第12讲 双曲线硬解定理和非对称韦达定理讲义-2026届高考数学二轮复习双曲线专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦双曲线的硬解定理与非对称韦达定理核心考点，按定理梳理、方法提炼、题型分类构建知识体系，通过考点解析、方法归纳、真题演练的教学环节，帮助学生突破解析几何运算难点，形成系统解题思路。 资料创新采用口诀记忆（如硬解定理“两家小两口”）和方法归类（非对称韦达五种处理法），以“数学思维”培养推理运算能力，“数学语言”构建解题模型。例如用积化和法转化非对称结构，配合分层变式训练，高效提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第12讲 双曲线的硬解定理和非对称韦达定理 目 录 一：硬解定理 1 二：非对称韦达定理 16 题型01：硬解定理在双曲线中的应用 23 题型02：双曲线与非对称韦达定理 30 一：硬解定理 知识点一：硬解定理及拓展公式 圆锥曲线硬解定理，又称CGY-EH定理（The CGY Ellipse & Hyperbola Theorem）或JZQ-EH定理（The JZQ Ellipse & Hyperbola Theorem），其是一套求解椭圆、双曲线与直线相交时Δ，及相交弦长的简便算法，常应用于解析几何． 在将圆锥曲线的方程与直线方程联立求解时人们发现了可消项的存在．但其一般化的推导结果不具有普适性，且一直无法用一个简洁的形式表示．由CGY-EH定理，以直线与椭圆为例推导，重新排列分组形式，并引入，从而得出了较为简洁的表示形式．后再由CGY-EH定理的成功引入弦长计算公式，并将适用范围扩大到对值求解及对的求解，从而奠定了CGY-EH定理强大的通用性与普适性． 椭圆方程用①表示，与直线②相交于两点，联立①②式可得， 最终的二次方程： 消去得：， 消去得：， 可得如下公式： 1.判别式： 2.韦达定理： ，， 3.弦中点公式：， 4.弦长公式： （记，下同）； ． 6.向量关系： 公式简证：①， ② ， ③． 说明：根据写的方法：互换；互换；不变． ④ ． 7.斜率和： 已知点，，，直线的方程为． 则直线，的斜率和 代入韦达定理和公式②、④得 ， 即．（设） 知识点二：硬解定理及拓展公式的几个口诀 1．一元二次方程： 口诀：两家（加）小两口 （ ） A方AC偶 A方站门外，C方单身狗 如果写出了这个式子，韦达定理就可以快速写出两根之和，两根之积． 2．弦长公式也有口诀可以速算 口诀：小倍积，大方和 成对去见（减）单身C．方见完回到分母上 3．判别式 只需要记住：“成对去见单身方”即可 直线与椭圆相切 直线与椭圆相交 直线与椭圆相离 4．麻花公式 口诀：大倍积小方积 知识点三：硬解定理的进一步推广 以上我们就直线与椭圆推导出相应的结论，以下几种情形： 1.直线与椭圆：只需把互换即可得相应的公式； 2.直线与双曲线：只需用替换即可得相应的公式； 3.直线与双曲线：只需用分别替换即可得相应的公式． 4.若设直线，则它与椭圆、双曲线相应的结论表如下：（推导过程略） （1）椭圆与直线 图1 如图1，设，联立，得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ （2）、椭圆与直线 图2 如图2，设，联立得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ （3）、双曲线与直线 图3 如图3，设，联立得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ （4）、双曲线与直线 图4 如图4，设，联立得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ （5）、双曲线与直线 图5 如图5，设，联立得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ （6）、双曲线与直线 图6 如图6，设，联立得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ （7）、抛物线与直线 图7 如图7，设，联立得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ （8）、抛物线与直线 图8 如图8，设，联立得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ （9）、抛物线与直线 图9 如图9，设，联立得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ （10）、抛物线与直线 图10 如图10，设，联立得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 二：非对称韦达定理 知识点一：非对称韦达定理概念的引入 首先什么是“非对称韦达定理”呢?那就有必要先谈一下我们常见的“对称性韦达定理”,所谓对称性韦达定理就是我们常见的如下结构式子:,又或者等一些可以经过简单的化简,然后用韦达定理表达的结构式子.而“非对称韦达定理”是指以下的一些结构: ， 等,无法直接或经过简单化简后使用韦达定理进行计算的结构性式子. 例如：已知点在圆上,点在轴上的投影为,动点满足. (1)求动点轨迹的方程; (2)设,过点的直线与曲线交于两点,问直线与直线的斜率之比是否为定值?若为定值,请求出该值,若不为定值,试说明理由. 解:(1)动点的轨迹方程 (2)由题意知,的斜率不为0,则设,与曲线联立得整理得0,则,设直线的斜率为,直线的斜率为,此时，此时无法应用韦达定理,这就是典型的“非对称韦达定理”结构式子. 知识点二：非对称问题的处理方法 当韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到和之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法. 这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型. 具体办法： 1 联立方程后得到韦达定理：代入之后进行代换消元解题. 2 利用点在椭圆方程上代换. 注：在圆锥曲线大题中使用非对称处理时，要写出完整的转化过程. 五种解题方法来对此类问题进行解决. 方法一:积化和法 就是把韦达定理的积式转化为和式表达,这是处理“非对称韦达定理”问题的最重要方法.下面就用这种方法解决例题的后续部分: 因为,所以, 所以 所以直线与的斜率之比是定值. 从解题的过程可以看出,核心就是利用韦达定理的积式转为和式表达,然后把题目所求的部分化为统一的和结构式子进行运算处理,使问题得以解决. 方法二:配凑保留单变量法 就是把原来的非对称韦达定理结构式经过化简后只保留一个未知数,进行最后的计算,从而得到结果.下面就用这种方法解决例题的后续部分. 因为①② 所以直线与的斜率之比是定值. 在上面的过程中我们可以看到,在①式的时候,式子是含有的两个变量的,我们通过配凑的手段,就合成了含有和,而且只剩下了一个变量的式子,即②式.最终通过韦达定理代入化简得到结果. 方法三:圆锥曲线替换法 就是在“非对称韦达定理”结构式子的分子和分母同时乘以或,使式子出现二次的平方项,然后再利用圆锥曲线的方程式代入进行消元化简,从而得到结果的一种方法.下面就用这种方法解决例题的后续部分: 因为,③ 而,所以,④ 代入③式得 ⑤ 又 得 所以直线和的了斜率之为定值. 从以上的过程我们可以明显看出,这个方法的关键步骤就是(3)式同时乘以,和在(4)式中通过圆锥曲线的方程进行代换化简,从而得到(5)式的对称性结构式,再而代入韦达定理的式子,最后得到想要的结果. 方法四:圆锥曲线第三定义法 利用利用椭圆或双曲线第三定义中两斜率的积为定值这一性质,把其中的一个斜率进行转移替换,从而把原来的求证式从“非对称韦达定理”的形式转为对称性韦达定理的结构形式,从而得解. 连接,根据椭圆的第三定义我们知道,,所以,⑥ 此时题目所求的,⑦ 而⑧ 所以,所以直线和的斜率之比为定值. 由以上的解题过程我们可以看到,关键的步骤在于第⑥步利用第三定义进行的斜率转移替换,从而把原来的非对称形式转成第⑦，⑧步的常规对称结构形式,从而使题目得到解决. 方法五:求根公式代入法 就是对直线方程与圆锥曲线联立得到的一元二次方程,使用求根公式求出对应的根,代入所求的式子直接化简得到结果.下面就用这种方法求解例题后续部分: (2)由题意知,的斜率不为0,则设, ,与曲线联立得 整理得,则, ⑨ 设直线的斜率为,直线的斜率为 ⑩ 所以直线与的斜率之比是定值. 从以上的解题过程我们可以看到,当我们计算到斜率的比的结构式子是非对称结构式子时,做了一个简单的变换,使其只含有参数的式子,发现如果用完韦达定理后还有的两个根,于是直接用求根公式法求根,简单粗暴地把的两个根代入式子,同样求得结果. (1)上下左右不对称型 方法：降幂，即二次变一次 已知求 推导 先观察和积的比值关系： 变形得： 将此关系代入原式： (2)比值型 求 构造分子分母齐二次，再同除 由韦达定理： 设，则上式可写成： 解此方程即可求出t. (3)系数不相等型 已知，结合韦达定理求解 法一：直接计算 通过联立方程，直接求出的值。 法二：构造对称式 利用构造对称式： 变形得： 两式左右两边相乘： 代入韦达定理的与，即可求解. （4）m+n+t=0 当时，需对式子变形以构造韦达定理的“和”结构： 即： 将(1)(2)相乘： 展开整理后即可代入韦达定理求解. 知识点三：非对称韦达定理解题步骤 步骤1：联立方程与韦达定理 按题目要求，联立相应的直线和曲线，得到一元二次方程，列出韦达定理： 也可写成比值形式： 点睛之笔：观察两根之和与两根之积是否有清晰的比值关系，若有先列出备用. 步骤2：目标式子处理思路 列出目标式子后，观察结构，常用思想： ①和积替换：将“两根之积”用“两根之和”替换后，化简式子. ②.直线代换：将“xy混合项”中想去掉的字母，利用点所在的直线替换后，化简式子. 如： ③.一元化处理：通过上面两步的处理，仍未得出结果，则需要将式子化成“一元”. 如：利用韦达两根之和，可用表示出来. 题型01：硬解定理在双曲线中的应用 【典型例题1】直线与椭圆交于，两点，试联立直线与双曲线方程，并计算判别式，，，，，. 解：联立方程得：，整理得： ， 判别式， 由韦达定理得：，， 再根据，可得： ， ， . 【典型例题2】已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．求l的斜率； 解：因为点在双曲线上，所以，解得， 即双曲线． 易知直线l的斜率存在，设，， 联立可得，， 所以，，且． 所以由可得，， 即， 即， 所以， 化简得，，即， 所以或， 当时，直线过点，与题意不符，舍去， 故． 【变式训练1-1】已知等轴双曲线C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，点M，N在双曲线C上，当直线MN过C的右焦点且斜率为2时，． (1)求双曲线C的方程； (2)若线段MN的垂直平分线与y轴交于点Q，且，求O到直线MN的距离． 【答案】(1)(2) 【分析】 （1）根据题意设双曲线，写出直线MN方程，联立方程组，设，，利用韦达定理和弦长公式计算化简求出，即可求解； （2）设直线MN方程为，易知，联立双曲线方程，利用韦达定理表示，由题意可知Q为的外接圆圆心，设圆的一般方程，结合双曲线方程化简计算可得，得，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）设双曲线，双曲线的右焦点为， 则直线，其中． 联立，化简可得． 设，，则，． ， 解得，故． 故双曲线C的方程为． （2）易知直线MN一定不与坐标轴垂直，设其方程为． 联立，整理得， 若，则，则， 此时点M、N关于原点对称，直线MN过原点，点O到直线MN的距离为0， 所以，则． 由于，，故Q为的外接圆圆心， 可设外接圆方程为，则， 则，即， 整理得，由题知，故． 所以，故原点到直线MN的距离为． 【变式训练1-2】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在上；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1)(2)见解析 【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程； （2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可. （1） 右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴． ∴C的方程为：； （2） 由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零， 若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零； 若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符； 总之，直线的斜率存在且不为零. 设直线的斜率为,直线方程为, 则条件①在上，等价于； 两渐近线的方程合并为, 联立消去y并化简整理得： 设,线段中点为,则, 设, 则条件③等价于, 移项并利用平方差公式整理得： ， ,即, 即； 由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为, ∴由, ∴, 所以直线的斜率, 直线,即, 代入双曲线的方程,即中， 得：, 解得的横坐标：, 同理：， ∴ ∴, ∴条件②等价于， 综上所述： 条件①在上，等价于； 条件②等价于； 条件③等价于； 选①②推③: 由①②解得：,∴③成立； 选①③推②： 由①③解得：，， ∴，∴②成立； 选②③推①： 由②③解得：，，∴， ∴，∴①成立. 【变式训练1-3】已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． (1)求l的斜率； (2)若，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，，再根据，即可解出l的斜率； （2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，根据即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线的距离，即可得出的面积． （1） 因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线． 易知直线l的斜率存在，设，， 联立可得，， 所以，，且． 所以由可得，， 即， 即， 所以， 化简得，，即， 所以或， 当时，直线过点，与题意不符，舍去， 故． （2） ［方法一］：【最优解】常规转化 不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，由（1）知，， 当均在双曲线左支时，，所以， 即，解得（负值舍去） 此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去； 当均在双曲线右支时， 因为，所以，即， 即，解得（负值舍去）， 于是，直线，直线， 联立可得，， 因为方程有一个根为，所以，， 同理可得，，． 所以，，点到直线的距离， 故的面积为． ［方法二］： 设直线AP的倾斜角为，，由，得， 由，得，即， 联立，及得，， 同理，，，故， 而，， 由，得， 故 【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线的斜率，从而联立求出点坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解； 法二：前面解答与法一求解点坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样． 题型02：双曲线与非对称韦达定理 【典型例题1】已知点在双曲线上，斜率为k的直线l过点且不过点P．若直线l交C于M，N两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在双曲线求出双曲线方程，根据 可得，利用韦达定理代入即可求解. 【详解】因为点在双曲线上， 所以解得， 所以双曲线. 设，， 联立整理得， 所以， 所以， ， 因为，所以， 即， 所以， 整理得解得或， 当时，直线过点，不满足题意， 所以， 故选:A. 【典型例题2】不经过点的直线交双曲线于，两点，直线，的斜率互为相反数.求的倾斜角为 . 【答案】（或） 【分析】设，，，联立直线和双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据，求出，所以或，当时，直线过点，与题意不符，故，得到答案. 【详解】双曲线的左右顶点为， 易知直线的斜率存在，设，，， 联立可得，， 所以，， 且. 所以由可得，， 即， 即， 所以， 化简得，，即， 所以或， 当时，直线过点， 与题意不符，舍去，故， 故的倾斜角为（或）. 故答案为：（或） 【点睛】处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 【典型例题3】已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上.过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由. (3)点，直线交直线于点.设直线、的斜率分别、，求证：为定值. 【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析；(3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程； （2）设，，，联立方程，利用韦达定理可得，结合圆的性质分析判断； （3）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值. 【详解】（1）由题意，双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，，所以双曲线的方程为. （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去； 当直线的斜率不为0时，设， 联立方程组，消得，易得， 由于过点作直线交的左支于两点， 设，，则，， 可得， 因为，， 则 ， 即，可得与不相互垂直， 所以不存在直线，使得点M在以为直径的圆上. （3）由直线，得， 所以，又， 所以 ， 因为，所以，且， 所以，即为定值.    【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 【变式训练2-1】已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0.求的斜率； 【答案】 【分析】把点坐标代入双曲线方程得，显然直线的斜率存在，设，设，联立双曲线方程由韦达定理有，，结合，化简并整理得，由此即可进一步求解. 【详解】 将点代入双曲线方程得，化简得，， 故双曲线方程为， 由题意显然直线的斜率存在，设，设， 则联立双曲线化简并整理得：， ， 故，， ， 化简得：， 故， 即，当时，直线过点，不合题意，舍去， 故. 【变式训练2-2】已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1) 求双曲线C的方程； (2) 若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由． (3) 点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】(1)； (4) 不存在，理由见解析； (5) 证明见解析 【分析】(1)根据题意列式求，进而可得双曲线方程； (6) 设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； (7) 用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，∴双曲线的方程为． (8) 双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去； 当直线的斜率不为0时，设， 联立方程组，消得，易得， 设，则，可得， ∵， 则 ， 即，可得与不垂直， ∴不存在直线，使得点在以为直径的圆上． (9) 由直线，得， ∴，又， ∴ ， ∵，∴，且， ∴，即为定值．    【变式训练2-3】双曲线左顶点为A，实轴长是虚轴长的2倍，其左焦点坐标为，过A点的两条直线分别交双曲线的右支于点P，Q，且 (1)求双曲线的方程； (2)（ⅰ）证明：直线PQ过定点； （ⅱ）直线AP，AQ，PQ分别交直线于点M，N，T，若，求PQ的直线方程. 【答案】(1) (2)ⅰ证明见解析；ⅱ) 【分析】（1）由已知，利用，解得，，即可得到双曲线的方程； （2）（ⅰ）设，，，直线PQ的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理和，即可得到直线PQ过定点； （ⅱ）由（1）得直线PQ得方程为，则，直线PQ方程与双曲线方程联立，利用韦达定理和，可解得值，即可求得PQ的直线方程. 【详解】（1）由题意可得，，又， 解得，， 所以双曲线的方程为：. （2） （ⅰ）设，，，其中， 直线PQ与双曲线联立可得， 则，且， 因为， 代入整理得，故或， 代入得定点为或舍， 故直线PQ过定点； （ⅱ）根据（i）得直线PQ得方程为，则， 直线PQ与双曲线方程联立得， 则， 则直线，则， 则， 同理，又， 则，化简得， 因为，故， 则韦达定理代入得，化简得，即， 所以PQ的直线方程为 【变式训练2-4】已知点，分别为双曲线E：的左、右焦点，点到双曲线E的渐近线的距离为，点A为双曲线E的右顶点，且． (1)求双曲线E的标准方程； (2)若四边形为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先根据点到直线距离计算得出，再应用得出，计算得出进而得出标准方程； （2）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况，联立方程组结合向量的数量积计算得出或，结合题意即可证明定点. 【详解】（1）设焦距为2c，则， 故点到双曲线E的渐近线的距离为． 由，知，得． 又因为，所以，解得． 所以双曲线E的标准方程为． （2）①当直线的斜率不存在时， 由，设直线的方程为， 当时，则在双曲线，可得,所以， 当时，则在双曲线，可得,所以不合题意舍， 可得直线的方程为， ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立得， 当时，，， 因为四边形为矩形，所以， 所以， 所以， 所以 所以， 所以，所以或， 当时，直线的方程为，恒过定点，不合题意，舍去． 当时，直线的方程为，恒过定点． 综上①②，直线恒过定点． 【变式训练2-5】在平面直角坐标系中，已知动点P与，两点连线的斜率之积是. (1)求动点P的轨迹曲线C的方程； (2)过点的直线，交曲线C于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若为定值，求出该定值. 【答案】(1) (2)是，定值为3 【分析】（1）设，根据题意列方程即可求解； （2）设直线：，，，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理求解即可. 【详解】（1）设，， 因为动点P与，两点连线的斜率之积是， 所以，整理得， 所以动点P的轨迹曲线C的方程为. （2）易知直线斜率不为0， 设直线：，，， 联立，得， 则且，即且， 而， 则 ，为定值.    【变式训练2-6】已知分别为双曲线的左､右顶点，，动直线与双曲线交于两点．当轴，且时，四边形的面积为． (1)求双曲线的标准方程． (2)设均在双曲线的右支上，直线与分别交轴于两点，若，判断直线是否过定点．若过，求出该定点的坐标；若不过，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线恒过定点 【分析】（1）首先求点的坐标，根据坐标表示梯形的面积，即可求解双曲线方程； （2）首先根据条件设，并利用方程联立求点的坐标，并求直线的方程，化简后即可求定点坐标. 【详解】（1）由知，． 当轴时，根据双曲线的对称性，不妨设点在第一象限， 则由，可得．代入双曲线的方程，得． 因为四边形的面积为，所以． 解得． 所以双曲线的标准方程为． （2） 因为，所以可设． 直线的方程为，直线的方程为． 又双曲线的渐近线方程为， 显然直线与双曲线的两支各交于一点，直线与双曲线的右支交于两点， 则有解得． 由消去，得． 设点，则．解得． 所以． 由消去，得． 设点，则．解得． 所以． 当直线不垂直于轴时，． 所以直线的方程为． 所以，也即． 显然直线恒过定点． 当直线垂直于轴时，由，得．此时． 直线的方程为，恒过定点． 综上可知，直线恒过定点． 【点睛】思路点睛：一般求直线过定点问题，需求出直线方程，转化为含参直线过定点问题. 【变式训练2-7】双曲线的左、右顶点分别为，，焦点到渐近线的距离为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于，两点，且，证明直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)根据双曲线过点和焦点到渐近线的距离为列出方程组，解之即可； (2)设直线的斜率为，由题意直线的斜率为，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理求出，两点的坐标，再求出，两点所在的直线方程即可求解. 【详解】（1）由双曲线可得渐近线为， 不妨取渐近线即 由焦点到渐近线的距离为可得，即 由题意得，得， 从而双曲线的方程为. （2）设直线的斜率为，则直线的斜率为， 由题意可知：直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与双曲线方程得， 于是，从而，从而， 联立直线与双曲线方程得， 于是，从而，从而， 于是， 从而， 化简得，从而过定点. 【点睛】思路点睛:与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 双曲线的硬解定理和非对称韦达定理 目 录 一：硬解定理 1 二：非对称韦达定理 16 题型01：硬解定理在双曲线中的应用 23 题型02：双曲线与非对称韦达定理 25 一：硬解定理 知识点一：硬解定理及拓展公式 圆锥曲线硬解定理，又称CGY-EH定理（The CGY Ellipse & Hyperbola Theorem）或JZQ-EH定理（The JZQ Ellipse & Hyperbola Theorem），其是一套求解椭圆、双曲线与直线相交时Δ，及相交弦长的简便算法，常应用于解析几何． 在将圆锥曲线的方程与直线方程联立求解时人们发现了可消项的存在．但其一般化的推导结果不具有普适性，且一直无法用一个简洁的形式表示．由CGY-EH定理，以直线与椭圆为例推导，重新排列分组形式，并引入，从而得出了较为简洁的表示形式．后再由CGY-EH定理的成功引入弦长计算公式，并将适用范围扩大到对值求解及对的求解，从而奠定了CGY-EH定理强大的通用性与普适性． 椭圆方程用①表示，与直线②相交于两点，联立①②式可得， 最终的二次方程： 消去得：， 消去得：， 可得如下公式： 1.判别式： 2.韦达定理： ，， 3.弦中点公式：， 4.弦长公式： （记，下同）； ． 6.向量关系： 公式简证：①， ② ， ③． 说明：根据写的方法：互换；互换；不变． ④ ． 7.斜率和： 已知点，，，直线的方程为． 则直线，的斜率和 代入韦达定理和公式②、④得 ， 即．（设） 知识点二：硬解定理及拓展公式的几个口诀 1．一元二次方程： 口诀：两家（加）小两口 （ ） A方AC偶 A方站门外，C方单身狗 如果写出了这个式子，韦达定理就可以快速写出两根之和，两根之积． 2．弦长公式也有口诀可以速算 口诀：小倍积，大方和 成对去见（减）单身C．方见完回到分母上 3．判别式 只需要记住：“成对去见单身方”即可 直线与椭圆相切 直线与椭圆相交 直线与椭圆相离 4．麻花公式 口诀：大倍积小方积 知识点三：硬解定理的进一步推广 以上我们就直线与椭圆推导出相应的结论，以下几种情形： 1.直线与椭圆：只需把互换即可得相应的公式； 2.直线与双曲线：只需用替换即可得相应的公式； 3.直线与双曲线：只需用分别替换即可得相应的公式． 4.若设直线，则它与椭圆、双曲线相应的结论表如下：（推导过程略） （1）椭圆与直线 图1 如图1，设，联立，得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ （2）、椭圆与直线 图2 如图2，设，联立得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ （3）、双曲线与直线 图3 如图3，设，联立得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ （4）、双曲线与直线 图4 如图4，设，联立得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ （5）、双曲线与直线 图5 如图5，设，联立得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ （6）、双曲线与直线 图6 如图6，设，联立得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ （7）、抛物线与直线 图7 如图7，设，联立得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ （8）、抛物线与直线 图8 如图8，设，联立得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ （9）、抛物线与直线 图9 如图9，设，联立得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ （10）、抛物线与直线 图10 如图10，设，联立得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 二：非对称韦达定理 知识点一：非对称韦达定理概念的引入 首先什么是“非对称韦达定理”呢?那就有必要先谈一下我们常见的“对称性韦达定理”,所谓对称性韦达定理就是我们常见的如下结构式子:,又或者等一些可以经过简单的化简,然后用韦达定理表达的结构式子.而“非对称韦达定理”是指以下的一些结构: ， 等,无法直接或经过简单化简后使用韦达定理进行计算的结构性式子. 例如：已知点在圆上,点在轴上的投影为,动点满足. (1)求动点轨迹的方程; (2)设,过点的直线与曲线交于两点,问直线与直线的斜率之比是否为定值?若为定值,请求出该值,若不为定值,试说明理由. 解:(1)动点的轨迹方程 (2)由题意知,的斜率不为0,则设,与曲线联立得整理得0,则,设直线的斜率为,直线的斜率为,此时，此时无法应用韦达定理,这就是典型的“非对称韦达定理”结构式子. 知识点二：非对称问题的处理方法 当韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到和之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法. 这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型. 具体办法： 1 联立方程后得到韦达定理：代入之后进行代换消元解题. 2 利用点在椭圆方程上代换. 注：在圆锥曲线大题中使用非对称处理时，要写出完整的转化过程. 五种解题方法来对此类问题进行解决. 方法一:积化和法 就是把韦达定理的积式转化为和式表达,这是处理“非对称韦达定理”问题的最重要方法.下面就用这种方法解决例题的后续部分: 因为,所以, 所以 所以直线与的斜率之比是定值. 从解题的过程可以看出,核心就是利用韦达定理的积式转为和式表达,然后把题目所求的部分化为统一的和结构式子进行运算处理,使问题得以解决. 方法二:配凑保留单变量法 就是把原来的非对称韦达定理结构式经过化简后只保留一个未知数,进行最后的计算,从而得到结果.下面就用这种方法解决例题的后续部分. 因为①② 所以直线与的斜率之比是定值. 在上面的过程中我们可以看到,在①式的时候,式子是含有的两个变量的,我们通过配凑的手段,就合成了含有和,而且只剩下了一个变量的式子,即②式.最终通过韦达定理代入化简得到结果. 方法三:圆锥曲线替换法 就是在“非对称韦达定理”结构式子的分子和分母同时乘以或,使式子出现二次的平方项,然后再利用圆锥曲线的方程式代入进行消元化简,从而得到结果的一种方法.下面就用这种方法解决例题的后续部分: 因为,③ 而,所以,④ 代入③式得 ⑤ 又 得 所以直线和的了斜率之为定值. 从以上的过程我们可以明显看出,这个方法的关键步骤就是(3)式同时乘以,和在(4)式中通过圆锥曲线的方程进行代换化简,从而得到(5)式的对称性结构式,再而代入韦达定理的式子,最后得到想要的结果. 方法四:圆锥曲线第三定义法 利用利用椭圆或双曲线第三定义中两斜率的积为定值这一性质,把其中的一个斜率进行转移替换,从而把原来的求证式从“非对称韦达定理”的形式转为对称性韦达定理的结构形式,从而得解. 连接,根据椭圆的第三定义我们知道,,所以,⑥ 此时题目所求的,⑦ 而⑧ 所以,所以直线和的斜率之比为定值. 由以上的解题过程我们可以看到,关键的步骤在于第⑥步利用第三定义进行的斜率转移替换,从而把原来的非对称形式转成第⑦，⑧步的常规对称结构形式,从而使题目得到解决. 方法五:求根公式代入法 就是对直线方程与圆锥曲线联立得到的一元二次方程,使用求根公式求出对应的根,代入所求的式子直接化简得到结果.下面就用这种方法求解例题后续部分: (2)由题意知,的斜率不为0,则设, ,与曲线联立得 整理得,则, ⑨ 设直线的斜率为,直线的斜率为 ⑩ 所以直线与的斜率之比是定值. 从以上的解题过程我们可以看到,当我们计算到斜率的比的结构式子是非对称结构式子时,做了一个简单的变换,使其只含有参数的式子,发现如果用完韦达定理后还有的两个根,于是直接用求根公式法求根,简单粗暴地把的两个根代入式子,同样求得结果. (1)上下左右不对称型 方法：降幂，即二次变一次 已知求 推导 先观察和积的比值关系： 变形得： 将此关系代入原式： (2)比值型 求 构造分子分母齐二次，再同除 由韦达定理： 设，则上式可写成： 解此方程即可求出t. (3)系数不相等型 已知，结合韦达定理求解 法一：直接计算 通过联立方程，直接求出的值。 法二：构造对称式 利用构造对称式： 变形得： 两式左右两边相乘： 代入韦达定理的与，即可求解. （4）m+n+t=0 当时，需对式子变形以构造韦达定理的“和”结构： 即： 将(1)(2)相乘： 展开整理后即可代入韦达定理求解. 知识点三：非对称韦达定理解题步骤 步骤1：联立方程与韦达定理 按题目要求，联立相应的直线和曲线，得到一元二次方程，列出韦达定理： 也可写成比值形式： 点睛之笔：观察两根之和与两根之积是否有清晰的比值关系，若有先列出备用. 步骤2：目标式子处理思路 列出目标式子后，观察结构，常用思想： ①和积替换：将“两根之积”用“两根之和”替换后，化简式子. ②.直线代换：将“xy混合项”中想去掉的字母，利用点所在的直线替换后，化简式子. 如： ③.一元化处理：通过上面两步的处理，仍未得出结果，则需要将式子化成“一元”. 如：利用韦达两根之和，可用表示出来. 题型01：硬解定理在双曲线中的应用 【典型例题1】直线与椭圆交于，两点，试联立直线与双曲线方程，并计算判别式，，，，，. 解：联立方程得：，整理得： ， 判别式， 由韦达定理得：，， 再根据，可得： ， ， . 【典型例题2】已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．求l的斜率； 解：因为点在双曲线上，所以，解得， 即双曲线． 易知直线l的斜率存在，设，， 联立可得，， 所以，，且． 所以由可得，， 即， 即， 所以， 化简得，，即， 所以或， 当时，直线过点，与题意不符，舍去， 故． 【变式训练1-1】已知等轴双曲线C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，点M，N在双曲线C上，当直线MN过C的右焦点且斜率为2时，． (1)求双曲线C的方程； (2)若线段MN的垂直平分线与y轴交于点Q，且，求O到直线MN的距离． 【变式训练1-2】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在上；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 【变式训练1-3】已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． (1)求l的斜率； (2)若，求的面积． 题型02：双曲线与非对称韦达定理 【典型例题1】已知点在双曲线上，斜率为k的直线l过点且不过点P．若直线l交C于M，N两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在双曲线求出双曲线方程，根据 可得，利用韦达定理代入即可求解. 【详解】因为点在双曲线上， 所以解得， 所以双曲线. 设，， 联立整理得， 所以， 所以， ， 因为，所以， 即， 所以， 整理得解得或， 当时，直线过点，不满足题意， 所以， 故选:A. 【典型例题2】不经过点的直线交双曲线于，两点，直线，的斜率互为相反数.求的倾斜角为 . 【答案】（或） 【分析】设，，，联立直线和双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据，求出，所以或，当时，直线过点，与题意不符，故，得到答案. 【详解】双曲线的左右顶点为， 易知直线的斜率存在，设，，， 联立可得，， 所以，， 且. 所以由可得，， 即， 即， 所以， 化简得，，即， 所以或， 当时，直线过点， 与题意不符，舍去，故， 故的倾斜角为（或）. 故答案为：（或） 【点睛】处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 【典型例题3】已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上.过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由. (3)点，直线交直线于点.设直线、的斜率分别、，求证：为定值. 【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析；(3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程； （2）设，，，联立方程，利用韦达定理可得，结合圆的性质分析判断； （3）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值. 【详解】（1）由题意，双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，，所以双曲线的方程为. （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去； 当直线的斜率不为0时，设， 联立方程组，消得，易得， 由于过点作直线交的左支于两点， 设，，则，， 可得， 因为，， 则 ， 即，可得与不相互垂直， 所以不存在直线，使得点M在以为直径的圆上. （3）由直线，得， 所以，又， 所以 ， 因为，所以，且， 所以，即为定值.    【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 【变式训练2-1】已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0.求的斜率； 【变式训练2-2】已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1) 求双曲线C的方程； (2) 若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由． (3) 点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【变式训练2-3】双曲线左顶点为A，实轴长是虚轴长的2倍，其左焦点坐标为，过A点的两条直线分别交双曲线的右支于点P，Q，且 (1)求双曲线的方程； (2)（ⅰ）证明：直线PQ过定点； （ⅱ）直线AP，AQ，PQ分别交直线于点M，N，T，若，求PQ的直线方程. 【变式训练2-4】已知点，分别为双曲线E：的左、右焦点，点到双曲线E的渐近线的距离为，点A为双曲线E的右顶点，且． (1)求双曲线E的标准方程； (2)若四边形为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线过定点． 【变式训练2-5】在平面直角坐标系中，已知动点P与，两点连线的斜率之积是. (1)求动点P的轨迹曲线C的方程； (2)过点的直线，交曲线C于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若为定值，求出该定值. 【变式训练2-6】已知分别为双曲线的左､右顶点，，动直线与双曲线交于两点．当轴，且时，四边形的面积为． (1)求双曲线的标准方程． (2)设均在双曲线的右支上，直线与分别交轴于两点，若，判断直线是否过定点．若过，求出该定点的坐标；若不过，请说明理由． 【变式训练2-7】双曲线的左、右顶点分别为，，焦点到渐近线的距离为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于，两点，且，证明直线过定点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $