11.2 二次根式的乘除 同步讲义（题型归纳+知识点梳理+过关小练）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

11.2 二次根式的乘除 同步讲义（苏科版） ★题型归纳 题型1.二次根式的乘法. 题型2.二次根式的除法. 题型3.二次根式的乘除混合运算. 题型4.分母有理化. 题型5.最简二次根式的判断. 题型6.化为最简二次根式. 题型7.已知最简二次根式求参数. 题型8.复合二次根式的化简. ☘知识点梳理 【知识点一、二次根式的乘法】 1.乘法法则：几个二次根式相乘，根指数不变，把被开方数相乘． 公式表示：·= (a≥0,b≥0). 2.积的算术平方根（乘法法则逆运算） 文字描述：两个非负数的积的算术平方根等于这两个非负数的算术平方根的积. 公式表示：=ˑ(a≥0,b≥0). 拓展公式：a·c=ac(b≥0,d≥0) 【知识点二、二次根式的除法】 1.除法法则:两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除 ． 公式表示：÷ ==(a≥0,b>0) 2.商的算术平方根：商的算术平方根等于算术平方根的商． 公式表示： =(a≥0,b>0) 3.拓展公式：a ÷c==(b≥0,d>0,c≠0) 【知识点三、分母有理化】 1.定义：分母有理化是指把分母中的根号化去． 2.方法：分子、分母同时乘分母的有理化因式（两个含二次根式的式子相乘，积不含二次根式，则互为有理化因式）. 【知识点四、最简二次根式】 （1）被开方数不含分母（根号内无分数、分母无根号）； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足上面两个条件的二次根式称为最简二次根式。 【知识点五、二次根式的乘除混合运算步骤】 （1）先判断所有根式有意义，确保被开方数非负、分母不为0； （2）将算式中所有二次根式化为最简二次根式； （3）先算乘除，再算加减；括号优先，逐层计算； （4）仅同类二次根式可合并，系数相加减、根式不变； （5）最终结果必须是最简二次根式，无分母根号. 【知识点六、易错点提醒】 （1）忽略非负前提，直接对负数开方相乘除，； （2）除法运算中，忘记分母被开方数大于0，； （3）带系数运算时，系数漏乘漏除，仅计算根式部分； （4）运算后未化简到底，保留可开方因数、分母带根号； （5）逆用公式时，拆分负数被开方数。 ✏题型解读 题型1.二次根式的乘法 例1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．若，则“”是______． 变式2．计算：． 题型2.二次根式的除法 例2．计算：（   ） A． B． C．3 D．2 变式1．计算：_______． 变式2．先化简，再求值：，其中． 题型3.二次根式的乘除混合运算 例3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．化简的结果为__________． 变式2．如图，在直角中，是斜边上的高，，．那么高的长为___________． 题型4.分母有理化 例4．的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 变式1．若，则______． 变式2．解不等式：． 题型5.最简二次根式的判断 例5．下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 变式1．若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有_______个． 变式2．下列说法中正确的是________．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数是； ③是最简二次根式； 题型6.化为最简二次根式 例6．若，则（    ） A． B． C． D． 变式1．小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为________． 变式2．如图，是的角平分线，，则的长为 _____． 题型7.已知最简二次根式求参数 例7．若是最简二次根式，则的值可以是（   ） A．6 B． C．2 D．0.5 变式1．如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么_____________． 变式2．已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是________． 可取的最小整数是__________． 题型8.复合二次根式的化简 例8．已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 变式1．______． 变式2．像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． ✍过关小练 一、单选题 1．计算所得结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A．5 B．3 C． D． 3．计算结果为（   ） A． B． C． D． 4．将分母有理化的结果为（    ） A． B． C． D． 5．下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 6．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若最简二次根式与可以合并，则的值是（   ） A．7 B．21 C．5 D．6 8．已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 二、填空题 9．化简的结果是__________． 10．分母有理化：_________，__________． 11．若，其中为最简二次根式，为有理数，___________． 12．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：，则 请你仿照小明的方法解决下列问题： 若则___________，___________． 三、解答题 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （1）填空： ， ． （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 （3）化简：（请写出化简过程）． 15．如图等腰三角形中，与分别是的高，已知，， (1)求的面积 (2)求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.2 二次根式的乘除 同步讲义（苏科版） ★题型归纳 题型1.二次根式的乘法. 题型2.二次根式的除法. 题型3.二次根式的乘除混合运算. 题型4.分母有理化. 题型5.最简二次根式的判断. 题型6.化为最简二次根式. 题型7.已知最简二次根式求参数. 题型8.复合二次根式的化简. 💦知识点梳理 【知识点一、二次根式的乘法】 1.乘法法则：几个二次根式相乘，根指数不变，把被开方数相乘． 公式表示：·= (a≥0,b≥0). 2.积的算术平方根（乘法法则逆运算） 文字描述：两个非负数的积的算术平方根等于这两个非负数的算术平方根的积. 公式表示：=ˑ(a≥0,b≥0). 拓展公式：a·c=ac(b≥0,d≥0) 【知识点二、二次根式的除法】 1.除法法则:两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除 ． 公式表示：÷ ==(a≥0,b>0) 2.商的算术平方根：商的算术平方根等于算术平方根的商． 公式表示： =(a≥0,b>0) 3.拓展公式：a ÷c==(b≥0,d>0,c≠0) 【知识点三、分母有理化】 1.定义：分母有理化是指把分母中的根号化去． 2.方法：分子、分母同时乘分母的有理化因式（两个含二次根式的式子相乘，积不含二次根式，则互为有理化因式）. 【知识点四、最简二次根式】 （1）被开方数不含分母（根号内无分数、分母无根号）； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足上面两个条件的二次根式称为最简二次根式。 【知识点五、二次根式的乘除混合运算步骤】 （1）先判断所有根式有意义，确保被开方数非负、分母不为0； （2）将算式中所有二次根式化为最简二次根式； （3）先算乘除，再算加减；括号优先，逐层计算； （4）仅同类二次根式可合并，系数相加减、根式不变； （5）最终结果必须是最简二次根式，无分母根号. 【知识点六、易错点提醒】 （1）忽略非负前提，直接对负数开方相乘除，； （2）除法运算中，忘记分母被开方数大于0； （3）带系数运算时，系数漏乘漏除，仅计算根式部分； （4）运算后未化简到底，保留可开方因数、分母带根号； （5）逆用公式时，拆分负数被开方数。 ☘题型解读 题型1.二次根式的乘法 例1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握乘法法则是解答本题的关键． 二次根式相乘，把系数相乘作为积的系数，被开方数相乘，并化为最简二次根式即可． 【详解】解：． 故选B． 变式1．若，则“”是______． 【答案】2 【分析】利用二次根式的乘法法则推导出，进而可求解． 【详解】解：∵，， ∴，则． 变式2．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算和化简二次根式，根据题意可得，据此先计算二次根式乘法，再化简二次根式即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式，和有意义， ∴， ∴ ． 题型2.二次根式的除法 例2．计算：（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据二次根式除法法则：计算即可． 【详解】解：． 变式1．计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法． 根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 变式2．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的除法运算，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时， 原式． 题型3.二次根式的乘除混合运算 例3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的化简以及乘除运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．先将各项根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘除运算法则进行计算． 【详解】解： 故选：B 变式1．化简的结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘除法的法则，二次根式的性质，是解题的关键． 将除法转化为乘法，利用二次根式的乘法法则和性质简化即可． 【详解】原式 ． 故答案为 变式2．如图，在直角中，是斜边上的高，，．那么高的长为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算及二次根式的运算，熟练掌握用面积法求线段长是解题的关键．根据面积法求出的值即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 题型4.分母有理化 例4．的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查有理化因式，有理化因式是指与给定表达式相乘后结果为有理式的表达式．对于单个平方根表达式 ，其自身即为有理化因式，因为相乘后可得有理式 ． 【详解】∵ （有理式）， ∴ 是自身的一个有理化因式． 故选：D． 变式1．若，则______． 【答案】15 【分析】本题考查分母有理化、代数式求值，先将分母有理化，得到，然后由得 ，整理得．利用此关系式将高次幂降次，代入多项式计算即可． 【详解】解：， 所以，两边平方，得， 则，即， ∴， ∴， ， ∴： ， 故答案为：15． 变式2．解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，分母有理化，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 题型5.最简二次根式的判断 例5．下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义判断：满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，就是最简二次根式，对各选项逐一判断即可. 【详解】解：A、是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、时，，不是最简二次根式； D、的被开方数含分母，不是最简二次根式. 变式1．若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有_______个． 【答案】5 【分析】要确定满足是最简二次根式的正整数的值，需根据最简二次根式的定义，分析的取值，使得被开方数不含能开得尽方的因数，且为正整数． 【详解】∵是最简二次根式， ∴被开方数为不含完全平方因数的正整数， 由且为正整数，可知的可能取值为。 分别分析： 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式． ∴满足条件的正整数x的值为，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 变式2．下列说法中正确的是________．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数是； ③是最简二次根式； 【答案】② 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义，熟练进行二次根式的运算是解题的关键．利用二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义分析即可得出答案． 【详解】解：①∵，∴，故①说法错误； ②，要使为正整数，则需为整数，即为完全平方数，最小整数（此时，），故②说法正确； ③，被开方数含分母，不是最简二次根式，故③说法错误． 故答案为：②． 题型6.化为最简二次根式 例6．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、含字母的根式化简，掌握相关知识是解题的关键．根据二次根式的性质化简，将被开方数分解为平方数与非平方数的乘积，再结合已知条件转化即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 故选：B． 变式1．小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算与化简，掌握好相关知识是关键． 先计算长方形的面积，再根据正方形面积相等求边长． 【详解】解：长方形的面积为， ∵正方形的面积与长方形相等， ∴正方形的边长为． 故答案为：． 变式2．如图，是的角平分线，，则的长为 _____． 【答案】 【分析】过点作于点，先用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而根据角平分线的性质可得，证明，设，在中，利用勾股定理求得的值，进而在中，勾股定理即可求得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 过D作于E， ∵是的角平分线， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型7.已知最简二次根式求参数 例7．若是最简二次根式，则的值可以是（   ） A．6 B． C．2 D．0.5 【答案】C 【分析】二次根式的被开方式中不含分母，且不含一个数或式的平方因式，就叫作最简二次根式． 【详解】解：A、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、当时，原式，原式是最简二次根式，该选项符合题意； D、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意． 变式1．如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么_____________． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，根据最简二次根式的被开方数相同列方程是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 解得， 故答案为：1． 变式2．已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是________． 可取的最小整数是__________． 【答案】 2 【分析】（1）要找可取的最小正整数，需满足两个条件：一是被开方数，二是不含能开得尽方的因数。我们从最小的正整数开始代入验证； （2）要找可取的最小整数，只需保证被开方数 且不含能开得尽方的因数，我们从满足不等式的整数开始依次验证． 【详解】解：①正整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小正整数是． ②先解不等式，得 整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小整数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个条件：被开方数非负，且不含能开得尽方的因数． 题型8.复合二次根式的化简 例8．已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简； 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知ab必须异号，而，易确定b的取值范围，然后即可化简． 【详解】解：有意义， ， ， 又， ， ． 故选：A． 变式1．______． 【答案】 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的化简，把原式化为，再进一步求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 变式2．像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． ✏过关小练 一、单选题 1．计算所得结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，需利用二次根式乘法法则计算并化简二次根式即可． 【详解】解：∵二次根式乘法法则为， ∴， 又∵， ∴所得结果为， 故选：D． 2．计算的结果是（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的除法运算，（，），据此求解即可． 【详解】解： 故选：C． 3．计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 4．将分母有理化的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键． 通过分子分母同时乘以 ，消除分母中的根号，实现分母有理化． 【详解】解：， ∴ 分母有理化的结果为， 故选： A． 5．下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解： A选项，不是最简二次根式， B选项，，不是最简二次根式， C选项，，不是最简二次根式， D选项，是最简二次根式． 6．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟知相关计算法则是解题的关键．根据二次根式的性质以及二次根式有意义的条件逐一判断即可求解． 【详解】解：因为二次根式的被开方数必须为非负数，选项A中与的被开方数为负数，无意义，所以A错误不符合题意； 因为，所以B错误不符合题意； 因为，所以C错误不符合题意； 因为有意义时，即，所以，所以D正确符合题意； 故选：D． 7．若最简二次根式与可以合并，则的值是（   ） A．7 B．21 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的概念及可合并二次根式的条件，解题的关键是明确可合并的二次根式需满足被开方数相同，且均为最简二次根式，需先将非最简二次根式化为最简形式再分析． 先将化为最简二次根式，得到其被开方数；因是最简二次根式且能与合并，故两者被开方数相同，由此确定m的值． 【详解】解：，其被开方数为2． ∵最简二次根式与可以合并， ∴，则 故选：C． 8．已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 二、填空题 9．化简的结果是__________． 【答案】 【分析】利用二次根式的除法运算，乘法运算，性质化简即可． 本题考查了二次根式的性质，二次根式乘法运算，除法运算，熟练掌握性质和运算是解题的关键． 【详解】解： 由，根据题意，得， 故答案为：． 10．分母有理化：_________，__________． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查二次根式的化简，当分母为含有二次根式的多项式时，可利用平方差公式进行“分母有理化”，掌握此方法是解此题的关键． 根据二次根式的性质，分数的基本性质，利用平方差公式消除分母中的根号，即可求解． 【详解】解：对于，分子和分母同乘以， 得； 对于，分子和分母同乘以， 得； 故答案为：；． 11．若，其中为最简二次根式，为有理数，___________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质化简，涉及最简二次根式定义、利用二次根式性质化简等知识，先得到，再由最简二次根式定义及题意即可得到答案．熟记最简二次根式定义、利用二次根式性质化简是解决问题的关键． 【详解】解：， 若，其中为最简二次根式，为有理数，则， 故答案为：． 12．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：，则 请你仿照小明的方法解决下列问题： 若则___________，___________． 【答案】 2 2 【分析】本题考查了双重二次根式的化简，完全平方公式变形等知识．先把变形为，即可得到，问题得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2,2 三、解答题 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)15 (3)1 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先化简二次根式，再根据二次根式的乘除计算法则求解即可； （2）先化简二次根式，再根据二次根式的乘除计算法则求解即可； （3）先将被开方数中带分数化为假分数，再根据二次根式的乘除法计算法则求解即可； （4）根据二次根式的乘除计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （1）填空： ， ． （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 （3）化简：（请写出化简过程）． 【答案】 （1），； （2）； （3）. 【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果； （3）将写成，8写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解： ． 15．如图等腰三角形中，与分别是的高，已知，， (1)求的面积 (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”性质以及勾股定理，关键是结合等腰三角形的性质确定线段长度，再通过面积的不同表示方法求解． （1）运用三角形面积公式，以为底边、为对应高，代入已知的边长和高的数值，通过二次根式的乘法运算即可求出三角形的面积； （2）结合等腰三角形“三线合一”的性质，先确定是的中点，从而得到的长度，再在直角三角形中，用勾股定理算出腰的长度；之后利用三角形面积相等建立方程，解出的长度． 【详解】（1）解：∵是的高，，， ∴的面积； （2）解：∵是等腰三角形，， ∴是的中点，， 在中，由勾股定理得， 又∵是的高，面积， ∴，解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $