11.2二次根式的乘除（一）讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

本讲义聚焦二次根式乘法法则（√a·√b=√(ab)，a≥0,b≥0）及逆用，系统讲解最简二次根式化简方法。承接二次根式概念，为后续乘除混合运算奠基，构建二次根式运算的学习支架。 通过矩形面积问题情境导入，引导学生用数学眼光抽象数量关系，经历“观察-猜想-验证-归纳”推导过程，培养数学思维中的推理意识与运算能力。分层练习设计助学生用数学语言规范表达，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺。

2025-2026学年苏科版八年级数学下 《第十一章二次根式第二节二次根式的乘除（一）》讲义 一．学习目标 ( 1.   理解并掌握二次根式的乘法法则 · = （a ≥ 0，b ≥ 0） ，能熟练进行二次根式的乘 法 运算；掌握二次根式化简的方法，能将二次根式化为最简二次根式。 2.   经历二次根式乘法则的推导过程，通过观察、猜想、验证、归纳，提升类比推理与运算能力，体会 “ 由特殊到一般 ” 的数学思想。 3.   感受二次根式运算的简洁性，培养严谨的计算习惯，增强学习数学的兴趣。 4.   发展数学运算、逻辑推理素养，规范运算步骤，提升化简求值能力。 ) 二．重点难点 ( （ 一 ） 重点 1.   熟练掌握二次根式乘法运算法则，准确进行根二次根式乘 法 计算； 2.   理解并应用法则进行二次根式化简，掌握最简二次式的判定标准并规范化简。 （ 二 ） 难点 1.   准确把握法则中被开方数的取值范围（乘法：a ≥ 0,b ≥ 0），避免忽略隐含条件； 2.   乘除混合运算中，灵活结合法则化简，处理被开方数含分数、小数、因式的化简问题； 3.   区分二次根式乘法法则与积的算术平方根的互逆运用，避免运算顺序与符号错误。 ) 三．课前预习 1.二次根式乘法法则：·=____（a≥0,b≥0）；积的算术平方根：=_____（a≥0,b≥0）。 2.计算：×=_______。 3.最简二次根式满足两个条件：①被开方数不含________；②被开方数中不含能开得尽方的________。 4.化简：=_______。 四．知识探秘 【问题】 1.在下图中，小正方形的边长为1，矩形ABCD的面积是多少? 分别用小慧、小亮的方法计算矩形ABCD的面积，可以得到 ×=4 【讨论】 1.填空 （1）= ， = ； （2）= ， = ； （3）×= ， = ． 2. ·=（a≥0，b≥0）成立吗? 特别地，当a=b，a≥0时，()2==a. 计算:(1)×; (2)×; (3)×(a≥0). 把·=(a≥0,b≥0)反过来，可得:=·(a≥0,b≥0).利用这个式子可以化简一些二次根式. 化简:(1); (2); (3). . 化简二次根式的结果中，被开方数一般不含能开得尽方的因数或因式， 【讨论】 如何计算2×3? ( 【 知识梳理 】 1. 二次根式的乘法法则 （ 1 ） 法则内容： · = （a ≥ 0，b ≥ 0） （ 2 ） 文字表述：两个非负数的算术平方根的积，等于这两个数积的算术平方根。 （ 3 ） 推广： · n =mn （a ≥ 0，b ≥ 0， m,n为实数） 2. 二次根式乘法的运算步骤 （ 1 ） 系数相乘：根号外的系数相乘，作为结果的系数； （ 2 ） 被开方数相乘：根号内的被开方数相乘，得到新的被开方数； （ 3 ） 化简二次根式：将被开方数分解因数，把能开得尽方的因数（或因式）开出来，化为最简二次根式。 【 知识点睛 】 1.二次根式乘法法则的注意事项 （ 1 ） 法则成立的前提条件是被开方数非负（ a ≥ 0，b ≥ 0 ），如果没有这个条件，法则不成立。 例： × ≠ ，因为 和 在实数范围内无意义。 （ 2 ） 乘法法则可以逆用： = · (a ≥ 0,b ≥ 0) ，这是化简二次根式的重要依据。 2.化简二次根式的常用方法 （ 1 ） 分解因数/因式：把被开方数分解成 “ 能开得尽方的因数/因式 × 不能开得尽方的因数/因式 ” 的形式。 例： = =3 （ 2 ） 处理系数：如果根号外有系数，要把开出来的数和系数相乘。 例：2 = 2 = 2 × 2 = 4 ) ( 3.常见易错点 （ 1 ） 忽略被开方数的非负性，直接套用公式； （ 2 ） 化简不彻底，比如 只化成2 （含小数，不符合最简二次根式要求）或 （未开方）； （ 3 ） 系数和被开方数混淆，比如2 × 3 错误算成6 （被开方数相加）。   ) 五．经典例题 例1. 下列各式不是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 例2. 小华的作业本上完成了四道题：①；②；③，她做错的题有（ ）道 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 例3. 若，则（　　） A. B. C. D. x为一切实数 例4．计算： (1)×；　　(2)×；　　(3)×(a＞0，b＞0). 例5.化简： (1)；　　　　(2)(a＞0，b＞0)；　　　(3)(x＞y). 例6.(1)探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“＞”“＜”或“＝”，并完成后面的问题． ×__________，×__________，×__________，×__________ ，… 用，，表示上述规律为：__________． (2)利用(1)中的结论，求×的值． (3)设x＝，y＝，试用含x，y的式子表示. 六．基础过关 （一）．选择题 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 当x＜0时，等于( ) A. x B. x C. －x D. －x 5. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 6. 一个矩形的长和宽分别是、，则它的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 计算(+3)2026(-3)2025的结果是（　　） A. -3 B. 3 C. -3 D. +3 8. 化简得( ) A. 144 B. ±144 C. ±12 D. 12 9. 使成立条件是( ) A. a＜0，b＞0 B. a≤0，b≥0 C. a≤0， b＞0 D. a，b为异号实数 10. 把根号外的因式移入根号内的结果是（　　） A. B. ﹣ C. D. ﹣ （二）．填空题 11. 计算的值是_____． 12. 计算：＝______． 13. 已知，则＝_______ 14. 化简＝_______. 15. 成立，那么x的取值范围是 ___________ 16. 计算：＝__________(a≥0，b≥0). 17. 已知三角形的一边长为，这边上的高为，则这个三角形的面积是______． 18. 如果实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简=______________． 19. 若则x的取值范围是______． 20. 已知的整数部分为，小数部分为，则_____________． （三）．解答题 21. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； 22.化简： (1) (2) 23.【发现】：①计算（）2＝　 　，（）2＝　　； ②计算：＝　　；＝　　； 【总结】：通过①②的计算，分别探索（）2（a≥0）与a、与a的数量关系规律，请用自己的语言表述出来； 【应用】： 利用你总结的规律，结合图示计算++（）2的值． 24. 阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，小明同学提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方的积存在有什么样的关系？小明用自己的方法进行了验证： 小明：＝＝10，而＝5，＝2 ∴＝5×2＝10即＝× 回答以下问题： （1）结合材料猜想，当a≥0，b≥0时，请直接写出和之间有什么关系？ （2）运用以上结论，计算：①；② （3）解决实际问题： 已知一个长方形的长为，宽为，则长方形的面积为多少？ 25. 在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：（）2﹣|1﹣x|． 解：隐含条件1﹣3x≥0，解得x≤，∴1﹣x＞0，∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x． （1）试化简：； （2）已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：+++； （3）已知a、b满足，求ab的值． 七．知识清单 1.二次根式的乘法法则：·=_____（a___0，b___0）。 2.语言表述：两个__________的算术平方根的积，等于这两个数__________的算术平方根。 3.积的算术平方根性质（乘法法则逆用）：=_______（a___0，b___0）。 4.二次根式乘法法则推广：··=__________（a___0,b___0,c___0）。 5.含有系数的二次根式乘法：m·n=__________（m,n为常数，a___0,b___0）。 6.利用积的算术平方根化简二次根式时，先把被开方数进行__________，再将能__________的因数或因式开方移到根号外。 7.最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含__________；②被开方数中不含能__________的因数或因式。 8.二次根式乘法运算结果一般要化为__________二次根式。 9.公式·=成立的前提条件是__________，若a<0,b<0，该公式__________（填“成立”或“不成立”）。 10.计算时，不能写成×，因为负数__________算术平方根。 八．强化提优 （一）选择题 1、下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2. 化简的结果是( ) A. B. C. D. 3. 若a≤0，则化简后为( ) A. B. C. D. 4. 若，则可以表示为（ ） A. B. C. D. ab 5、计算=(    ) A． B． C． D． 6. 当a＜0，b＜0时，－a＋2－b可变形（　　） A. B. － C. D. 7. 下列计算正确的是( ) A. 2×3＝6 B. 3×3＝3 C. 4×2＝8 D. 2×6＝12 8. 已知：是整数，则满足条件的最小正整数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 实数a在数轴上的位置如图所示，则+化简后为（　　） A. 7 B. ﹣7 C. 2a﹣15 D. 无法确定 10．k、m、n为三整数，若＝k，＝15，＝6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（　　） A．k＜m＝n B．m＝n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n （二）填空题 11. 若，则_________ 12. 已知xy＜0，则______． 13.等式成立的条件是_______． 14.如果，那么x的取值范围是_______． 15. 观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，…那么第10个数据应是_______． 16. 当x取某一范围的实数时，代数式的值是一个常数，该常数是_______. 17. 在中， ， c为斜边，a. b为直角边，则化简的结果为_________. 18.已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣﹣，则x+y的最小值为　 　． 19．已知：，那么a2+b2的值是　 　． 20. 将1、、、按右侧方式排列.若规定(m，n)表示第m排从左向右第n个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______. （三）解答题 21. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）. 22.已知A＝2，B＝，C＝×，其中A，B都是最简二次根式，且A＋B＝C，分别求出a和x的值． 23. 在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息成为显性条件；而有的信息不太明显需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 【阅读理解】 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：（）2﹣|1﹣x| 解：隐含条件1﹣3x≥0，解得：x≤ ∴1﹣x＞0 ∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：﹣（）2； 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣|b﹣a|． 24. 阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简． 例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2 ∴==+ 请你仿照上例将下列各式化简 （1）， （2）． 25．（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空： 4+3　 　2，1+　 　2，5+5　 　2． （2）由（1）中各式猜想m+n与2（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由． （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要　 　m． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版八年级数学下 《第十一章二次根式第二节二次根式的乘除（一）》讲义 一．学习目标 ( 1.   理解并掌握二次根式的乘法法则 · = （a ≥ 0，b ≥ 0） ，能熟练进行二次根式的乘 法 运算；掌握二次根式化简的方法，能将二次根式化为最简二次根式。 2.   经历二次根式乘法则的推导过程，通过观察、猜想、验证、归纳，提升类比推理与运算能力，体会 “ 由特殊到一般 ” 的数学思想。 3.   感受二次根式运算的简洁性，培养严谨的计算习惯，增强学习数学的兴趣。 4.   发展数学运算、逻辑推理素养，规范运算步骤，提升化简求值能力。 ) 二．重点难点 ( （ 一 ） 重点 1.   熟练掌握二次根式乘法运算法则，准确进行根二次根式乘 法 计算； 2.   理解并应用法则进行二次根式化简，掌握最简二次式的判定标准并规范化简。 （ 二 ） 难点 1.   准确把握法则中被开方数的取值范围（乘法：a ≥ 0,b ≥ 0），避免忽略隐含条件； 2.   乘除混合运算中，灵活结合法则化简，处理被开方数含分数、小数、因式的化简问题； 3.   区分二次根式乘法法则与积的算术平方根的互逆运用，避免运算顺序与符号错误。 ) 三．课前预习 1.二次根式乘法法则：·=____（a≥0,b≥0）；积的算术平方根：=_____（a≥0,b≥0）。 2.计算：×=_______。 3.最简二次根式满足两个条件：①被开方数不含________；②被开方数中不含能开得尽方的________。 4.化简：=_______。 【答案】1.；· 2.,3.分母；因数或因式 4.2； 四．知识探秘 【问题】 1.在下图中，小正方形的边长为1，矩形ABCD的面积是多少? 分别用小慧、小亮的方法计算矩形ABCD的面积，可以得到 ×=4 【讨论】 1.填空 （1）= ， = ； （2）= ， = ； （3）×= ， = ． 【答案】（1）10 10 （2）12 12 （3） 2. ·=（a≥0，b≥0）成立吗? 证明：当a≥0,b≥0时， 因为(·)2=(·)(·)=()2·()2=ab, 又因为()2=ab,所以(·)2=()2 因为,和都是非负数，所以·=(a≥0，6≥0).于是，可得二次根式乘法的性质:·=(a≥0,b≥0). 特别地，当a=b，a≥0时，()2==a. 计算:(1)×; (2)×; (3)×(a≥0). 【解析】(1)×= ==2; (2)×=(2)=(2)=6; (3)当a≥0时,×=×==4a。 把·=(a≥0,b≥0)反过来，可得:=·(a≥0,b≥0).利用这个式子可以化简一些二次根式. 化简:(1); (2); (3). 【解析】(1)==×=×3=3; (2)==×=8; (3)当a≥0时,=2a. 化简二次根式的结果中，被开方数一般不含能开得尽方的因数或因式， 【讨论】 如何计算2×3? 【解析】2×3= (2×3)×(×)=6×=6×= 6×=6×3 = 18。 ( 【 知识梳理 】 1. 二次根式的乘法法则 （ 1 ） 法则内容： · = （a ≥ 0，b ≥ 0） （ 2 ） 文字表述：两个非负数的算术平方根的积，等于这两个数积的算术平方根。 （ 3 ） 推广： · n =mn （a ≥ 0，b ≥ 0， m,n为实数） 2. 二次根式乘法的运算步骤 （ 1 ） 系数相乘：根号外的系数相乘，作为结果的系数； （ 2 ） 被开方数相乘：根号内的被开方数相乘，得到新的被开方数； （ 3 ） 化简二次根式：将被开方数分解因数，把能开得尽方的因数（或因式）开出来，化为最简二次根式。 【 知识点睛 】 1.二次根式乘法法则的注意事项 （ 1 ） 法则成立的前提条件是被开方数非负（ a ≥ 0，b ≥ 0 ），如果没有这个条件，法则不成立。 例： × ≠ ，因为 和 在实数范围内无意义。 ) ( （ 2 ） 乘法法则可以逆用： = · (a ≥ 0,b ≥ 0) ，这是化简二次根式的重要依据。 2.化简二次根式的常用方法 （ 1 ） 分解因数/因式：把被开方数分解成 “ 能开得尽方的因数/因式 × 不能开得尽方的因数/因式 ” 的形式。 例： = =3 （ 2 ） 处理系数：如果根号外有系数，要把开出来的数和系数相乘。 例：2 = 2 = 2 × 2 = 4 3.常见易错点 （ 1 ） 忽略被开方数的非负性，直接套用公式； （ 2 ） 化简不彻底，比如 只化成2 （含小数，不符合最简二次根式要求）或 （未开方）； （ 3 ） 系数和被开方数混淆，比如2 × 3 错误算成6 （被开方数相加）。   ) 五．经典例题 例1. 下列各式不是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A、是最简二次根式；B、是最简二次根式；C、是最简二次根式；D、不是最简二次根式；故选：D 例2. 小华的作业本上完成了四道题：①；②；③，她做错的题有（ ）道 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】①当a≥0时，，当a＜0时，，正确； ②，正确；③，正确；故选D． 例3.. 若，则（　　） A. B. C. D. x为一切实数 【答案】A 【解析】由题意得：，解得：，故选A． 例4．计算： (1)×；　　(2)×；　　(3)×(a＞0，b＞0). 解：(1)×＝＝＝8. (2)×＝＝ab. (3)×(－)＝×(－)×＝－3b. 例5.化简： (1)；　　　　(2)(a＞0，b＞0)；　　　(3)(x＞y). 解：(1)＝＝×＝2. (2)＝＝4ab. (3)因为x＞y，所以＝＝4(x－y). 例6.(1)探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“＞”“＜”或“＝”，并完成后面的问题． ×__________，×__________，×__________，×__________ ，… 用，，表示上述规律为：__________． (2)利用(1)中的结论，求×的值． (3)设x＝，y＝，试用含x，y的式子表示. 解：(1)∵×＝2×4＝8，＝＝8， ∴×＝，×＝， ×＝，×＝，×＝. (2)×＝＝＝2. (3)∵x＝，y＝，∴＝＝××＝x·x·y＝x2y. 六．基础过关 （一）．选择题 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A、=，故A不是；B、=，故B不是；C、，故C是； D、=，故D不是.故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A.，此选项错误，不符合题意；B. ，此选项正确，符合题意；C. ，此选项错误，不符合题意；D. ，此选项错误，不符合题意；故选：B． 3. 已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】∵，∴当n=2时， ==4，是整数，故正整数n的最小值为2．故选B． 4. 当x＜0时，等于( ) A. x B. x C. －x D. －x 【答案】C 【解析】∵x＜0∴=|x|=－x故选C. 5. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A选项：，计算错误，故与题意不符； B选项：，计算步骤有误，故与题意不符; C选项：-，计算错误，故与题意不符； D选项：＝=5，计算正确，故与题意相符.故选D. 6. 一个矩形的长和宽分别是、，则它的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】×=3×2×=6 =，故选B． 7. 计算(+3)2026(-3)2025的结果是（　　） A. -3 B. 3 C. -3 D. +3 【答案】D 【解析】(+3)2026(-3)2025=[(+3)( -3)]2025(+3) =1+3=+3.故选D. 8. 化简得( ) A. 144 B. ±144 C. ±12 D. 12 【答案】A 【解析】＝．故选A． 9. 使成立条件是( ) A. a＜0，b＞0 B. a≤0，b≥0 C. a≤0， b＞0 D. a，b为异号实数 【答案】B 【解析】∵成立，∴a≤0，b≥0．故选B． 10. 把根号外的因式移入根号内的结果是（　　） A. B. ﹣ C. D. ﹣ 【答案】C 【解析】由题意可知：，∴．故选：C （二）．填空题 11. 计算的值是_____． 【答案】6 【解析】；故答案为：6． 12. 计算：＝______． 【答案】 【解析】原式 故答案 13. 已知，则＝_______ 【答案】. 【解析】∵，∴．∴. ∴. 14. 化简＝_______. 【答案】 【解析】：. 故答案为. 15. 成立，那么x的取值范围是 ___________ 【答案】-2≤x≤2 【解析】依题意得 ，解之得-2≤x≤2．故答案为-2≤x≤2． 16. 计算：＝__________(a≥0，b≥0). 【答案】. 【解析】∵a≥0，b≥0∴＝故答案. 17. 已知三角形的一边长为，这边上的高为，则这个三角形的面积是______． 【答案】1 【解析】根据三角形的面积得：故答案为1 18. 如果实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简=______________． 【答案】-ab 【解析】由数轴可知： 故答案 19. 若则x的取值范围是______． 【答案】x≤4 【解析】根据题意可知： 解得： 故答案为 20. 已知的整数部分为，小数部分为，则_____________． 【答案】 【解析】，故可得的整数部分为， 小数部分为， 故答案是：． （三）．解答题 21. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； 解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 22.化简： (1) (2) 解：（1）原式 （2）原式 23.【发现】：①计算（）2＝　 　，（）2＝　　； ②计算：＝　　；＝　　； 【总结】：通过①②的计算，分别探索（）2（a≥0）与a、与a的数量关系规律，请用自己的语言表述出来； 【应用】： 利用你总结的规律，结合图示计算++（）2的值． 解：【发现】：①（）2＝2，（）2＝，故答案为：2，； ②＝|2|＝2，＝|﹣|＝，故答案为：2，； 【总结】：（）2＝a（a≥0），＝|a|＝； 【应用】：由数m在数轴上的位可知，﹣2＜m＜﹣1，∴m+2＞0，m﹣1＜0，3﹣m＞0， ∴原式＝2（m+2）+1﹣m+3﹣m＝8，答：++（）2＝8． 24. 阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，小明同学提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方的积存在有什么样的关系？小明用自己的方法进行了验证： 小明：＝＝10，而＝5，＝2 ∴＝5×2＝10即＝× 回答以下问题： （1）结合材料猜想，当a≥0，b≥0时，请直接写出和之间有什么关系？ （2）运用以上结论，计算：①；② （3）解决实际问题： 已知一个长方形的长为，宽为，则长方形的面积为多少？ 解：（1）当a≥0，b≥0时，＝； （2）①＝×＝4×5＝20， ②＝×＝8×13＝104； （3）由题意得：长方形的面积＝×＝＝＝16， ∴长方形的面积为16． 25. 在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：（）2﹣|1﹣x|． 解：隐含条件1﹣3x≥0，解得x≤，∴1﹣x＞0，∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x． （1）试化简：； （2）已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：+++； （3）已知a、b满足，求ab的值． 解：（1）隐含条件2﹣x≥0，解得：x≤2，所以＝3﹣x﹣（2﹣x） ＝3﹣x﹣2+x＝1； （2）∵a，b，c为△ABC的三边长，∴a﹣b＜c，a+c＞b，c﹣b＜a，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，∴+++； ＝（a+b+c）﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a﹣c）﹣（c﹣b﹣a）＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a ＝2a+2b+2c； （3）∵＝a+3，若a≥2，则a﹣2＝a+3，不成立，故a＜2，∴2﹣a＝a+3，∴a＝﹣，∵＝a﹣b+1，∴a﹣b+1＝1或0，∴b＝﹣或，∴ab＝±． 七．知识清单 1.二次根式的乘法法则：·=_____（a___0，b___0）。 2.语言表述：两个__________的算术平方根的积，等于这两个数__________的算术平方根。 3.积的算术平方根性质（乘法法则逆用）：=_______（a___0，b___0）。 4.二次根式乘法法则推广：··=__________（a___0,b___0,c___0）。 5.含有系数的二次根式乘法：m·n=__________（m,n为常数，a___0,b___0）。 6.利用积的算术平方根化简二次根式时，先把被开方数进行__________，再将能__________的因数或因式开方移到根号外。 7.最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含__________；②被开方数中不含能__________的因数或因式。 8.二次根式乘法运算结果一般要化为__________二次根式。 9.公式·=成立的前提条件是__________，若a<0,b<0，该公式__________（填“成立”或“不成立”）。 10.计算时，不能写成×，因为负数__________算术平方根。 【答案】1.；≥；≥ 2. 非负数；积 3.·；≥； 4. 5.mn 6.因数（因式）分解；开得尽方 7.分母；开得尽方 8.最简 9.a≥0，b≥0 ；不成立 10.没有 八．强化提优 （一）选择题 1、下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、是最简二次根式，故本选项符合题意．故选：D． 2. 化简的结果是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意可知： 解得： 故选C. 3. 若a≤0，则化简后为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 故选B. 4. 若，则可以表示为（ ） A. B. C. D. ab 【答案】C 【解析】∵ ，∴. 5、计算=(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ,故选C. 6. 当a＜0，b＜0时，－a＋2－b可变形（　　） A. B. － C. D. 【答案】C 【解析】∵a＜0，b＜0，∴-a＞0，-b＞0．∴－a＋2－b =()2+2+()2， =()2．故选C． 7. 下列计算正确的是( ) A. 2×3＝6 B. 3×3＝3 C. 4×2＝8 D. 2×6＝12 【答案】D 【解析】A. 2×3＝30，故该选项错误；B. 3×3＝9，故该选项错误； C.4×2＝8，故该选项错误；D. 2×6＝12，正确.故选D． 8. 已知：是整数，则满足条件的最小正整数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】∵=，且是整数，∴2是整数，即5n是完全平方数，∴n的最小正整数为5．故选D． 9. 实数a在数轴上的位置如图所示，则+化简后为（　　） A. 7 B. ﹣7 C. 2a﹣15 D. 无法确定 【答案】A 【解析】根据二次根式的性质可得:+,因为,所以原式=,故选A. 10．k、m、n为三整数，若＝k，＝15，＝6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（　　） A．k＜m＝n B．m＝n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n 【答案】D 【解析】＝3，＝15，＝6，可得：k＝3，m＝2，n＝5， 则m＜k＜n．故选：D． （二）填空题 11. 若，则_________ 【答案】0.1m 【解析】：二次根式的性质：当时，； 当时，∴0.1m. 12. 已知xy＜0，则______． 【答案】 【解析】 可得：x<0，y>0 ∴ 故答案为 13.等式成立的条件是_______． 【答案】x≥2 【解析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可知x+2≥0，x-2≥0，解得x≥2.故答案为x≥2. 14.如果，那么x的取值范围是_______． 【答案】－3≤x≤0 【解析】∵==，∴x≤0，且x+3≥0，解得-3≤x≤0，故答案为-3≤x≤0. 15. 观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，…那么第10个数据应是_______． 【答案】3 【解析】观察可知规律：被开数依次是0，3，6，9，12，…，按规律可知，第10个数据应该是＝3，填3. 16. 当x取某一范围的实数时，代数式的值是一个常数，该常数是_______. 【答案】3 【解析】(1)当时，解得：13<x<16，原式=16−x+x−13=3，为常数；(2)当时，解得：x<13，原式=16−x+13−x=29−2x，不是常数；(3)当时，解得：x>16；原式=x−16+x−13=2x−29，不是常数；(4)当时，无解.常数3. 17. 在中， ， c为斜边，a. b为直角边，则化简的结果为_________. 【答案】-a-3b+3c 【解析】∵∠C=90°，c为斜边，a、b为直角边，∴a+b＞c，a+c＞b，∴原式=|a-b+c|- 2|c-a-b|=a-b+c+2（c-a-b）=a-b+c+2c-2a-2b=-a-3b+3c． 18.已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣﹣，则x+y的最小值为　 　． 【答案】-3 【解析】∵|x+2|+|1﹣x|＝9﹣﹣，∴|x+2|+|x﹣1|+|y+1|+|y﹣5|＝9， ∵|x+2|+|x﹣1|可理解为在数轴上，数x的对应的点到﹣2和1两点的距离之和；|y+1|+|y﹣5|可理解为在数轴上，数y的对应的点到﹣1和5两点的距离之和，∴当﹣2≤x≤1，|x+2|+|x﹣1|的最小值为3；当﹣1≤y≤5时，|y+1|+|y﹣5|的最小值为6，∴x的范围为﹣2≤x≤1，y的范围为﹣1≤y≤5，当x＝﹣2，y＝﹣1时，x+y的值最小，最小值为﹣3．故答案为﹣3． 19．已知：，那么a2+b2的值是　 　． 【答案】2 【解析】∵，∴（a2+b2+2）（a2+b2）＝8，∴（a2+b2）2+2（a2+b2）﹣8＝0，∴（a2+b2+4）（a2+b2﹣2）＝0，∴a2+b2+4＝0或a2+b2﹣2＝0，即a2+b2＝﹣4或a2+b2＝2，而a2+b2≥0，∴a2+b2的值为2．故答案为2． 20. 将1、、、按右侧方式排列.若规定(m，n)表示第m排从左向右第n个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______. 【答案】 【解析】（5，4）表示第5排从左向右第4个数是：，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第4个就是：，∴(5，4)与(9，4)表示的两数之积是：×=2．故答案为2． （三）解答题 21. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）. 解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 22.已知A＝2，B＝，C＝×，其中A，B都是最简二次根式，且A＋B＝C，分别求出a和x的值． 解：∵A＝2，B＝，A，B都是最简二次根式，∴a＋3＝3a－1，解得a＝2， ∴A＝2，B＝，∴A＋B＝3.∵A＋B＝C，∴＝3，∴20(x＋1)＝180， ∴x＝8. 23. 在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息成为显性条件；而有的信息不太明显需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 【阅读理解】 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：（）2﹣|1﹣x| 解：隐含条件1﹣3x≥0，解得：x≤ ∴1﹣x＞0 ∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：﹣（）2； 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣|b﹣a|． 解：【启发应用】 （1）隐含条件2﹣x≥0，解得：x≤2，所以﹣（）2＝3﹣x﹣（2﹣x） ＝3﹣x﹣2+x＝1； 【类比迁移】 （2）从数轴可知：a＜0＜b，|a|＞|b|，所以+﹣|b﹣a|＝﹣a﹣（a+b）﹣（b﹣a）＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a＝﹣a﹣2b． 24. 阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简． 例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2 ∴==+ 请你仿照上例将下列各式化简 （1）， （2）． 解：（1）∵，∴； （2）∵ ∴. 25．（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空： 4+3　 　2，1+　 　2，5+5　 　2． （2）由（1）中各式猜想m+n与2（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由． （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要　 　m． 解：（1）∵4+3＝7，2＝4，∴72＝49，（4）2＝48，∵49＞48，∴4+3＞2； ∵1+＝＞1，2＝＜1，∴1+＞2；∵5+5＝10，2＝10，∴5+5＝2．故答案为：＞，＞，＝． （2）m+n≥2（m≥0，n≥0）．理由如下：当m≥0，n≥0时，∵（﹣）2≥0， ∴（）2﹣2•+（）2≥0，∴m﹣2+n≥0，∴m+n≥2． （3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200，根据（2）的结论可得：a+2b≥2＝2＝2＝2×20＝40，∴篱笆至少需要40米．故答案为：40． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $