精品解析：江西南昌市第二中学2025-2026学年高三下学期3月考试数学试题

2025-2026学年度下学期高三3月考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，且，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集运算可得，化简求出，结合复数的模长公式可得答案. 【详解】因为，，，所以， 即，所以，所以. 故选：B 2. 已知数列为等差数列，，，，，设，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合等差数列和常数数列的性质，分别从充分性和必要性两个方面分析即可. 【详解】当数列是等差数列时，根据等差数列的性质，当时，有，所以是的充分条件； 当数列是等差数列且为常数数列时，由于是恒成立的，所以未必成立，所以是的不必要条件. 综上可知：是的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，该圆锥的表面积为，则圆锥的母线长为（ ）. A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由圆锥的侧面积公式和表面积公式求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则，可得， 圆锥的表面积为，，可得. 故选：A. 4. 已知为等差数列，前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的前n项和公式，可求得；由，可得，从而求得，再由等差数列的通项公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以； 又因为， 即，解得， 所以等差数列的公差， 所以. 故选；A. 5. 已知函数，，的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题化为、、与的交点横坐标，画出大致函数图象，数形结合比较大小即可. 【详解】由题意，的零点分别为、、与的交点横坐标为， 它们的大致图象如上图示，易知，其中. 故选：A 6. 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据侧面展开图扇形的弧长求出圆锥的母线及圆锥底面半径，然后求出圆锥的高，代入圆锥的体积公式求解即可. 【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l. 由弧长公式可得，解得， 又，解得， 所以. 所以圆锥的体积为：. 故选：C 7. 如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（ ） A. 1小时 B. 0.3小时 C. 0.5小时 D. 0.2小时 【答案】B 【解析】 【分析】在中，先由正弦定理，求出；在中，根据余弦定理，求出的长，即可求出结果. 【详解】由题意，在中，，，，所以， 由正弦定理可得，， 则； 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时. 故选：B. 8. 若时，，则实数的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】原不等式可化为，令，对的符号进行分类讨论，当时，令，问题转化为，利用导数求出，当，根据单调性和极限可求出的范围. 【详解】由题意，原不等式可化为， 令，显然函数在上单调递增且连续， 且当时，，当时，，所以的值域为R， 当，原不等式显然成立； 当时，原不等式可化为， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以； 当时，原不等式可化为， ，所以函数在上单调递减， 又当时，，故. 综合时可知，故的最大值为. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度 B. 数据的第百分位数为 C. 若一组样本数据的样本点都在直线上，则这组数据的相关系数为 D. 若随机变量，且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用方差、极差的意义判断A；计算百分位数判断B；利用相关系数判断C；利用正态分布的概率计算判断D. 【详解】对于A，方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度，A正确； 对于B，计算第百分位数：数据个数为，，为整数，则第百分位数是第个数与第个数的平均值，即，B错误； 对于C，样本点都在直线上，说明变量呈完全正线性相关，相关系数，C错误； 对于D，由知正态曲线关于对称，，结合， 代入得， 又，解得， 则， 由对称性，D正确. 故选：AD. 10. 在中，，则（ ） A. B. 的面积为8 C. D. 的内切圆半径是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式即可求，利用余弦定理即可求得，由求，进而得的面积，利用数量积的定义即可判断C，设的内切圆半径为，由即可求解. 【详解】由，所以， 由余弦定理有：， 所以，故A正确； 由，所以，故B正确； ，故C错误； 设的内切圆半径为，则有， 即，故D正确. 故选：ABD. 11. 数列满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则前n项和为 B. C. 数列的前n项和为 D. 数列最大项为第10项 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，可得是首项为1公差为2的等差数列，求等比数列前n项和判断A选项；由等差数列的性质判断B选项；并项求和法判断C选项；列不等式求数列最大项判断D选项. 【详解】由，可得，又， 所以是首项为1公差为2的等差数列，， 对于A，， 则前n项和为， A选项正确； 对于B，由等差数列性质可得， B选项错误； 对于C，，数列的前n项和为， 为奇数时，； 为偶数时，， 所以数列的前n项和为，C选项正确； 对于D，设，则，， 当时，即，解得， 由，则有，即数列最大项为第10项，D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距依次成等差数列，则称其为“等差椭圆”，则“等差椭圆”的离心率为______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】设椭圆的半焦距为，利用条件得到，结合消去，计算即得椭圆的离心率. 【详解】设椭圆的半焦距为，离心率为， 因为长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，所以， 又，所以，则， 两边同时除以，得，解得（舍去）． 所以“等差椭圆”的离心率为． 故答案为：. 13. 已知是定义域为的奇函数且，当时，．那么______ 【答案】 【解析】 【分析】由得的周期，进而得，即，最后利用奇函数结合对数恒等式即可求解. 【详解】由，所以是以为周期的周期函数， 因为，所以，所以， 又为奇函数， 所以， 故答案为：. 14. 已知且，函数．若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】法一：分离参数，由，令函数，用导数法求解； 法二：构造差函数 由，取对数得方程在区间内有两个解，构造函数，用导数法求解； 法三：分离法：一曲一直取对数得，即，转化为与有且仅有两个交点求解； 法四：直接法 由曲线与直线有且仅有两个交点，利用导数法，由得，分和求解. 【详解】法一：分离参数 ，设函数， 则，令，得， 在内，单调递增； 在上，单调递减； ， 又，当趋近于时，趋近于0， 所以曲线与直线有且仅有两个交点， 即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是， 这即是， 所以的取值范围是． 法二：构造差函数 由与直线有且仅有两个交点知， 即在区间内有两个解， 取对数得方程在区间内有两个解． 构造函数， 求导数得． 当时，在区间内单调递增， 所以，在内最多只有一个零点，不符合题意； 当时，，令得，当时，； 当时，； 所以函数的递增区间为，递减区间为． 由于， 当时，有，即， 由函数在内有两个零点知， 所以，即． 构造函数，则， 所以的递减区间为，递增区间为，所以， 当且仅当时取等号，故的解为且． 所以，实数a的取值范围为． 法三：分离法：一曲一直 曲线与有且仅有两个交点等价于在区间内有两个不相同的解． 因为，所以两边取对数得，即，问题等价于与有且仅有两个交点． ①当时，与只有一个交点，不符合题意． ②当时，取上一点在点的切线方程为，即． 当与为同一直线时有得 直线的斜率满足： 时，与有且仅有两个交点． 记， 令，有．在区间内单调递增；在区间内单调递减； 时，最大值为， 所以当且时有． 综上所述，实数a的取值范围为． 法四：直接法 ． 因为，由得． 当时，在区间内单调递增，不满足题意； 当时，，由得在区间内单调递增，由得在区间内单调递减． 因为，且，所以，即， 即，两边取对数，得， 即． 令，则，令，则， 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以， 所以，则的解为，所以，即． 故实数a的范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的值； （2）若的面积为，的平分线交于，求线段的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，求得，进而求得. （2）利用三角形的面积公式列方程，求得，再根据面积列方程，利用基本不等式求得的最大值. 【小问1详解】 由正弦定理，及， 得，即， 由余弦定理得，，所以． 【小问2详解】 如图所示，因为，所以， 因为为的平分线，， 所以，， 当且仅当时，等号成立，所以线段的最大值为． 16. （1）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式； （2）已知数列的首项，且满足（），数列的通项公式. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由，分和这两种情况讨论求解，当时，由结合等比数列的定义求解； （2）由整理得到，，构造新数列得到. 【详解】（1）因为， 当时，可得，解得； 当时，可得，则，即； 可知数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以． （2）由，得，，且， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以，即. 17. 如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，为的中点，二面角的大小是． （1）求证：平面平面； （2）线段上是否存在一个点，使直线与平面所成角的正弦值为．若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 因是正方形，则,因,故. 由,则.因,则平面， 又平面,故平面平面. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）先证明，得平面，即得平面平面； （2）先由题意取中点，证明平面，建系，求出相关点和向量的坐标，依题设，计算出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式列出方程，求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，取的中点，连接,易得,因， 故即二面角的平面角，即， 易得,取中点，连接,过点作,交于， 因,故得正三角形，则, 由（1）得平面平面，且平面平面，平面， 故得平面. 因此可分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系. 则, 依题意，设,， 则， 因，设平面的法向量为， 则，故可取. 设直线与平面所成的角为， 则，解得或， 因，故，即, 故当点是的一个四等分点（靠近点）时，直线与平面所成角的正弦值为,此时 18. 为了促进锂电产业发展，市创新研究院课题组对企业研发经费的投入和企业当年的销售收入的关系进行了研究，他们收集了上一年不同企业销售收入y（单位：10万元）与一定范围内的研发经费x（单位：10万元）的数据，根据收集的13组观测数据，得到如下的散点图，分别利用或建立y关于x的回归方程，令，得到如下数据，且与的相关系数分别为，，且. 10.15 108.40 3.04 0.16 14.00 11.67 0.21 21.22 （1）用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适； （2）根据（1）的结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （3）已知企业的利润z满足，试根据回归方程求出企业利润的最大值. 参考数据和公式：，，，对于一组数据（，2，3，…，n），其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数. 【答案】（1）模型建立y与x的回归方程更合适； （2）； （3）960万元. 【解析】 【分析】（1）利用非线性转化为线性，再求相关系数即可得到判断； （2）利用非线性转化为线性，再求线性回归方程系数即可得解； （3）利用基本不等式求最大值即可. 【小问1详解】 由题意知，， 因为，所以用模型建立y与x的回归方程更合适. 【小问2详解】 令，回归方程为，因为，， 所以关于x的回归方程为，即. 【小问3详解】 由题意知， 当且仅当，即时取等号， 则，所以. 所以当研发经费投入为60万元时企业生产的利润最大，最大利润为960万元. 19. 已知函数在处取得极值． （1）求实数a的值； （2）是否存在自然数k，使得方程在内有唯一的根?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由； （3）若成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2）存在 （3） 【解析】 【分析】（1）由求得，将其代入解析式，求导验证即可； （2）由得，设，通过求导判断其单调性，再利用零点存在定理推得存在唯一的，使，从而求得的值； （3）设，求导得，根据参数分和两种情况，讨论函数的单调性和函数的值域，即可求得使成立的参数的范围. 【小问1详解】 由求导得， 因函数在处取得极值，则 所以，则 当时，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以在处取得极值成立． 故． 【小问2详解】 由（1）知方程，即， 令，因为，则需要在上讨论，显然， ， 则当时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减 因为，， 所以存在唯一的，使 所以存在，使得在内有唯一的根 【小问3详解】 令， 则 ①因为抛物线的对称轴方程为，开口向上， 所以即时，对成立， 所以时，对成立， 所以在上单调递减， 又，所以时，成立， 即此时，成立； ②当，， 记的两根为， 则，， 则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以，所以不能恒成立， 即不能恒成立 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期高三3月考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，且，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知数列为等差数列，，，，，设，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，该圆锥的表面积为，则圆锥的母线长为（ ）. A. 2 B. C. D. 3 4. 已知为等差数列，前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，，的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（ ） A. 1小时 B. 0.3小时 C. 0.5小时 D. 0.2小时 8. 若时，，则实数的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度 B. 数据的第百分位数为 C. 若一组样本数据的样本点都在直线上，则这组数据的相关系数为 D. 若随机变量，且，则 10. 在中，，则（ ） A. B. 的面积为8 C. D. 的内切圆半径是 11. 数列满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则前n项和为 B. C. 数列的前n项和为 D. 数列最大项为第10项 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距依次成等差数列，则称其为“等差椭圆”，则“等差椭圆”的离心率为______． 13. 已知是定义域为的奇函数且，当时，．那么______ 14. 已知且，函数．若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的值； （2）若的面积为，的平分线交于，求线段的最大值． 16. （1）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式； （2）已知数列的首项，且满足（），数列的通项公式. 17. 如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，为的中点，二面角的大小是． （1）求证：平面平面； （2）线段上是否存在一个点，使直线与平面所成角的正弦值为．若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 18. 为了促进锂电产业发展，市创新研究院课题组对企业研发经费的投入和企业当年的销售收入的关系进行了研究，他们收集了上一年不同企业销售收入y（单位：10万元）与一定范围内的研发经费x（单位：10万元）的数据，根据收集的13组观测数据，得到如下的散点图，分别利用或建立y关于x的回归方程，令，得到如下数据，且与的相关系数分别为，，且. 10.15 108.40 3.04 0.16 14.00 11.67 0.21 21.22 （1）用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适； （2）根据（1）的结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （3）已知企业的利润z满足，试根据回归方程求出企业利润的最大值. 参考数据和公式：，，，对于一组数据（，2，3，…，n），其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数. 19. 已知函数在处取得极值． （1）求实数a的值； （2）是否存在自然数k，使得方程在内有唯一的根?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由； （3）若成立，求实数t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $