题的关键． 6．（4分）已知正比例函数y＝kx，且y随x的增大而减少，则直线y＝2x+k的图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据正比例函数的增减性判断出k的符号，再由一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【解答】解：∵正比例函数y＝kx，且y随x的增大而减少， ∴k＜0． 在直线y＝2x+k中， ∵2＞0，k＜0， ∴函数图象经过一三四象限． 故选：D． 【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 7．（4分）已知函数y＝（m﹣2）x|m﹣3|+m+2是一次函数，则m的值为（　　） A．2 B．4 C．2或4 D．±4 【分析】形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数，由此解答即可． 【解答】解：根据题意得|m﹣3|＝1且m﹣2≠0， 解得m＝4， 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握这个定义是解题的关键． 8．（4分）下列说法正确的是（　　） A．四条边相等的四边形是矩形 B．有一个角是90°的平行四边形是正方形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【分析】根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的判定方法进行判断即可． 【解答】解：A．四条边相等的四边形是菱形，故选项错误，不符合题意； B．有一个角是90°的平行四边形是矩形，故选项错误，不符合题意； C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项正确，符合题意； D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查了菱形、矩形、正方形、平行四边形的判定，熟练掌握相关判定方法是解题的关键． 9．（4分）如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是BO、CO的中点，连接AO．若AO＝6cm，BC＝8cm，则四边形DEFG的周长是（　　） A．14cm B．18cm C．24cm D．28cm 【分析】主要考查平行四边形的判定以及三角形中位线的运用，由中位线定理，可得EF∥AO，FG∥BC，且都等于边长BC的一半．分析到此，此题便可解答． 【解答】解：∵BD，CE是△ABC的中线， ∴ED∥BC且ED＝BC， ∵F是BO的中点，G是CO的中点， ∴FG∥BC且FG＝BC， ∴ED＝FG＝BC＝4cm， 同理GD＝EF＝AO＝3cm， ∴四边形EFDG的周长为3+4+3+4＝14（cm）． 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理，三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据． 10．（4分）如图，矩形ABCD的边AB＝，BC＝3，E为AB上一点，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，连接CG，则CG的最小值为（　　） A． B． C．3 D．2 【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△FEA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解． 【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3， ∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3， ∵AE＝1， ∴BE＝， ∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°， ∴∠GEH+∠EGH＝90°，∠GEH+∠FEA＝90°， ∴∠EGH＝∠FEA， 在△GEH和△FEA中， ， ∴△GEH≌△EFA（AAS）， ∴GH＝AE＝1， ∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动， ∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3， ∴CG的最小值＝＝， 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）. 11．（4分）比较大小： 　＜　 3． 【分析】求出3＝，再根据实数的大小比较法则比较即可． 【解答】解：∵3＝＞， ∴＜3， 故答案为：＜． 【点评】本题考查了实数的大小比较的应用，主要考查学生的理解能力． 12．（4分）一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形的边数是　5　 ． 【分析】一个多边形的每一个内角都等于108°，根据内角与相邻的外角互补，因而每个外角是72度．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出多边形的边数． 【解答】解：180﹣108＝72， 多边形的边数是：360÷72＝5． 则这个多边形是五边形． 故答案为：5． 【点评】考查了多边形内角与外角，已知多边形的内角求边数，可以根据多边形的内角与外角的关系来解决． 13．（4分）点（1，y1），（﹣2，y2）在直线y＝﹣2x+b上，则y1，y2的大小关系是y1＜y2 ． 【分析】由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，结合1＞﹣2，即可得出y1＜y2． 【解答】解：∵k＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点（1，y1），（﹣2，y2）在直线y＝﹣2x+b上，且1＞﹣2， ∴y1＜y2． 故答案为：y1＜y2． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”是解题的关键． 14．（4分）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，AC与BD应满足的条件是AC＝BD ． 【分析】根据三角形中位线定理得到EF＝AC，FG＝BD，GH＝AC，EH＝BD，再根据菱形的判定解答． 【解答】解：∵E、F、G、H分别为CD、AD、AB、BC的中点， ∴EF、FG、GH、EH分别为△ADC、△ABD、△ABC、△BCD的中位线， ∴EF＝AC，FG＝BD，GH＝AC，EH＝BD， 当AC＝BD时，EF＝FG＝GH＝EH，此时，四边形EFGH为菱形， 故答案为：AC＝BD． 【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定是解题的关键． 15．（4分）已知，则＝　7　 ． 【分析】由已知条件入手，两边同时平方，可得﹣2＝5，再把等式变形即可． 【解答】解：∵， ∴两边同时平方，得﹣2＝5， ∴＝7． 故答案为：7． 【点评】此题主要考查了完全平方公式的运用． 16．（4分）如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，则PO的长为 　　 ． 【分析】根据题意可得点P从A→B时，AP＝x逐渐增大，当x＝0时，OP＝OA＝4，当OP⊥AB时，y值最小，当点P继续运动到点B时，y值逐渐增大，即当点P运动到点B时，OP＝OB＝2，由勾股定理得到，再根据直线三角形斜边中线等于斜边的一半，由此即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴OA，OB是Rt△AOB的直角边，AB是斜边， ∴点P从A→B时，AP＝x逐渐增大， 根据图2可得，当x＝0时，OP＝OA＝4， 当OP⊥AB时，在Rt△BOP中，OP是直角边，OB是斜边， ∴OP＜OB，即OP＝y，逐渐减小，当OP⊥AB时，y值最小，当点P继续运动到点B时，y值逐渐增大，即当点P运动到点B时，OP＝OB＝2， 同理，点P从B→C时，OP＝y逐渐减小，到OP⊥BC时有最小值，之后逐渐增大，当点P运动到点C时，OP＝OC＝4，此时停止运用， ∴， ∴点P运动到BC中点时，PO的长为， 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，动点与函数图形的综合，掌握菱形的性质，函数图象的增减性是解题的关键． 三、解答题（共9小题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先算括号里面的，再算除法即可； （2）利用平方差公式进行计算即可． 【解答】解：（1） ＝（3﹣2）÷ ＝÷ ＝1； （2） ＝9﹣5 ＝4． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，平方差公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 18．（6分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°． （1）尺规作图：在线段BC上截取BE＝AD，连接DE（保留作图痕迹，军写作法）； （2）若AD＝3，AB＝4，BC＝5，求CD的长度． 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）证明四边形ABED是平行四边形，利用勾股定理求出CD． 【解答】解：（1）图形如图所示： （2）∵AD＝BE，AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴AB＝DE＝4，AD＝BE＝3， ∵BC＝5， ∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2， ∵∠C＝90°， ∴CD＝＝＝2． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的判定和性质，梯形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 19．（8分）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示， （1）化简：； （2）点（a，b）在一次函数y＝2x﹣1的图象上，求P的值． 【分析】（1）观察数轴，可得出﹣1＜a＜0，b＞1，进而可得出a+1＞0，a﹣b＜0，再结合算术平方根及绝对值的定义，即可化简原式； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出b＝2a﹣1，进而可得出2a﹣b＝1，再将其代入P＝2a﹣b+1中，即可求出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：﹣1＜a＜0，b＞1， ∴a+1＞0，a﹣b＜0， ∴P＝a+1﹣（b﹣a）＝a+1﹣b+a＝2a﹣b+1； （2）∵点（a，b）在一次函数y＝2x﹣1的图象上， ∴b＝2a﹣1， ∴2a﹣b＝1， ∴P＝1+1＝2． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及数轴，解题的关键是：（1）观察数轴，找出a，b的取值范围；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征，找出2a﹣b＝1． 20．（8分）某农户种植一种经济作物，总用水量y（m3）与种植时间x（天）之间的函数关系式如图所示． （1）分别求出当0≤x≤20和x＞20时，y与x之间的函数关系式； （2）若种植时间为11天，总用水量为多少？种植时间为多少天时，总用水量达到7000m3？ 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出当0≤x≤20和x＞20时，y与x之间的函数关系式； （2）将x＝11和y＝7000代入相应的函数解析式，计算即可． 【解答】解：（1）当0≤x≤20时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx， ∵点（20，1000）在该函数图象上， ∴1000＝20k， 解得k＝50， 即当0≤x≤20时，y与x之间的函数关系式为y＝50x； 当x＞20时，设y与x之间的函数关系式为y＝ax+b， ∵点（20，1000），（30，4000）在该函数图象上， ∴， 解得， 即当x＞20时，y与x之间的函数关系式为y＝300x﹣5000； （2）将x＝11代入y＝50x，可得y＝50×11＝550， 将y＝7000代入y＝300x﹣5000，可得7000＝300x﹣5000， 解得x＝40， 答：种植时间为11天，总用水量为550m3，种植时间为多少天时，总用水量达到7000m3． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 21．（8分）已知直线l1：y＝（m﹣1）x+4m+2的图象与直线l2：的图象平行． （1）求直线l1的函数解析式，并在直角坐标系中画出该函数图象； （2）直线l的函数图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，P（0，a）为y轴上的一个动点，当△ABP的面积为8时，求a的值． 【分析】（1）依据题意，由直线l1：y＝（m﹣1）x+4m+2的图象与直线l2：的图象平行，可得m＝，故直线l1：y＝﹣x+3，进而可以作图得解； （2）依据题意，可得A（4，0），B（0，3），从而BP＝|a﹣3|，故可得2|a﹣3|＝8，最后计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵直线l1：y＝（m﹣1）x+4m+2的图象与直线l2：的图象平行， ∴m﹣1＝﹣，则m＝． ∴直线l1：y＝﹣x+3． ∴当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝0． ∴作图如下． （2）∵直线l1的函数图象与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴A（4，0），B（0，3）． ∴BP＝|a﹣3|． ∴S△ABP＝BP•OA＝|a﹣3|×4＝2|a﹣3|＝8． ∴a＝7或﹣1． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 22．（10分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，DP∥AC，CP∥BD． （1）求证：四边形OCPD是矩形； （2）若AC＝6，BD＝8，求OP的长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质即可得到结论； （2）证明∠COD＝90°，CD＝＝5，四边形OCPD是矩形，从而可得答案． 【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠BAC ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴∠BAC＝∠ACB， ∴AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠COD＝90°， ∵DP∥AC，CP∥BD， ∴四边形OCPD是平行四边形， ∴四边形OCPD是矩形； （2）解：由题意可得： ∴OC＝AC＝3，OD＝BD＝4，AC⊥BD， ∴∠COD＝90°，CD＝＝5， ∵DP∥AC，CP∥BD，∠COD＝90°， ∴四边形OCPD是矩形， ∴OP＝CD＝5． 【点评】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记菱形的判定与性质是解本题的关键． 23．（12分）在“勾股定理”的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．由得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． （1）【类比运用】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内： ①画出顶点在格点的△ABC，其中，，； ②求出①中所画△ABC的面积． （2）【拓展运用】 ①在图3中，设A（x1，y1），B（x2，y2），AC∥y轴，BC∥x轴，AC⊥BC于点C，则AC＝ y1﹣y2 ，BC＝ x1﹣x2；　 ，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：； ②求代数式的最小值为 　　 ． 【分析】（1）①根据正方形网格的特征，按照要求构造出符合条件的△ABC即可； ②根据AC2+BC2＝AB2，由勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，然后由三角形的面积公式可求出△ABC的面积； （2）①根据AC∥y轴，BC∥x轴，结合点A，B的坐标得AC＝y1﹣y2，BC＝x1﹣x2； ②在平面直角坐标系中取点A（4，1），点B（2，9），在x轴取一点P（x，0），在y轴上取一点Q（0，y），则PA＝（，PQ＝，QB＝，＝PA+PQ+QB，由此求出PA+PQ+QB的最小值即可，作点A关于x轴的对称点A'A'（4，﹣1），作点B关于y轴的对称点B'（﹣2，9），则PA+PQ+QB＝PA'+PQ+QB'≥A'B'，进而得当点A'，P，Q，B'共线时，PA'+PQ+QB'为最小，最小值为点A'，B'之间的距离，然后再由两点间的坐标公式求出A'B'即可得出答案． 【解答】解：（1）①如图2所示：图中的格点△ABC为所求作的三角形，理由如下： ∵正方形网格中的小正方形的边长为1， ∴由勾股定理得：AC＝＝，BC＝＝，AB＝＝， ∴格点△ABC符合题意，为所求作的三角形； ②∵，，， ∴AC2+BC2＝AB2， 由勾股定理逆定理得：△ABC是直角三角形，且∠C＝90°， ∴△ABC的面积为：AC•BC＝＝2； （2）①∵点A（x1，y1），B（x2，y2），AC∥y轴，BC∥x轴， ∴AC＝y1﹣y2，BC＝x1﹣x2， ∵AC⊥BC于点C， ∴△ABC是直角三角形， 由勾股定理得：AB＝＝， 故答案为：y1﹣y2，x1﹣x2； ②在平面直角坐标系中取点A（4，1），点B（2，9），在x轴取一点P（x，0），在y轴上取一点Q（0，y），连接PB，QB，PQ，如图4所示： 由两点间的坐标公式得：PA＝（，PQ＝，QB＝， ∴＝PA+PQ+QB， ∴当PA+PQ+QB为最小时，代数式的值为最小， 作点A关于x轴的对称点A'，则点A'（4，﹣1），作点B关于y轴的对称点B'，则点B'（﹣2，9）， ∴PA'＝PA，QB'＝QB， ∴PA+PQ+QB＝PA'+PQ+QB'， ∴当PA'+PQ+QB'为最小时，PA+PQ+QB为最小， 根据“两点间线段最短”得：PA'+PQ+QB'≥A'B'， ∴当点A'，P，Q，B'共线时，PA'+PQ+QB'为最小，最小值为点A'，B'之间的距离， 由两点间的坐标公式得：A'B＝＝， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了坐标与图形，勾股定理及其逆定理，两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理及其逆定理，两点间的距离公式是解决问题的关键． 24．（14分）数学兴趣小组在开展“折纸数学”探究活动时，利用一张矩形纸片ABCD进行了如下两步深度操作． 活动探究 解决问题 巧构特殊角 1．对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开． 2．再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，使纸片展平． 问题一： 图1中∠ABM的度数为　30°　 ，请说明你的理由. 妙分黄金矩形 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片ABCD，长．如图2，折叠纸片ABCD，点B落在AD上的点E处，折痕为AF，连接EF．然后将纸片展开． 问题二： 证明四边形CDEF是黄金矩形； 在图2的基础上，取AE的中点G，如图3，连接FG，折叠纸片ABCD，点B落在FG上的点H处，折痕为FP，过点P作PQ⊥EF于点Q． 问题三： 四边形BFQP是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【分析】（1）BM交EF于P，根据折叠的性质得∠BNM＝∠A＝90°，∠2＝∠3，EF∥AD，AE＝BE，则可得EP为△BAM的中位线，利用平行线的性质得∠1＝∠NBC，根据斜边上的中线性质得PN＝PB＝PM，∠1＝∠2，从而得到∠NBC＝∠2＝∠3，然后利用∠NBC+∠2+∠3＝90°，可得到∠ABM的度数； （2）先证明四边形ABEF是正方形；可得AB＝BF＝EF＝AE，，证明四边形CFED是矩形，从而可得答案； （3）先证四边形BFQP 是矩形，然后求得，由对折可得：FH＝FB＝2，设BP＝PH＝x，则AP＝2﹣x，由面积可得：S△APG+S△PBF+S△PGF＝S梯形ABFG，列方程可求，再进一步可得结论． 【解答】（1）解：BM交EF于P，如图， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝∠ABC＝90°， ∵折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN， ∴∠BNM＝∠A＝90°，∠2＝∠3， ∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF， ∴EF∥AD，AE＝BE， ∴EP为△BAM的中位线，∠1＝∠NBC， ∴P点为BM的中点， ∴PN＝PB＝PM， ∴∠1＝∠2， ∴∠NBC＝∠2＝∠3， ∵∠NBC+∠2+∠3＝90°， ∴∠ABM＝∠3＝30°， 故答案为：30°； （2）证明：∵折叠黄金矩形纸片ABCD，点B落在AD上的点E处， ∴AB＝AE，∠B＝∠AEF， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAE＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，， ∴∠BAE＝∠B＝∠AEF＝90°， ∴， ∴， ∴四边形ABFE是矩形， ∵AB＝AE， ∴四边形ABFE是正方形； ∴AB＝BF＝EF＝AE， ∴AB＝BF＝EF＝AE＝2， ∴， ∵∠C＝∠D＝∠DEF＝90°， ∴四边形CFED是矩形， ∴EF＝CD＝2， ∴， ∴四边形CFED是黄金矩形； （3）解：四边形BFQP是黄金矩形，理由如下， ∵PQ⊥EF，四边形ABFE是正方形， ∴∠B＝∠BFE＝∠PQF＝90°， ∴四边形BFQP是矩形； 由（2）可知，AB＝BF＝AE＝EF＝2， ∵G为AE的中点， ∴AG＝EG＝1， ∴， 由对折可得：FH＝FB＝2，BP＝PH，∠PHF＝∠B＝90°， 设BP＝PH＝x，则 AP＝2﹣x， ∵S△APG+S△PBF+S△PGF＝S梯形ABFG， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴四边形BFQP是黄金矩形． 【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换等，掌握综合知识是解题的关键． 25．（14分）在▱ABCD中，O为对角线的交点，点E为AB上的一动点，将射线OE绕点O逆时针旋转90°交AD于点F． （1）如图1，在平面直角坐标系中，对角线AC、BD分别在x轴、y轴上，若∠ABD＝60°，OE⊥AB，AB＝4，则点A的坐标为 　（﹣2，0）　 ，OF的长为 　2　 ． （2）如图2，若▱ABCD是矩形，连接EF，探究BE、EF与FD的数量关系，并证明； （3）如图3，若▱ABCD是正方形，连接EF，点O关于直线EF的对称点为P，连接BP、CP，若BP+CP的最小值为，求AB的长． 【分析】（1）可判定▱ABCD是菱形和△ABD是等边三角形，进而求得OA的长，从而得出A点坐标；可证得OF＝DF＝AF＝，从而得出结果； （2）连接BD，延长EO，交CD于G，连接FG，可证得△BOE≌△DOG（AAS），从而DG＝BE，OE＝OG，进而垂直平分线的性质得出FG＝EF，进一步得出结果； （3）作OH⊥AB于H，OW⊥AD于W，作PG⊥AD于G，可证得△EOH≌△FOW，从而得出OE＝OF，进而证得矩形AWOH是正方形，从而得出AW＝OW，可证得△PFG≌△FOW，从而FG＝OW，PG＝FW，进而得出∠GAP＝∠APG＝45°，从而得出点P在与AC成90° 的直线上运动，延长CA至R，使AR＝AC，作AV⊥AB于V，丽娜姐BR，交直线AP于P′，当点P在P′处时，BP+CP最小，最小值是BR＝2，进一步得出结果． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵对角线AC、BD分别在x轴、y轴上， ∴AC⊥BD， ∴AB＝AD， ∴▱ABCD是菱形， ∴∠BAC＝∠CAD，AD＝AB＝4， ∵∠ABD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠BAD＝60°， ∴∠BAC＝∠CAD＝30°， ∴OB＝AB＝2， ∴OA＝＝2， ∴A（﹣2， ∵射线OE绕点O逆时针旋转90°， ∴OE⊥OF， ∵OE⊥AB， ∴AB∥OF， ∴∠BAC＝∠AOF， ∴AF＝OF， ∵∠BAC+∠ADO＝∠AOF+∠DOF＝90°， ∴∠ADO＝∠DOF， ∴OF＝DF， ∴OF＝DF＝AF＝， 故答案为：（﹣2），2； （2）如图1， BE2+FD2＝EF2.理由如下： 连接BD，延长EO，交CD于G，连接FG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，OB＝OD，∠ADC＝90°， ∴∠ABO＝∠CDO，∠BEO＝∠DGO， ∴△BOE≌△DOG（AAS）， ∴DG＝BE，OE＝OG， ∵OF⊥OE， ∴FG＝EF， ∵DG2+DF2＝FG2， ∴BE2+FD2＝EF2； （3）如图2， 作OH⊥AB于H，OW⊥AD于W，作PG⊥AD于G， ∴∠OHE＝∠OWF＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC平分∠BAD，∠BAD＝90°， ∴OW＝OH，四边形AWOH是矩形， ∴矩形AWOH是正方形，∠HOW＝90°， ∴AW＝OW， ∵射线OE绕点O逆时针旋转90°交AD于点F， ∴∠EOF＝90°， ∴∠EOF＝∠HOW， ∴∠EOH＝∠FOW， ∴△EOH≌△FOW（AAS）， ∴OE＝OF， ∴∠EFO＝∠OEF＝45°， ∵O和P关于FE对称， ∴FP＝OF，∠PFE＝∠EFO＝45°， ∴∠OFP＝90°， ∴∠PFG+∠OFW＝90°， ∵∠PGF＝∠OWF＝90°， ∴∠FOW+∠OFW＝90°， ∴∠PFG＝∠FOW， ∴△PFG≌△FOW（AAS）， ∴FG＝OW，PG＝FW， ∴FG＝AW， ∴AG＝FW， ∴PG＝AG， ∴∠GAP＝∠APG＝45°， ∴∠PAC＝90°， ∴点P在与AC成90° 的直线上运动， 延长CA至R，使AR＝AC，作AV⊥AB于V，连接BR，交直线AP于P′， 当点P在P′处时，BP+CP最小，最小值是BR＝2， 可得AV＝AB＝BC＝RV， ∵RV2+BV2＝BR2， ∴， ∴AB＝2． 【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查平行四边形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $