广东省高州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

2023-2024学年度第二学期期中试 高二数学试题 考试时长：120分钟 卷面总分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）. 1. 设随机变量的概率分布列为： X 1 2 3 4 P m 则（    ） A. B. C. D. 2. 掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，则（ ） A 与对立 B. 与不互斥 C. 与相互独立 D. 与相互独立 3. 若，则的值为（ ） A. 83 B. 119 C. 164 D. 219 4. 已知，则的值是（ ） A. 9 B. 7 C. 9或 D. 8 5. 若一组样本数据的期望和方差分别为，则数据的期望和方差分别为（ ） A. 3,1 B. 11,1 C. D. 6. 2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（ ） A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 7. 如图，平面四边形中，，.若是椭圆和双曲线的两个公共焦点，是与的两个交点，则与的离心率之积为（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图，在平行六面体中，分别是的中点，以为顶点的三条棱长都是，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. D. 与夹角的余弦值为 10. 若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆分别为椭圆的左、右焦点，，其短轴上的一个端点到的距离为，点在椭圆上，直线，则（ ） A. 直线与蒙日圆相切 B. 椭圆蒙日圆方程为 C. 若点是椭圆的蒙日圆上的动点，过点作椭圆的两条切线，分别交蒙日圆于两点，则的长恒为4 D. 记点到直线的距离为，则的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中的系数为______． 13. 第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为________；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是________． 14. 如图，在梯形ABCD中，，，，，将沿AC折起，使点D到达点P位置，此时二面角为，连接PB，得到三棱锥，则该三棱锥外接球的表面积为______． 四、解答题 15. 已知等差数列的前n项和为，且. （1）求； （2）求数列的前n项和. 16. 如图1，矩形中，，点为的中点，现将沿折起，使得平面平面，得到如图2所示的四棱锥，点为棱上一点. （1）证明：； （2）是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 17. 已知椭圆的左顶点为，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）若过点且平行于的直线交直线于点，求证：直线恒过定点. 18. 某校为了解高三年级1200名学生对成语的掌握情况，举行了一次“成语测试”比赛．从中随机抽取120名学生，统计结果如下：获奖人数与不获奖人数之比为，其中获奖人数中，女生占，不获奖人数中，女生占． （1）现从这120名学生中随机抽取1名学生，求恰好是女生概率； （2）对获奖学生采用按性别分层