河北唐山市丰润区2024-2025学年第二学期期中质量检测高一数学试卷

**基本信息** 高一数学期中卷聚焦三角函数、向量、复数等核心知识，通过分层题型与3D打印等真实情境，考查数学抽象、逻辑推理与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|扇形弧长面积、向量平行、统计总体|第5题考查统计总体概念，体现数学眼光观察现实世界| |多选|3/18|复数共轭、解三角形性质|第10题结合三角形边角关系，考查逻辑推理| |填空|3/15|解三角形周长、复数运算|第12题通过已知边角求周长，强化数学运算| |解答|5/77|平面四边形计算、复数几何意义、3D打印体积表面积、解三角形综合|第18题以3D打印艺术品为情境，考查体积表面积计算，体现数学语言表达现实世界；第19题多问分层，从求角到中点向量，发展数学思维|

丰润区2024-2025学年度第二学期期中考试 高一数学答案 1.A 【分析】根据扇形弧长和面积公式求解. 【详解】设该扇形半径为r,圆心角为（α>0）， 0r=1 则w2=2解得 4 2 r=4 2.D 【详解】因为a⊥b,所以sina+2cosa=0,即sina=-2cosa,所以tana=-2, 3.C 【详解】根据向量坐标减法法则，b=(a+b)-ā=(8-5,7-3)=飞，4)， 则=V32+4?=√25=5. 4.A 【详解】由题意可：活新+游波苏滑+帝治 流萨溢器花 2 5.B 【详解】根据总体的概念可得，这里的总体是该校所有学生的每天平均体育运动时间.故选项B正确 6.A 【详解】由=0-)=2i,得： 2i2i(1+i)2i+2i2 1-i0-i0+1-产-l+i, 则z的虚部为1. 7.B 【详解】若ā与万是相反向量，且均不为零向量，显然满足=且ā，但得不到ā=i, 若ā=五，由相等向量的定义知园=且a同向，即ab, 所以“园=且ā/是“ā=万的必要不充分条件。 8.D 【分析】由正弦定理及恒等变形化简得sinC·sinA=sinC,再解三角形即可求解， 【详解】解：根据正弦定理得，sinC.sinA=sin AcosB+sin B cosA=sin(A+B)=sinC. C∈(0，π)，A∈(0，π)，∴.sinC≠0， inA=1,解得A= 3 所以ABC为直角三角形. 9.BD 【分析】对于A,根据共轭复数的定义分析判断，对于B,分别求出两复数的模进行判断，对于C,直接 计算+23+3进行判断，对于D,直接计算（与+3）2判断. 【详解】对于A,因为二=a+bi的共轭复数为三=a-bi,所以31与2不互为共轭复数，所以A不正确： 对于B,因为5=V2+2=5,=√22+(-=5，所以B正确： 对于C,因为+52+3=1+2i+2-i+(-i)=3,为实数，所以C不正确： 对于D,因为5+3=1+i,所以(5+3)52=(1+i)(2-i)=3+i,所以D正确. 故选：BD 10.ABD 【分析】根据三角形的几何性质，结合三角函数的诱导公式以及余弦定理，可得答案. 【详解】对于A,在ABC中，B>C,则b>c,A正确： 对于B,sin(A+C)=sin(π-B)=sinB,B正确： 对于C,由B+c2>d,得c0s4-+c-心>0，则4是锐角，显然B,C是否都是锐角无法确定，C错 2bc 误： 对于D,由b2+c2<a2,得cosA= +C-(<0,则A是钝角，®MBC是钝角三角形，D正确， 2bc 故选：ABD 11.AB 【分析】先根据向量的加法及减法法则，再应用数量积运算律可逐一判断. 【详解】由平面向量加法的平行四边形法则得AB+AD=AC,AD-AB=BD, AC+BD=(AB+AD+(AD-AB)=2AB'+AD+2AD.AB-2AD.AB=2AB'+AD. A选项正 确； 因为B+AD>0,且AC+BD=2AB+AD),AC+BD,AB+AD不相等，所以C选项错误； 2 XAC-BD'=(AB+AD)-(AD-AB)=AB'+AD'+D.AB-AB"-AD'+2D:AB 4D:AB, 所以店A而=(AC-BD),B选项正确： 因为4C-BD不一定为0，且ABAD=(AC-BD）BD=AC-BD)不一定相等，所以D选 项错误： 12.9 【分析】由题知血B=2smC,进而结合愿意得nC-√ 7 2，c0sC=g,再根据余弦定理解方程即可得答 8 案 【详解】解因为b=2c,所以sinB=2sinC,b>c 又因为9sinB-2sinC=2W15, 所以sinC= V15 己，又C为锐角，所以cosC=。, 由余弦定理得c=4c+9-2x3x2x×名，解得c=2或c=} 因为当c=号时，b=2c=Q=3,此时∠ABC一定不是钝角，故舍去 所以c=2,所以ABC的周长为2+4+3=9」 故答案为：9 13.13+1 【分析】根据复数的运算法则，求得=-2-3i,得到复数3对应点Z(-2,-3),设==x+yi,由=1， 得到x2+y2=1,结合圆的性质，即可求解. 【详解1由复数三-二1--50-日-2-31，所以复数：对应复平面内的点Z(23》. 1+i(1+i)1-i) 设=x+i(x∈R,y∈R),则复数z对应复平面内的点Z(x,y), 由=x2+y2=1,可得x2+y2=1, 在复平面内，点Z的轨迹是以原点O为圆心，半径r=1的圆，如图所示， 所以z-lx=OZ,+r=3+1. 故答案为：√13+1. 3 Y 14.CA 【分析】利用平面向量的减法运算求解。 【详解】解：(OA-OB-(PC-P8)=BA-BC=C, 故答案为：CA 15.(1)V7: 22 7 【分析】(1)利用余弦定理即求； (2)利用正弦定理即得 【详解】(1)在△BCD中，由余弦定理可知： BD=BC+CD-2BC.CDeOsBCD-F+2xx2x(=7. BD=√ BD AD (2)在△ABD中，由正弦定理可知： sin∠BAD sin∠ABD 万 2 即：√5sin∠ABD 2 sin∠ABD=V2 7 16.(1)5π；(2)[-5，+m) 【分析】(1)利用复数的几何意义，结合圆的面积公式即可得解： (2)利用复数相等得到关于，x,入的方程组，从而得到入关于x的表达式，结合二次函数的性质即可得解 【详解】(1)由复数的几何意义知：满足条件2<z<3的点Z的集合的图形为圆环， 其中大圆半径为3，小圆半径为2， 故所求面积为兀32-元22=5π. 4 (2)因为3=+(4-m2)i(m∈R),52=x+(2+2x)i(2,x∈R),且5+52=0， 所以x+m+(4-m2++2x)i=0,所以m=-x且4-m2+1+2x=0, 故1=m2-2x-4=x2-2x-4=(K-1)2-5, 因为meR,x∈R, 所以当x=1时，元有最小值为-5， 所以1范围为[-5，+∞). 17.0)3 .10 2)3V1©对 26 【分析】(1)利用余弦定理化角为边，推得α=3c,代入消元计算即得所求式的值； (2)由ABC的面积推得ac=15,结合(1)的结论求出a=3√5，c=√5，利用余弦定理求得b=√65，根 据三角形面积公式即可求得AC边上的高. 【详解】(1)由a=3ac0sB+3 bcosA和余弦定理， 可得：a=3ax+c2- 2+36xB+c2-a 2ac 2bc 化简得2c(a-3c)=0,则得a=3c, 故+c2_32+c2_10 ac : 302s (2)由SA4se=,acsin B-V ac=15Y3可得ac=15, 4 由(1)已得a=3c,解得a=3√5，c=√5， 由余弦定理，b2=a2+c2-2 c cos B =6V52+(52-2x35×5cs2亚65，解得b=65, 3 设AC边上的高边上的高为h, 则由Sc=bh=5⑤h=155,解得h=315 2 4 26 故AC边上的高为3195 26 18.)35π (2as3 2 【分析】(1)先求出圆柱的半径，然后求出体积. 5 (2)利用圆柱的侧面积公式列出侧面积表达式，然后根据二次函数的性质求出最大值 10 【详解】1)当a=号时，设圆柱的半径为，则3-1之，解得r-1, 35 此时该艺术品的体积为Vx×5-心xPx3-名元cm. 2)设圆样的半径为，则号-号解得7=3a0<a列， 要使该艺术品的表面积最大，则圆柱的侧面积取得最大值即可， 3 3 S则=2oa=2元3-2aa=2π3a-22, 5 5 a=- 当 2时，S取得最大值， 故当a=时， 该艺术品的表面积最大 19.(1)B= 6 (2②)2=V5或“-5 c (3)8或4 【分析】(1)根据向量垂直的坐标运算列方程，然后角化边，根据余弦定理求出B角的大小 (2)在三个三角形中分别用余弦定理找出a,c的关系式解方程即可. (3)方法一：先确定点P的位置分两种情况进行分析，根据余弦定理和面积关系找到PA,PB,PC的关系即可； 方法二：由面积公式求出C,再分点P与点B在直线AC的异侧与同侧两种情况讨论，设∠PBA=日，利用 正弦定理表示出线段的长度，再计算可得。 【详解】（1)因为m⊥i所以i=(sinA-sinB)(a+b)+(c+√3a)sinC=0, 角化边可得：(a-b)(a+b)+(c+V3a)c=0, 整理可得d-b2+c2=-√3c, 又因为cosB=+c2-b-Bc5 2ac 2ac 2 又因为B为三角形的内角，所以B= (2)在21BC中由余弦定理可得：7=d2+c2-2ccos5 整理得：7=a2+c2+V3ac; 6 在△ABD中由余弦定理可得：cos∠ADB= 2x1 22 5y+白-a 在△CBD中由余弦定理可得：coS∠CDB= 4-2a2 √7， 22 又因为cos∠CDB+cos∠ADB=0,所以a2+c2=4, 又因为7=2+c2+V5ac,所以ac=5, d+c2=4 a=1 ac=5·解得 a=v3 解方程组： cv或 c=1 所以2：5或4-5 (3)方法一：因为点P满足∠BPA=∠BPC=AC-号所以点P在金1BC的外部， 2 设PA=x,PB=y,PC=z, 当B,P在直线AC的异侧时， 在4BC中由余弦定理有：b2=a2+c2+V5ac, 又因为金4BC的面积为、5，即5-csmg子c,所以e=45, .5π1 所以b2=2+c2+12, 在△PAB中由余弦定理有：c2=x2+y2-y, 在△PBC中由余弦定理有：2=y2+z2-z, 在△PAC中由余弦定理有：b2=x2+z2+xz, 所以b2=x2+z2+xz=2+c2+12=y2+z2-z+x2+y2-xy+12, 整理得：z+y+-2y=12, 又因为SBc+SaP4AC=SOPAB+SaPBC, +:9y5+ =一X.y· 22 2 整理得：4+xz=y+yz,即xz=y+z-4, 又因为2+y+-2y=12 所以z+xy+(yz+xy-4)-2y2=12即yz+xy-y2=(+z)y-y2=8, > 所以(PA+PC)PB-PB=8: 当B,P在直线AC的同侧时， 分别在ABC,△PAB,△PBC,△PAC中用余弦定理及ABC的面积为V5 依然可以得出z+9+心-2y=12, 又因为SPAc=SaAB+SPBC+SABC, 22. 整理得：xz=y+z+4,又因为z+xy+xz-2y2=12, 所以z+y+(z+y+4)-2y=12, 即z+y-y2=x+z)y-y2=4, 所以(PA+PC)PB-PB2=4. 综上所述(PA+PC)·PB-PB2的值为8或4 方法二：因为eMBC的面积为、5，所以=V5,所以ac=45, 若点P与点B在直线AC的异侧，设∠PBA=B, 则Pscg0.2=经0，B(g00 6 3 6 PA PB AB 金aPAB中由弦定理sm0T-ain,所9PAE24B 3 PC PB BC 在△PBC中由正弦定理。 -sin sin sim-） 0-6 simT,所以PC=2BCs (5-6 6 3 PB= 2BC. 所以(PA+PC)PB-PB2=PAPB+PC·PB-PB 小e 儿2 16W33 3N2 insicoco csinin oi c0320 4 2 sin'o 4 1633 sin26=8 32 2 B A 若点P与点B在直线AC的同侧，设∠PBA=日， 则∠PBC-7π-0，∠PB=2L9,∠PCB=0T 6 3 PA PB AB 在△PAB中由正弦定理sin日 0所以H=m0,B-2mg)月 (3 3 PC PB BC 在△PBC中由正弦定理 \-osa一匹】 sin sin,所以PC=2BCs (2 3 m92: 所以(PA+PC)PB-PB=PAPB+PC·PB-PB2 165(m6c09ces0r分n0cse0 4 si6+in9cos+5 cos20) 34 综上可得(PA+PC)PB-PB2的值为8或4. B C 9 丰润区2024-2025学年度第二学期期中考试姓名：____________________ 考生号：_____________________________ 高一数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后。用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．已知某扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则（    ） A． B．2 C． D． 3．已知，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，，设，则（    ） A． B． C． D． 5．为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为h．这里的总体是（   ） A．该校所有学生 B．该校所有学生的每天平均体育运动时间 C．所调查的100名学生 D．所调查的100名学生的每天平均体育运动时间 6．若复数满足，则的虚部为（   ） A．1 B．i C． D． 7．已知向量，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则△ABC一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分。 9．已知为虚数单位，复数，则（    ） A．与互为共轭复数 B． C．为纯虚数 D． 10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则△ABC是锐角三角形 D．若，△ABC是钝角三角形 11．如图，在平行四边形中，与交于点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且，则△ABC的周长为______. 13．若复数为虚数单位，，则 ______ 14．化简__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求的长； (2)求的正弦值． 16． （15分） （1）设，在复平面内对应的点为，那么求满足条件：的点的集合的图形面积； （2）已知复数， ，且，求的范围. 17．（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若，△ABC的面积为，求边上的高． 18．（17分）如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为，高为，内部挖去一个高的圆柱体. (1)当时，求该艺术品的体积； (2)当为何值时，该艺术品的表面积最大？ 19．（17分）在△ABC中，内角，，的对边分别为，，，若，，且． (1)求角的大小； (2)若，点是的中点，且，求的值； (3)已知△ABC的面积为，且△ABC所在平面内的点满足，求的值． 高一数学 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $