广东深圳实验学校高中部2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题

深圳实验学校高中部2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学 命题人：徐尤清 审题人：曹千雪 终审：彭新春 (时间：120分钟满分：150分) 第一卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1.曲线y=-ln(x-1)在x=2处的切线的倾斜角为() 兀 兀 5π A. 6 B. C.3n D. 4 4 6 2.若函数f闭=是+a的号西数为f(),且f2)=f2,则a（) A.0 B.-I 2 C.-1 4 D.-3 设随机事件A,B相互独立，己知P(AP(BA= 4:则P(A+B)=() 19 9 A. 20 B. 20 C.2 D. 4 5 5 4.春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形 花坛，花坛分为5个区域.中心区域为雕塑，四周种植花卉.现有4种 不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区 域只布置一种花卉，则不同的布置方案有() A.84种 B.72种 C.64种 D.56种 5.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，'()为其导函数，当x<0时，f'(x)-f(x)>0, 且f0=0,则不等式f①<0的解集为（) A.(-1,0)U(0,1) B.(-1,0)U(1,+o) C.(-∞，-1)U1,+∞) D.-∞，-1)U(0,1) 6.在送教下乡活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名老师到A、B、C三所乡学校工 作，每所学校至少安排一名老师，且甲只能安排到A学校，则不同的分配方法总数为() A.36 B.40 C.42 D.50 高二数学试卷第1页共4页 7.我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分 布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似.已知f()=e-e ex2+(-1)2,则下列给 出的函数其图象与y=f(x)的图象“相似的是() A.y=x2 B.y=-x2 C.y=x-3x D.y=-x3+3x 8.若函数f(x)=, ae的最小值为-2，则正实数a的值为（) X A.2e c. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知(2x-1)3=a+a,(x-1)+a2(x-1)2+…+ag(x-1)°，则下列结论正确的有() A.a0=1 B.a=494 C.4+42+…+a=38-1 38-1 D.a1+43+a5+a= 2 10.有0,1,2,3,4,5六个数字，则下列结论正确的有() A.能组成156个无重复数字的四位偶数 B.能组成120个无重复数字且是5的倍数的四位数 C.能组成284个无重复数字且比1230大的四位数 D.能组成100个恰有三个重复数字的四位数 11.若过点P(1,2)最多可作出n(n∈N)条直线与函数f(x)=(x-1)e的图象相切，则 () A.2+n<3 B.当n=2时，2的值不唯一 C.n可能等于-4 D.当n=1时，的取值范围是(-0,4U0,+) 高二数学试卷第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知随机变量X的概率分布如表，且P(X>2)=0.4,则E(3X+4)= X 2 P 0.4 m n 13.己知编号为1,2,3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且红球在 1,2,3号箱中分别占？分：分从3个箱中随机选一个箱子。再从中随机夏出-个 球，若1,2,3号箱子被选中的概率为)，寻，问在取出的球为红球的条件下，该 球取自3号箱的概率为· 14.若存在正实数a,b满足be20+aln9≤2a2+a,则b的最大值为 b 第二卷 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15B分若二式】 (n∈N)的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二 项式系数的比是3：14. (1)求n的值： (2)求展开式中所有的有理项， 16.(15分)已知函数f(x)=(2x+1)e. (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)记f是f的导函数，若对任意xR,f()-f田=2，设1为曲线 y=∫(x)在x=0处的切线，证明：除切点之外，曲线f(x)在直线l的上方 高二数学试卷第3页共4页 17.(15分)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检 测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率： (2)己知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正 品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和数学期望. 18.(17分)已知函数f(x)=lnx+ax+1,a为实数，f'(x)为f(x)的导函数. (1)若f(x)≤O恒成立，求实数a的最大值： (2)讨论函数∫(x)的零点个数： (3)若0<x1<x2,证明：对任意常数a,存在唯一的x,∈(x,x),使得 f'x)=f）f成立 x-x2 19.(17分)已知函数f()= sinx x2. 2+cosx 8(w=c0sx-1+ 4 (1)求函数g()在区间(0，上的值域： (2)若对任意的x≥0，都有f(x)≤ax,求实数a的取值范围： (3)设neN,且n≥2，证明：2sin2+3inl+4sin3++sin3<3n-3-9n-》 2 4 n 8(n+1) 高二数学试卷第4页共4页深圳实验学校高中部2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学 答案及评分标准 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 2 3 5 6 g A D 二、多选题（每小题6分，共18分） 9 10 11 ACD ACD AC 三、填空题：每小题5分，共15分. 1 (12)11.2: (13) (14) 2 四、解答题：共77分 15.【解】(1)依题意有C2:C4=3:14, 2分 n(n-1) 4! 3 2n(n-1)(n-2)(n-3)141 ……3分 整理可得n2-5n-50=0, …….5分 解得：n=l0或n=-5(不合题意，舍去)， 所以n的值为10. ……….6分 (2)展开式通项为： c点&=01210. .8分 由题意得10,2k∈Z(k=01,2,10),则k∈25,8， ………….10 分 所以第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为： ……….11分 -ci 63 6 .12分 x2 256 ……….13分 16.【解】(1)x∈R,因为f(x)=(2x+l)e“,所以f'(x)=(2ax+a+2)e“...1分 ①当a=0时，f'(x)=(2.0x+0+2)e=2>0,f(x)在R上单调递增； .....2分 ②当a>0时.当x司m2)时，f0,f在(22》 上单调递减， 高二数学答案 第1页共6页 国当a<0时，当(m2时，f0,在(2 上单调递增， 当j时f0,f( .a+2 上单调递减， ….6分 综上：a=0时，f(x)的递增区间为R,无减区间： a>0时，f(x)的递减区间为 ∞，0+2） 递增区间为 a+2 2a 2a,: a<0时，f(x)的递减区间为 a+2 2a,to, 2a 分 (2)因为f(x)=(2x+1)e，所以f'(x)=(2ax+a+2)e“, f'(-f(d=(2a-2x+a+1=2,所以a=1: ear 所以f(x)=(2x+1)e, ….9分 f'(x)=(2x+3)e, 则曲线y=f(x)在点x=0处的切线斜率为f'(0)=3.又因为f(0)=1, 所以曲线y=f(x)在点x=0处的切线方程为y=3x+1, …….10分 设函数g(x)=(2x+l)e-3x-1,x∈R, 则g'(x)=(2x+3)e-3, 设h(x)=g'(x),则h(x)=e*(2x+5), 所以，当x>弓时，公)>0,8（单调道始。又因为g0)=0, 所以，x>0时，g'()>0,g(x)单调递增： 子x<0时.g因<0,8单酒张成 又当x≤-弓时，8()=(2x+3e-3<0, 综上g(x)在(-o,0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 所以当x=0时，g(x)取得最小值g(0)=0, ...14分 即(2x+1)e-3x-1≥0， 所以，除切点之外，曲线f(x)在直线1的上方. …..15分 高二数学答案 第2页共6页 17.【解】(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A, PA)=A4-3 A2 10 .6分 (2)X的可能取值为200,300,400. ….7分 P(X=200)= A1 A210 P(X=300)= A+CCA3 4 10 P(X=400)= CC2A×2_3 A ………….13分 或PX=40)=1-PX=200-PX=30)=} 故X的分布列为： X 200 300 400 3 P 6 10 10 10 EX=200× +300× 3 10 10 ………..15分 1nx+1 18.【解】(1)由f(x)≤0得：-ax≥nx+1,即-a≥ 令g(闭)血x+,则g()=- Inx x 当x∈(0，I)时，g'(x)>0;当x∈(1，+∞)时，g'(x)<0: ·g()在(0,1)上单调递增，在(1，+o)上单调递减，∴.g(x)s=g(1)=1, ∴.-a≥1，a≤-1，即a的最大值为-1： ………….4分 (2)函数f(x)=ax+nx+1, 由f=0,可得-a=血x+1,>0, 设g(w=lnx+1 2,x>0, 由(1)知，当x>1时，g'(x)<0,g(x)递减； 当0<x<1时，g'(x)>0,g()递增， 可得x=1处g(x)取得最大值1， 当x→0时，8(x)→-0， 当x→+n时，8(x)→0， 函数大致图像如图所示，由图可知 当-a≤0或-a=1,即a>0或a=-1时，直线y=-a与y=g(x)有一个交点， 高二数学答案第3页共6页 当0<-a<1即-1<a<0时，直线y=-a与y=g(x)有两个交点， 当-a>1即a<-1时，直线y=-a与y=g(x)没有交点， 综上可得：当a<-1时，函数f(x)零点的个数为0： 当-1<a<0时，函数f(x)零点的个数为2： 当a≥0或a=-1时，函数f()零点的个数为1； …….9分 (若没有给出极限的说明，酌情扣分：或者不分离参数，直接求导做，也可得分) (3)设4)=f())-f,将问题转化为6(x)在区间(：，k)上有唯的零点， X1-X2 由()=f'(-)f-+a-+a-n6-a匹，知h)在区间(6,5)上单 X-x2 x X1-X2 调递减，故函数h(x)在区间(x,x2)上至多有1个零点， :h()=1+a-nx+a-ln长--1nx-n五：，11-点+n点】 X X-x2 h(5)=+a-nx+a-ln5-s-1nx-n五=，1s-1+n5 X-x2x2x-为3x-x2x3 x 由(1)知：当a=-1时，nx-x+1≤0（当且仅当x=1时取等号）， :0<<x,点>1，n点-点+1<0，又x-6<0,即<0，h)>0, xx x-x2 0<x<2,0<<1,n点-+1<0，即1n点+-1>0， x2x2 xx 又-5<0，即<0，(<)<0， x-X2 由函数零点存在定理知：h(x)在区间(x,x2)上有唯一的零点，即存在唯一的x∈(x,x2), 使得（飞）=）f成立. ...17分 x1-X2 19.【解11)g(x)=cosx-1+x,x∈0， ） 4 2 则g'(x)=-sinx+2x, ….1分 1 令p()=-six+2x,xe0,2 则p(x)=-cosx+ 2 当x0 p'(x)<0,p(x)单调递减， 高二数学答案 第4页共6页 当x∈ 32 p(x)>0,p(x)单调递增， 又p(0)=0, =-1+z<0, 所以xe0}时，<0.即g<0, 所以8(x)在区间 上单调递减，又g(0)=0,8 1π2 16 所以8在@受上的值线为 ………….4分 (2)令h(x)=ax-f(x),，则 2cosx+1 h'(x)=a- =a- (2+cosy=3 1 1)3 (2+c0sx)2 2+cosx 2+cosx 3 故当a≥时，h()≥0， 又h(0)=0,所以当x≥0时，h(x)≥h(0)=0,即f(x)≤ax, .6分 当0<a<3时，令pw=sinx-3ax,则p'()=cosx-3a 由0<3a<1,则存在唯一的x∈(0,2)，使得c0s=3a, 且当x∈(0，x)时，p(x)>0,p()单调递增， 当c化受时，p国<0，年调适减 故当x∈(0，x)时，p(x)>p(0)=0, 即sinx>3ax, 于是，当x∈(0，x)时，f(x)= sinx、sinx >ax. 2+cosx3 ……….8分 当a≤0时， 有f 0e ….10分 因此，a的取值范围是 3+ ...11分 (3)当a=时，由(2)得，对任意的x∈(0，+)，有2+osr方， sinx 1 即<2cw, x 3 所以当k≥2时， 高二数学答案 第5页共6页 3 sin k 3 12+co 3 3 k (keN,且k≥2)，即ksin3<2+co 不 ..13分 k 由如z0,o-1+re0,又00 可得当k∈N且k≥2时，cos2<1-.9 3 91 k 421 4k2 ….15分 所以sin2<2+eos3<39.是 3 4k2<3-9.1 k 4k(k+1) …..16分 2sin+sinl+4sinnsin3n1)1)=3n-3-(a-1 2 4 n 42n+1 8(n+1) .17分 高二数学答案 第6页 共6页