精品解析：江西南昌市新民学校2026届高三下学期适应性考试（二）数学试题

新民学校2026届高三适应性考试（二） 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则的真子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求出再求真子集个数即可． 【详解】依题意表示直线与圆的交点的集合， 则，所以的真子集个数为个． 故选：C． 2. 若，则z的虚部是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的四则运算法则结合复数的模即可求解. 【详解】由题意得， 则，所以z的虚部是. 3. 设向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，， 由得，解得. 4. 设公差为3的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以． 5. 当时，函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的定义域，结合时，的符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，因为，由可得且， 故函数的定义域为，排除AC， 当时，，排除D. 6. 如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合球和圆柱的表面积公式求解. 【详解】如图，作半球O的轴截面，记半球半径为R，圆柱半径为r 由题意，圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高为2r，则有，故 所以剩余几何体的表面积为. 7. 盒中有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球．记事件A为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件B为“第二次取出小球的数字为5”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由已知条件，，，所以. 8. 已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图所示：若是定点，则直线与圆相切时，最大， 此时，又， 所以最小时，最大， 又P为椭圆E：（）上的动点， 所以最小时，点为椭圆的短轴的端点， 又因为的最大值为，所以的最大值为， 所以，所以， 所以E的离心率为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两组样本数据和，，其中是的平均数， 不全相同，则这两组样本数据的（ ） A. 平均数一定相等 B. 中位数一定相等 C. 标准差一定不相等 D. 第百分位数可能相等 【答案】ACD 【解析】 【详解】不妨设，则， 对于A：第二组数据的平均数为，故A正确； 对于B：第一组数据的中位数为，第二组数据为中间两数的平均值，不一定等于，故B错误； 对于C：记第一组数据的标准差为， 则第二组数据的标准差为，故C正确； 对于D：第一组数据第80百分位数为， 第二组数据第80百分位数为第5个数据，两者可能相等，故D正确． 10. 已知函数为奇函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 将的图象向右平移个单位可得到函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 直线是曲线的一条对称轴 【答案】ABD 【解析】 【详解】由题意，，由，则，故． 对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，将的图象向右平移个单位可以得到函数 ，故B正确； 对于C，当时，，而函数在上单调递减，故C错误； 对于D，，时，, 所以是其对称轴，故D正确． 11. 已知为坐标原点，动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两点（点在第一象限），且，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的方程为 B. 的面积为 C. D. 若曲线（）与在第一象限相交于、且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由题意求出曲线的方程，再利用抛物线参数方程和焦点弦性质判断各选项. 【详解】由动点到点的距离比它到直线的距离小2， 可得动点到点的距离与它到直线的距离相等， 故动点的轨迹是焦点为，准线为的抛物线， 故曲线是抛物线. 设，因为点在第一象限，所以， 因为，所以 将代入，得到，故 判断A，直线经过与，其斜率为 所以故A正确； 判断C，，解得，解得， 解得或，故 由于焦点在线段上，所以故C正确； 判断B，点到直线的距离为 所以的面积不是，故B错误； 判断D，设为曲线与抛物线在第一象限的两个交点，其中 因为在抛物线上，所以 令则且 又因为在曲线上，所以 于是 整理得即 因为，所以从而 再设 则已知 因为在轴正半轴上，所以 由倍角公式 得整理得 由得所以 于是故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ，则______． 【答案】45 【解析】 【详解】，令， 则，即． 13. 若函数的最大值为，最小值为，则____________. 【答案】4 【解析】 【分析】先将函数分离常数，构造奇函数，再利用奇函数的性质求出的最大值与最小值，进而得到的最值和，最后计算即可. 【详解】， 令， 则，则函数为奇函数， 设的最大值为，则最小值为， 所以，， 则. 故答案为：4. 14. 已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，，则的最大值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】由题意可知互相垂直且均经过定点，进而可得，再由基本不等式计算即可求解. 【详解】圆C的圆心，半径， 由题意互相垂直且均经过定点， 因此，当且仅当三点共线且在线段之间时等号成立， 所以，当且仅当等号成立， 检验，当三点共线时，， 直线的方程为，即， 直线与圆联立方程组得，解得或， 结合题意可知，此时，解得或， 当时，直线，此时， 当时，直线，此时， 经检验，当或，时有最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理对已知边角关系式化角，约去后展开两角差余弦公式，化简求得角； （2）由正弦定理把转化为正弦形式，将用代换，经三角恒等变换化简得；根据锐角三角形求出的范围，进而即得. 【小问1详解】 由正弦定理， 为外接圆半径. 因为，所以， 即，化简为， 即，因为，所以． 【小问2详解】 因为，所以， 又， 所以． 又是锐角三角形，则，解得， 所以，. 所以的取值范围为． 16. 在数列中，. （1）求证：数列是等差数列； （2）令，数列的前n项和为，证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由递推公式得到，利用等差数列的定义进行证明； （2）根据（1）求出的通项公式，利用错位相减法可求出数列的前n项和为，即可证. 【小问1详解】 由，可得， 又因为，所以， 所以是首项为1，公差为3的等差数列. 【小问2详解】 由（1）知，，所以. ，① ，② ①-②得， ， 所以， 又，所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，底面ABCD，M是AD的中点，点N满足，，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）连接、交于点，连接，由是中点、，推出，再结合得，故，由平行线分线段成比例定理得，再由线面平行判定定理，得平面. （2）以为原点建系，写出各点坐标与相关向量，分别求出平面与平面的法向量，再用向量夹角公式算出两平面夹角的余弦值，进而求得正切值为. 【小问1详解】 连接交于点，连接． 因为是的中点，，，所以． 又，所以，从而，在平面中，有． 所以，又平面BDN，平面． 所以平面． 【小问2详解】 因为底面，以为坐标原点，以的方向为轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，底面四边形为菱形，所以易得为等边三角形. 则，，，． 所以，，，． 设为平面的法向量， 则，即 可取． 设为平面的法向量， 则，即，可取． 设平面与平面的夹角为，则， 所以，所以． 设平面与平面的夹角的正切值为． 18. 某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的人园游客量统计数据如下： 活动开展第天 人园游客量（百人） （1）由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； （2）求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） （3）该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客人园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，； 参考数据：，，，. 【答案】（1），相关程度很强 （2），残差为百人 （3） 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用公式求出相关系数的值，即可得出结论； （2）利用最小二乘法公式求出、的值，可得出回归直线方程，将代入回归直线方程，结合残差的概念求解即可； （3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为，结合全概率公式求解即可. 【小问1详解】 由表格中的数据可得，， 则， 由相关系数，可以推断入园游客量与活动开展第天相关程度很强. 【小问2详解】 ，， 故经验回归方程为. 对于表中第个观测，入园游客量为（百人）， 预测值为（百人），残差为（百人） 【小问3详解】 记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为， 由题意可得，，，， . 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； （2）若恰有两个零点，求实数的取值范围； （3）证明：当时，． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何性质求出切线方程，结合已知条件求出； （2）令，得，构造函数，求导，利用导数分析函数的单调性和极值，结合极限分析求出实数的取值范围； （3）把不等式转化为，构造函数，求导并分析函数单调性，求出的最大值，进而得出，命题得证． 【小问1详解】 函数的定义域为， 所以， ，， 曲线在点处的切线方程为， 把代入，得． 【小问2详解】 令，得， 令，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 当时，， 当且趋近于0时，趋近于； 当趋近于时，且趋近于0， 要使函数有两个零点，只需，即实数的取值范围为． 【小问3详解】 当时，要证成立，即证成立， 记，则，． 记，， 和在上均单调递减， 在上单调递减， 又，， 存在，使得，即， ，， 当时，，即， 在上单调递增，当时，，即， 在上单调递减， ， ，故成立，原命题得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新民学校2026届高三适应性考试（二） 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则的真子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若，则z的虚部是（ ） A. B. 3 C. D. 3. 设向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 设公差为3的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 当时，函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 盒中有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球．记事件A为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件B为“第二次取出小球的数字为5”，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两组样本数据和，，其中是的平均数， 不全相同，则这两组样本数据的（ ） A. 平均数一定相等 B. 中位数一定相等 C. 标准差一定不相等 D. 第百分位数可能相等 10. 已知函数为奇函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 将的图象向右平移个单位可得到函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 直线是曲线的一条对称轴 11. 已知为坐标原点，动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两点（点在第一象限），且，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的方程为 B. 的面积为 C. D. 若曲线（）与在第一象限相交于、且，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ，则______． 13. 若函数的最大值为，最小值为，则____________. 14. 已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若是锐角三角形，求的取值范围． 16. 在数列中，. （1）求证：数列是等差数列； （2）令，数列的前n项和为，证明：. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，底面ABCD，M是AD的中点，点N满足，，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的正切值． 18. 某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的人园游客量统计数据如下： 活动开展第天 人园游客量（百人） （1）由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； （2）求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） （3）该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客人园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，； 参考数据：，，，. 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； （2）若恰有两个零点，求实数的取值范围； （3）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $