11.3二次根式的加减讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

本讲义聚焦二次根式加减运算核心知识点，前承最简二次根式化简基础，通过类比整式同类项建立同类二次根式概念，后接“化简—找同类—合并”的运算步骤，构建从概念识别到混合运算的完整学习支架。 该资料以“类比迁移”为设计亮点，通过探究活动引导学生抽象同类二次根式本质（数学眼光），规范运算步骤培养严谨推理意识（数学思维），分层练习结合矩形面积等实际问题（数学语言），课中助力教师引导探究，课后帮助学生查漏补缺，提升运算与应用能力。

2025-2026学年苏科版八年级数学下 《第十一章二次根式第三节二次根式的加减》讲义 一．学习目标 ( 1.   理解同类二次根式的定义，掌握判断同类二次根式的核心方法，能快速准确识别同类二次根式。 2.   掌握二次根式加减运算的** “ 先化简，再合并 ” **核心法则，熟练完成二次根式的加减混合运算。 3.   类比整式加减中合并同类项的方法，理解二次根式加减的本质，体会转化、类比的数学思想。 4.   规范运算书写步骤，养成先化简、再判断、后计算的严谨解题习惯，提升运算准确率与逻辑推理能力。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.   同类二次根式的识别与判定：这是二次根式加减运算的前提，只有先找准同类二次根式，才能完成后续合并计算。 2.   二次根式加减运算的法则与步骤：核心法则为先化为最简二次根式，再合并同类二次根式，熟练掌握标准化运算流程。 3.   最简二次根式的化简：二次根式加减的基础，所有参与运算的根式，必须先化简到最简形式，才能判断是否为同类二次根式。 （二）难点 1.   易错点：未化简就直接合并被开方数不同的二次根式，比如错误计 + = ，本质是不理解同类二次根式的合并要求。 2.   难点突破：准确区分同类二次根式与非同类二次根式，明确只有被开方数完全相同的最简二次根式，才能合并；非同类二次根式不能合并，直接保留原式。 3.   易混点：合并同类二次根式时，只合并系数，被开方数与根指数保持不变，避免出现改变被开方数的错误。 4.   综合难点：含整数、分数系数的二次根式化简、同类项判断，以及加减混合运算中的符号、去括号规范处理。 ) 三．课前预习 1.最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含________；②被开方数中不含能开得尽方的________。 2.整式加减中，合并同类项的法则：只把________相加减，________和________保持不变。 3.化简下列二次根式： =______；=______；=______；=______。 4.类比同类项，同类二次根式：几个二次根式化为________后，如果________完全相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 5.二次根式加减的核心步骤：第一步________，第二步________，第三步________。 6.计算：2+5=_______；7-3=_______。 7.判断：与_______同类二次根式; 与________同类二次根式。（填“是”或“不是”） 【答案】1.分母；因数或因式 2.系数；字母；字母的指数 3. 2；2；3； 4.最简二次根式；被开方数 5.把各个二次根式化为最简二次根式；找出同类二次根式；合并同类二次根式 6.7；4 7. 是；不是 四．知识探秘 探究一：同类二次根式的概念探究 问题1：旧知类比，感知定义 我们在整式加减中，把所含字母相同，且相同字母指数也相同的项叫做同类项，只有同类项才能合并。 思考：二次根式想要加减合并，需要满足什么条件？ 观察下列根式： （1）、3、； （2） 、2、- 第一步：全部化为最简二次根式：=2，-=3 第二步：观察特征 第一组：化简后被开方数都是2； 第二组：化简后被开方数都是3。 归纳结论： 同类二次根式定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数完全相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 例1．下列各式中，哪些是同类二次根式？ ，，，，，，，，． 解：化简后依次为 ，，，，，，，，． 所以，，是同类二次根式； ，是同类二次根式； ，，，是同类二次根式。 ( 【 知识梳理 】 同类二次根式 1.   定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.   判定步骤： ① 先把所有二次根式化为最简二次根式； ② 观察化简后的被开方数是否完全相同，相同即为同类二次根式。 【 知识点睛 】 判定同类二次根式易错点 ： 不能直接根据原式被开方数判断，必须先化为最简二次根式。例如 与 ，原式被开方数不同，但化简后均为2 、 ，属于同类二次根式。 ) 探究二：二次根式加减法则探究 问题：如何计算一3++ 【解析】一3++=一6+5+= 二次根式的加减法一般遵循下面的程序: 二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式. 例2.计算 （1） 解：原式== （2） 解：原式== （3）（＞） 解：原式=== （4） 解：原式== = ( 【 知识梳理 】二次根式的加减运算法则 1. 实质： 二次根式的加减运算，本质是合并同类二次根式，类比整式加减中的合并同类项。 2.运算步骤： （1）化简：将算式中所有二次根式化为最简二次根式； （2）找同类：找出式子中的同类二次根式； （3）合并：把同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数保持不变； （4）整理：非同类二次根式不能合并，直接保留。 3.字母表示：a ± b =(a ± b) (m ≥ 0) 【知识点睛】 1 .合并规则核心 只对根号前面的系数进行加减运算，根号部分（被开方数、根指数）原样保留；非同类二次根式无法合并，运算结果中要分开书写。 2 .运算常见误区 误区1：未化简直接合并，导致计算错误； 误区2：合并时改动被开方数，违背运算法则； 误区3：加减混合运算漏项、符号出错，运算时注意符号跟随系数。 3 .拓展补充 同类二次根式与系数大小、根号前符号无关，只由化简后的被开方数决定；多个二次根式相加减，可结合加法交换律、结合律分组合并同类二次根式，简化计算。 ) 探究三：去括号+混合运算探究 若式子中含有括号，先按照去括号法则去括号，再执行“化简→找同类→合并”的步骤； 若式子中含整数、分数系数，先统一化简，再精准合并，全程注意符号不变形。 例2.计算下列各题． (1) 解：原式== (2) 解：原式== (3) 解：原式== (4) 解：原式== (5) 解：原式== ( 【 知识梳理 】 （一）二次根式混合运算顺序 1.运算顺序与整式混合运算一致：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内（小括号 → 中括号）。 2.同级运算（只有乘除/只有加减），按照从左到右依次计算。 （二）运算法则与运算律 1.乘法运算 （ 1 ）单项式乘多项式： a( + )=a +a （ 2 ）多项式乘多项式： ( + )( + )= · + · + · + · 2. 除法运算：两个二次根式相除，先写成分式形式，再化简， = ± （a ≥ 0,b ≥ 0,c>0）。 3.运算律：整式的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律在二次根式运算中仍然适用。 （三）乘法公式的应用 整式乘法公式可直接用于二次根式运算，常用公式： ) ( 平方差公式： ( + )( - )=a-b（a ≥ 0,b ≥ 0） 2.完全平方公式： ( ± ) 2 =a ± 2 +b（a ≥ 0,b ≥ 0） （四）运算结果要求 1.最终结果必须化为最简二次根式； 2.被开方数不含分母，分母不含根号； 3.同类二次根式要合并。 ) 五．基础过关 （一）．选择题 1. 化简后，与的被开方数相同的二次根式是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】是最简二次根式，，，．故选C． 2. 下列各组二次根式化成最简二次根式后，被开方数完全相同的是( ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】选项A，=，与的被开方数不相同；选项B，=，与的被开方数不相同；选项C，不能够化简，被开方数不相同；选项D，= ，=，和化简后被开方数完全相同，故选D. 3.下列说法正确的是( ) A. 被开方数相同的二次根式可以合并 B. 与可以合并 C. 只有根指数为2根式才能合并 D. 与不能合并 【答案】A 【解析】A．被开方数相同的二次根式可以合并，故A正确；B．，，不能合并，故B错误；C．只有根指数为2的根式才能合并，错误；D．与可以合并，故D错误．故选A． 4.下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A．，故A错误；B．，，故B错误；C．，故C错误；D．，正确．故选D． 5. 一个三角形的三边长分别是，，,则此三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得：==．故选A． 6. 若a＝5＋2，b＝2－5，则a，b的关系为(　　) A. 互为相反数 B. 互为倒数 C. 积为－1 D. 绝对值相等 【答案】C 【解析】 a，b积－1，故选C. 7. 若(2－3)2＝m－n(m，n为有理数)，则m，n的值分别为(　　) A. m＝30，n＝6 B. m＝30，n＝12 C. m＝30，n＝－12 D. m＝12，n＝－12 【答案】B 【解析】： 故选B. 8. 如果5＋，5－的小数部分分别为a，b，那么a＋b的值为(　　) A.0 B. －1 C. 1 D. ±1 【答案】C 【解析】：∵ ∴ ∴ ∴ 故选C. 9. 下列各数中，与2－的积不含二次根式的是(　　) A. 2＋ B. 2－ C. －2 D. 【答案】A 【解析】：A. 符合题意. B.不符合题意. C. 不符合题意. D. 不符合题意.故选A. 10. 计算的结果为（ ） A. 7 B. －5 C. 5 D. －7 【答案】C 【解析】： 故选： C （二）．填空题 11. 如果最简二次根式可以与合并，那么a=_________. 【答案】4 【解析】：，由题意得：，解得：a=4．故答案为4． 12. 若，，那么ab=______． 【答案】 3 【解析】ab=．故答案为3． 13．计算的结果是 　　． 【答案】． 【解析】原式．故答案为：． 14. 如图是一个简单的数值运算程序,当输入x的值为时,则输出的值为____.    【答案】 【解析】当输入x的值为时，．故答案为． 15. 计算：(2＋)2－(2－)2＝________． 【答案】8 【解析】原式 故答案为 16．已知，，则的值为 　　． 【答案】． 【解析】，，，原式． 故答案为：． 17．已知，，则的值为 　　． 【答案】11． 【解析】当，时，，， ，，． 18. 已知长方形的长为(2＋3)cm，宽为(2－3)cm，则长方形的面积为________ cm2. 【答案】2 【解析】：根据长方形的面积公式可知：长方形的面积为： 故答案为2. 19. a、b为有理数，且（a＋）2＝b＋8，则a＋b＝__________. 【答案】23 【解析】∵（a＋）2＝b＋8＝a2＋3＋2a，且a、b是有理数. ∴a2＋3＝b，2a＝8，∴a＝4，b＝19. 即a＋b＝23. 20．已知实数使得成立，则　　． 【答案】． 【解析】， 而，．故答案为：． （三）．解答题 21.下列各组的二次根式化简后的被开方数是否相同？ （1），，； （2），－，2； （3），. 解：（1）＝＝3，＝＝2，. 三个根式化简后被开方数都是5； （2）＝＝2，－＝－＝－，2＝2·＝. 化简后的被开方数都是2； （3）＝ax，＝＝3x. 化简后的被开方数不相同. 22.计算或化简 （1）＋－； （2）＋3xy－x2； （3）（4－10）－（－）. 解：（1）＋－＝3＋6－＝（6－）＋3＝＋3； （2）＋3xy－x2＝·3x＋3xy·－x2·＝x＋xy－x ＝xy； （3）（4－10）－（－）＝4×－10×－＋4＝－2－＋4＝＋2. 23．我们把符号称为2×2阶行列式，并且规定＝ad－bc.例如：＝3×4－2×5＝2.请按此方法化简，并取一个你喜欢的a的值代入求值． 解：由题意，得＝·（-）－·(a2－1)＝－a－＝＋1.∵1－a≠0，a≥0，a≠0，∴a>0且a≠1.当a＝2时，原式＝＋1. 24．已知二次根式有意义，化简－，并求出它的值． 解：∵二次根式有意义，∴(5－x)(x－5)≥0，∴－(5－x)2≥0，∴x＝5，∴－＝－＝－－＝－.当x＝5时，原式＝＝2. 25．对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算“*”如下：a*b＝－(a>b>0)．如4*3＝－＝－1，试求下列各式的值： (1)13*5. (2)6*5－5×(8*3)． 解：(1)13*5＝－＝－＝. (2)6*5－5×(8*3)＝－－5×(－)＝－1－5×（-） ＝－1－＋＝－1. 26．有一块矩形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为和的两块正方形木板． （1）截出的两块正方形木板的边长分别为 　　； （2）求剩余木板的面积； （3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 　　个这样的木条． 解：（1）根据题意得：截出的两块正方形木料的边长分别为， 故答案为：； （2）根据题意得：矩形的长为，宽为， 剩余木料的面积； （3）根据题意得：从剩余的木料的长为，宽为， ，能截出块这样的木条．故答案为：2． 六．知识清单 1.几个二次根式化成________后，如果________相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。 2.判断几个二次根式是否为同类二次根式，第一步必须先把它们化为________，再比较________是否一致。 3.同类二次根式的判断，与根号外的________无关，只与化简后的被开方数有关。 4.整式运算中的同类项，和二次根式中的________，本质都是“可合并的同类式子”。 5.最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含________，被开方数中不含能开得尽方的________或________。 6.二次根式加减运算的核心原则是：先________，再________。 7.合并同类二次根式时，只需把各二次根式的________相加减，________和________保持不变。 8.被开方数不同的最简二次根式，________直接合并，需保留原式书写。 9.二次根式加减运算的标准步骤可总结为：一________、二________、三________。 10.进行二次根式加减运算时，若式子中有括号，要先按照________法则去括号，再进行化简合并。 11.合并同类二次根式，本质和整式中________的方法完全一致。 12.二次根式加减，不能直接将被开方数相加减，例如+__（填“=”或“≠”）。 13.未化简的二次根式，不能直接判断是否为同类二次根式，比如\sqrt{27}和\sqrt{3}，化简后被开方数相同，属于________。 14.二次根式加减运算的最终结果，必须化为________形式，且无同类二次根式可合并。 15.带分数系数的同类二次根式合并，要先把带分数化为________，再进行系数运算。 16.多个二次根式混合加减时，要先完成全部化简，再________同类二次根式，杜绝边化简边合并的错误做法。 17.若a与3是同类二次根式，则a满足的条件是________。 18.进行二次根式加减运算时，根号外的系数为负数，合并时要注意携带________运算。 19.整式的加法交换律、结合律，在二次根式加减运算中________（填“成立”或“不成立”）。 20.完成二次根式加减计算后，一定要检查两点：结果是否为最简二次根式、是否还有________可以合并。 【答案】1.最简二次根式；被开方数 2.最简二次根式；被开方数 3.系数（因数/因式） 4.同类二次根式 5.分母；因数；因式 6.化简；合并同类二次根式 7.系数；根指数；被开方数 8.不能 9.化简；找同类；合并 10.去括号 11.合并同类项 12.≠ 13.同类二次根式 14.最简二次根式 15.假分数 16.统一合并 17.a为有理数（a≠0也可） 18.符号 19.成立 20.同类二次根式 七．强化提优 （一）选择题 1. 下列二次根式中，化成最简二次根式后，与可以合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，，，，所以与可以合并，故选：A． 2. 下列计算错误是(　　) A. ×＝ B. ＋＝ C. ÷＝2 D. －＝ 【答案】B 【解析】A、•=，计算正确；B、+，不能合并，原题计算错误；C、÷==2，计算正确；D、＝2，计算正确．故选B． 3. 化简结果是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，故选A. 4. 若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（　　） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】因为，所以的整数部分为1，小数部分为，即x＝1，， 所以．故选:C． 5. 下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A、不是同类二次根式，不能合并，故错误，不符合题意；B、计算错误，不符合题意；C、符合合并同类二次根式法则，正确，符合题意．D、计算错误，不符合题意；故选：C． 6. 已知a+b=，a-b=，c=，则代数式a2-b2-c2-2bc的值是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 无法确定 【答案】B 【解析】∵a+b=，a-b=∴b=∴2bc=2= ∵a2-b2="(a+b)(" a-b)==, c2==5∴a2-b2-c2-2bc=-5-<0 故选B 7.小康和小英玩摸卡片游戏:如图,有三张大小,形状,纸质完全相同的卡片A,B,C,卡片正面分别写有一个算式,现将背面朝上,小康随机抽取两张,若小康所抽取的两张卡片的计算结果都是无理数,则它们的和为(　　) A.4　 B.6　 C.8　 D.10 【答案】A　 【解析】∵(1-)2=4-2,(2+)(2-)=22-()2=4-3=1,÷=4÷2=2,∴卡片A,C的计算结果是无理数,卡片B的计算结果是有理数,∴小康所抽取的两张卡片上的计算结果的和为(1-)2+÷=4-2+2=4.故选A. 8．设a＝，b＝，用含a，b的式子表示，下列正确的是(C) A．0.3ab2 B．3ab C．0.1ab3 D．0.1a3b 【答案】C 【解析】＝＝＝0.1××＝0.1××()3＝0.1ab3. 9．化简－的结果是( ) A. 2a＋2 B. 4a＋2 C. 4 D. －4 【答案】C 【解析】原式＝－ ＝－＝4. 10．如果＋＝，且0<x<y，那么满足条件的整数对(x，y)有(C) A. 1对　　 B. 2对 C. 3对　　 D. 4对 【答案】C 【解析】∵＝7，且0<x<y，∴，和7是同类二次根式．设＝a，＝b，则＋＝(a＋b)＝7，∴a＋b＝7.∵0<x<y，∴a<b， ∴或或∴满足条件的整数对(x，y)有3对． （二）填空题 11．若最简二次根式与可以合并，则的值为 　　． 【答案】5． 【解析】最简二次根式与可以合并，与是同类二次根式，，．故答案为：5． 12．给出二次根式，①；②；③；④，其中化简后能与合并的是 　　（填序号）． 【答案】③． 【解析】①与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；②，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；③，与是同类二次根式，可以合并，符合题意；④，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意．故答案为：③． 13．计算的结果是 　　． 【答案】． 【解析】，故答案为：． 14. –27的立方根与的平方根之和是__________. 【答案】0或–6 【解析】∵-27的立方根是-3，而=9，9的平方根是±3，所以它们的和为0或-6． 15. 若a、b分别是6-的整数部分和小数部分，那么2a-b的值是__________. 【答案】 【解析】根据无理数的估算，可知3＜＜4，因此可知-4＜-＜-3，即2＜6-＜3，所以可得a为2，b为6--2=4-，因此可得2a-b=4-（4-）=. 16. 已知=10，则x等于__________. 【答案】2 【解析】已知=10，∴x＞0，∴原式可化简为：++3=10， ∴=2，两边平方得：2x=4，∴x=2， 17. 已知x=+，y=-，则x3y+xy3=________． 【答案】10． 【解析】 故答案为 18. 已知，则. 【答案】4- 【解析】： 故答案为 19. 若+=+，=-，则x+y=_______． 【答案】8+2 【解析】根据配方法，由完全平方公式可知x+y==（）2-2，然后把+=+，=-整体代入可得原式=（+）2-2（-）=5+3+2-2+2=8+2.故答案为8+2. 20．小莉在如图所示的矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，请你帮她求出图中空白部分的面积为_________． 【答案】（﹣12+8）cm2 【解析】：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为＝4cm，＝2cm，∴AB＝4cm，BC＝（2+4）cm，∴空白部分的面积＝（2+4）×4﹣12﹣16＝8+16﹣12﹣16＝（﹣12+8）cm2． （三）解答题 21.计算或化简： （1）（－4）·； （2）（＋－）÷； （3）（3＋2）（2－3）. 解：（1）（－4）·＝（3－2）·＝·＝； （2）（＋－）÷＝·＋·－·＝1＋－ ＝1＋－＝； （3）（3＋2）（2－3）＝3·2－3·3＋2·2－2·3 ＝6a－9＋4－6b＝6a－5－6b. 22.应用乘法公式计算. （1）（＋2）（－2）； （2）（）2； （3）（＋）（－）； （4）（－）2. 解：（1）（＋2）（－2）＝（）2－（2）2＝6－12＝－6； （2）（）2＝（）2＝＝＝； （3）（＋）（－）＝（）2－（）2＝3a－（2a＋5） ＝a－5； （4）（－）2＝（）2－2··＋（）2＝－2＋＝. 23．若最简二次根式3x－10和是同类二次根式． (1)求x，y的值； (2)求的值． 解：(1)由题意，得解得 (2)当x＝4，y＝3时，＝＝5. 24．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 解：（1）由题意得：， ∴； （2）． 25．如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D在BD两侧作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC.已知AB＝5，DE＝9，BD＝8，设CD＝x. (1)用含x的代数式表示AC＋CE的长． (2)请问：点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？ (3)根据(2)中的结论，请构图求出代数式＋的最小值． 解：(1)AC＋CE＝＋. (2)当A，C，E三点共线时，AC＋CE的值最小． (3)如解图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD(点A与点E在BD的异侧)，使AB＝2，ED＝3，连结AE交BD于点C，设BC＝x，则AE的长即为＋的最小值．过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F.在Rt△AEF中，易得AF＝2＋3＝5，EF＝12，∴AE＝13，即＋的最小值为13. 26．材料：若a，b是两个正数，由完全平方式的非负数性质可得： （）2≥0（取等号时，b即a＝b）∴（）2﹣2•+（）2≥0 ∴a﹣2+b≥0∴a+b≥2（当且仅当a＝b时取等号） 结论：对任意两个正数a，b，都有a+b≥2；上述不等式当且仅当a＝b时等号成立．当这两个正数a，b的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数a，b的和的最小值例如：当x为正数时，两数x和均为正数，且x•＝1（常数），则有x+≥2＝2＝2（当且仅当x＝即x＝1时取等号） 所以当x＝1时，x+有最小值，最小值为2． 利用以上结论完成下列问题： （1）当x，y为正数时，求的最小值； （2）当x＞1，求x+的最小值； （3）已知：a，b是两个正数，且a+b＝1，求的最小值． 解：（1）由于+≥2＝8，当且仅当＝时取等号， 即y＝2x，的最小值为8； （2）∵x＞1，∴x﹣1＞0，∴x+＝x﹣1++1≥2+1＝5， 当且仅当x﹣1＝时取等号，即x＝3，x+的最小值为5， （3）∵a+b＝1，∴＝+＝2++≥2+2＝4， 当且仅当取等号，即a＝b＝时，的最小值为4； ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版八年级数学下 《第十一章二次根式第三节二次根式的加减》讲义 一．学习目标 ( 1.   理解同类二次根式的定义，掌握判断同类二次根式的核心方法，能快速准确识别同类二次根式。 2.   掌握二次根式加减运算的** “ 先化简，再合并 ” **核心法则，熟练完成二次根式的加减混合运算。 3.   类比整式加减中合并同类项的方法，理解二次根式加减的本质，体会转化、类比的数学思想。 4.   规范运算书写步骤，养成先化简、再判断、后计算的严谨解题习惯，提升运算准确率与逻辑推理能力。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.   同类二次根式的识别与判定：这是二次根式加减运算的前提，只有先找准同类二次根式，才能完成后续合并计算。 2.   二次根式加减运算的法则与步骤：核心法则为先化为最简二次根式，再合并同类二次根式，熟练掌握标准化运算流程。 3.   最简二次根式的化简：二次根式加减的基础，所有参与运算的根式，必须先化简到最简形式，才能判断是否为同类二次根式。 （二）难点 1.   易错点：未化简就直接合并被开方数不同的二次根式，比如错误计 + = ，本质是不理解同类二次根式的合并要求。 2.   难点突破：准确区分同类二次根式与非同类二次根式，明确只有被开方数完全相同的最简二次根式，才能合并；非同类二次根式不能合并，直接保留原式。 3.   易混点：合并同类二次根式时，只合并系数，被开方数与根指数保持不变，避免出现改变被开方数的错误。 4.   综合难点：含整数、分数系数的二次根式化简、同类项判断，以及加减混合运算中的符号、去括号规范处理。 ) 三．课前预习 1.最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含________；②被开方数中不含能开得尽方的________。 2.整式加减中，合并同类项的法则：只把________相加减，________和________保持不变。 3.化简下列二次根式： =______；=______；=______；=______。 4.类比同类项，同类二次根式：几个二次根式化为________后，如果________完全相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 5.二次根式加减的核心步骤：第一步________，第二步________，第三步________。 6.计算：2+5=_______；7-3=_______。 7.判断：与_______同类二次根式; 与________同类二次根式。（填“是”或“不是”） 四．知识探秘 探究一：同类二次根式的概念探究 问题1：旧知类比，感知定义 我们在整式加减中，把所含字母相同，且相同字母指数也相同的项叫做同类项，只有同类项才能合并。 思考：二次根式想要加减合并，需要满足什么条件？ 观察下列根式： （1）、3、； （2） 、2、- 第一步：全部化为最简二次根式：=2，-=3 第二步：观察特征 第一组：化简后被开方数都是2； 第二组：化简后被开方数都是3。 归纳结论： 同类二次根式定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数完全相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 例1．下列各式中，哪些是同类二次根式？ ，，，，，，，，． ( 【 知识梳理 】 同类二次根式 1.   定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.   判定步骤： ① 先把所有二次根式化为最简二次根式； ② 观察化简后的被开方数是否完全相同，相同即为同类二次根式。 【 知识点睛 】 判定同类二次根式易错点 ： 不能直接根据原式被开方数判断，必须先化为最简二次根式。例如 与 ，原式被开方数不同，但化简后均为2 、 ，属于同类二次根式。 ) 探究二：二次根式加减法则探究 问题：如何计算一3++ 二次根式的加减法一般遵循下面的程序: 二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式. 例2.计算 （1） （2） （3）（＞） （4） ( 【 知识梳理 】二次根式的加减运算法则 1. 实质： 二次根式的加减运算，本质是合并同类二次根式，类比整式加减中的合并同类项。 2.运算步骤： （1）化简：将算式中所有二次根式化为最简二次根式； （2）找同类：找出式子中的同类二次根式； （3）合并：把同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数保持不变； （4）整理：非同类二次根式不能合并，直接保留。 3.字母表示：a ± b =(a ± b) (m ≥ 0) 【知识点睛】 1 .合并规则核心 只对根号前面的系数进行加减运算，根号部分（被开方数、根指数）原样保留；非同类二次根式无法合并，运算结果中要分开书写。 2 .运算常见误区 误区1：未化简直接合并，导致计算错误； 误区2：合并时改动被开方数，违背运算法则； 误区3：加减混合运算漏项、符号出错，运算时注意符号跟随系数。 3 .拓展补充 同类二次根式与系数大小、根号前符号无关，只由化简后的被开方数决定；多个二次根式相加减，可结合加法交换律、结合律分组合并同类二次根式，简化计算。 ) 探究三：去括号+混合运算探究 若式子中含有括号，先按照去括号法则去括号，再执行“化简→找同类→合并”的步骤； 若式子中含整数、分数系数，先统一化简，再精准合并，全程注意符号不变形。 例2.计算下列各题． (1) (2) (3) (4) (5) ( 【 知识梳理 】 （一）二次根式混合运算顺序 1.运算顺序与整式混合运算一致：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内（小括号 → 中括号）。 2.同级运算（只有乘除/只有加减），按照从左到右依次计算。 （二）运算法则与运算律 1.乘法运算 （ 1 ）单项式乘多项式： a( + )=a +a （ 2 ）多项式乘多项式： ( + )( + )= · + · + · + · 2. 除法运算：两个二次根式相除，先写成分式形式，再化简， = ± （a ≥ 0,b ≥ 0,c>0）。 3.运算律：整式的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律在二次根式运算中仍然适用。 （三）乘法公式的应用 整式乘法公式可直接用于二次根式运算，常用公式： 1. 平方差公式： ( + )( - )=a-b（a ≥ 0,b ≥ 0） 2.完全平方公式： ( ± ) 2 =a ± 2 +b（a ≥ 0,b ≥ 0） （四）运算结果要求 1.最终结果必须化为最简二次根式； 2.被开方数不含分母，分母不含根号； 3.同类二次根式要合并。 ) 五．基础过关 （一）．选择题 1. 化简后，与的被开方数相同的二次根式是( ) A. B. C. D. 2. 下列各组二次根式化成最简二次根式后，被开方数完全相同的是( ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3.下列说法正确的是( ) A. 被开方数相同的二次根式可以合并 B. 与可以合并 C. 只有根指数为2根式才能合并 D. 与不能合并 4.下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个三角形的三边长分别是，，,则此三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 若a＝5＋2，b＝2－5，则a，b的关系为(　　) A. 互为相反数 B. 互为倒数 C. 积为－1 D. 绝对值相等 7. 若(2－3)2＝m－n(m，n为有理数)，则m，n的值分别为(　　) A. m＝30，n＝6 B. m＝30，n＝12 C. m＝30，n＝－12 D. m＝12，n＝－12 8. 如果5＋，5－的小数部分分别为a，b，那么a＋b的值为(　　) A.0 B. －1 C. 1 D. ±1 9. 下列各数中，与2－的积不含二次根式的是(　　) A. 2＋ B. 2－ C. －2 D. 10. 计算的结果为（ ） A. 7 B. －5 C. 5 D. －7 （二）．填空题 11. 如果最简二次根式可以与合并，那么a=_________. 12. 若，，那么ab=______． 13．计算的结果是 　　． 14. 如图是一个简单的数值运算程序,当输入x的值为时,则输出的值为____.    15. 计算：(2＋)2－(2－)2＝________． 16．已知，，则的值为 　　． 17．已知，，则的值为 　　． 18. 已知长方形的长为(2＋3)cm，宽为(2－3)cm，则长方形的面积为________ cm2. 19. a、b为有理数，且（a＋）2＝b＋8，则a＋b＝__________. 20．已知实数使得成立，则　　． （三）．解答题 21.下列各组的二次根式化简后的被开方数是否相同？ （1），，； （2），－，2； （3），. 22.计算或化简 （1）＋－； （2）＋3xy－x2； （3）（4－10）－（－）. 23．我们把符号称为2×2阶行列式，并且规定＝ad－bc.例如：＝3×4－2×5＝2.请按此方法化简，并取一个你喜欢的a的值代入求值． 24．已知二次根式有意义，化简－，并求出它的值． 25．对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算“*”如下：a*b＝－(a>b>0)．如4*3＝－＝－1，试求下列各式的值： (1)13*5. (2)6*5－5×(8*3)． 26．有一块矩形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为和的两块正方形木板． （1）截出的两块正方形木板的边长分别为 　　； （2）求剩余木板的面积； （3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 　　个这样的木条． 六．知识清单 1.几个二次根式化成________后，如果________相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。 2.判断几个二次根式是否为同类二次根式，第一步必须先把它们化为________，再比较________是否一致。 3.同类二次根式的判断，与根号外的________无关，只与化简后的被开方数有关。 4.整式运算中的同类项，和二次根式中的________，本质都是“可合并的同类式子”。 5.最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含________，被开方数中不含能开得尽方的________或________。 6.二次根式加减运算的核心原则是：先________，再________。 7.合并同类二次根式时，只需把各二次根式的________相加减，________和________保持不变。 8.被开方数不同的最简二次根式，________直接合并，需保留原式书写。 9.二次根式加减运算的标准步骤可总结为：一________、二________、三________。 10.进行二次根式加减运算时，若式子中有括号，要先按照________法则去括号，再进行化简合并。 11.合并同类二次根式，本质和整式中________的方法完全一致。 12.二次根式加减，不能直接将被开方数相加减，例如+__（填“=”或“≠”）。 13.未化简的二次根式，不能直接判断是否为同类二次根式，比如\sqrt{27}和\sqrt{3}，化简后被开方数相同，属于________。 14.二次根式加减运算的最终结果，必须化为________形式，且无同类二次根式可合并。 15.带分数系数的同类二次根式合并，要先把带分数化为________，再进行系数运算。 16.多个二次根式混合加减时，要先完成全部化简，再________同类二次根式，杜绝边化简边合并的错误做法。 17.若a与3是同类二次根式，则a满足的条件是________。 18.进行二次根式加减运算时，根号外的系数为负数，合并时要注意携带________运算。 19.整式的加法交换律、结合律，在二次根式加减运算中________（填“成立”或“不成立”）。 20.完成二次根式加减计算后，一定要检查两点：结果是否为最简二次根式、是否还有________可以合并。 七．强化提优 （一）选择题 1. 下列二次根式中，化成最简二次根式后，与可以合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算错误是(　　) A. ×＝ B. ＋＝ C. ÷＝2 D. －＝ 3. 化简结果是( ) A. B. C. D. 4. 若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（　　） A. B. C. 1 D. 3 5. 下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知a+b=，a-b=，c=，则代数式a2-b2-c2-2bc的值是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 无法确定 7.小康和小英玩摸卡片游戏:如图,有三张大小,形状,纸质完全相同的卡片A,B,C,卡片正面分别写有一个算式,现将背面朝上,小康随机抽取两张,若小康所抽取的两张卡片的计算结果都是无理数,则它们的和为(　　) A.4　 B.6　 C.8　 D.10 8．设a＝，b＝，用含a，b的式子表示，下列正确的是(C) A．0.3ab2 B．3ab C．0.1ab3 D．0.1a3b 9．化简－的结果是( ) A. 2a＋2 B. 4a＋2 C. 4 D. －4 10．如果＋＝，且0<x<y，那么满足条件的整数对(x，y)有(C) A. 1对　　 B. 2对 C. 3对　　 D. 4对 （二）填空题 11．若最简二次根式与可以合并，则的值为 　　． 12．给出二次根式，①；②；③；④，其中化简后能与合并的是 　　（填序号）． 13．计算的结果是 　　． 14.–27的立方根与的平方根之和是__________. 15. 若a、b分别是6-的整数部分和小数部分，那么2a-b的值是__________. 16. 已知=10，则x等于__________. 17. 已知x=+，y=-，则x3y+xy3=________． 18. 已知，则. 19. 若+=+，=-，则x+y=_______． 20．小莉在如图所示的矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，请你帮她求出图中空白部分的面积为_________． （三）解答题 21.计算或化简： （1）（－4）·； （2）（＋－）÷； （3）（3＋2）（2－3）. 22.应用乘法公式计算. （1）（＋2）（－2）； （2）（）2； （3）（＋）（－）； （4）（－）2. 23．若最简二次根式3x－10和是同类二次根式． (1)求x，y的值； (2)求的值． 24．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 25．如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D在BD两侧作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC.已知AB＝5，DE＝9，BD＝8，设CD＝x. (1)用含x的代数式表示AC＋CE的长． (2)请问：点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？ (3)根据(2)中的结论，请构图求出代数式＋的最小值． 26．材料：若a，b是两个正数，由完全平方式的非负数性质可得： （）2≥0（取等号时，b即a＝b）∴（）2﹣2•+（）2≥0 ∴a﹣2+b≥0∴a+b≥2（当且仅当a＝b时取等号） 结论：对任意两个正数a，b，都有a+b≥2；上述不等式当且仅当a＝b时等号成立．当这两个正数a，b的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数a，b的和的最小值例如：当x为正数时，两数x和均为正数，且x•＝1（常数），则有x+≥2＝2＝2（当且仅当x＝即x＝1时取等号） 所以当x＝1时，x+有最小值，最小值为2． 利用以上结论完成下列问题： （1）当x，y为正数时，求的最小值； （2）当x＞1，求x+的最小值； （3）已知：a，b是两个正数，且a+b＝1，求的最小值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $