精品解析：广东深圳市南山外国语学校（集团）2025-2026学年第二学期期中考试八年级数学试卷

2025-2026学年第二学期期中考试 八年级 数学试卷 （试卷总分：100分 考试时间：90分钟） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指绕一个点旋转后能与自身重合的图形 ，然后根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项，图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B选项，图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C选项，图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D选项，图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． 2. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用因式分解的定义进行判断即可得出答案． 【详解】解：A、，属于整式乘法，故A不符合题意； B、，属于因式分解，故B符合题意； C、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，故C不符合题意； D、，属于整式乘法，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，正确掌握相关定义是解题关键． 3. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐项判定即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，，，， 观察四个选项，正确结论是B． 4. 如图，直线交坐标轴于A，B两点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察图象，直线位于x轴上方部分对应的自变量取值即为不等式的解集． 【详解】解：观察图象得：不等式的解集是， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，注意从数与形两方面来理解一元一次不等式与一次函数的关系． 5. 如图，，，下列根据“”定理，添加一个条件可以使得成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定定理，根据判定定理“”即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在和中，斜边， ∴要利用“”判定，则应添加条件直角边或， 故选：． 6. 历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是心思，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式，，进行求解即可． 【详解】解：八边形的内角和为． 7. 如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图： ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ． 8. 下图表示甲、乙两人依次进入电梯时，电梯因超重而响起警示音的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯乘载的重量超过时警示音响起，且甲、乙的体重分别为．若甲进入电梯前，电梯内已乘载的重量为，则满足题意的不等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了于实际问题抽象出一元一次不等式组，解决本题的关键是根据题意找到不等关系．由图可得，甲的重量为，且进入电梯后，警示音没有响起；乙的重量为，进入电梯后，警示音响起，分别列出不等式即可求解． 【详解】解：由题意可知：当电梯乘载的重量超过时警示音响起，甲进入电梯前，电梯内已乘载的重量为， 由图可知： 甲的重量为，且进入电梯后，警示音没有响起， 所以此时电梯乘载的重量，解得， 因为乙的重量为，且进入电梯后，警示音响起， 所以此时电梯乘载的重量，解得， 因此． 故选：A． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 不大于的倍，用不等式表示为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定的倍为，“不大于”表示不等关系为小于等于，根据题干描述即可列出对应不等式． 【详解】解：根据题意，的倍为， 不大于， 可得不等式：． 10. 如图中，平分，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，根据角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】过点作于点，如图所示， ∵平分，， ∴ ∵ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 11. 如图是一个地铁站入口双翼闸机的示意图，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝61cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体最大宽度为_____． 【答案】71cm． 【解析】 【分析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出AE与BF的长度，然后求出EF的长度即可得出答案． 【详解】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F， ∵AC＝61，∠PCA＝30°， ∴AE＝AC＝， 由对称性可知：BF＝AE， ∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB＝61+10＝71， 故答案为71cm． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度的直角直角三角形的性质． 12. 大沙河生态长廊风景如画，为市民提供了休闲运动的场所．如图是其中一段直线型绿道，亲水平台、生态湿地分别坐落于绿道两侧且到绿道的垂直距离均为200米，两者在绿道上的投影点之间的距离（即线段的长度）为400米，绿道上规划了一段100米的便民服务带（具体位置未定），两端分别设置饮水站和休息亭．如果一位市民从亲水平台出发，到饮水站喝水，再沿服务带走到休息亭休息，最后前往生态湿地参加活动，他行走的最短路程是_____________米． 【答案】600 【解析】 【分析】如图，过作，，连接，，延长与的延长线交于点，可得，，，，可得，再进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过作，，连接，，延长与的延长线交于点， 结合题意可得：，四边形为平行四边形，四边形为矩形， ∴，，，， ∴，， 当三点共线时，最短， ∴， ∴， ∴他行走的最短路程是米． 13. 如图，是等边内的一点，．若的面积为，则边的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】将绕点C逆时针旋转得到，作交的延长线于点F，首先证明出是等边三角形，然后设，则，得到，根据求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，作交的延长线于点F， ∴，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴解得（负值舍去）， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转综合题，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的基本方法，是解题的关键． （1）用提公因式法分解因式即可； （2）先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 15. 下面是某同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①去分母，得 第一步 去括号，得 第二步 移项，得 第三步 合并同类项，得 第四步 （1）任务一：以上解题过程从第__________步开始出现错误，这一步的正确写法应为__________； （2）任务二：请写出正确的解题过程，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）一； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据解一元一次不等式的基本步骤进行判断即可； （2）按照解一元一次不等式的步骤求解，把解集表示在数轴上即可． 【小问1详解】 解：以上解题过程从第一步开始出现错误，常数项1没有乘以10，正确写法应该是； 【小问2详解】 解： 由①去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：； 由②移项得：， 解得：； 不等式组的解集为：； 将解集表示在数轴上，如图所示： 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和点均为格点（网格线的交点）．已知点，． （1）将平移得到，使得点的对应点为，在所给的网格中画出；线段和的关系是_____________；若内任意一点的坐标为，则平移后其对应点的坐标为_____________． （2）以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，请在所给的网格中画出，点的坐标是_____________． 【答案】（1）见解析；且； （2）见解析； 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质找到点A，B的对应点，然后顺次连接即可得出，根据平移的性质得出线段和的关系，根据平移规律得出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质找到点A，B的对应点，再顺次连接即可求解． 【小问1详解】 解：∵点，，将平移得到，使得点的对应点为， ∴将向右平移4个单位，向下平移3个单位，得到， 如图，即为所求； 根据平移可得：且； 内任意一点的坐标为，则平移后其对应点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的三角形；根据图可得点的坐标是． 17. 下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 排球是体育中考的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的排球25个，种品牌的排球50个，共花费4500元，已知，求、两种品牌排球的单价． 小明通过查看例题的解析发现： 解：设A种品牌排球的单价为元，B种品牌排球的单价为元，则列出二元一次方程组：，…… （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是：__________（填序号）． ①A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价低30元； ②A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价高30元． （2）请按照例题解析的思路，将省略部分补充完整． （3）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进、两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买A种品牌的排球不少于23个，学校共有哪几种购买方案？ 【答案】（1）② （2）见解析 （3）方案1：购买种品牌的排球23个，种品牌的排球27个；方案2：购买种品牌的排球24个，种品牌的排球26个；方案3：购买种品牌的排球25个，种品牌的排球25个 【解析】 【分析】（1）根据所列方程得到被覆盖的条件； （2）解方程组即可； （3）设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个，根据“购买、两种品牌排球的总费用不超过元，且购买A种品牌的排球不少于个”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合x为正整数，即可得出共有种购买方案． 【小问1详解】 解：根据方程可知，种品牌排球的单价比种品牌排球的单价高元， ∴例题中被覆盖的条件是②； 【小问2详解】 解：设A种品牌排球的单价为元，B种品牌排球的单价为元， 则列出二元一次方程组：， 解得： ， 答：种品牌排球的单价为80元．种品牌排球的单价为50元； 【小问3详解】 解：设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个， 依题意得： 解得：， 又为正整数， 可以为23，24，25， 共有3种购买方案， 方案1：购买种品牌的排球23个，种品牌的排球27个； 方案2：购买种品牌的排球24个，种品牌的排球26个； 方案3：购买种品牌的排球25个，种品牌的排球25个． 18. 如图，在等边中，，是边上的一点，点在边的延长线上． （1）若___________，求证：．（请从信息①为的中点，②中选择一个填横线中，将题目补充完整，并完成证明．） （2）在（1）的条件下，用圆规和无刻度的直尺作中边上的高（保留作图痕迹，不写作法），若，求的长． 【答案】（1）①（或②）；证明见解析 （2）见解析； 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质分别进行证明即可； （2）根据尺规作垂线的方法作图即可；根据含角的直角三角形的性质得出，根据，，得出． 【小问1详解】 解：选①： ∵是等边三角形，且D为的中点， ∴平分，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 选②： ∵是等边三角形，， ∴平分，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，即为所求的高线； ∵， ∴， ∵在等边中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 19. 阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 数学方法 换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例：把因式分解 方法一：整体换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式 方法二：均值换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式 任务： （1）例题中两种方法对多项式因式分解的结果均不彻底，其因式分解的正确结果为____________． （2）请从上述两种方法选择一种你喜欢的方法将多项式因式分解，并说明你选择这种方法的理由． 【答案】（1） （2）若选择整体换元法，因式分解结果为，理由：该方法思路直接，易于理解掌握；若选择均值换元法，因式分解结果也为，理由：该方法计算更简便，运算量更小． 【解析】 【分析】（1）将继续用完全平方公式进行分解，即可求解； （2）选择整体换元法：把“”看成一个整体，令，由（1）同理进行因式分解，即可求解；选择均值换元法： 把“”看成一个整体，令，进一步可求解． 【小问1详解】 解：把“”看成一个整体，令． 原式 ． 【小问2详解】 解：选择整体换元法：把“”看成一个整体，令． ； 该方法思路直接，易于理解掌握； 选择均值换元法： ∵， ∴把“”看成一个整体，令． 原式 ， 该方法计算更简便，运算量更小． 20. 我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接，我们称是的“旋补交差三角形”，连接、，我们将、所在直线的相交而成的角称之为“旋补交差角”．如图1，即为“旋补交差角”． （1）当，则“旋补交差角”____________． （2）若图1中的度数发生改变，则“旋补交差角”度数是否发生改变？若不发生改变，请求出这个角度；若发生改变，请说明理由． （3）已知图2中是“旋补交差三角形”，的长度等于4，中点为点，求出的长度． 【答案】（1）90 （2）不变； （3） 【解析】 【分析】1）根据旋转得出，根据证明、C、B三点共线，、C、A三点共线，即可得出答案； （2）证明，得出，根据，结合三角形内角和定理得出，即可得出答案； （3）延长，取点F，使，连接，证明，得出，，证明，得出，求出即可． 【小问1详解】 解：根据旋转可得：， ∵， ∴， ∴、C、B三点共线，、C、A三点共线， ∴点O与点C重合， ∴； 【小问2详解】 解：“旋补交差角”度数不变；即； 如图，设与交于点H， 根据旋转可得：，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 【小问3详解】 解：延长，取点F，使，连接，如图所示： ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 根据旋转可得：，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中考试 八年级 数学试卷 （试卷总分：100分 考试时间：90分钟） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线交坐标轴于A，B两点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，下列根据“”定理，添加一个条件可以使得成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是心思，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下图表示甲、乙两人依次进入电梯时，电梯因超重而响起警示音的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯乘载的重量超过时警示音响起，且甲、乙的体重分别为．若甲进入电梯前，电梯内已乘载的重量为，则满足题意的不等式是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 不大于的倍，用不等式表示为_____________． 10. 如图中，平分，则的面积是______． 11. 如图是一个地铁站入口双翼闸机的示意图，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝61cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体最大宽度为_____． 12. 大沙河生态长廊风景如画，为市民提供了休闲运动的场所．如图是其中一段直线型绿道，亲水平台、生态湿地分别坐落于绿道两侧且到绿道的垂直距离均为200米，两者在绿道上的投影点之间的距离（即线段的长度）为400米，绿道上规划了一段100米的便民服务带（具体位置未定），两端分别设置饮水站和休息亭．如果一位市民从亲水平台出发，到饮水站喝水，再沿服务带走到休息亭休息，最后前往生态湿地参加活动，他行走的最短路程是_____________米． 13. 如图，是等边内的一点，．若的面积为，则边的长为________． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 因式分解： （1）； （2）． 15. 下面是某同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①去分母，得 第一步 去括号，得 第二步 移项，得 第三步 合并同类项，得 第四步 （1）任务一：以上解题过程从第__________步开始出现错误，这一步的正确写法应为__________； （2）任务二：请写出正确的解题过程，并把它的解集表示在数轴上． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和点均为格点（网格线的交点）．已知点，． （1）将平移得到，使得点的对应点为，在所给的网格中画出；线段和的关系是_____________；若内任意一点的坐标为，则平移后其对应点的坐标为_____________． （2）以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，请在所给的网格中画出，点的坐标是_____________． 17. 下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 排球是体育中考的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的排球25个，种品牌的排球50个，共花费4500元，已知，求、两种品牌排球的单价． 小明通过查看例题的解析发现： 解：设A种品牌排球的单价为元，B种品牌排球的单价为元，则列出二元一次方程组：，…… （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是：__________（填序号）． ①A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价低30元； ②A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价高30元． （2）请按照例题解析的思路，将省略部分补充完整． （3）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进、两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买A种品牌的排球不少于23个，学校共有哪几种购买方案？ 18. 如图，在等边中，，是边上的一点，点在边的延长线上． （1）若___________，求证：．（请从信息①为的中点，②中选择一个填横线中，将题目补充完整，并完成证明．） （2）在（1）的条件下，用圆规和无刻度的直尺作中边上的高（保留作图痕迹，不写作法），若，求的长． 19. 阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 数学方法 换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例：把因式分解 方法一：整体换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式 方法二：均值换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式 任务： （1）例题中两种方法对多项式因式分解的结果均不彻底，其因式分解的正确结果为____________． （2）请从上述两种方法选择一种你喜欢的方法将多项式因式分解，并说明你选择这种方法的理由． 20. 我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接，我们称是的“旋补交差三角形”，连接、，我们将、所在直线的相交而成的角称之为“旋补交差角”．如图1，即为“旋补交差角”． （1）当，则“旋补交差角”____________． （2）若图1中的度数发生改变，则“旋补交差角”度数是否发生改变？若不发生改变，请求出这个角度；若发生改变，请说明理由． （3）已知图2中是“旋补交差三角形”，的长度等于4，中点为点，求出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $