4.1 任意角、弧度制和三角函数的概念 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义围绕任意角、弧度制及三角函数概念等高考核心考点，按“概念定义—公式应用—符号规律”逻辑架构梳理知识，通过考点分类（如终边相同角判定、扇形公式应用等）、方法指导（定义法求三角函数值）、真题训练（阶段检测与模拟题）等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破易混点。 资料以“数学思维”培养为核心，创新设计“情境化问题+分层练习”模式，如结合中国扇文化考查扇形面积公式，引导学生用数学眼光观察实际问题。设置选择、填空、解答题梯度训练，配合即时反馈，强化三角函数定义应用等关键能力，为教师把控复习节奏、提升学生应考技能提供高效支持。

4.1 任意角、弧度制和三角函数的概念 1．角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α. (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长，r表示半径) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝αR(R是圆的半径，α(0＜α＜2π)为圆心角) 扇形面积公式 S＝lR＝αR2(R是圆半径，α(0＜α＜2π)为圆心角，l是扇形弧长，S是扇形面积) 提醒：在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． 3．任意角的三角函数 (1)定义 前提 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin α 余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos α 正切 叫做α的正切函数，记作tan α (2)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． [常用结论] 1．三角函数值在各象限的符号规律 一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．象限角 3．轴线角 4．若α∈，则tan α>α>sin α. 考点一　任意角的相关问题 考点二　扇形的弧长及面积公式 考点三　三角函数的定义求值 考点四　利用三角函数的定义求参数 考点五　各象限角三角函数值的符号 考点一　任意角的相关问题 1．（25-26高三上·江西上饶·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．第一象限角都比第二象限角小 B．小于的角是锐角 C．终边相同的角一定相等 D．终边在轴非负半轴上的角的集合是 2．（2026高三·全国·专题练习）已知角的终边落在阴影所表示的范围内（包括边界），则角的集合为______. 3．（2026高三·全国·专题练习）设是第三象限角，且，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4．（25-26高三上·辽宁大连·期中）678°是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 考点二　扇形的弧长及面积公式 5．（25-26高三上·江西上饶·阶段检测）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．打开一把折扇，测得其周长为，面积为，则其圆心角弧度数为（     ） A．1 B．2 C．4 D．1或4 6．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图是由一个扇形和三角形组成的平面区域，，，扇形圆心角，，则扇形区域的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·广东江门·期中）如下图，已知是圆心角为的扇形，是扇形弧上的点，四边形是扇形的内接矩形，其中，，则扇形的面积为______． 8．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知扇形的圆心角为2弧度，扇形的弧长为8，则扇形的面积为__________． 9．（25-26高三上·辽宁朝阳·阶段检测）（1）已知扇形的周长为10cm，面积为，求扇形圆心角的弧度数． （2）一个扇形的周长为10cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积． 10．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知扇形的圆心角的弧度为，面积为4． (1)若该扇形的弧长为4，求的值． (2)当多大时，扇形的周长取最小值？并求出该最小值． 考点三　三角函数的定义求值 11．（25-26高三上·四川泸州·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A．3 B． C． D． 12．（25-26高三上·贵州·期中）若点为角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高三下·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则______． 14．（25-26高三上·广西南宁·期中）已知是角终边上一点，则（   ） A． B． C． D．3 15．（25-26高三上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点逆时针旋转到点，则点的横坐标为______． 16．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知角，的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，、，角的终边与单位圆交点的横坐标为，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，求： (1)的值； (2)的值． 考点四　利用三角函数的定义求参数 17．（25-26高三上·河南驻马店·期中）已知角的终边经过点，若，则（   ） A． B． C． D． 18．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高三上学期5月春季联赛数学试题）已知角的终边经过点，且，则m的值为（   ） A．4 B．3 C． D． 19．（25-26高三上·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，已知是第二象限角，其终边上有一点. (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，将绕坐标原点顺时针旋转至，求点的坐标. 20．（25-26高三上·上海·期中）已知角终边上一点，若，则实数的值为______ 21．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（   ） A． B．2 C． D．3 22．（25-26高三上·辽宁朝阳·阶段检测）（1）已知角的终边过，求的值． （2）角终边经过点，且．求的值． 考点五　各象限角三角函数值的符号 23．（25-26高三上·辽宁·期中）若，则是（   ） A．第二或第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一或第三象限角 24．（25-26高三上·江西抚州·期中）若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（    ） A．第一象限角或第二象限角 B．第二象限角或第三象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角或第四象限角 25．（25-26高三下·广西桂林·阶段检测）若，则为（    ） A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 26．（2026高三·全国·专题练习）点在第三象限，则角终边在第二象限.( ) 1．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）半径为2的圆上长度为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 2．（25-26高三上·辽宁抚顺·期中）下列各角中，与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津·模拟预测）“角与终边相同”是“角是第三象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高三上·辽宁·期中）已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·上海·期中）已知角的终边经过点A，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，若点B的坐标为，则点的横坐标为（ ） A． B． C． D． 6．（2026·甘肃白银·三模）已知点是角终边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·上海·期中）已知，则角的终边所在的象限为第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 8．（25-26高三上·江西宜春·阶段检测）下列式子中：①；②；③；④，值为正的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 9．（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知平面直角坐标系中点位于第三象限，则角为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 10．（25-26高三上·河南驻马店·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．锐角一定是第一象限角 C．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 D．终边落在直线上的角的集合是 11．（25-26高三上·辽宁大连·期中）（多选）下列结论正确的有（   ） A．是第三象限角 B．若扇形的圆心角为，半径为3，则弧长为6，面积为9 C．若，为第二象限角，且，则 D．与值域相同. 12．（25-26高三上·四川宜宾·期末）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．如果是第一象限的角，则角是第四象限的角 B．函数在上的值域是 C．已知角的终边上的点的坐标为，则 D．已知为第二象限的角，化简 13．（25-26高三上·上海青浦·期中）已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点，则________. 14．（2026·湖北·三模）平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则_________． 15．（25-26高三上·陕西汉中·期中）已知扇形的圆心角是，，则该扇形的弧长______. 16．（25-26高三上·宁夏石嘴山·期末）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若，，求扇形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 任意角、弧度制和三角函数的概念 1．角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α. (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长，r表示半径) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝αR(R是圆的半径，α(0＜α＜2π)为圆心角) 扇形面积公式 S＝lR＝αR2(R是圆半径，α(0＜α＜2π)为圆心角，l是扇形弧长，S是扇形面积) 提醒：在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． 3．任意角的三角函数 (1)定义 前提 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin α 余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos α 正切 叫做α的正切函数，记作tan α (2)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． [常用结论] 1．三角函数值在各象限的符号规律 一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．象限角 3．轴线角 4．若α∈，则tan α>α>sin α. 考点一　任意角的相关问题 考点二　扇形的弧长及面积公式 考点三　三角函数的定义求值 考点四　利用三角函数的定义求参数 考点五　各象限角三角函数值的符号 考点一　任意角的相关问题 1．（25-26高三上·江西上饶·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．第一象限角都比第二象限角小 B．小于的角是锐角 C．终边相同的角一定相等 D．终边在轴非负半轴上的角的集合是 【答案】D 【详解】选项A.是第一象限角，是第二象限角，但是，错误. 选项B.，但它不是锐角，错误. 选项C.终边相同的角相差的整数倍，不一定相等，错误. 选项D.终边在轴非负半轴上的角，就是加上的整数倍，集合表示为，正确. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知角的终边落在阴影所表示的范围内（包括边界），则角的集合为______. 【答案】 【分析】根据题意，可得出在范围内，终边落在阴影内的角为或；结合周期性进行化简，即可得出答案. 【详解】在范围内，终边落在阴影内的角为或， 所以终边落在阴影所表示的范围内的角的集合为 . 3．（2026高三·全国·专题练习）设是第三象限角，且，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】由是第三象限角推断是第二或第四象限角，结合即可判断所在象限. 【详解】因是第三象限角，则， 所以， 当时，，即是第二象限角； 当时，，即是第四象限角. 又由可知， 所以是第二象限角. 4．（25-26高三上·辽宁大连·期中）678°是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【详解】， 因为是第四象限角，所以是第四象限角. 考点二　扇形的弧长及面积公式 5．（25-26高三上·江西上饶·阶段检测）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．打开一把折扇，测得其周长为，面积为，则其圆心角弧度数为（     ） A．1 B．2 C．4 D．1或4 【答案】D 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为. 由题意得，，解得，或， 由得，或. 6．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图是由一个扇形和三角形组成的平面区域，，，扇形圆心角，，则扇形区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，. 中，，，，， 由正弦定理得，解得， 扇形区域面积为. 7．（25-26高三上·广东江门·期中）如下图，已知是圆心角为的扇形，是扇形弧上的点，四边形是扇形的内接矩形，其中，，则扇形的面积为______． 【答案】 【分析】先根据正切函数的定义求出，再根据勾股定理求出扇形半径，进而根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】在矩形中，有，，且， 则在中，，所以，解得， 所以在中，，所以， 即扇形半径的平方为， 所以扇形的面积为． 8．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知扇形的圆心角为2弧度，扇形的弧长为8，则扇形的面积为__________． 【答案】 16 【详解】扇形的圆心角弧度数，弧长． 根据弧长公式，解得扇形半径． 代入扇形面积公式，可得． 9．（25-26高三上·辽宁朝阳·阶段检测）（1）已知扇形的周长为10cm，面积为，求扇形圆心角的弧度数． （2）一个扇形的周长为10cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积． 【答案】（1）（2）时，面积S取得最大值 【分析】（1）根据扇形面积公式求解即可； （2）根据扇形面积公式及二次函数的性质求最值即可得解. 【详解】（1）设扇形半径为，圆心角为， 由题意得， 解得（舍去），． 所以扇形圆心角为． （2）设扇形半径为，弧长为， 由已知得，． 所以扇形面积， 所以当时，S取得最大值，此时，解得． 当扇形的圆心角为2弧度时，这个扇形的面积最大为． 10．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知扇形的圆心角的弧度为，面积为4． (1)若该扇形的弧长为4，求的值． (2)当多大时，扇形的周长取最小值？并求出该最小值． 【答案】(1) (2)当为2时，扇形的周长取最小值，最小值为8 【分析】（1）利用弧长公式结合扇形面积公式求解； （2）利用扇形面积表示弧长，结合基本不等式求解． 【详解】（1）设扇形所在圆的半径为，则弧长， 扇形的面积， 解得，． （2）扇形的面积，即， 则扇形的周长， 当且仅当时，等号成立，此时， 由得， 故当为2时，扇形的周长取最小值，最小值为8． 考点三　三角函数的定义求值 11．（25-26高三上·四川泸州·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为角的终边过点， 所以. 12．（25-26高三上·贵州·期中）若点为角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由三角函数的定义可得. 【详解】因为点为角终边上一点，所以. 由任意角的三角函数定义得：. 13．（25-26高三下·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则______． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义求，再由两角差的正切公式即可求解. 【详解】由题可知，则． 14．（25-26高三上·广西南宁·期中）已知是角终边上一点，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】由已知得：． 15．（25-26高三上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点逆时针旋转到点，则点的横坐标为______． 【答案】 【分析】先由点坐标得到对应角的正余弦值，再结合旋转后角的余弦即为点横坐标，利用三角恒等变换公式计算即可. 【详解】设以轴正半轴为始边，射线为终边的角为. ∵ 点，∴ 由三角函数的定义得，. ∵ 点绕原点逆时针旋转得到点，∴ 点对应的终边角为， ∴ 点的横坐标为.又， ∵ ，， ∴ 代入得：. 【点睛】方法归纳：解决点绕原点旋转的坐标问题，可通过三角函数的定义将点坐标转化为对应角的正余弦值，结合旋转后角的正余弦值即可得到旋转后的点坐标. 16．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知角，的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，、，角的终边与单位圆交点的横坐标为，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，利用同角三角函数关系求出答案； （2）根据条件推得，结合的符号，得到，求出的值，最后进行拆角，利用差角的余弦公式计算即得. 【详解】（1）由题意，，因，则 ； （2）由，，可得， 又，则， 又因，则， 故， 于是 . 考点四　利用三角函数的定义求参数 17．（25-26高三上·河南驻马店·期中）已知角的终边经过点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知角的终边经过点，若，则，解得. 18．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高三上学期5月春季联赛数学试题）已知角的终边经过点，且，则m的值为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式及三角函数的定义列方程求解即可． 【详解】由角的终边经过点， 则，， 整理得，， 解得或（舍去）， 所以m的值为． 19．（25-26高三上·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，已知是第二象限角，其终边上有一点. (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，将绕坐标原点顺时针旋转至，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义列方程求解即可. （2）根据两角和的正弦、余弦公式求解即可. 【详解】（1）由题意得，则. 根据三角函数定义，. 又因为，所以： 因为是第二象限角，，两边约去得： 两边平方得：，解得. 因为是第二象限角，所以.故. （2）由（1）知，则. 所以. 设旋转后的角为，则.设，则： ∴点的坐标. 20．（25-26高三上·上海·期中）已知角终边上一点，若，则实数的值为______ 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用正弦函数定义列式求解. 【详解】依题意，，则的终边落在第一或第二象限， 又因为，则点在第一或第四象限，综上可得角在第一象限，所以， 即，解得. 21．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据任意角三角函数的定义求解. 【详解】因为是第二象限角，点为其终边上一点，所以， 解得或或，因为是第二象限角，所以，所以. 22．（25-26高三上·辽宁朝阳·阶段检测）（1）已知角的终边过，求的值． （2）角终边经过点，且．求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）由三角函数的定义求出的值，再代入计算； （2）根据三角函数的定义求得，再分情况求解即可． 【详解】（1）已知角的终边过， ， ； （2）角终边经过点， ，， ，即，解得， 当时，，， ； 当时，，， ； 综上，的值为或． 考点五　各象限角三角函数值的符号 23．（25-26高三上·辽宁·期中）若，则是（   ） A．第二或第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一或第三象限角 【答案】A 【分析】结合三角函数性质可得范围，即可得范围，即可得解. 【详解】由，，则是第三象限角， 即， 所以， 当，即为偶数时， ，此时是第二象限角； 当，即为奇数时， ，此时是第四象限角； 综上是第二或第四象限角. 24．（25-26高三上·江西抚州·期中）若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（    ） A．第一象限角或第二象限角 B．第二象限角或第三象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角或第四象限角 【答案】B 【分析】由三角函数式的符号确定角的范围或象限. 【详解】当角的终边不在坐标轴上时，， 所以，所以只需， 又因为，要使， 所以只需，所以角的终边在第二象限或第三象限. 25．（25-26高三下·广西桂林·阶段检测）若，则为（    ） A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 【答案】B 【详解】由题知，， 若是第一象限角，则，，故，不满足题意； 若是第二象限角，则，，故，满足题意； 若是第三象限角，则，，故，满足题意； 若是第四象限角，则，，故，不满足题意. 综上，为第二或第三象限角. 故选:B. 26．（2026高三·全国·专题练习）点在第三象限，则角终边在第二象限.( ) 【答案】正确 【分析】根据三角函数在各个象限的符号进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于点在第三象限， 所以，所以在第二象限， 所以命题正确. 1．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）半径为2的圆上长度为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】由弧度制的定义计算求解. 【详解】半径为2的圆上长度为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为. 2．（25-26高三上·辽宁抚顺·期中）下列各角中，与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，求出合适的的值，即可得答案. 【详解】设与的终边相同， 则， 当时，. 3．（2026·天津·模拟预测）“角与终边相同”是“角是第三象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若角与终边相同，则，. 当为偶数（设）时，，此时是第一象限角； 当为奇数（设）时，，此时是第三象限角. 充分性不成立. 若角是第三象限角，则， ， 此时角的终边落在第一、第二象限或与终边相同，不一定与终边相同； 必要性不成立. 综上，“角与终边相同”是“角是第三象限角”的既不充分也不必要条件. 4．（25-26高三上·辽宁·期中）已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形的周长公式和弧长公式计算即可. 【详解】设该扇形的半径为，则有弧长公式，其中是圆心角的弧度数， 由于，即， 扇形的周长由两条半径和一段弧长组成，即， 已知，因此，解得，故C正确. 5．（25-26高三上·上海·期中）已知角的终边经过点A，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，若点B的坐标为，则点的横坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的定义设出的坐标，通过旋转得到的坐标，结合列方程组求解. 【详解】由题知，，可设， 由题知，向量绕点逆时针旋转得到， 则，展开得， 解得，则的横坐标为. 6．（2026·甘肃白银·三模）已知点是角终边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用三角函数定义结合两角差正切公式计算求解. 【详解】点是角终边上的一点，则， 所以. 7．（25-26高三上·上海·期中）已知，则角的终边所在的象限为第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【详解】由象限角的三角函数符号可知， ，角的终边在第二或第四象限， ，角的终边在第一或第二象限， 综上可知当时，角的终边所在的象限为第二象限. 8．（25-26高三上·江西宜春·阶段检测）下列式子中：①；②；③；④，值为正的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据三角函数的诱导公式和象限角的符号判定即可求解. 【详解】判断①，，是第三象限角，第三象限角的正弦值为负，因此①为负； 判断②，余弦函数是偶函数，，，终边与相同， 是第四象限角，第四象限角的余弦值为正，因此②为正； 判断③， ，是第三象限角，第三象限角的余弦值为负，因此③为负； 判断④，因为是弧度，，弧度是第二象限角，第二象限角的正弦值为正，因此④为正. 9．（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知平面直角坐标系中点位于第三象限，则角为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】根据给定条件可得，进而确定角所在象限. 【详解】由点位于第三象限，得， 由，得角是第二、四象限角；由，得角终边在轴下方， 所以角为第四象限角. 10．（25-26高三上·河南驻马店·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．锐角一定是第一象限角 C．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 D．终边落在直线上的角的集合是 【答案】BC 【分析】依据 1 弧度约为 判断 A 错,由锐角与第一象限角的范围差异判定 B 正确,代入扇形面积公式求出半径后用弧长公式算得弧长验证 C 正确,分析直线 终边对应的角集,对比 D 选项集合的含义,得出 D 错误. 【详解】根据弧度制的定义可知1弧度的角约等于，故A选项错误； 锐角，第一象限角（），B选项正确； 扇形面积公式：（为圆心角弧度数，r为半径）， 代入，，则，解得， 扇形弧长公式：，代入，，则，选项C正确； 直线即，过第二、四象限， 在内，终边在上的角为：，， 因此终边落在上的角的集合为：， 也可写成：， 而可以拆成：终边在直线上， 和：终边在直线上， 即该集合表示终边在或上的所有角， 与真正只落在上的集合S不相等，选项D错误； 11．（25-26高三上·辽宁大连·期中）（多选）下列结论正确的有（   ） A．是第三象限角 B．若扇形的圆心角为，半径为3，则弧长为6，面积为9 C．若，为第二象限角，且，则 D．与值域相同. 【答案】AB 【分析】根据终边相同的角可判断A项；利用扇形的弧长面积公式判断B项；举反例可判断C项；确定内层函数的值域，再结合外层三角函数的单调性分别求出两个函数的值域，可判断D项. 【详解】对于A，因，即与的终边相同，故是第三象限角，即A正确； 对于B，依题意，该扇形的弧长为，面积为，故B正确； 对于C ，举反例：取，，二者都是第二象限角，满足， 但，不满足，C错误； 对于D ，求值域：对：，因此，值域包含负数； 对：，因此，值域全为正数， 二者值域不同，D错误. 12．（25-26高三上·四川宜宾·期末）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．如果是第一象限的角，则角是第四象限的角 B．函数在上的值域是 C．已知角的终边上的点的坐标为，则 D．已知为第二象限的角，化简 【答案】AC 【详解】对于选项A，是第一象限角，与的终边关于轴对称，因此是第四象限角，A正确； 对于选项B，时，，B错误； 对于选项C，角的终边上的点的坐标为，由正弦函数定义知，C正确； 对于选项D，是第二象限角时，，D错误. 13．（25-26高三上·上海青浦·期中）已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点，则________. 【答案】/ 【详解】因为，所以点在单位圆上， 所以， 因此. 14．（2026·湖北·三模）平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则_________． 【答案】0 【详解】由三角函数定义知，，， ，， 所以. 15．（25-26高三上·陕西汉中·期中）已知扇形的圆心角是，，则该扇形的弧长______. 【答案】 【分析】直接代入扇形公式求解即可. 【详解】，. 16．（25-26高三上·宁夏石嘴山·期末）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若，，求扇形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）根据扇形面积公式求解； （3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求解即可. 【详解】（1）． （2）． （3）由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $