11.2二次根式的乘除（二）讲义2025-2026学年苏科版八年级数学下册

本讲义聚焦二次根式的除法运算，系统讲解除法法则（√a/√b=√(a/b)，a≥0,b>0）、商的算术平方根性质及其逆用，明确最简二次根式判定标准与化简方法，衔接二次根式乘法，构建完整乘除运算体系，为后续混合运算奠定基础。 以“问题情境—推导验证—分层应用”为设计特色，通过平行四边形面积问题引导学生经历“特殊到一般”的推理过程，培养逻辑推理素养，分层练习含实际应用与规律探究题，课中助力分层教学，课后帮助学生强化运算能力，弥补知识盲点。

2025-2026学年苏科版八年级数学下 《第十一章二次根式第二节二次根式的乘除（二）》讲义 一．学习目标 ( 1.   理解并掌握二次根式的除法法则 = （a ≥ 0，b>0） ，能熟练进行二次根式的乘除运算；掌握二次根式化简的方法，能将二次根式化为最简二次根式。 2.   经历二次根式除法则的推导过程，通过观察、猜想、验证、归纳，提升类比推理与运算能力，体会 “ 由特殊到一般 ” 的数学思想。 3.   感受二次根式运算的简洁性，培养严谨的计算习惯，增强学习数学的兴趣。 4.   发展数学运算、逻辑推理素养，规范运算步骤，提升化简求值能力。 ) 二．重点难点 ( （ 一 ） 重点 1.   熟练掌握二次根式除法运算法则，准确进行根二次根式乘除计算； 2.   理解并应用法则进行二次根式化简，掌握最简二次式的判定标准并规范化简。 （ 二 ） 难点 1.   准确把握法则中被开方数的取值范围（除法：a ≥ 0,b>0），避免忽略隐含条件； 2.   乘除混合运算中，灵活结合法则化简，处理被开方数含分数、小数、因式的化简问题； 3.   区分二次根式乘法法则与积的算术平方根、除法法则与商的算术平方根的互逆运用，避免运算顺序与符号错误。 ) 三．课前预习 1.二次根式的除法法则：=_______（a≥0,b>0），文字表述：两个非负数的算术平方根相除，等于这两个数______的算术平方根。 2.商的算术平方根的性质：=_______（a≥0,b>0），是二次根式除法法则的______运用，主要用于二次根式的______。 3.最简二次根式需满足两个条件：①被开方数的因数是______，因式是______；②被开方数中不含能______的因数或因式。 四．知识探秘 【问题】已知平行四边形的面积为，一边的长为，如何求这条边上的高? 【尝试】：填空: = （a≥0，b>0）成立吗? 于是，我们得到二次根式除法的性质: = （a≥0，b>0） 计算:(1) (2) (3)÷ 把 = （a≥0，b>0）反过来，可得: =（a≥0，b>0）利用这个式子可以化简一些二次根式. 化简:（1） （2） （3） 【问题】分母有理化 【尝试】填空: （1）=== （2）当a>0时.=== 当一个根式的被开方数是分数或分式时，只要分子、分母都乘适当的数或式，就可以使被开方数中不含分母.例如，当a≥0，6>0时， 化简下列各式，使被开方数中不含分母. （1） （2） （3）（x>0,y≥0） 【尝试】填空: 当一个式子的分母中有根号时，只要分子、分母都乘适当的数或式，就可以使分母中不含有根号.例如，当a≥0，b>0时， 上面这种使分母中不含根号的方法称为分母有理化。 化简下列各式，使分母有理化. 一般地，化简二次根式就是使二次根式: (1)被开方数中不含分母; (2)分母中不含有根号; (3)被开方数写成乘积形式时，不含能开得尽方的因数，且因式的次数等于1. 这样化简后得到的二次根式叫作最简二次根式。 ( 【 知识梳理 】 1. 二次根式除法法则 （ 1 ） 公式： = （a ≥ 0，b>0） （ 2 ） 文字：两个非负数算术平方根相除，等于它们商的算术平方根 （ 3 ） 逆用（商的算术平方根） ： = （a ≥ 0，b>0） ，用于化简根号内分数 （ 4 ） 易错：b不能等于0，分母二次根式必须为正 2. 分母有理化（必考） （ 1 ） 定义：把分母中的根号化去，使分母变成有理数的过程 ① 单项根式分母： = ，分子分母同乘 ② 两项根式分母（平方差）： = 或 = ，乘共轭根式消根号 3. 最简二次根式（终极化简标准） 同时满足 3 个条件： （ 1 ） 被开方数不含分母（因数整数、因式整式） （ 2 ）   被开方数不含能开得尽方的因数/因式（平方数、平方式） （ 3 ） 运算最终结果分母不能带根号，必须先分母有理化，再化为最简 4. 二次根式除法化简步骤 （ 1 ） 套用除法公式，根号内外分别运算 （ 2 ） 化去根号内分母 （ 3 ） 提取被开方数平方因数 （ 4 ） 分母有理化 （ 5 ） 整理为最简二次根式 ) ( 【 知识点睛 】 （考点+易错+解题技巧） 1. 高频考点 （ 1 ） 除法公式条件辨析： a ≥ 0，b>0 ，填空、选择必考陷阱 （ 2 ） 判断最简二次根式：快速排查分母、平方因数 （ 3 ） 单项/两项分母有理化计算，期中期末大题核心 （ 4 ） 根号含分数、带分数二次根式化简 2. 易错警示 （ 1 ） 忽略b>0，直接套用公式导致无意义错误 （ 2 ）   带分数未化成假分数就开方，化简出错 （ 3 ）   分母有理化只乘分母、不乘分子，违背分式基本性质 （ 4 ） 结果分母仍留根号，不满足最简规范 3. 解题技巧 （ 1 ） 根号内分数：先逆用除法拆成 的形式 ，再有理化 。 （ 2 ） 多项式分母：优先找共轭因式，用平方差一键去根号 （ 3 ） 字母根式：默认字母 ≥ 0 ，不用分类讨论绝对值 （ 4 ）   混合化简：先约分、再开方、最后有理化，大幅减少计算量   ) 五．基础过关 （一）．选择题 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）. A． B． C． D． 2．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①•＝1；②＝；③÷＝﹣b，其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 等式成立的条件是（ ） A. 且 B. C. D. 5. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 化简的结果是（　　） A. ﹣ B. ﹣ C. ﹣ D. ﹣ 8. 将根号外的因式移到根号内，结果为（ ） A. B. C. D. 9. 下列各式中，的有理化因式是（　　） A. B. C. D. ． 10.甲、乙两位同学对代数式，分别作了如下变形： 甲：， 乙：． 关于这两种变形过程的说法正确的是（ ） A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确 （二）．填空题 11.计算：　　． 12.计算：的结果为 　　． 13.已知一个三角形的面积为，一边长为，这条边上的高为______. 14.若mn＞0，m+n＜0，则化简________. 15.已知：a，b，则a与b的关系是_______. 16.23的有理化因式为 　　． 17. 如果一个直角三角形的面积为8，其中一条直角边为，求它的另一条直角边． 18．计算：÷×＝　 　． 19．化简：＝　 　． 20．计算：＝　 　． （三）．解答题 21.计算： （1） （2） （3）•（-）÷3 22. 先化简，再求值： （1），其中x＝－1，y＝2． （2），其中x＝－3． 23.已知a、b满足＋(a＋2b＋7)2＝0，求2a的值． 24，阅读下面计算过程： ＝＝﹣1； ＝＝﹣； ＝＝﹣2． 求：（1）的值． （2）（n为正整数）的值． （3）+++…+的值． 25．【知识链接】 （1）有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；1﹣的有理化因式是1+． （2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如： ＝＝﹣1，＝＝﹣． 【知识理解】 （1）填空：2的有理化因式是　 　； （2）直接写出下列各式分母有理化的结果： ①＝　 　；②＝　 　． 【启发运用】 （3）计算：+++…+． 六．知识清单 1.二次根式的除法法则：一般地，对于__________的实数a、b，有=__________。 2.法则文字表述：两个二次根式相除，等于被开方数__________，根指数__________。 3.法则逆用：=________ （a≥0，b>0），可用于二次根式的。 4.满足两个条件的二次根式叫做最简二次根式： （1）被开方数中不含__________； （2）被开方数中不含__________。 5.二次根式化简最终结果必须化为__________二次根式。 6.步骤一：利用除法法则，将根式除法转化为被开方数的除法，即=（a≥0，b>0）； 步骤二：__________被开方数； 步骤三：将结果化为__________二次根式。 7.定义：把二次根式分母中的__________化去的过程，叫做分母有理化。 8.基础分母有理化方法： （1）单项根式分母：=_______（a>0）； （2）分母有理化的依据：分式的，分子、分母同乘不为0的式子，分式值不变。 9.多个二次根式连除：=__________（a≥0，b>0，c>0）。 10.带系数二次根式除法：=__________（n≠0，a≥0，b>0），系数与系数相除，被开方数与被开方数相除。 11.在二次根式除法公式中，隐含条件：a__________0，b__________0； 12.在公式中，隐含条件：a__________0，b__________0。 七．强化提优 （一）选择题 1. 下列根式中，最简二次根式是(　　) A. B. C. D. 2. 等式 成立的条件是(　　)． A. 同号 B. C. D. 3. 计算：的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如果mn>0, n<0,下列等式中成立有( C )｡ ① ② ③④ A. 均不成立 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 下列运算正确的是（ D ） A. B. C. D. 7. 下列等式不成立的是 ( ) A. B. C. D. 8. 若 ，则（　D　） A. a、b互为相反数 B. a、b互为倒数 C. ab=5 D. a=b 9. 化简时，甲的解法是：==， 乙的解法是：= =，以下判断正确的是（ ） A. 甲的解法正确，乙的解法不正确 B. 甲的解法不正确，乙的解法正确 C. 甲、乙的解法都正确 D. 甲、乙的解法都不正确[来源:学科网ZXXK] 10. 已知：a＝，b＝，则 的值等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 （二）填空题 11．计算：÷＝　 　． 12. 化简二次根式结果是_____． 13. 把(a-2)根号外的因式移到根号内,其结果为____. 14.化简＝_______. 15. 若x＝－，y＝＋，则xy的值是__________． 16. 已知三角形的一边长为，这边上的高为，则这个三角形的面积是______． 17．计算：＝　 　． 18．的有理化因式为 ． 19. 计算：_______． 20．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点均在格点上，则边上的高为 ． （三）解答题 21. 计算 （1）． （2）． （3）． （4）． 22．已知x=+2，y=﹣2 （1）求代数式的值； （2）求x2+y2+7的平方根． 23.能力拓展： ；；；________． …：________． （1）请观察，，的规律，按照规律完成填空． （2）比较大小和 ∵________ ∴________ ∴________ （3）同理，我们可以比较出以下代数式的大小：________；________；________2·1·c·n·j·y 24．在数学课外学习活动中，小军和他的同学遇到一道题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的： ∵a＝＝＝2﹣，∴a﹣2＝﹣，∴（a﹣2）2＝a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小军的解题过程，解决如下问题， （1）＝　 　； （2）若a＝，求a4﹣4a3﹣4a+3的值． 25．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式． （1）请根据以上信息，写出一个取值范围是x＞2的根分式：　 　； （2）已知两个根分式M＝与N＝． ①是否存在x的值使得N2﹣M2＝1，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由； ②当M2+N2是一个整数时，写出两个满足条件的无理数x的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版八年级数学下 《第十一章二次根式第二节二次根式的乘除（二）》讲义 一．学习目标 ( 1.   理解并掌握二次根式的除法法则 = （a ≥ 0，b>0） ，能熟练进行二次根式的乘除运算；掌握二次根式化简的方法，能将二次根式化为最简二次根式。 2.   经历二次根式除法则的推导过程，通过观察、猜想、验证、归纳，提升类比推理与运算能力，体会 “ 由特殊到一般 ” 的数学思想。 3.   感受二次根式运算的简洁性，培养严谨的计算习惯，增强学习数学的兴趣。 4.   发展数学运算、逻辑推理素养，规范运算步骤，提升化简求值能力。 ) 二．重点难点 ( （ 一 ） 重点 1.   熟练掌握二次根式除法运算法则，准确进行根二次根式乘除计算； 2.   理解并应用法则进行二次根式化简，掌握最简二次式的判定标准并规范化简。 （ 二 ） 难点 1.   准确把握法则中被开方数的取值范围（除法：a ≥ 0,b>0），避免忽略隐含条件； 2.   乘除混合运算中，灵活结合法则化简，处理被开方数含分数、小数、因式的化简问题； 3.   区分二次根式乘法法则与积的算术平方根、除法法则与商的算术平方根的互逆运用，避免运算顺序与符号错误。 ) 三．课前预习 1.二次根式的除法法则：=_______（a≥0,b>0），文字表述：两个非负数的算术平方根相除，等于这两个数______的算术平方根。 2.商的算术平方根的性质：=_______（a≥0,b>0），是二次根式除法法则的______运用，主要用于二次根式的______。 3.最简二次根式需满足两个条件：①被开方数的因数是______，因式是______；②被开方数中不含能______的因数或因式。 【答案】1.；商 2.；逆向；化简 3.整数；整式；开得尽方 四．知识探秘 【问题】已知平行四边形的面积为，一边的长为，如何求这条边上的高? 【尝试】：填空: 【答案】（1） （2） = （a≥0，b>0）成立吗? 证明:当a≥0,b>0时，因为又因为，所以 因为与，都是非负数，所以 于是，我们得到二次根式除法的性质: = （a≥0，b>0） 计算:(1) (2) (3)÷ 解：（1）== （2）===2 （3）÷====3 把 = （a≥0，b>0）反过来，可得: =（a≥0，b>0）利用这个式子可以化简一些二次根式. 化简:（1） （2） （3） 解：（1）== （2）== （3）== 【问题】分母有理化 【尝试】填空: （1）=== （2）当a>0时.=== 【答案】（1）=== （2）当a>0时.=== 当一个根式的被开方数是分数或分式时，只要分子、分母都乘适当的数或式，就可以使被开方数中不含分母.例如，当a≥0，6>0时， 化简下列各式，使被开方数中不含分母. （1） （2） （3）（x>0,y≥0） 解：（1）== （2）=== （3）当x>0,y≥0时，== 【尝试】填空: 解：（1）= = （2）== （3）当a>0时，== 当一个式子的分母中有根号时，只要分子、分母都乘适当的数或式，就可以使分母中不含有根号.例如，当a≥0，b>0时， 上面这种使分母中不含根号的方法称为分母有理化。 化简下列各式，使分母有理化. 解：（1）== （2）== （3）当x>0,y≥0时，== 一般地，化简二次根式就是使二次根式: (1)被开方数中不含分母; (2)分母中不含有根号; (3)被开方数写成乘积形式时，不含能开得尽方的因数，且因式的次数等于1. 这样化简后得到的二次根式叫作最简二次根式。 ( 【 知识梳理 】 1. 二次根式除法法则 （ 1 ） 公式： = （a ≥ 0，b>0） （ 2 ） 文字：两个非负数算术平方根相除，等于它们商的算术平方根 ) ( （ 3 ） 逆用（商的算术平方根） ： = （a ≥ 0，b>0） ，用于化简根号内分数 （ 4 ） 易错：b不能等于0，分母二次根式必须为正 2. 分母有理化（必考） （ 1 ） 定义：把分母中的根号化去，使分母变成有理数的过程 ① 单项根式分母： = ，分子分母同乘 ② 两项根式分母（平方差）： = 或 = ，乘共轭根式消根号 3. 最简二次根式（终极化简标准） 同时满足 3 个条件： （ 1 ） 被开方数不含分母（因数整数、因式整式） （ 2 ）   被开方数不含能开得尽方的因数/因式（平方数、平方式） （ 3 ） 运算最终结果分母不能带根号，必须先分母有理化，再化为最简 4. 二次根式除法化简步骤 （ 1 ） 套用除法公式，根号内外分别运算 （ 2 ） 化去根号内分母 （ 3 ） 提取被开方数平方因数 （ 4 ） 分母有理化 （ 5 ） 整理为最简二次根式 【 知识点睛 】 （考点+易错+解题技巧） 1. 高频考点 （ 1 ） 除法公式条件辨析： a ≥ 0，b>0 ，填空、选择必考陷阱 （ 2 ） 判断最简二次根式：快速排查分母、平方因数 （ 3 ） 单项/两项分母有理化计算，期中期末大题核心 （ 4 ） 根号含分数、带分数二次根式化简 2. 易错警示 （ 1 ） 忽略b>0，直接套用公式导致无意义错误 （ 2 ）   带分数未化成假分数就开方，化简出错 （ 3 ）   分母有理化只乘分母、不乘分子，违背分式基本性质 （ 4 ） 结果分母仍留根号，不满足最简规范 3. 解题技巧 （ 1 ） 根号内分数：先逆用除法拆成 的形式 ，再有理化 。 （ 2 ） 多项式分母：优先找共轭因式，用平方差一键去根号 （ 3 ） 字母根式：默认字母 ≥ 0 ，不用分类讨论绝对值 （ 4 ）   混合化简：先约分、再开方、最后有理化，大幅减少计算量   ) 五．基础过关 （一）．选择题 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据最简二次根式的意义，可知是最简二次根式，=，，=x，不是最简二次根式.故选A. 2．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①•＝1；②＝；③÷＝﹣b，其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【解析】∵ab＞0，a+b＜0，∴a＜0，b＜0，∴①•＝1，正确；②＝，错误；③÷＝﹣b，正确，故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，故A不符合题意；，故B符合题意；，故C不符合题意；没有意义，故D不符合题意；故选B． 4. 等式成立的条件是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】D 【解析】根据二次根式的意义，有，且x−3>0，解得x>3.故选:D. 5. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】原式===6，故选C． 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】原式，故选A． 7. 化简的结果是（　　） A. ﹣ B. ﹣ C. ﹣ D. ﹣ 【答案】C 【解析】原式=．故选C 8. 将根号外的因式移到根号内，结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵，∴，∴ ；故选：B． 9. 下列各式中，的有理化因式是（　　） A. B. C. D. ． 【答案】C 【解析】∵（）（）=（）2-22=x-4，∴的有理化因式是， 故选C. 10.甲、乙两位同学对代数式，分别作了如下变形： 甲：， 乙：． 关于这两种变形过程的说法正确的是（ ） A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确 【答案】D 【解析】甲：当时，，当a=b时，无意义，乙：，∴甲错误，乙正确，选项说法错误，不符合题意；选项说法错误，不符合题意；选项说法错误，不符合题意；选项说法正确，符合题意;故选D． （二）．填空题 11.计算：　　． 【答案】3 【解析】原式3．故答案为：3． 12.计算：的结果为 　　． 【答案】6 【解析】，故答案为：6． 13.已知一个三角形的面积为，一边长为，这条边上的高为______. 【答案】4 【解析】根据题意得：224， 14.若mn＞0，m+n＜0，则化简________. 【答案】﹣m 【解析】∵mn＞0，m+n＜0，∴m＜0，n＜0，0，∴原式＝|m|＝﹣m． 15.已知：a，b，则a与b的关系是_______. 【答案】ab=或者互为倒数 【解析】分母有理化，可得a＝2，b＝2，ab＝（2）×（2）＝4﹣3＝1， 16.23的有理化因式为 　　． 【答案】23 【解析】由互为有理化因式定义可知，23的有理化因式为：23． 故答案为：23． 17. 如果一个直角三角形的面积为8，其中一条直角边为，求它的另一条直角边． 【答案】 【解析】设直角三角形的另一直角边为，∵一个直角三角形面积为8，其中一条直角边为， 即它的另一条直角边是 18．计算：÷×＝　 　． 【答案】1 【解析】原式＝2÷2×＝×＝1．故答案为：1． 19．化简：＝　 　． 【答案】 【解析】原式＝＝＝，故答案为：． 20．计算：＝　 　． 【答案】 【解析】＝＝ ＝．故答案为：． （三）．解答题 21.计算： （1） （2） （3）•（-）÷3 解：（1）原式 ． （2）原式=3×（﹣）×2=﹣×5=﹣． （3）原式= 22. 先化简，再求值： （1），其中x＝－1，y＝2． （2），其中x＝－3． 解：（1） = =- 当x=-1，y=2时，原式==-5. （2）= === 当x＝－3时，原式= 23.已知a、b满足＋(a＋2b＋7)2＝0，求2a的值． 解：∵＋(a＋2b＋7)2＝0∴4a-b+1=0，a+2b+7=0，∴ 解得 ∴2a=2a× =2b 当a=-1，b=-3时，原式=2×（-3）×=-6 24，阅读下面计算过程： ＝＝﹣1； ＝＝﹣； ＝＝﹣2． 求：（1）的值． （2）（n为正整数）的值． （3）+++…+的值． 解：（1）＝＝﹣； （2）＝＝﹣； （3）+++…+＝（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+…+（10﹣）＝10﹣1＝9． 25．【知识链接】 （1）有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；1﹣的有理化因式是1+． （2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如： ＝＝﹣1，＝＝﹣． 【知识理解】 （1）填空：2的有理化因式是　 　； （2）直接写出下列各式分母有理化的结果： ①＝　 　；②＝　 　． 【启发运用】 （3）计算：+++…+． 解：（1）∵2×＝2x，∴2的有理化因式是．故答案为：． （2）①＝＝﹣； ②＝＝3﹣． 故答案为：①﹣；②3﹣． （3）原式＝+++…+，＝﹣1+﹣+2﹣+…+﹣，＝﹣1． 六．知识清单 1.二次根式的除法法则：一般地，对于__________的实数a、b，有=__________。 2.法则文字表述：两个二次根式相除，等于被开方数__________，根指数__________。 3.法则逆用：=________ （a≥0，b>0），可用于二次根式的。 4.满足两个条件的二次根式叫做最简二次根式： （1）被开方数中不含__________； （2）被开方数中不含__________。 5.二次根式化简最终结果必须化为__________二次根式。 6.步骤一：利用除法法则，将根式除法转化为被开方数的除法，即=（a≥0，b>0）； 步骤二：__________被开方数； 步骤三：将结果化为__________二次根式。 7.定义：把二次根式分母中的__________化去的过程，叫做分母有理化。 8.基础分母有理化方法： （1）单项根式分母：=_______（a>0）； （2）分母有理化的依据：分式的，分子、分母同乘不为0的式子，分式值不变。 9.多个二次根式连除：=__________（a≥0，b>0，c>0）。 10.带系数二次根式除法：=__________（n≠0，a≥0，b>0），系数与系数相除，被开方数与被开方数相除。 11.在二次根式除法公式中，隐含条件：a__________0，b__________0； 12.在公式中，隐含条件：a__________0，b__________0。 【答案】1.a≥0，b>0； 2.相除；不变 3. （a≥0，b>0）；化简 4.（1）能开得尽方的因数或因式 （2）分母 5.最简 6.化简；最简 7.根号 8. （1）（2）基本性质 9.  10. 11.≥；> 12.≥；> 七．强化提优 （一）选择题 1. 下列根式中，最简二次根式是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】最简二次根式应满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.A选项中被开方数含有分母；B选项被开方数含有能开得尽方的因数4；C选项被开方数含有能开得尽方的因式.只有D选项符合最简二次根式的两个条件，故选D. 2. 等式 成立的条件是(　　)． A. 同号 B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意可知在分子上，在分母上，所以．故选：B． 3. 计算：的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】原式=.故选C. 4. 若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵，∴，∴， ∴=== ==.故选D. 5. 如果mn>0, n<0,下列等式中成立有( C )｡ ① ② ③④ A. 均不成立 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】根据题意，可知mn＞0，n＜0，所以可得m＜0，根据二次根式的乘法的性质，可知m≥0，n≥0，故①不正确；根据二次根式的乘法，可得==1，故②正确；根据二次根式除法的性质，可知m≥0，n＞0，故③不正确；根据二次根式的除法，可得==-m，故④正确.故选C. 6. 下列运算正确的是（ D ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A、，故本选项运算错误，不符合题意；B、，故本选项运算错误，不符合题意；C、，故本选项运算错误，不符合题意； D、，故本选项运算正确，符合题意．故选：D． 7. 下列等式不成立的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据二次根式的乘法，可知==，故正确；根据二次根式的除法，可知=，故不正确；根据二次根式的分母有理化，可知==，故正确；根据二次根式的加减，可知=2-=，故正确.故选B. 8. 若 ，则（　D　） A. a、b互为相反数 B. a、b互为倒数 C. ab=5 D. a=b 【答案】D 【解析】∵=，∴a=b．故选D. 9. 化简时，甲的解法是：==， 乙的解法是：= =，以下判断正确的是（ ） A. 甲的解法正确，乙的解法不正确 B. 甲的解法不正确，乙的解法正确 C. 甲、乙的解法都正确 D. 甲、乙的解法都不正确[来源:学科网ZXXK] 【答案】 C 【解析】：甲的做法是将分母有理化，去分母；乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分去分母，均正确。故本题选C。 10. 已知：a＝，b＝，则 的值等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】：∵a=== b== ∴===6。故选B。 （二）填空题 11．计算：÷＝　 　． 【答案】3 【解析】÷＝＝＝3．故答案为：3． 12. 化简二次根式结果是_____． 【答案】 【解析】二次根式有意义的条件是：，解得：a≤-1，∴，即，∴=，=，=，故答案为：． 13. 把(a-2)根号外的因式移到根号内,其结果为____. 【答案】- 【解析】根据二次根式有意义的条件，可知2-a＞0，解得a＜2，即a-2＜0，因此可知(a－2)根号外的因式移到根号内后可得(a-2)=.故答案为－. 14.化简＝_______. 【答案】 【解析】：. 故答案为. 15. 若x＝－，y＝＋，则xy的值是__________． 【答案】m-n 【解析】由题意xy= 故答案为m-n. 16. 已知三角形的一边长为，这边上的高为，则这个三角形的面积是______． 【答案】1 【解析】根据三角形的面积得：故答案为1 17．计算：＝　 　． 【答案】t． 【解析】∵与都有意义，∴s≥0，t≥0，∴＝ ＝＝t．故答案为：t． 18．的有理化因式为 ． 【答案】 【解析】的有理化因式是：.故答案为. 19. 计算：_______． 【答案】 【解析】根据题目，，，，所以且． 如果，则，， 原式 ．当时，原式．所以原式． 另解： 20．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点均在格点上，则边上的高为 ． 【答案】 【解析】由题意可得：，上的高为2，∴， 由勾股定理可得：，设上的高为，∴，∴， ∴边上的高为．故答案为：． （三）解答题 21. 计算（1）． （2）． （3）． （4）． 解：（1）原式 ．   （2） ．   （3）原式   （4）原式． 22．已知x=+2，y=﹣2 （1）求代数式的值； （2）求x2+y2+7的平方根． 解：（1）原式=====； （2）原式=（x+y）2﹣2xy+7=（+2+﹣2）2﹣2（）（）+7 =（2）2﹣2（5﹣4）+7=25∴x2+y2+7的平方根为±5． 23.能力拓展： ；；；________． …：________． （1）请观察，，的规律，按照规律完成填空． （2）比较大小和 ∵________ ∴________ ∴________ （3）同理，我们可以比较出以下代数式的大小：________；________；________2·1·c·n·j·y 解：（1）观察A1，A2，A3的规律可知，将等式右边的分式分母有理化，即得等式左边的代数式，所以，， （2）∵，∴，∴，即 ，∴； （3）由（1）、（2）知，，，； 故答案为：(1)、；(2);(3) 24．在数学课外学习活动中，小军和他的同学遇到一道题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的： ∵a＝＝＝2﹣，∴a﹣2＝﹣，∴（a﹣2）2＝a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小军的解题过程，解决如下问题， （1）＝　 　； （2）若a＝，求a4﹣4a3﹣4a+3的值． 解：（1）＝＝﹣，故答案为：﹣； （2）∵a＝＝＝+2，∴a﹣2＝，∴（a﹣2）2＝5， ∴a2﹣4a+4＝5，∴a2﹣4a＝1，∴a4﹣4a3﹣4a+3＝a2（a2﹣4a）﹣4a+3＝a2﹣4a+3＝1+3＝4， ∴a4﹣4a3﹣4a+3的值为4． 25．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式． （1）请根据以上信息，写出一个取值范围是x＞2的根分式：　 　； （2）已知两个根分式M＝与N＝． ①是否存在x的值使得N2﹣M2＝1，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由； ②当M2+N2是一个整数时，写出两个满足条件的无理数x的值． 解：（1）． （2）①∵，∴，∴x2﹣6x+8＝x2﹣4x+4， 解得x＝2，检验，当x＝2时，（x﹣2）2＝0，所以原分式方程无解，从而不存在x的值使得N2﹣M2＝1． ②∵，∴＝＝， ∴当M2+N2是一个整数时，（x﹣2）2可以取1或2，等，∴当x是无理数时，或x﹣2＝±，由于当时，x﹣1＜0，舍去，∴，x＝2+，x＝2﹣（答案不唯一）． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $