精品解析：广东茂名市田家炳中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

茂名市田家炳中学2025-2026学年第二学期高二级期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 统计学中，常用的显著性水平以及对应的分位数如下表所示． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 在检验与是否有关的过程中，根据已知数据计算得，则（ ） A. 在犯错误的概率不超过1的前提下，可以认为与有关 B. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为与有关 C. 有的把握认为与有关 D. 有的把握认为与有关 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立性检验的应用判断选项. 【详解】因为，所以， 所以在犯错误的概率不超过的前提下， 可以认为与有关或有的把握认为与有关． 2. 学校组织研学，学生可以从内蒙、上海、杭州、陕西4个研学地点中任选一处前往，3个好朋友每人随机选择一个研学地点，则三人选到同一研学地点的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，三人选到同一研学地点的概率是. 3. 下列函数中，在区间内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，在内有增有减，不单调递增，故A错误； 对于B，，当时，，函数单调递减，因此在内不单调递增，故B错误； 对于C，，当时，故，即，函数在内单调递增，故C正确； 对于D，，当时，，即，函数单调递减，故D错误． 4. 等比数列的前项和为，，则（ ） A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的性质和基本量运算求出公比，再由前项和公式计算即得. 【详解】设等比数列的公比为，因，且， 故可将看成一元二次方程的两根，解得或. 当，则，解得，故； 当，则，解得，故. 故选：C. 5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将函数在区间上单调递增转化为在上恒成立，再由函数的最小值可得. 【详解】因为函数在上单调递增，且， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 因为函数在上单调递增，所以，因此. 所以实数的取值范围是 6. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则数列的前3项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】是首项为1，公差为2的等差数列， ， ， ， 数列的前3项和为： ． 7. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. 已知函数，若，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义求解判断A；求出导数并列式求得判断B；利用导数的运算法则求解判断C；两边求导再赋值求出判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由，求导得，则由，解得，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，由，求导得， 则，解得，D正确. 故选：D 8. 已知函数，若，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先利用导数判断出函数在单调递增，利用函数为偶函数可得上单调递减， 再由不等式可得，解不等式即可. 【详解】， 函数为偶函数， 由 则， 当时， 令，则， 所以在为增函数，， 所以，即， 所以函数在为增函数， 又因为函数在定义域内为偶函数， 则在为减函数， 由， 则， 所以，化简可得， 所以. 故选：A 【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式、利用导数判断函数的单调性、函数奇偶性的应用，属于中档题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全得3分. 9. 已知直线与直线，则下列选项正确的是（ ） A. 恒过定点 B. 若，则与圆相切 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A,将 , 代入 :,恒成立,故 A 正确. 对于B,当 时,,即 . 圆心 ,半径 ,圆心到直线的距离 , 故直线与圆相切,B 正确. 对于C,若 , 当 时, 即 ,,斜率分别为 和不存在,不平行. 当 时,,,由 得 ,即 , 整理得 ,即 ,解得 或 . 当 时,,,两直线平行不重合; 当 时, 即 , ， 即 ,两直线重合,故 时两直线重合而非平行,因此 C 错误. 对于D,若 ,当 时, 斜率不存在, 斜率为 ,不垂直. 当 时,,解得 ,即 ,,故 D 正确. 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 它的极大值为，极小值为 B. 有两个零点 C. 它的单调递减区间为 D. 它在点处的切线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先对函数求导，得到，通过分析导数的正负确定函数的单调区间与极值，再根据极值符号判断零点个数，最后利用导数的几何意义计算点处的切线方程，即可逐一验证选项． 【详解】，， 当时，， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 对于A，当时，取极大值， 当时，取极小值，A正确； 对于BC， 如图，在和上单调递增，在上单调递减，且，， 所以函数在，，各自有一个零点，分别为，共3个，B错误，C正确； 对于D，，，所以切线方程为，即， D正确． 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的极值点个数为2 D. 若方程有三个实数根，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数值判断A；利用导数研究函数的单调性、极值点，结合奇函数对称性判断B、C；作图并求出范围判断D. 【详解】函数是定义在上的奇函数，当时，， A，，错误； B、C，当时，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值， 由奇函数的对称性得，在上单调递减，且时取得极大值， 因此的极值点个数为2，B、C正确； D，在坐标平面内作出函数的图象，如图： 观察图象得当且仅当或时，函数的图象与直线有3个交点， 因此的取值范围是，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有__________种（用数字作答）. 【答案】72 【解析】 【分析】由题意先安排学生甲，再对另外四名学生进行全排即得. 【详解】根据题意，可分两步完成：第一步，先在中间三个位置上安排学生甲，有3种方法； 第二步，在留下的四个位置上安排另外4名学生，有种方法. 由分步乘法计数原理，不同站法数为种. 故答案为：72. 13. 已知直线是曲线的一条切线，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】设切点为，求导得，利用导数的几何意义求切点坐标，代回曲线方程即可得到答案. 【详解】设切点为，则，， 因为，所以， 由已知，解得，则， 则切点坐标为，代入曲线方程得，解得. 故答案为：4. 14. 已知椭圆：的右顶点和上顶点分别为A，B，原点O到直线的距离是C的焦距的，则C的离心率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】易得直线AB的方程为，再由原点到直线AB的距离为求解. 【详解】由题意知：，则直线AB的方程为， 所以原点到直线AB的距离为， 又，则，即， 解得，则， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. （1）计算：（结果用数字作答） （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】（1）； （2）由题意可得，，得. 根据排列数公式展开原方程：， 约去，可得， 化简得：，即， 解得或（舍去），故解为. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点F到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系， 解法一：根据空间向量平行的坐标表示得，所以，进而可得结论； 解法二：求出平面的法向量，可得，进而可得结论； （2）利用直线与平面所成角的向量解法求解； （3）根据点到平面的距离的向量公式求解. 【小问1详解】 以D为原点，，，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 解法一： 因为，，则，所以， 又因为A，E，F，四点不共线，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 解法二： 因为，， 设平面的一个法向量为， 则有，即，取，所以， 因为，所以，得， 又因为平面， 所以平面． 【小问2详解】 设直线与平面所成角为，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 设点F到平面的距离为d，因为， 所以， 所以点F到平面的距离为． 17. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求函数在上的值域； （3）设，证明：． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对求导，根据极值的定义即可求出答案； （2）根据函数的单调性，即可求出值域； （3）可化为，令，通过求导证明即可证明不等式. 【小问1详解】 已知函数的定义域为， 则， 因，故，令得， 当时，，在单调递增； 当时，， 在单调递减， 因此只有极小值，无极大值，且极小值为，无极大值． 【小问2详解】 由（1）的单调性可知在单调递减，在单调递增， 因此最小值为， 计算区间端点值，， 因为，所以， 故在上的最大值为， 因此在上的值域为． 【小问3详解】 因为， 由，得，即， 令，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立， 所以． 18. 已知正项等比数列满足，且成等差数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据等差中项建立关于公比的方程，解方程即可得公比，再根据通项公式求解即可； （2）结合（1）得，进而根据分组求和与错位相减法求和求解即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为． 因为成等差数列，所以． 因为，所以，整理得， 解得或． 因为，所以， 故的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知． 记数列的前项和为，则． 因为， 所以两式相减得， 所以． 因为数列的前项和为， 所以． 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）设为坐标原点，若直线过点，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用渐近线的斜率及点到直线的距离公式求出即可； （2）由题意直线的斜率存在，设其方程为，联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离求出点到的距离，利用三角形的面积公式建立等式求出，即可求出直线的方程． 【小问1详解】 ∵双曲线的一条渐近线方程为， ∴，即， ∵双曲线的焦点坐标为，焦点到渐近线的距离为， ∴，即， 又，则，解得， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 由题意直线的斜率存在，设直线方程为，设， 由得， 由题意得，解得， 因为， 所以， 又点O到直线的距离， 所以的面积， 则，即，解得或， 又因为，所以， 所以直线的方程为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 茂名市田家炳中学2025-2026学年第二学期高二级期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 统计学中，常用的显著性水平以及对应的分位数如下表所示． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 在检验与是否有关的过程中，根据已知数据计算得，则（ ） A. 在犯错误的概率不超过1的前提下，可以认为与有关 B. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为与有关 C. 有的把握认为与有关 D. 有的把握认为与有关 2. 学校组织研学，学生可以从内蒙、上海、杭州、陕西4个研学地点中任选一处前往，3个好朋友每人随机选择一个研学地点，则三人选到同一研学地点的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，在区间内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 等比数列的前项和为，，则（ ） A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则数列的前3项和为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. 已知函数，若，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 8. 已知函数，若，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全得3分. 9. 已知直线与直线，则下列选项正确的是（ ） A. 恒过定点 B. 若，则与圆相切 C. 若，则或 D. 若，则 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 它的极大值为，极小值为 B. 有两个零点 C. 它的单调递减区间为 D. 它在点处的切线方程为 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的极值点个数为2 D. 若方程有三个实数根，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有__________种（用数字作答）. 13. 已知直线是曲线的一条切线，则___________． 14. 已知椭圆：的右顶点和上顶点分别为A，B，原点O到直线的距离是C的焦距的，则C的离心率为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. （1）计算：（结果用数字作答） （2）解方程： 16. 如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点F到平面的距离． 17. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求函数在上的值域； （3）设，证明：． 18. 已知正项等比数列满足，且成等差数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）设为坐标原点，若直线过点，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且的面积为，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $